Деякі властивості функцій, аналітичних у півплощині, та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Деякі властивості функцій, аналітичних у півплощині, та їх застосування

01.01.01 - математичний аналіз

Дільний Володимир Миколайович

Львів 2002

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Вивченню рівнянь типу згортки в різних функціональних просторах присвячені багаточисельні дослідження, які мотивовані різноманітними застосуваннями при вивченні як прикладних, так і теоретичних задач. З 20-их років ХХ-го століття у працях Н. Вінера, Р. Пелі, Е. Тітчмарша, Е. Гопфа та інших математиків активно вивчалися рівняння згортки у просторах типу Lp. Одним із глибоких результатів цього напрямку є теорема А. Берлінга, яка дає критерій повноти системи многочленів з вагою у просторі Гарді у крузі.

Р. Лакс надав цьому твердженню еквівалентне формулювання. Цей результат сформулюємо так.

Теорема Берлінга-Лакса. Наступні умови є еквівалентними:

1) рівняння

(0.1)

має лише нульовий розв'язок f у класі L2(-Ґ;0);

2) функція

є зовнішньою для простору Гарді H2(C+) у півплощині

,

тобто подається у вигляді

;

3) Множина функцій

є повною в H2(C+).

Із цієї теореми випливає, що рівняння (0.1) має ненульовий розв'язок у класі L2(-Ґ;0) тоді і тільки тоді, коли функція G задовольняє

принаймні одну з наступних умов:

а) G має хоч один нуль в C+;

б) сингулярна гранична функція функції G не є тотожною сталою;

в)

Доведення теореми Берлінга-Лакса базується на результатах класичної теорії просторів Гарді, зокрема на теоремах Пелі-Вінера та факторизаційній теоремі. М. Джрбашян, І. Коренблюм,

Н. Нікольський, Б. Левін, В. Гурарій, Н. Говоров, І. Красічков-Терновський, А. Гришин, А. Джрбашян, П. Руні, Ж. Бенедетто,

Г. Гейніг, Ж. Гарсіа-Куерва, В. Власов, А. Рачков та ряд інших математиків поширювали окремі аспекти згаданих вище результатів на вагові простори Гарді та різні їх модифікації. При цьому найбільш завершені результати одержані для просторів з вагою степеневого типу. Нам, проте, не відомий жодний повний аналог теореми Берлінга-Лакса для вагових просторів Гарді у крузі чи півплощині. Б. Винницький розглянув банахів простір Hsp (C+),

1Ј p<+Ґ, 0Јs<+Ґ, функцій f, для яких

тобто простір Гарді з експоненціальною вагою. Згідно з однією теоремою А. Сєдлецького простір H0p (C+), 1Ј p<+Ґ, співпадає з простором Гарді Hp (C+). Крім того, клас Пелі-Вінера, тобто клас цілих функцій експоненціального типу які належать Lp на дійсній осі, міститься в Hsp (C+). Для 1<pЈ2 Б. Винницький встановив аналог теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі а також аналог еквівалентності умов 1) і 3) теореми Берлінга-Лакса. Б. Винницький і В. Шаран отримали факторизацію простору HsҐ (C+).

Питання про аналоги:

а) теореми Пелі-Вінера для Hs1 (C+);

б) факторизаційної теореми для Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ;

в) умови 2) теореми Берлінга-Лакса для Hs2 (C+) залишалися відкритими.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розвиток теорії експоненціально-вагових просторів Гарді у півплощині та її застосувань , що передбачає вирішення таких задач:

- одержання аналогу теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі на півплощину для простору

Hs1 (C+);

- факторизація для просторів

Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ;

- дослідження повноти систем експонент з вагою у просторі

Hs2 (C+)

та відповідного рівняння типу згортки.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У роботі вперше отримано:

- узагальнення теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі для простору

Hs1 (C+), s>0;

- факторизацію та повний опис повних мір, за термінологією

А. Гришина, функцій з простору

Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ, s>0;

- критерій існування нетривіальних розв'язків рівняння типу згортки і повноти систем експонент з вагою в

функція аналітична півплощина

Hs2 (C+), s>0,

у термінах аналітичного продовження;

- теорему про залежність повноти системи експонент з вагою в

Hs2 (C+), s>0,

та існування розв'язків відповідного рівняння

типу згортки від сингулярного множника;

нові кількісні необхідні та достатні умови, при яких система експонент з вагою повна в

Hs2 (C+), s>0

і відповідне рівняння типу згортки має лише тривіальний розв'язок.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях, присвячених рівнянням типу згортки та повноті систем експонент, теорії інтерполяції, теорії вагових просторів Гарді.

Особистий внесок здобувача. Викладені в роботі результати отримано автором самостійно. Щодо розглянутих у дисертації задач, які розв'язані в праці, спільній з науковим керівником,

Б. Винницькому належить їх постановка і загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції "Математичний аналіз і економіка" (Суми, 1999 р.), на Міжнародній конференції "Цілі і мероморфні функції" (Львів, 2000 р.), на VIII-ій

Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000 р.), на Міжнародній конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 2001 р.), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Дрогобичі (керівник проф.

Б. Винницький), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Львові (керівники проф. А. Кондратюк, проф. О. Скасків), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Харкові (керівник проф. А. Гришин), на регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник проф. М. Шеремета).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 роботах (5 без співавторів), з яких 4 (3 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених у перелік ВАК України, в яких слід публікувати матеріали дисертацій.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 132 сторінки. Список використаних джерел займає 11 сторінок і включає 119 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються просторів Гарді та їх аналогів, а також рівнянь типу згортки у різних функціональних просторах.

Розділ 2 присвячений дослідженню кутових граничних значень функцій з класу

Hsp (C+), 0Јs<+Ґ, 1Ј p<+Ґ.

Функції f із простору Hsp (C+) мають майже скрізь на ¶C+ кутові граничні значення, які позначаємо через f(iy) або f0(iy) і fОLsp(¶C+) Тут через Lsp(¶C+), 0Јs<+Ґ, позначаємо простір таких функцій

f:¶C+® C, що f(iy)exp(-s|y|)ОLp(R).

У підрозділі 2.1 встановлюємо аналог теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі.

Теорема 2.1. Для того, щоб функція

f0О Ls1(¶C+)

була кутовою граничною функцією деякої функції fОHs1 (C+), необхідно і досить, щоб знайшлась така функція f2, що виконуються умови:

а) f2ОH2s1 (C+);

б) f3(iy):=f1(iy)+f2(iy)ОL1(-Ґ;0), f1(iy):=f0(iy)e-sy;

в) для всіх t<0

г) f2=f5-f4,

де f4(z)e-iszО Hs1 (C+), f5(z)eiszО Hs1 (C+).

Слід відмітити, що якщо s=0, то з останнього твердження випливає варіант класичної теореми Пелі-Вінера (в цьому випадку можна покласти f2єf4єf5є0. Для просторів

Hsp (C+), 1<pЈ2,

аналогічну теорему довів Б. Винницький, причому у цьому випадку умова г) є відсутньою. Розклад г) відомий для багатьох конкретних функцій

f2ОH2s1 (C+)

проте, чи справедливий він в загальному випадку, тобто чи можна умову г) опустити, нам невідомо. Наявність умови г) в теоремі 2.1 створює певні труднощі при її застосуванні. У зв'язку з цим доводиться наступна достатня умова.

Теорема 2.2. Якщо для функції f0О Ls1(¶C+) виконуються умови а)-в) попередньої теореми і

д) f2(u)ln(2+u)ОL1(0;+Ґ),

то існує функція

fОHs1 (C+)

що має f0 своєю кутовою граничною функцією.

У зв'язку з питанням про зайвість умови д) в теоремі 2.2 ми зауважуємо в лемі 2.7, що позбутися цієї умови шляхом покращення застосованих при доведенні теореми 2.2 оцінок не можна. На користь того, що теорема 2.1 справедлива лише з умовами а)-в), вказують наступні два твердження. Для їх формулювання позначимо через Ep[C(a,b)], де 0<b-a<2p, 1Јp<Ґ, простір функцій, аналітичних в куті

C(a,b):={z:a<arg z<b},

для яких

Відомо, що функції з цих просторів мають м. с. на ¶C(a,b) кутові граничні значення, які належать Lp[¶C(a,b)].

Teoрeма 2.3. Якщо для функції f0О Ls1(¶C+) знайдеться така функція f2, що виконуються умови а)-в) теореми 2.1 і

е) для f2 існує скінченна лінійна комбінація g(z) функцій системи

(1)

m(z):=f2(z)-g(z)e2iszОL1[¶C(-p/2;0)],

то існує функція

fОHs1 (C+),

що має f0 своєю кутовою граничною функцією.

Якби вдалося показати, що для кожної jОE1[C(-p/2;0)] і заданого s>0 можна підібрати скінченну лінійну комбінацію g(z) функцій системи (1) так, що

(j(z)-g(z))e2iszОL1[¶C(-p/2;0)]

то умову е) в теоремі 2.3 можна було б опустити. Ми, проте, доводимо лише наступне твердження.

Теорема 2.4. Cистема (1) є повною у просторі

Зауважимо, що для функції

fОHsp (C+), 1Јp<+Ґ,

існує сингулярна гранична функція h, яка з точністю до адитивної сталої і значень в точках неперервності визначається рівністю

У підрозділі 2.2 центральним результатом є наступне факторизаційне твердження.

Теорема 2.5. Нехай послідовність (ln) комплексних чисел із C+, незростаюча на (-Ґ;Ґ) функція h, похідна якої м. с. рівна нулеві і функція f0:¶C+® C задовольняють умови

(2)

(3)

(4)

де

Тоді функція

(5)

(6)

Навпаки, якщо функція fT0 задовольняє умову (6), то вона подається у вигляді (5), де f0- кутова гранична функція на ¶C+ функції f, h- її сингулярна гранична функція, причому h'(t)=0 для майже всіх tОR, (ln) - послідовність нулів функції f і виконуються умови (2)-(4), причому добутки та інтеграли в (5) збігаються абсолютно та рівномірно на кожному компакті із C+.

З цієї теореми одержуємо повний опис повних мір за термінологією А.Гришина. Цьому результату можна надати наступну форму.

Теорема 2.6. Для того, щоб існувала функція

fОHsp(C+), 1Јp<Ґ, fT0,

послідовність нулів, сингулярна гранична функція і модулі кутових граничних значень якої співпадають відповідно з (l), h, і |f0(it)|, необхідно і досить, щоб функція h була незростаючою, причому h'(t)=0 м. с. і виконувались умови (2)-(4).

З теореми 2.5 одержуємо також повний опис модулів кутових граничних значень.

Теорема 2.7 Для того, щоб існувала функція fT0, що

fОHsp(C+), 1Јp<Ґ,

модулі кутових граничних значень якої м. с. на ¶C+ співпадають з |f0(it)|, необхідно і досить, щоб виконувалось (3) і

Відмітимо, що теореми 2.5-2.7 для випадку p=Ґ встановлені Б. Винницьким та В. Шараном, які спиралися на деякі результати Н. Говорова.

При s=0 з теорем 2.6 та 2.7 отримуємо добре відомі твердження про опис нулів, сингулярних граничних функцій та модулів кутових граничних функцій у класах Гарді

Hp(C+), 1Јp<Ґ.

Розділ 3 присвячений дослідженню існування розв'язків рівняння згортки в півсмузі та задачі про повноту системи

(7)

у просторі

Hs2(C+), s>0.

Щоб сформулювати потрібні результати, позначимо через Ep[Ds] i E*p[Ds] простори функцій f, аналітичних відповідно в

i , для яких

де супремум береться за всіма відрізками g, які лежать відповідно в Ds i Ds* і є паралельними одній зі сторін ¶Ds. Функції із цих просторів мають м. с. ¶Ds на кутові граничні значення, які позначаємо через f(z) i fОLp[Ds]. Розглядаємо рівняння

(8)

де f шукається у класі E2[Ds]. Б. Винницький показав, що рівняння (8) має лише нульовий розв'язок тоді і тільки тоді, коли система (7) є повною в Hs2(C+), де

(9)

При цьому рівність (9) задає взаємно однозначне відображення простору на і справедлива двоїста формула

(10)

Нехай Ts2(C-)- функціональний простір, який складається з усіх впорядкованих трійок (F1 ,F2 ,F3) функцій F1, F2 і F3 таких, що

F1(z)e-iszОH2(C-), F3(z)eiszОH2(C-),

F2- ціла функція експоненціально-го типу s, що належить L2 на дійсній осі і

F1(z)+F2(z)+F3(z)є0, zОC-.

Тоді, як показав Б. Винницький, рівності

(11)

де l1 i l3- півпрямі ¶Ds, що лежать відповідно під і над дійсною віссю, а l2- відрізок [-is ;is], орієнтація яких узгоджена з додатним обходом Ds, задають взаємно однозначне відображення E2[Ds] на Ts2(C-) і справедлива двоїста формула

У підрозділі 3.1 знаходимо розв'язки вищенаведених задач у термінах аналітичного продовження.

Теорема 3.1 Нехай функція gО E*2[Ds] є такою, що

для функції G, визначеної рівністю (9), справедливе представлення

є) G=G+-G_, де G+(z)e-is z ОH2(C+), G_(z)eisz ОH2(C+).

Тоді для того, щоб функція fО E2[Ds] була розв'язком рівняння

(8), необхідно і досить, щоб функція

F1(iy)=G(iy)F1(iy), (12)

де F1 визначена формулою (11), була кутовою граничною функцією на ¶C+ такої функції P1, що

P1(z)e-is z ОHs1 (C+)$.

При s=0 з теореми 3.1 одержуємо відомий критерій існування розв'язку рівняння

(13)

у класі L2(-Ґ;0), яке можна вважати граничним випадком (при s=0) рівняння (8).

Теорема 3.2. Нехай функція gОE*2[Ds] така, що для функції G, визначеної рівністю (9), виконується умова

ж) G(x)ln (2+x)О L2(0;+Ґ).

Тоді для того, щоб функція fОE2[Ds ] була розв'язком рівняння (8), необхідно і досить, щоб функція F(iy), визначена рівністю (12), була кутовою граничною функцією на ¶ C+ такої функції

P1, що P1(z)e-isz ОHs2 ( C+)$.

З останньої теореми одержуємо наступний критерій існування розв'язків рівняння (8).

Теорема 3.3. Для того, щоб рівняння (8), мало нетривіальний розв'язок у класі E2[Ds ], необхідно і досить, щоб існувала така функція fОE2[Ds ], f№ 0, що функція F1(iy), визначена рівністю (12), є кутовою граничною функцією на ¶ C+ такої функції P1, що

P1(z)e-isz e-c1zОHs2 ( C+)

для деякого c1і0.

Зауважимо, що функція f, яка фігурує в останній теоремі, не обов'язково є розв'язком рівняння (8).

Вищенаведені твердження можна сформулювати для системи (7). Зробимо це, наприклад, для теореми 3.3.

Теорема 3.6. Для того, щоб система функцій (7) не була повною у просторі , необхідно і досить, щоб існувала функція

(F1,F2,F3)О Ts2( C_), (F1,F2,F3 )№ (0,0,0) і стала c2і0,

такі, що функція F1(iy), визначена рівністю (12), є кутовою граничною функцією на ¶ C+ такої функції P1, що

P1(z)e-isz e-c2zОHs2 ( C+).

При доведенні теореми 3.3 істотно використовується наступне твердження, яке не має аналогу для рівняння (13).

Лема 3.4. Нехай cОR- таке число, що

Gс(z):=eczG(z)О Hs2 (C+).

Рівняння (8) має ненульовий розв'язок тоді і тільки тоді, коли рівняння

де

має ненульовий розв'язок.

Останнє твердження разом з теоремою 2.5 показує, що існування нетривіальних розв'язків рівняння (8) залежить лише від властивостей повної міри, за термінологією A. Гришина, функції G, визначеної рівністю (9). Далі ми досліджуємо цю залежність.

У підрозділі 3.2 вивчаємо питання про існування розв'язків рівняння (8) та повноту системи (7) у випадку, коли сингулярна гранична функція функції G не є сталою.

Теорема 3.8. Якщо сингулярна гранична функція h функції G,

визначеної рівністю (9), не є тотожною сталою, то рівняння (8) має ненульовий розв'язок у класі E2[Ds ].

Відмітимо, що за теоремою Берлінга-Лакса аналогічне твердження справедливе для рівняння (13). У випадку, коли сингулярна гранична функція h(t) функції G має в точці t=a стрибок іb, знаходимо конкретний вигляд розв'язків.

Теорема 3.9. Якщо сингулярна гранична функція функції GОHs2 (C+) не є тотожною сталою, то система (7) не є

повною у просторі Hs2 (C+).

У підрозділі 3.3 розглядаємо питання про узагальнення теореми Берлінга-Лакса. Центральними тут є наступні дві теореми.

Теорема 3.10. Нехай функція gОE2[Ds ] є такою, що

функція G, визначена рівністю (9), має вигляд

(14)

і

(15)

Тоді рівняння (8) має лише нульовий розв'язок у просторі E2[Ds ].

Розвиваючи деякі результати Б.~Винницького, одержуємо наступне твердження.

Теорема 3.13. Нехай функція gО E2[Ds ] є такою, що функція G, визначена рівністю (9), має вигляд (14) і

(16)

Тоді рівняння (8) має ненульовий розв'язок у просторі E2[Ds ].

Зауважимо, що теореми 3.10 та 3.13 вказують на те, що на відміну від випадку s=0, на наявність нетривіального розв'язку рівняння (8) впливає і поведінка модулів кутових граничних значень функції G.

Враховуючи теореми 2.5, 3.9 і теорему 1.14, теореми 3.10 та 3.13 можна сформулювати у вигляді наступного твердження.

Теорема 3.17. Нехай GОHs2 (C+). Тоді для того, щоб система (7) була повною у просторі Hs2 (C+), необхідно, щоб G не мала нулів у C+, її сингулярна гранична функція була тотожною сталою та виконувалась умова

(17)

і досить, щоб G не мала нулів у C+, її сингулярна гранична функція була тотожною сталою та виконувалась умова (15).

Теорема 3.18. Нехай sО(0;+Ґ). Тоді для того, щоб функція GОHs2 (C+) була зовнішньою для Hs2 (C+), необхідно, щоб вона подавалась у вигляді (14) та виконувалась умова (17) і досить, щоб вона подавалась у вигляді (14) та виконувалась умова (15).

Нам не вдалося з'ясувати, чи є система (7) повною в Hs2(C+),

Коли

(при s1=s, як показав Б. Винницький, вона не є повною, при s=0 повнота системи (7) випливає з теореми 3.17). Це стримало подальше просування в окресленому колі питань.

Висновки

У дисертаційній роботі вивчаються властивості раніше розглянутого Б.Винницьким простору

Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ, 0<s<+Ґ,

який з одного боку є узагальненням класичних просторів Гарді у півплощині, а з іншого аналогом для півплощини класу Пелі-Вінера цілих функцій. Одержано розв'язок ряду актуальних задач в цьому напрямку, і, зокрема, вперше отримано:

I) узагальнення теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі для простору

Hs1 (C+),s>0;

II) факторизацію та повний опис повних мір, за термінологією А.Гришина, функцій з простору

Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ, s>0;

III) критерій існування нетривіальних розв'язків рівняння типу згортки і повноти систем експонент з вагою в

Hs2 (C+),s>0

у термінах аналітичного продовження;

IV) теорему про залежність повноти системи експонент з вагою в Hs2 (C+) та існування розв'язків відповідного рівняння типу згортки від сингулярного множника;

V) опис функцій в Hs2(C+), для яких система експонент з вагою повна в Hs2(C+) і відповідне рівняння типу згортки має лиш тривіальний розв'язок.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях умов повноти систем аналітичних функцій, а також при розв'язуванні рівнянь типу згортки, в теорії інтерполяції.

Більшість результатів мають форму критеріїв, для інших вказано можливі шляхи їх уточнення. При їх отриманні використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в наступних статтях і наукових повідомленнях

1. Винницький Б.В., Дільний В.М. Про один аналог теореми Пелі-Вінера для вагових просторів Гарді // Матем. студії - 2000. - 14. - №1. - C.35-40.

2. Дільний В. М. Про один варіант теореми Пелі-Вінера //

Вісник Харківського національного університету. Серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2000. - №475. -

C.45 - 48.

3. Дільний В.М. Про розв'язки однорідного рівняння згортки в одному класі функцій Гарді-Смірнова // Матем. студії - 2000. - 14. - №2. - C.171-174.

4. Дільний В.М. Про повноту однієї системи функцій у кутовій області // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, №2. - C.255-257.

5. Дільний В.М. Про граничні значення функцій, аналітичних у півплощині // Матеріали VII міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука - К. - 2000. -С.271.

6. Дільний В.М. Повнота систем експонент у кутовій області

// Міжн. наук. конф. "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь". Тези доповідей. - К. - 2001. -С.53.

Анотація

Дільний В. М. Деякі властивості функцій, аналiтичних у пiвплощинi, та їх застосування . - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. - Львiвський національний унiверситет iмені Iвана Франка, Львiв, 2001.

У дисертацiйнiй роботi для одного експоненціально-вагового класу Гарді у півплощині отримано опис кутових граничних значень у термінах перетворення Фур'є-Лапласа, повний опис повних мір у термінології Гришина та факторизацію а також аналог теореми Берлінга-Лакса про повноту системи експонент з вагою.

Ключовi слова: функція, аналітична у півплощині; кутові граничні значення; ваговий простір Гарді; факторизація; повна міра аналітичної функції; повнота системи функцій; рівняння згортки; теорема Берлінга-Лакса.

Summary

Dilnyi V. M. Some properties of functions, analytic in the half-plane and it applications. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2001.

In the thesis we obtain description of angle bounded values in terms of Fourier-Laplace transform, complete description of complete measure in Grishin's terminology, factorisation for one weigted Hardy space and analogue of Beurling-Lax theorem about completness of weighted system of exponents.

Key words: analytic in the half-plane function; angle bounded values; weighted Hardy space; factorisation; complete measure of analytic function; completness of function system; convolution equation; Beurling-Lax theorem.

Аннотация

Дильный В. Н. Некоторые свойства функций, аналитических в полуплоскости, и их применения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2001.

Исследуются аналоги классических результатов, касающихся пространств Харди в полуплоскости, для одного экспоненциально-весового пространства Харди в полуплоскости

Hsp (C+), 0<s<+Ґ, 1Ј p<+Ґ.

Диссертация состоит из введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации 132 страницы. Список используемых источников включает 119 наименований.

Во введении дано обоснование актуальности темы, приводятся цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов, количество публикаций.

В первом разделе дан обзор работ, в которых исследуются классические и весовые пространства Харди в полуплоскости, уравнения типа свёртки, полнота весовых систем экспонент в функциональных пространствах, а также формулируются основные результаты диссертации.

Во втором разделе получено описание угловых граничных значений функций из Hs1(C+) в терминах преобразования Фурье-Лапласа, факторизационная теорема и полное описание полных мер в терминологии А. Гришина для

Hsp(C+), 1Јp<+Ґ.

В третьем разделе получен критерий полноты одной системы экспонент с весом в Hs2(C+) терминах аналитического продолжения и некоторые количественные условия полноты вышеуказанной системы. Указаны аналоги утверждений этого раздела для одного уравнения типа свёртки в полуполосе.

Ключевые слова: функция, аналитическая в полуплоскости; угловые граничные значения; весовое пространство Харди; факторизация; полная мера аналитической функции; полнота системы функций; уравнение свсртки; теорема Бёрлинга-Лакса.

Размещено на Allbest.ru

...