Групи з умовою сепараторної нормальності для деяких систем нециклічних підгруп

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 512. 54 (048)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Групи з умовою сепараторної нормальності для деяких систем нециклічних підгруп

01. 01. 06- алгебра і теорія чисел

Одінцова Оксана Олександрівна

КИЇВ - 2001

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальність теми. Вивчення груп, в яких ті чи інші системи підгруп задовольняють заздалегідь заданим умовам, визначило напрямок сучасної теорії груп, який активно розвивається. Започатковано його було наприкінці ХІХ століття в теорії скінченних груп, а саме роботою Р. Дедекінда, в якій було введено групи з умовою нормальності для всіх підгруп. Групи такого роду пізніше отримали назву дедекіндових груп. Нескінченні дедекіндові групи були описані Р. Бером у 30-тих роках ХХ століття.

Особливу роль у розвитку ідей та методів напрямку дослідження будови груп із заданими властивостями підгруп зіграли дослідження О. Ю. Шмідта та С. М. Чернікова, саме в роботі С. М. Чернікова ідея раніше згаданого напрямку була чітко сформульована.

Властивість нормальності для підгруп є однією з широко використовуваних властивостей, що наперед задаються. Звужуючи систему нормальних підгруп, наприклад, накладаючи умову нормальності на системи підгруп S, які мають деяку властивість, як-то: неабелевість, нескінченність, нециклічність тощо, одержують узагальнення дедекіндових груп. До цього напрямку досліджень можна віднести роботи С. М. Чернікова, Г. М. Ромаліса, М. Ф. Сєсєкіна, В. Т. Нагребецького, Д. І. Зайцева, Ф. М. Лимана, М. С. Чернікова, А. А. Махньова, М. Ф. Кузенного та інших.

Дещо інший метод звуження системи підгруп S, на яку накладається умова нормальності полягає у тому, що у групі G існує така власна підгрупа S (сепаруюча підгрупа), для якої кожна підгрупа множини S, що не належить S, нормальна в G. У загальному випадку групи такого роду позначені Н (S\S) -групами. Задача опису Н (S\S) -груп була поставлена С. М. Черніковим і розв'язувалась у роботах Д. Кеппіта, А. Ф. Баранніка, Т. Г. Чечиної, М. Ф. Кузенного та інших. До цього напрямку досліджень належить і дана робота.

Цей факт підтверджує актуальність теми.

Зв'язок роботи з науковими програмами планами, темами.

Дослідження дисертації відповідають планам теоретико-групових досліджень, які здійснюються на кафедрі вищої математики Національного педагогічного університету ім. М. П. Драгоманова.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є опис класів груп з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами, а також груп, в яких нормальними є або нескінченні, або нециклічні, або нескінченні нециклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (Н (І) -, Н (І\S) -, Н (\S) - та Н (І\S) -групи відповідно) з досить широкими обмеженнями, оскільки вже підклас Н (І) -груп може мати довільний періодичний комутант. Для цього знаходяться найбільш загальні властивості довільних груп згаданих класів з умовою їх локальної ступінчастості, локальної розв'язності, чи локальної майже розв'язності.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертації є новими, строго обґрунтованими. Вони роблять певний внесок в теорію груп. Найважливішими серед них слід вважати наступні:

опис груп, в яких нормальними є циклічні підгрупи, що нерозкладні у прямий добуток власних підгруп та не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 2. 2. 3) ;

опис локально ступінчастих Н (І) -груп (теорема 3. 1. 1) ;

ступінь розв'язності неперіодичних локально майже розв'язних та періодичних локально розв'язних Н (І\S) -груп та їх частинних випадків (теорема 3. 2. 2) ;

опис локально розв'язних Н (І\S) -груп (теорема 3. 3. 1) ;

опис неперіодичних локально майже розв'язних та періодичних локально розв'язних груп, в яких нормальними є нециклічні підгрупи, якщо вони не належать деякій підгрупі досліджуваної групи (теорема 4. 1. 4) ;

опис періодичних локально розв'язних Н (І\S) -груп, тобто локально розв'язних груп, в яких нормальними є нескінченні нециклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 4. 2. 1) ;

опис неперіодичних локально майже розв'язних Н (І\S) -груп (теорема 4. 2. 2).

Встановлено деякі допоміжні результати, що мають і самостійне значення:

вказано еквівалентність 8 властивостей груп, кожна з яких виділяє клас дедекіндових груп (теорема 2. 1. 1) ;

вказано 7 властивостей груп, кожна з яких виділяє клас груп, ізоморфний класу груп, в яких нормальними є всі власні підгрупи, що не належать деякій підгрупі досліджуваної групи (теорема 2. 1. 2) ;

подано 4 властивості груп, при кожній з яких група породжується власними ненормальними циклічними підгрупами (теорема 2. 1. 3) ;

описано групи, в яких нормальними є неперіодичні підгрупи при умові їх неналежності деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 3. 2. 1);

описано періодичні локально розв'язні Н (\S) -групи, що породжуються ненормальними циклічними підгрупами (теореми 4. 1. 1, 4. 1. 2, 4. 1. 3).

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані при дослідженні як скінченних, так і нескінченних груп. Деякі розділи можуть бути основою для спецкурсів та спецсемінарів з теорії груп.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати одержані й опубліковані без співавторів.

Апробація результатів. Основні результати дисертації доповідались на:

VIІ та VIII Міжнародних конференціях імені академіка М. Кравчука;

ІІ Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні;

Конференції молодих математиків, присвяченій 40-річчю кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

науковому семінарі “ Групові структури та гіперкомплексний аналіз на них“ Інституту математики НАН України та Національного педагогічного університету ім. М. П. Драгоманова;

науково-звітніх конференціях викладачів Національного педагогічного університету ім. М. П. Драгоманова, Сумського державного педагогічного університету ім. А. С. Макаренка;

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 робіт, серед них 3 у фахових виданнях.

Структура дисертації. Робота складається з переліку термінів та умовних скорочень, вступу, 4 основних розділів, висновків та списку використаних літературних джерел з 56 найменувань.

Обсяг дисертаційної роботи 116 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

нескінченна неперіодична абелева підгрупа

У вступі обгрунтовано актуальність дослідження та важливість питань, що розглядаються в дисертації, сформульована мета дослідження, новизна та практичне значення одержаних результатів.

У розділі 1 проведено стислий огляд робіт інших авторів, близьких за тематикою.

У підрозділі 1. 1 подано основні результати досліджень Т. Г. Чечиної, Д. Кеппіта, А. Ф. Баранніка та деяких інших авторів, які використовуються в подальшому. В теоремі 1. 1. 1 описані локально ступінчасті групи з нормальними нескінченними підгрупами (Н (І) -групи). Теорема 1. 1. 2 розкриває будову груп, в яких нормальні всі неперіодичні абелеві підгрупи, (Н (ПА) -групи) та групи, в яких нормальні нескінченні циклічні підгрупи, (Н (ІС) -групи). Опис локально ступінчастих груп з нормальними нециклічними підгрупами (Н () -групи) подано у теоремі 1. 1. 3. Описи груп з теорем 1. 1. 1- 1. 1. 3 були раніше відомі. У дисертації вони уточнені та узагальнені.

У розділі 2 описуються групи, в яких нормальними є всі нерозкладні циклічні підгрупи при умові їх неналежності до деякої власної підгрупи досліджуваної групи.

У підрозділі 2. 1 подані необхідні означення та допоміжні результати.

2. 1. 1. Група G називається Н (\wS) -групою, коли нормальними підгрупами в ній будуть всі підгрупи з системи , що не належать деякій власній w-підгрупі S групи G, де складається з підгруп групи G, які мають властивість t, а t, w - теоретико-групові властивості, які можуть мати або не мати підгрупи групи G. Довільна підгрупа з G, яка має ті ж самі властивості у відношенні до підгруп з системи що і S, називається Н (\w) -сепаруючою підгрупою групи G. Перетин М всіх Н (\w) -сепаруючих підгруп групи G називають її Н (\w) -сепаратором.

Серед використаних в дисертації властивостей t можна назвати такі- властивість бути: довільною (в позначеннях S опускається), циклічною (С-), нециклічною (-), абелевою (А-), неабелевою (-), нільпотентною (N-), нескінченною (І-), нескінченною нециклічною (І-), локально циклічною (LC), максимальною локально циклічною (MLC-), нерозкладною у прямий добуток підгруп (Нер-), нерозкладною циклічною (НерС-) підгрупою досліджуваної групи. Замість Н (\w) -сепаруючої підгрупи та Н (\w) -сепаратора групи G, де це не викликає непорозумінь, використане скорочене позначення- сепаруюча підгрупа та сепаратор.

Також у підрозділі 2. 1 встановлено незамкненість за підгрупами і факторгрупами та деякі загальні властивості класу Н (\wS) -груп (лема 2. 1. 1, наслідки 2. 1. 1 та 2. 1. 2). У теоремі 2. 1. 1 знайдено 8 теоретико-групових властивостей t, кожна з яких визначає клас Н () -груп, тобто груп в яких нормальними є всі підгрупи з системи S, що збігається з класом дедекіндових груп. Це властивості бути: А-, N-, LC-, MLC-, Нер-, НерС-підгрупою досліджуваної групи. У теоремі 2. 1. 2 встановлено, що тільки 7 властивостей t з теореми 2. 1. 1, крім властивості бути НерС-підгрупою досліджуваної групи, визначають один і той самий клас Н (S) -груп.

2. 1. 3. Довільна неодинична група G тоді і тільки тоді породжується всіма своїми ненормальними циклічними підгрупами, коли для неї виконується хоча б одне з тверджень:

G'- нецентральна підгрупа з групи G;

G'- центральна, але нециклічна підгрупа з групи G;

|G'| ділиться на добуток 3 різних простих чисел;

G'- нескінченна підгрупа.

У підрозділі 2. 2 описано Н (ІС\S) -групи (теорема 2. 2. 1) та групи, в яких нормальні всі примарні циклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі S досліджуваної групи, (теорема 2. 2. 2). Найважливішим результатом розділу 2 є теорема 2. 2. 3.

2. 2. 3. Усі Н (НерС\S) -групи G вичерпуються групами типів:

1) G- неодинична дедекіндова група;

2) G- недедекіндова група, що є прямим добутком своїх силовських рі-підгруп Рі, ієІ, кожна з яких є Н (S) -групою;

3) G=A?B, де А та В - холловські підгрупи з G, А- підгрупа типу 1, або 2, В не може бути ні групою типу 1, ні групою типу 2, [A, B]=1.

У розділі 3 досліджуються групи з нормальними нескінченними підгрупами деяких фіксованих систем.

3. 1. 1. Нескінченні недедекіндові локально ступінчасті Н (І) -групи G вичерпуються групами наступних типів:

G=ClD, де С- квазіциклічна р-група, р- просте число, D=S?<a>- скінченна дедекіндова група, S=СD (C) - нормальна підгрупа у групі G,

S?<a>= <am>, m>1, p?1 (mod m), [C, <a>]=C;

G= (B·C) ЧF, де В-група, що породжується нормальними в G підгрупами Ві=В'Ч<bi>, |bi|=p, і?І, 1<|I|<?, B'B, факторгрупа В/В' розкладається в прямий добуток підгруп Ві/В', С- квазіциклічна р-група, р-просте число, C?B=B'?1, F- скінченна дедекіндова холлівська підгрупа G;

G= ((B·C) lQ) ЧF, де В- група, яка породжується нормальними в G підгрупами Ві= (C1Ч<bi>), С-квазіциклічна 2-група, B?C=C1, |C1|=2, |bi|?2, i?I, |I|<?, С1В, а факторгрупа В/С1 розкладається в прямий добуток підгруп Ві/С1, якщо ж |I|=0, то В=С1, Q- група кватерніонів, [B, C]=[C, Q]=1, F- скінченна абелева група без інволюцій;

G= ((B·C) ·<a>) ЧF, де B- група, що породжується нормальними в G підгрупами Ві=<c>?<bi>, i?I, |I|<?, |bi|=2, С- квазіциклічна 2-група, |a|=2a, [B, C]=1, B?C=<c>=B'·[B, <a>], <c>B, факторгрупа В/<c> розкладається в прямий добуток підгруп Ві/<c>, якщо ж |I|=0, то В=<c>, [C, <a>]=C, F- скінченна абелева група без інволюцій;

G= (((B·C) lQ) ·<a>) ЧF, де В-група, породжена нормальними в G підгрупами Ві= (<cі>Ч<bi>), С-квазіциклічна 2-група, B?C=<c1>, |c1|=2, |bi|?2, i?I, |I|<?, <c1>В, факторгрупа В/<c1> розкладається в прямий добуток підгруп Ві/<c1>, якщо |I|=0, то В=<c1>, Q- група кватерніонів, |a|=2a, [C, B]= [C, Q]=1, a2?C, [C, <a>]=C [B, <a>]<<c1>, [Q, <a>]<<c1>, F- скінченна абелева група без інволюцій;

G= ((B·C) lQ) ЧF, де B?C як у групі типу 7, Q=<a, b>- група кватерніонів, [C, <b>]=1, [<b>, B]<<c1>, [B, <a>]<<c1>, [C, <a>]=C, F- скінченна абелева група без інволюцій;

G= (((B·C) l<b>) ·<a>) ЧF, де B?С як у групі типу 7, |a|=|b|=4, [C, <b>]=1, [B, <b>]<<c1>, c1=a2b2, [a, b]=a2, F- скінченна абелева група без інволюцій;

G=<a>l<x>, |a|=pa, pa>2, |x|=?, [<a>, <x>]?w (<a>) ;

G=A?<x>, де А- група кватерніонів, |x|=?;

G=A?X, де А- група кватерніонів, а Х- група ізоморфна адитивній групі двійкових дробів.

Опис Н (І) -груп суттєво використовується при дослідженні Н (І\S) -груп.

У підрозділі 3. 2 встановлено, що локально майже розв'язні неперіодичні чи локально розв'язні періодичні Н (І\S) -групи та їх частинні випадки Н (І) -, Н (І\S) -групи - розв'язні, їх ступінь розв'язності не перевищує і досягає числа 3 (теорема 3. 2. 2, наслідки 3. 2. 4 та 3. 2. 5).

3. 2. 2. Нехай G- неперіодична локально майже розв'язна, або періодична локально розв'язна Н (І\S) -група, тоді G'''=1 і при неперіодичності групи G її комутант G' є мінімальною нормальною підгрупою в G, ізоморфною елементарній абелевій групі порядку рa, де р- просте число.

Опис локально ступінчастих груп G, в яких нормальними є неперіодичні підгрупи при умові їх неналежності до деякої підгрупи S групи G, наведено у теоремі 3. 2. 1.

3. 3. 1. Локально розв'язні Н (І\S) -групи G вичерпуються групами типів:

G- скінченна неодинична розв'язна група;

G- Н (S) -група;

G- розширення квазіциклічної підгрупи R за допомогою Н (S) -групи;

G=RlD, де R- прямий добуток l>1квазіциклічних р-груп, D=B?P- скінченна нільпотентна Н (S) -група, де Р- силовська р-підгрупа з D, в якій нормальні всі підгрупи <g>, що не належать деякій максимальній підгрупі М з Р, а елемент g індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, <g>D, D/<g>- дедекіндова група;

G=PlB, де |В|<?, Р- черніковська силовська р-підгрупа з G з повною частиною R, що розкладається в прямий добуток (р-1) квазіциклічних р-підгруп, р- просте число, р>2, Р має таку підгрупу С, що С?RG, |P: C|=p i довільний елемент g?P\C індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, R?<g>G, [P, B]<R, G/ (R?<g>) - дедекіндова група.

У розділі 4 описуються неперіодичні локально майже розв'язні та періодичні локально розв'язні Н (\S) - та Н (І\S) -групи.

У підрозділі 4. 1 уточнюються та узагальнюються результати робіт Т. Г. Чечиної (теореми 4. 1. 1- 4. 1. 3).

4. 1. 1. Періодичні ненільпотентні локально ступінчасті Н (\S) -групи G вичерпуються групами типів:

1) G - скінченна ненільпотентна розв'язна Н () -група (група типів 3-5 теореми 1. 1. 3, коли |b|<?) ;

2) G=Рl<b>, де P=<c>?A - силовська 2-підгрупа з G, <c>?Z (G), P>G'=A- група кватерніонів, |A|=8, <c>?A=Ф (А), <b> містить таку силовську 3-підгрупу <x>, що [A, <x>]=A;

3) G=Рl<b>, де P=<c>?A- скінченна силовська р-підгрупа з G, <c>?Z (G), AG, |A|>p, <b> містить таку силовську q-підгрупу <x>, що х індукує на А незвідний автоморфізм, а при |P|=p2 <b> містить елемент, який індукує на А звідний, але нетотожній автоморфізм;

4) G=Рl<b>, P=<c>?A- скінченна силовська р-підгрупа з G, <c>?Z (G), AG, <c>?A=Ф (А) =A'=w (<c>), <b> містить таку силовську q-підгрупу <x>, що суміжній клас Ф (А) ?х індукує на факторгрупі А/Ф (А) незвідний автоморфізм.

4. 1. 2. Нільпотентні р-групи з локально циклічним комутантом, або комутантом типу (р, р), що є Н (\S) -групами, які містять ненормальні нециклічні підгрупи та породжуються ненормальними циклічними підгрупами, Хр-групи, вичерпуються групами типів:

G=A? (<b>l<x>), де А- локально циклічна р-група, exp (A) ?|b|=pb>4, b>1, |x|=p, [b, x]=;

G= (A?<b>) l<x>, де А- група кватерніонів, |A|=8, або А- циклічна група, |A|=pa, a>0, |b|=|[b, x]|=p, |x|=pg?exp (A), a+g>2, [b, x]?A, [A, <x>]=1;

G= (<a>?<b>) l<x>, де |a|=2a, a>3, |b|=|x|=2, [a, x]=a?b, [b, x]=a;

G=<a>l<b>, де |a|=8, |b|=2, b-1ab=a3;

G=<a>l<b>, де |a|=pa, |b|=pk+1, b-1ab=a1+p, 0<k<a-1, pk>2;

G=<a>?<b>, де |a|=pa, |b|=pb, b-1ab=a1+p, 0<k<a-1<b-1, <a>?<b>=<ap>, pk>2; G=<a>?<b>, де |a|=23, |b|=2b, b>3, |<a>?<b>|=2, b-1ab=a-1; G= (<a>?<b>) l<x>, де |a|=pa>4, a>1, |b|=|x|=p, [a, x]=b, [b, x]=asp, 0<s<p;

G= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=pa>4, a>1, |b|=|x|=p, [a, x]=b, [b, x]=1, [a, b]=as?p, 0<s<p;

G= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=pa, a>1, |b|=pb, b>1, |x|=p, w (<a>) ?w (<b>) =G'<Z (G), CG (<x>) =<ap>?<bp>?<x>,

 існує не більше ніж одна максимальна підгрупа <u>, що не належить СG (<x>), для якої можливі співвідношення [<u>, <x>]<<u>;

G= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=pa, a>1, |b|=pb, b>1, a<b, |x|=p, w (<a>) ?w (<b>) =G'<Z (G), CG (<x>) =<a>?<bp>?<x>;

G= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=pa, a>1, |b|=pb, b>1, a?b, |x|=p, w (<a>) ?w (<b>) =G'<Z (G), CG (<x>) =<ap>?<b>?<x>;

G= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=pa, a>1, |b|=pb, b>1, a=b, |x|=p, w (<a>) ?w (<b>) =G'<Z (G), CG (<x>) =<aр>?<abi>?<x>, (i, p) =1, [b, x]=aspblp, де is?l (mod p), l?0 (mod p), а p- просте число.

4. 1. 3. Періодичні локально ступінчасті Н (\S) -групи G вичерпуються групами типів:

G- неодинична періодична дедекіндова група;

G- недедекіндова Н (S) -група (наслідок 2. 1. 2) ;

G- періодична розв'язна Н () -група (тобто група одного з типів 2-11 теореми 1. 1. 3) ;

G- скінченна розв'язна ненільпотентна Н (\S) -група (тобто група типів 2-4 теореми 4. 1. 1) ;

G=Р?<z>- нільпотентна група, де <z>- скінченна холловська підгрупа G, Р- силовська р-підгрупа з групи G, яка є групою одного з типів 1-13 теореми 4. 1. 2;

G=Р?<z>, де <z>- скінченна холловська підгрупа з G, а Р= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=2a, |b|=4, |x|=2, [a, b]=a2, 1<a-k?k, [a, x]=b2, [b, x]=a1?b2, a1?<a>, |a1|=4;

G=Р?<z>, де <z>- скінченна холловська підгрупа з G, a Р= (<a>l<b>) l<x>, де |a|=pa, |b|=pb, |x|=p, [a, b]=ap, 1<a-k?. b<k, [a, x]=bf?p, 0<f<p, [b, x]<w (<a>).

У теоремі 4. 1. 4 описуються Н (\S) -групи, які раніше не вивчались. Ця теорема є найважливішим результатом підрозділу 4. 1.

4. 1. 4. Неперіодичні локально майже розв'язні Н (\S) -групи вичерпуються групами типів:

G- неперіодична розв'язна Н () -група (неперіодична група одного з типів 1-3 теореми 1. 1. 3) ;

G=Аl<x>, де А- силовська мінімальна підгрупа з G, |a|=pa, р- просте число, a>1, |x|=?, Z (G) =<xk>, k>1, (k, p) =1, у факторгрупі <x>/<xk> існує така силовська q-підгрупа <xk>?x1, що елемент х1 індукує незвідний автоморфізм на групі А, q-просте число, що ділить k;

G= (A?<b>) l<x>, де А- локально циклічна р-група, чи група кватерніонів, |b|=|[b, x]|=p, [b, x]?A, |x|=?, [A, <x>]=1;

G= (<a>l<b>) ?X, де |a|=pa>4, a>1, |b|=p, [a, b]=ap, Х- нескінченна циклічна група, або група ізоморфна адитивній групі дробів зі знаменником рn, n- натуральне число.

Підрозділ 4. 2 узагальнює всі основні результати дисертації.

4. 2. 1. Періодичні Н (І\S) - та Н (І\S) -групи складають один і той самий клас груп. Нескінченні локально розв'язні групи цього класу вичерпуються групами типів:

G- нескінченна періодична Н (S) -група;

G- розширення квазіциклічної підгрупи R за допомогою скінченної Н (S) -групи;

G=RlD, де R- прямий добуток l>1квазіциклічних q-груп, D=B?P- скінченна нільпотентна Н (S) -група, де Р- силовська р-підгрупа з D, у якої нормальні всі підгрупи <g>, що не належать деякій максимальній підгрупі М з Р, а елемент g індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, <g>D, D/<g>- дедекіндова група;

G=PlB, де |В|<?, Р- черніковська силовька р-підгрупа з G з повною частиною R, яка розкладається в прямий добуток р-1 квазіциклічних р-підгруп, р- просте число, р>2 Р має таку підгрупу С, що R?С, |P: C|=p, та довільний елемент g?P\C індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, R?<g>G, [P, B]<R, G/ R?<g>- дедекіндова група.

Т е о р е м а 4. 2. 2. Неперіодичні локально майже розв'язні Н (І\S) - та Н (\S) -групи складають один і той самий клас груп та вичерпуються групами типів:

G- неперіодична абелева група;

G=А?Х, де А- група кватерніонів, Х- нескінченна циклічна група, або група ізоморфна адитивній групі двійкових дробів;

G=<a>?<x>, |a|=pa>2, |x|=?, [<a>, <x>]???<a>) ;

G=Аl<x>, де А- силовська мінімальна підгрупа з G, |a|=pa, р- просте число, a>1, |x|=?, Z (G) =<xk>, k>1, (k, p) =1, у факторгрупі <x>/<xk> існує така силовська q-підгрупа <xk>?x1, що елемент х1 індукує незвідний автоморфізм на групі А, q-просте число, що ділить k;

G= (A?<b>) l<x>, де А- локально циклічна р-група, чи група кватерніонів, |b|=|[b, x]|=p, [b, x]?A, |x|=?, [A, <x>]=1;

G= (<a>l<b>) ?X, де |a|=pa>4, a>1, |b|=p, [a, b]=ap, Х- нескінченна циклічна група, або група ізоморфна адитивній групі дробів зі знаменником рn, n- натуральне число.

ВИСНОВКИ

Темою дисертації є опис груп G з умовою сепараторної нормальності для різних систем підгруп S з G. Систему S досліджуваної групи G складають всі: нескінченні (І-), нециклічні (-), нескінченні нециклічні (І-) підгрупи групи G. Сепараторна нормальність у групі G підгруп з S означає нормальність не всіх підгруп, а лише тих, що не належать деякій власній підгрупі S з G. Всі основні класи груп, розглядувані в дисертації, містять нескінченні прості групи з циклічними власними підгрупами, приклади яких побудовані О. Ю. Ольшанським. У зв'язку з цим дослідження ведуться при додаткових обмеженнях локальної ступінчастості, локальної майже розв'язності чи локальної розв'язності. При цих обмеженнях досліджувані групи завжди розв'язні і ступінь їх розв'язності не перевищує числа 3.

У дисертації:

уведено в розгляд поняття Н (S\wS) -групи G, тобто групи, в яких нормальні всі підгрупи системи S, що не належать деякій w-підгрупі S. Ці групи названо Н (S\S) -групами, коли S- довільна власна підгрупа групи G. Якщо в останній групі система S - це система всіх власних підгруп групи G, то такі групи названо Н (S) -групами;

вперше описані нескінченні періодичні локально розв'язні та неперіодичні локально майже розв'язні Н (І\S) -групи, тобто групи, в яких нормальні нескінченні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі S з досліджуваної групи G;

також вперше описані всі періодичні локально ступінчасті та неперіодичні Н (\S) -групи, тобто групи, в яких нормальними є всі нециклічні підгрупи, що не належать деякій підгрупі S з G. Опис одного підкласу локально скінченних Н (\S) -груп здійснено раніше іншими авторами. Цей опис у дисертації уточнено та узагальнено при заміні локальної скінченності на локальну ступінчастість;

здійснено опис нескінченних періодичних локально розв'язних та неперіодичних локально майже розв'язних Н (І) -груп, тобто груп з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами. Цей клас груп вперше введено та описано в дисертації. Клас Н (І\S) -груп містить всі Н (І\S) -групи та Н (\S) -групи. Опис останніх класів груп суттєво використовується при описі всіх Н (І\S) -груп;

встановлено, що періодичні Н (І\S) - та Н (І\S) -групи складають один і той самий клас груп. Неперіодичні локально майже розв'язні Н (І\S) - та Н (\S) -групи також складають один і той самий клас груп;

уведено та повністю описано клас Н (НерС\S) -груп, тобто груп, в яких нормальними є нерозкладні циклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі S досліджуваної групи. Для цього введено до розгляду та досліджено Н (ІС) -та Н (ПримС\S) -групи, тобто групи, в яких нормальні відповідно всі нескінченні циклічні підгрупи, чи примарні циклічні підгрупи, якщо вони не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи. Усі Н (НерС\S) -групи мають довільний періодичний комутант;

вперше вказано еквівалентність відомих 8 властивостей груп, кожна з яких визначає клас дедекіндових груп, та 7 властивостей групи, кожна з яких виділяє клас Н (S) -груп, описаних без будь-яких обмежень. Усі Н (S) -групи нільпотентні, клас їх нільпотентності не перевищує числа 2;

знайдено 4 властивості групи G, при кожній з яких G породжується своїми ненормальними циклічними підгрупами;

уточнено та дещо узагальнено відомі описи деяких класів Н (І) - та Н () -груп, тобто груп з нормальними нескінченними, або нециклічними підгрупами відповідно. Вперше описані локально ступінчасті Н (І) -групи, тобто групи з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами. Ці результати суттєво використовуються при одержанні основних результатів дисертації;

вперше одержано опис груп, в яких нормальними є всі: періодичні, скінченні, скінченні циклічні підгрупи;

здійснено огляд робіт інших авторів, які безпосередньо, чи опосередковано стосуються теми дослідження;

обгрунтовано актуальність теми, мету та задачі дослідження, їх новизну та практичне і теоретичне значення.

ПЕРЕЛІК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДОСЛІДЖЕННЯ

Одінцова О. О. Групи з системами сепараторно-нормальних підгруп// Фрактальний аналіз та суміжні питання: Зб. наук. праць. - К. : Ін-т математики НАН України. - 1998. - №2. - С. 211-214.

Одінцова О. О. Властивості груп, в яких нормальні підгрупи визначаються системами сепаруючих підгруп. -Нац. пед. ун-т. -Київ, 1998. -42с. -Бібіліогр. : 11 назв. -Укр. -Деп. в ДНТБ України 26. 04. 99, №120-Ук99.

Одінцова О. О. Про ступінь розв'язності Н (І/S) -груп// Наук. зап. НПУ ім. М. П. Драгоманова, фіз. -мат. науки. - К. : НПУ ім. М. П. Драгоманова- 1999. -1. -С. 201-204.

Одінцова О. О. Групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нециклічних підгруп//Вісник Київського національного ун-та імені Тараса Шевченка. - К. : КНУ імені Тараса Шевченка. - 2000. - 3. - С. 57-63.

Одінцова О. О. Про один клас сепараторно дедекінових підгруп// Укр. мат. ж. - 2001. -53, №2. -С. 269-273.

АНОТАЦІЯ

Одінцова О. О.

Групи з умовою сепараторної нормальності для деяких систем нециклічних підгруп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-- математичних наук за спеціальністю 01. 01. 06- алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

У дисертації досліджуються групи з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами, а також групи, в яких нормальними є всі або нескінченні, або нециклічні, або нескінченні нециклічні підгрупи при умові їх неналежності деякій власній підгрупі досліджуваної групи. Повністю описано вказані групи при додаткових обмеженнях локальної майже розв'язності у неперіодичному випадку та локальної розв'язності у періодичному випадку.

Усі результати є новими, вони мають теоретичний характер, можуть бути використані в подальших теоретико-групових дослідженнях та при читанні спецкурсів та спецсемінарів в університетах.

Ключові слова: сепаруюча підгрупа, сепаратор, відсепаровані підгрупи, локально майже розв'язна група, локально розв'язна група, локально ступінчаста група.

Одинцова О. А.

Группы с условием сепараторной нормальности для некоторых систем нециклических подгрупп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

В диссертации исследуются группы с нормальными нециклическими подгруппами, а также группы, в которых нормальными являются все, как-то: нециклические, бесконечные, бесконечные нециклические подгруппы, которые не принадлежат некоторой собственной подгруппе исследуемой группы, называемой сепарирующей подгруппой. Пересечение всех сепарирующих подгрупп группы называется её сепаратором.

Описаны типы выше указанных групп с условиями локальной почти разрешимости в непериодическом случае и локальной разрешимости в периодическом случае, поскольку уже группы с бесконечными нециклическими подгруппами имеют произвольный периодический коммутант.

Установлено, что исследуемые группы имеют ступень разрешимости, не превышающий числа 3.

Все результаты являются новыми. Они могут быть использованы при исследовании как конечных, так и бесконечных групп, для чтения спецкурсов и спецсеминаров по теории групп в вузах.

Ключевые слова: сепарирующая подгруппа, сепаратор, отсепарированные подгруппы, локально почти разрешимая группа, локально разрешимая группа, локально ступенчатая группа.

Odintsova O. A.

The groups with separеtly normal property for some systems of the non-cyclic subgroups. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by specialty 01. 01. 06- algebra and number theory, Kiev national university, Kiev, 2001.

There are investigated groups with normal infinite non-cyclic subgroups and groups in which non-cyclic, infinite or infinite non-cyclic subgroups are normal when they don't belong to some proper subgroup of the investigating group.

It's full described these groups with locally soluble property in periodic case and locally almost soluble property in non-periodic case.

All results are new. They may be used in the next investigations in theories of as finite or as infinite groups and also while teaching special courses in universities.

Key words: separating subgroup, separator, locally soluble group, locally graded group.

Размещено на Allbest.ru

...