Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СИМЕТРІЙНІ ВЛАСТИВОСТІ І ТОЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ НЕЛІНІЙНИХ ГАЛІЛЕЙІНВАРІАНТНИХ РІВНЯНЬ

Глєба Аліна Володимирівна

УДК 517.9

01.01.03математична фізика

Київ2003

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Полтавському національному технічному

університеті імені Юрія Кондратюка .

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Сєров Микола Іванович,

Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка,

завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

БІЛОКОЛОС Євген Дмитрович,

Інститут магнетизму НАН України,

завідувач відділу теоретичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЮРИК Іван Іванович,

Національний університет харчових технологій,

доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка.

Захист відбудеться “22” квітня 2003 р. о 15.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою : 01601, Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано “ 17 ” березня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, Романюк А.С

доктор фізико-математичних наук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Знаходження точних розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних є найважливішим етапом математичного опису природи. Принципи симетрії дозволяють з усіх можливих математичних моделей відбирати саме ті, яким властива висока симетрія. Цей критерій задовольняють основні рівняння математичної фізики.

Основа симетрійного аналізу диференціальних рівнянь була закладена ще в 19 столітті видатним норвезьким математиком Софусом Лі. Він перший застосував цю теорію до конкретних рівнянь і за допомогою групових перетворень знайшов їх точні розв'язки. Теорія Лі одержала подальший розвиток в роботах багатьох математиків. Такі відомі вчені, як Ж.Пуанкаре, Е.Ньотер, Г.Бейтмен, В.Смірнов, С.Соболєв, Г.Біркгоф ефективно використали симетрійні властивості рівнянь для знаходження їх точних розв'язків. Л.В.Овсянніков розробив теорію інваріантних і частково-інваріантних розв'язків диференціальних рівнянь. Декілька нових напрямків дослідження симетрії диференціальних рівнянь було розроблено В.І. Фущичем та його учнями. Вони розвинули, зокрема, поняття неліївської та умовної симетрії.

Не зважаючи на те , що теорія груп Лі зробила вагомий внесок в розвиток математичної фізики, вона продовжує свій розвиток в роботах Н.Ібрагімова, П.Олвера, П.Вінтерніца, П.Кларксона, А.Г.Нікітіна, Р.З.Жданова, М.І.Сєрова, В.К.Тичиніна, В.М.Штеленя та ін.

Дисертація присвячена дослідженню симетрійних властивостей і знаходженню точних розв'язків нелінійних галілей-інваріантних диференціальних рівнянь та систем математичної фізики, які узагальнюють класичні рівняння Шредінгера, Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Нав'є-Стокса.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету ім. Ю. Кондратюка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є застосування методів ліївських та умовних симетрій для дослідження симетрійних властивостей і знаходження точних розв'язків нелінійних галілей-інваріантних диференціальних рівнянь та систем математичної фізики, які узагальнюють класичні рівняння Шредінгера, Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Нав'є-Стокса.

Головна увага зосереджена на класифікації цих рівнянь і систем, інваріантних відносно груп Галілея. Для більшості рівнянь, які досліджено в роботі, знайдені інваріанти, побудовано анзаци, проведена редукція і одержані деякі точні розв'язки. Причому, для побудови анзаців, за якими проводилась редукція, використовувались як ліївська так і умовна симетрія вказаних рівнянь. Ліївські перетворення інваріантності досліджених рівнянь використані також для побудови формул розмноження їх розв'язків. В роботі використовуються методи сучасного групового аналізу , методи ліївських та умовних симетрій, загальної теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики.

Наукова новизна одержаних результатів.

В дисертаційній роботі вперше одержані такі результати:

1. Досліджена галілеївська інваріантність циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера з нелінійною правою частиною. У випадку довільної степеневої нелінійності симетрійні властивості даного рівняння застосовані для побудови анзаців, редукції та знаходження точних розв'язків. Побудовані формули розмноження розв'язків цього рівняння.

2. Проведена симетрійна класифікація узагальненого рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно алгебр Галілея. При конкретній нелінійності дане рівняння редуковане до рівнянь з меншою кількістю незалежних змінних .

3. Досліджена Q-умовна симетрія рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно інволютивної множини двох операторів. Одержані результати використані для побудови точних розв'язків.

4. Знайдене узагальнення рівняння Гамільтона-Якобі на випадок системи рівнянь відносно двох функцій u1 i u2 , інваріантне відносно розширеної алгебри Галілея в просторі .

5. Проведена класифікація систем рівнянь конвекції-дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

Досліджена максимальна симетрія даних систем, інваріантних відносно алгебри AG2 (1,1).

Проведена редукція системи рівнянь конвекції-дифузії з логарифмічною нелінійністю.

6. На основі досліджень, наведених в попередньому пункті, розглянута модифікована система рівнянь Нав'є-Стокса. Досліджені її симетрійні властивості, які використані для редукції, знаходження точних розв'язків та побудови формул розмноження розв'язків цієї системи.

Побудовано клас важливих з точки зору фізики математичних моделей, що задовольняють принцип відносності Галілея: циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера, рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю, система рівнянь Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, модифікована система рівнянь Нав'є-Стокса.

З використанням симетрійних властивостей були одержані класи точних розв'язків цих рівнянь. Дані розв'язки можуть бути застосовані при вивченні конкретних фізичних процесів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Одержані результати є новими і можуть бути використані в прикладних задачах математичної та теоретичної фізики, гідродинаміки, квантової механіки, теорії дифузійних процесів тощо.

Особистий внесок здобувача. Керівництво над дисертацією та постановка задач здійснювалась науковим керівником, професором, доктором фізико-математичних наук Сєровим М.І. Розв'язування та обгрунтування поставлених задач проводилось автором.

У публікаціях із співавторами особисто автором були одержані такі результати:

1. Сєров М.І., Сєрова М.М., Глєба А.В. Симетрійні властивості та деякі точні розв'язки нелінійного циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера //Доп. НАН України. - 1998. - №5. - С. 41- 45.

Особистий внесок: доведена теорема про інваріантність нелінійного циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера відносно узагальненої алгебри Галілея АG2(1, n-1). Проведена редукція даного рівняння до рівняння з меншою кількістю незалежних змінних у випадку n = 3 та одержані точні розв'язки рівняння.

2. Сєров М.І., Сєрова М.М., Глєба А.В. Некласичне узагальнення, симетрійні властивості та точні розв'язки системи рівнянь Нав'є-Стокса //Доповіді НАН України.- 2000. - №1. - С. 17-21.

Особистий внесок: Доведена теорема про симетрійну класифікацію системи рівнянь Нав'є-Стокса відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних і проективних перетворень, симетрійні властивості використані для побудови точних розв'язків цієї системи у випадку .

3. Фущич В.І., Сєров М.І., Сєрова М.М., Глєба А.В. Ліївська та умовна симетрія системи рівнянь Гамільтона-Якобі //Доповіді НАН України. - 1998. - №12. - С.49 - 52.

Особистий внесок: проведено дослідження ліївської та умовної симетрії систем рівнянь Гамільтона-Якобі.

4. Сєров М.І., Глєба А.В. Симетрійна класифікація і точні розв'язки рівнянь Шредінгера з деривативною нелінійністю// Вісник Київського університету. - 2000. - вип.№2. - С.106-112.

Особистий внесок: проведена симетрійна класифікація рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно алгебри Галілея та її розширень, одержані результати використані для побудови точних розв'язків рівняння.

5. Сєров М.І., Глєба А.В., Подошвєлєв Ю.Г. Симетрійні властивості систем рівнянь Гамільтона // Міжнар. Конф. "АSYM-97", Київ, 1997. - С. 157-158.

Особистий внесок: Знайдені точні розв'язки системи рівнянь Гамільтона-Якобі, доведена теорема про еквівалентність між реалізацією алгебри інваріантності одержаної системи та реалізацією конформної алгебри.

6. Tulupova L.O., Gleba A.V. The symmetry properties of the generalized Burger's system // Proc. ІІ International Conf. “ Symmetry In Nonlinear Math. Phys.” - Vol.2. - Kyiv: Institute of Mathematic. - 1997. - P. 463 - 466.

Особистий внесок: доведена теорема про інваріантність узагальненої системи рівнянь Бюргерса відносно алгебри Галілея та її розширень оператором масштабних та проективних перетворень. Досліджена максимальна симетрія системи, яка інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея.

7. Cеров Н.И., Яременко В.И., Глеба А.В. Математическая модель описания скорости пульсации при прохождении газа в диффузоре трубы Вентури //Всеукр. науково-метод. конф. "Екологія та інженерія. Стан, наслідки, шляхи утворення екологічно чистих технологій." Збірка доповідей - Дніпродзержинськ: Дніпродзерж. держ. техн. університет. - 1996. - С.146 - 148.

Особистий внесок: Одержано рівняння моделі, що описує швидкість пульсації при проходженні газу в дифузорі труби Вентурі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на об'єднаному семінарі з математичної фізики Інституту математики НАН України, на наукових семінарах кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету, на Міжнародній конференції "Асимптотичні та якісні методи теорії нелінійних коливань" ІІІ-ті Боголюбівські читання (Київ, 1997р.), на Всеукраїнській науково-методичній конференції "Екологія та інженерія. Стан, наслідки, шляхи утворення екологічно чистих технологій" (Дніпропетровськ, 1996 р.), на ІІ Міжнародній конференції "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, 1997).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-7].

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, двох розділів, висновків та списку використаних джерел. Об'єм роботи 120 сторінок машинописного тексту. Список використаних джерел включає 119 найменувань, в тому числі 56 -- іноземними мовами.

ЗМІСТ РОБОТИ

нелінійний рівняння галілей інваріантний

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проведено огляд робіт по темі дисертації. Сформульовані основні поняття та визначення, що використовуються в роботі. Наведено короткий опис результатів дисертації.

Розділ 1 присвячений дослідженню ліївської та умовної симетрії рівнянь шредінгерівського типу: циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера з функціональною нелінійністю та рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю.

В 1.1 розглянуте узагальнене нелінійне циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера вигляду:

де - комплексна функція, , m - const, , , яке при конкретних нелінійностях має широкий спектр фізичних застосувань: в розповсюдженні хвиль в нелінійних та розсіяних середовищах; в квантовій теорії поля; в часозалежній моделі фазових переходів Ландау-Гінзберга та розповсюдженні повільно розбіжних електромагнітних хвиль в плазмі; в теорії слабо нелінійних розсіяних водяних хвиль; в нелінійній динаміці надрідких тонких оболонок, для яких є хвильовою функцією, в теорії світлових хвиль.

Поставлена задача: при яких нелінійностях рівняння (1) буде інваріантним відносно алгебри Галілея, доповненої операторами масштабних та проективних перетворень. З одержаних результатів випливає, що дане рівняння є інваріантним відносно узагальненої алгебри Галілея AG2 (1, n 1) тоді, коли

де і k 0 довільні сталі.

У випадку симетрія даного рівняння використана для побудови анзаців, редукції та знаходження його точних розв'язків. Точні розв'язки циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера будуються за допомогою анзацу

,

де нова невідома комплексна функція, інваріанти, а функція має вигляд:

,

де деякі дійсні диференційовні функції. У випадку, коли k = 2, N=1 рівняння (1) відіграє важливу роль в теорії світлових хвиль. Використавши його симетрійні властивості одержуємо, наприклад, що один з інваріантних розв'язків даного рівняння має вигляд:

.

Наведена формула зводить розв'язування рівняння (1) до диференціального рівняння з меншою кількістю змінних:

;

В кінці підрозділу приведені формули розмноження розв'язків рівняння (1) з нелінійністю (2).

В підрозділі 1.2 вивчені симетрійні властивості рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю

, (3)

де - комплексні функції, а = 1; 2, яке, зокрема, описує розповсюдження нелінійних поляризованих хвиль в плазмі. Була проведена класифікація цього рівняння відносно алгебр Галілея в залежності від вигляду нелінійності. Одержаний результат можна сформулювати у вигляді твердження.

Теорема 1. Рівняння (3) є інваріантним відносно алгебри Галілея з базисними операторами:

У випадку, коли (3) має вигляд:

,

досліджена максимальна алгебра інваріантності. Симетрійні властивості використані для знаходження інваріантів, анзаців, проведення редукції та побудови точних розв'язків. Наведемо деякі з точних розв'язків даного рівняння :

де С1, С2, С3 довільні сталі.

В цьому ж підрозділі розглянуті симетрійні властивості рівняння Шредінгера вигляду:

, (4)

де - довільні комплексні сталі (0), F - комплексна функція, .

Теорема 2. Рівняння (4) інваріантне відносно алгебр Галілея з базисними елементами:

коли , - довільна стала, є С (0).

Підрозділ 1.3 присвячений вивченню Q умовної симетрії одновимірного рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю

,

де - довільна гладка комплексна функція , = (х), х = (х0, х1) R2 відносно інволютивної множини двох операторів.

Оператори умовної інваріантності використані для побудови точних розв'язків даного рівняння. Нижче наведені деякі результати в такому порядку: рівняння, відповідні оператори симетрії та розв'язок:

; ,

де довільна дійсна функція ;, де , при умові: ; де R, .

У розділі ІІ вивчаються симетрійні властивості рівнянь, що узагальнюють важливі з точки зору фізики еволюційні рівняння: Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Нав'є-Стокса.

В 2.1 вивчена ліївська та умовна симетрія системи рівнянь Гамільтона-Якобі вигляду:

В результаті проведених досліджень встановлено, що якщо вимагати збереження симетрії класичного рівняння Гамильтона-Якобі з відповідним розширенням її з простору в простір , то таким узагальненням буде система трьох рівнянь вигляду:

Використовуючи знайдену заміну змінних

встановлено, що реалізація алгебри інваріантності одержаної системи еквівалентна реалізації конформної алгебри АС (1+1, n+1).

Другий підрозділ 2.2 даного розділу присвячений дослідженню системи рівнянь конвекції-дифузії

, (5)

, , і (a, b = 1; 2)

яка при конкретних нелінійностях описує не тільки процеси конвекції-дифузії, але й використовується в теорії густих частотних полів, в загальних розтягах і деформаціях скінченних середовищ, подібних до розтягів Хабла всесвіту в астрофізиці, в явищах турбулентної дифузії, в процесах, пов'язаних з рідинами Ван дер Ваальса .

В 2.2.1 проведена класифікація нелінійностей при яких система (5) інваріантна відносно алгебри Галілея AG (1, 1) = . В результаті одержано декілька різних представлень алгебри Галілея, яка при відповідних нелінійностях залишає інваріантною систему (5).

Теорема 3. Система (5) інваріантна відносно алгебри Галілея у випадках:

Всюди вище довільні диференційовні функції, , k - довільна стала.

Як було показано в 2.2.2, вигляд функцій , одержаних в попередньому пункті уточниться, якщо вимагати інваріантність системи відносно розширеної алгебри Галілея AG1 (1, 1) = .

Теорема 4. Система рівнянь (5) інваріантна відносно розширеної алгебри Галілея у випадках:

З результатів дослідження випливає, що деякі з алгебр Галілея AG (1, 1) не підлягають розширенню оператором ділатації, а деякі - можуть бути розширені кількома різними способами. Вказані функції , при яких система конвекції-дифузії інваріантна відносно AG1 (1, 1).

В пункті 2.2.3 досліджена інваріантність системи рівнянь конвекції-дифузії відносно узагальненої алгебри Галілея AG2 (1, 1) = , тобто алгебри Галілея AG1 (1, 1), доповненій оператором проективних перетворень. Представлений опис нелінійностей , при яких система конвекції-дифузії інваріантна відносно AG2 (1, 1).

Теорема 5. Система (5) є інваріантною відносно алгебри Галілея AG2 (1,1) = у випадках:

Запропоновано ряд замін, при яких одержані системи рівнянь значно спрощуються і мають такий вигляд:

Так, наприклад, система (6) була одержана з результатів теореми 5 за допомогою заміни:

.

Пункт 2.2.4. присвячений вивченню максимальної симетрії систем рівнянь конвекції-дифузії, інваріантних відносно AG2 (1,1). Одна з таких систем узагальнена на багатовимірний випадок вектора

:

. (8)

.

Досліджена максимальна симетрія даної системи.

Теорема 6. Базис максимальної алгебри інваріантності системи (8) задається операторами:

В 2.2.5 розв'язана задача симетрійної редукції системи рівнянь конвекції-дифузії з логарифмічною нелінійністю (7), інваріантної відносно AG2 (1,1).

В підрозділі 2.3 розглядається модифікована система рівнянь Нав'є - Стокса вигляду:

де - швидкість течії, - густина, р = р (x) - тиск рідини, m - довільна стала, - довільна гладка функція.

Проведена класифікація симетрійних властивостей модифікованих рівнянь Нав'є - Стокса в залежності від f().

Теорема 7. Максимальна в сенсі Лі алгебра інваріантності системи рівнянь (9) задається базисними операторами:

,

якщо довільна гладка функція.

якщо .

,

де ; k, c довільні сталі. Так як система (9) володіє аналогічними симетрійними властивостями як і система рівнянь Нав'є-Стокса, то вона може претендувати для опису тих гідродинамічних процесів, в яких кількість функцій u не співпадає з кількістю незалежних змінних.

У випадку, коли система (9) має найбільш широку симетрію: при , побудовані інваріанти, анзаци, одержані системи редукованих рівнянь , виписані точні розв'язки. При цьому розв'язки знаходяться за допомогою анзацу:

,

де інваріанти, задані функції, довільні гладкі функції, а = 1; 2, b = 1; 2. Наведемо деякі з них:

де s, l - довільні сталі, а C1, С2 - константи інтегрування.

В кінці підрозділу побудовані формули розмноження розв'язків рівняння.

У висновках коротко сформульовані результати дисертаційної роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ПОЛОЖЕННЯ

1. Встановлено, що циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера з нелінійною правою частиною інваріантне відносно узагальненої алгебри Галілея при довільній степеневій нелінійності. Симетрійні властивості даного рівняння застосовані для побудови анзаців, редукції та знаходження його точних розв'язків. Побудовані формули розмноження розв'язків цього рівняння.

2. Проведена симетрійна класифікація відносно алгебр Галілея узагальненого рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю, що дало змогу провести редукцію даного рівняння до рівнянь з меншою кількістю незалежних змінних .

3. Досліджена Q-умовна симетрія рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно інволютивної множини двох операторів. Одержані результати використані для побудови точних розв'язків.

4. Знайдене узагальнення рівняння Гамільтона-Якобі на випадок двох функцій u1 i u2, інваріантне відносно розширеної алгебри Галілея в просторі . Встановлена еквівалентність між реалізацією конформної алгебри АС (2, n+1) та реалізацією алгебри інваріантності одержаної системи.

5. Проведена класифікація системи рівнянь конвекції-дифузії інваріантних відносно алгебр Галілея AG (1,1), AG1 (1,1), AG2 (1,1). Зокрема встановлено, що відносно узагальненої алгебри Галілея АG2 (1,1) інваріантні п'ять різних систем конвекції-дифузії, які локальними перетвореннями не зводяться одна до одної.

Досліджена максимальна симетрія даних систем, інваріантних відносно алгебри AG2 (1,1).Проведена редукція системи рівнянь конвекції-дифузії з логарифмічною нелінійністю.

6. На основі досліджень, наведених в попередньому пункті розглянута модифікована система рівнянь Нав'є-Стокса. Досліджені її симетрійні властивості, які використані для редукції, знаходження точних розв'язків та побудови формул розмноження розв'язків цієї системи.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Сєров М.І., Сєрова М.М., Глєба А.В. Симетрійні властивості та деякі точні розв'язки нелінійного циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера //Доп. НАН України. - 1998. №5. - С. 41- 45.

2. Фущич В.І., Сєров М.І., Сєрова М.М., Глєба А.В. Ліївська та умовна симетрія системи рівнянь Гамільтона-Якобі //Доповіді НАН України. - 1998. №12. - С.49 - 52.

3. Сєров М.І., Сєрова М.М., Глєба А.В. Некласичне узагальнення, симетрійні властивості та точні розв'язки системи рівнянь Нав'є-Стокса //Доповіді НАН України.- 2000. №1. - С. 17-21.

4. Сєров М.І., Глєба А.В. Симетрійна класифікація та точні розв'язки рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук.- 2000. - вип. № 2. - С. 106 - 112.

5. Сєров М.І., Глєба А.В., Подошвєлєв Ю.Г. Симетрійні властивості систем рівнянь Гамільтона // Міжнар. Конф. "АSYM-97", Київ, 1997. - С. 157-158.

6. Tulupova L.O., Gleba A.V. The symmetry properties of the generalized Burger's system // Proc. ІІ International Conf. “ Symmetry In Nonlinear Math. Phys.” - Vol.2. - Kyiv:Institute of Mathematic. - 1997. - P. 463 - 466.

7. Cеров Н.И., Яременко В.И., Глеба А.В. Математическая модель описания скорости пульсации при прохождении газа в диффузоре трубы Вентури //Всеукр. науково-метод. конф. "Екологія та інженерія. Стан, наслідки, шляхи утворення екологічно чистих технологій." Збірка доповідей - Дніпродзержинськ: Дніпродзерж. держ. техн. університет. - 1996. - С.146 - 148.

ГЛЄБА А.В. Симетрійні властивості і точні розв'язки нелінійних галілей-інваріантних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 математична фізика Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

Захищається дисертація , присвячена дослідженню симетрійних властивостей нелінійних галілей-інваріантних рівнянь.Проведена класифікація ряда галілей-інваріантних рівнянь відносно різних представлень алгебри Галілея та її розширень. Досліджені їх симетрійні властивості. За допомогою інваріантів ліївської та умовної симетрії були побудовані анзаци та проведена редукція цих рівнянь до звичайних диференціальних рівнянь або до диференціальних рівнянь з меньшою кількістю змінних. Побудовані точні розв'язки досліджених рівнянь математичної фізики та виписані формули розмноження розв'язків.

Ключові слова: симетрія, інваріантність, алгебра Галілея, конформна алгебра, нелінійний, анзац, інваріант, редукція, оператор.

ГЛЕБА А.В. Симметрийные свойства и точные решения нелинейных галилей-инвариантных уравнений. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2003.

Защищается диссертация, посвященная исследованию симметрийных свойств нелинейных галилей-инвариантных уравнений. Проведена классификация относительно различных представлений алгебры Галилея и ее расширений таких галилей-инвариантных уравнений, как цилиндрично-симметричного уравнения Шредингера с функциональной нелинейностью, уравнения Шредингера с деривативной нелинейностью, систем уравнений Гамильтона-Якоби, конвекции-диффузии, Навье-Стокса.

Одной из наиболее важных задач является нелинейное обобщение классического уравнения Шредингера с сохранением его инвариантности относительно алгебры Галилея, а также построение его точных решений, которые можно найти используя, как лиевскую, так и условную симметрии данного уравнения. Для цилиндрично-симметричного уравнения Шредингера с функциональной нелинейностью в этом направлении была поставлена задача: при каких нелинейностях данное уравнение будет инвариантным относительно алгебры Галилея, дополненной операторами масштабных и проективных преобразований. В результате проведенных исследований получено, что данное уравнение является инвариантным относительно обобщенной алгебры Галилея в случае произвольной степенной нелинейности. В случае трех пространственных переменных были найдены инварианты, анзацы, проведена редукция и выписаны некоторые точные решения цилиндрично-симметричного уравнения Шредингера. Построены формулы размножения решений.

Обобщенное уравнение Шредингера с деривативной нелинейностью проклассифицировано относительно различных представлений алгебры Галилея и ее расширений. При конкретной нелинейности данное уравнение редуцировано к уравнениям с меньшим количеством независимых переменных . Построены некоторые его точные решения.

Исследована Q-условная симметрия уравнения Шредингера с деривативной нелинейностью относительно инволютивного множества двух операторов. Полученные результаты использованы для построения точных решений.

Предложен вариант системы, которая обобщает классическое уравнение Гамильтона-Якоби системой уравнений относительно двух функций u1, u2. При этом основная цель такого обобщения состояла в том, чтобы не только сохранить симметрийные свойства, которыми владеет классическое уравнение Гамильтона-Якоби, но и существенно их расширить за счет большего числа неизвестных функций. В результате получено, что реализация алгебры инвариантности построенной системы еквивалентна реализации конформной алгебры АG (1+1, n+1), где роль второго времени и n+1 пространственной переменной играют функции u1, u2. Вследствие того, что симметрийные свойства полученной системы оказались шире, чем у классического уравнения Гамильтона-Якоби, данная система может быть претендентом для описания реальных физических процессов.

Аналогичная задача решена для системы уравнений Навье-Стокса. Предложен аналог системы уравнений Навье-Стокса для случая вектора скорости течения произвольной размерности, инвариантный относительно алгебры Галилея. Симметрия полученной системы использована для построения ее точных решений в случае . Выписаны формулы размножения решений модифицированной системы уравнений Навье-Стокса.

Одномерное уравнение конвекции-диффузии обобщено системой двух уравнений относительно двух функций u1, u2 и одной пространственной переменной. Проведена симметрийная классификация полученной системы относительно различных представлений алгебры Галилея и ее расширений операторами масштабных и проективных преобразований. В результате проведенных исследований выяснилось, что система владеет самой широкой симметрией в случае экспоненциальной, логарифмической и степенной нелинейностей.

Исследована максимальная симметрия систем, инвариантных относительно обобщенной алгебры Галилея и выполнена симметрийная редукция системы уравнений конвекции-диффузии с логарифмической нелинейностью.

Ключевые слова: симметрия, инвариантность, алгебра Галилея, конформная алгебра, нелинейный, анзац, инвариант, редукция, оператор.

GLEBA A.B. Symmetry properties and exact solutions of nonlinear galiley-invariant equations. - Manuskript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, spesiality 01.01.03 mathematical physics - Institute of Mathematics, National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2003.

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of nonlinear galiley-invariant equations. The classification of a number of galiley-invariant equations was conducted with respect different representations of Galilean's algebras. The symmetry properties were investigated. Lie's and conditional symmetries were used for building invariants of Galilean's algebra. These invariants were used for building anzatses and reduction equations to ordinary or partial differential equations with a lesser number of unknown values. Exact solutions of investigate equations are built and formulae of generating solutions are received .

Key words: symmetry, invariance, Galilean's algebra, conformal algebra, nonlinear, anzats, reduction, invariant, operator.

Размещено на Allbest.ru

...