Элементарные функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Элементарные функции

Введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

1. Свойства и графики элементарных функций

1.1 Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида f(x)=x, где - любое действительное число, называемое показателем степени.

Свойства степенной функции.

Область определения степенной функции - множество всех положительных чисел.

Область значения степенной функции - множество всех положительных чисел.

Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

Степенная функция непрерывна во всей области определения.

Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x)= .x-1.

Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.

При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 - вогнутостью вниз.

Графики степенной функции при некоторых значениях приведены на Рис. 1 и Рис. 2.

математический функция графический

1.2 Квадратичная функция

Функция f(x)=ax2+bx2+c, где a, b, c - некоторые действительные числа (a0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Квадратичная функция может быть приведена к виду

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата.

1.3 Свойства квадратичной функции и ее график

Область определения квадратичной функции - вся числовая прямая.

При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция - четная.

Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

Область изменения функции: при a>0 - множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +); при a<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) - образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).

График функции

f(x)=ax2+bx+c

(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax, где а - некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а=1 далее не будет рассматриваться.

Свойства показательной функции.

Область определения функции - вся числовая прямая.

Область значения функции - множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax) =axlna

При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.

График показательной функции - кривая, направленная вогнутостью вверх.

График показательной функции при значении а=2 изображен на рис. 5



Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции y=ax, называют логарифмической и обозначают

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают

lg x,

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают

ln x.

Свойства логарифмической функции

Область определения логарифмической функции - промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции - вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(loga x) = 1/(x ln a).

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает. При любом основании a>0, a1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

При а>1 график логарифмической функции - кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

График логарифмической функции при а=2 изображен на рис. 6.

Основное логарифмическое тождество

Обратной функцией для показательной функции y=ax будет логарифмическая функция x =loga y. По свойствам взаимно обратных функций f и f-I для всех x из области определения функции f-I(х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид

alogay=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством. При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga (x)= loga x ( - любое действительное число);

logaa=1;

loga x =( logb x/ logb a) (b - действительное число, b>0, b1).

В частности из последней формулы при а=е, b=10 получается равенство

ln x = (1/(ln e))lg x. (3)

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде

lg x =M ln x.

Обратно пропорциональная зависимость

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k - некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать x независимой переменной, а y - зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

Свойства функции y = k/x

Область определения функции - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Область значения функции - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Функция f(x) = k/x - нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x) = -k/x2. Функция критических точек не имеет.

Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в (-, 0) и (0, +), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке (0, +) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (-, 0) - вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

График функции f(x) = k/x для значения k=1 изображен на рис. 7.

тригонометрические функции

Функции sin , cos , tg , ctg называются тригонометрическими функциями угла . Кроме основных тригонометрических функций sin , cos , tg , ctg существуют еще две тригонометрические функции угла - секанс и косеканс, обозначаемые sec и cosec соответственно.

sin х

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

Область определения - множество всех действительных чисел.

Область значения - промежуток [-1; 1].

Функция sin х - нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при x (2n; +2n), n Z,

sin х<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z, и убывает при x ((/2)+2n; ((3)/2)+ 2n), n Z.

Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2n, n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n, n Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой.

Свойства функции cos х

Область определения - множество всех действительных чисел.

Область значения - промежуток [-1; 1].

Функция cos х - четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n)), n Z,

cos х<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n), n Z,

и убывает при x (2n; + 2n), n Z.

Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2n, n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2n, n Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.

Свойства функции tg х

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n, n Z.

Область значения - множество всех действительных чисел.

Функция tg х - нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,

tg х<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos2 x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой.

Свойства функции сtg х.

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n Z.

Область значения - множество всех действительных чисел.

Функция сtg х - нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,

ctg х<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin2 x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (n; (n+1)), n Z.

График функции y=сtg х изображен на рис. 11.



Свойства функции sec х.

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида

х=(/2)+n, n Z.

Область значения:

(-; 1][1; +).

Функция sec х - четная: sec (-х)= sec х.

Функция sec х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

sec (х+2)= sec х.

Функция sec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

sec х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sec х<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(sec х) =sin x/cos2 x.

Функция sec х возрастает в промежутках

(2n; (/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n], n Z,

и убывает в промежутках

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

График функции y=sec х изображен на рис. 12.

Свойства функции cosec х

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n Z.

Область значения:

(-; -1][1; +).

Функция cosec х - нечетная: cosec (-х)= -cosec х.

Функция cosec х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

cosec (х+2)= cosec х.

Функция cosec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

cosec х>0 при x (2n; +2n), n Z,

cosec х<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

Функция cosec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(cosec х) =-(cos x/sin2 x).

Функция cosec х возрастает в промежутках

[(/2)+ 2n; + 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n], n Z,

и убывает в промежутках

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

График функции y=cosec х изображен на рис. 13.



2. Мои примеры графиков

График степенной функции.

График квадратичной функции

График показательной функции

График логарифмической функции

График функции y=k/x

Список использованной литературы

A.Г. Цыпкин «Справочник по математике», М., 1979 г.

Ш.А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.

А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991г.

Размещено на Allbest.ru

...