Апроксимативні властивості середніх Чезаро кратних ортогональних рядів та сталі Уітні

Размещено на http://www.allbest.ru/

OДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. І.І. МЕЧНИКОВА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АПРОКСИМАТИВНІ ВЛАСТИВОСТІ СЕРЕДНІХ ЧЕЗАРО КРАТНИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ РЯДІВ ТА СТАЛІ УІТНІ

01.01.01 - математичний аналіз

КОВАЛЕНКО ЛАРИСА ГРИГОРІВНА

Одеса - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Південноукраїнському державному педагогічному університеті ім. К.Д. Ушинського (м. Одеса) і в Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Андрієнко Віталій Опанасович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова професор кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Боднар Дмитро Ількович, Тернопільська академія народного господарства, завідувач кафедри інтелектуальної власності та інформаційного права;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Бойцун Лілія Георгіївна, Дніпропетровський національний університет, доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра математичного аналізу, Міністерство освіти і науки України, м. Київ.

Захист відбудеться “ 13 “ лютого 2004 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 41.051.05 при Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса , вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий “ 10 ” січня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

АНОТАЦІЯ

Коваленко Л.Г. Апроксимативні властивості середніх Чезаро кратних ортогональних рядів та сталі Уітні. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, Одеса, 2003.

В дисертації знайдено точну швидкість чезарівського підсумовування м.с. додатного, вiд'ємного та змiшаного порядків кратних рядів Фур'є за умов класичного типу на коефіцієнти ряду. Доведена необхідність цих умов на класі всіх рядів Фур'є. Знайдені також нові асимптотична та абсолютна оцінки найменших сталих в нерівностях Уітні для простору L[0,1], що покращують відомі раніше оцінки такого типу.

Ключові слова: пiдсумовування м.с., методи Чезаро, сталі Уітні.

чезарівський кратний ряд ортогональний

ABSTRACT

Kovalenko L.G. Approximative properties of Cesаro means of multiple orthogonal series and Whitney constants. Manuscript.

The thesis for Candidate of Science or Ph. D. degree in Physics and Mathematics specialization 01.01.01 - mathematical analysis. Odessa I.I. Mechnikov National University, Odessa, 2003.

The submitted thesis is devoted to finding exacte estimates of the rate of Cesаro summability a.e. of positive, negative and mixed orders of multiple Fourier series under coefficient conditions of classical type. The necessity of these conditions has been proved for the class of all Fourier series. New asymptotic and absolute estimates have been found for minimal constants in Whitney inequality in L[0,1] - space. They improve the estimates of this type obtained before.

Key words: summability a.e., Cesаro methods, Whitney constants.

АННОТАЦИЯ

Коваленко Л.Г. Аппроксимативные свойства кратных ортогональных рядов и константы Уитни. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Одесса, 2003.

В диссертационной работе рассматриваются две задачи: о точной скорости приближения суммируемых с квадратом функций средними Чезаро их общих ортогональных разложений в кратном случае и об улучшении известных оценок минимальных постоянных в неравенствах Уитни.

Первые две главы диссертации посвящены изучению аппроксимативных свойств средних Чезаро кратных рядов Фурье. Рассматривается произвольное пространство положительной меры. В предположении условий классического типа на коэффициенты ряда получены точные на классе всех кратных рядов Фурье оценки скорости суммирования п.в. методами Чезаро положительного, отрицательного и смешанного порядков. Доказана необходимость рассматриваемых условий на классе всех рядов Фурье. Метод доказательства полученных результатов является развитием в кратном случае основных идей В.И. Коляды и В.А. Андриенко о сведении изучения скорости чезаровского суммирования п.в. к задаче о скорости сходимости п.в. и о порядке роста некоторых подпоследовательностей частных сумм ортогональных рядов специального вида. Этот подход использовался В.И. Колядой (для (С,1) - средних) и В.А. Андриенко (в общем случае чезаровских методов) для однократных рядов.

В третьей главе работы найдены новые асимптотическая и абсолютная оценки минимальных постоянных в неравенствах Уитни для пространства L[0,1], которые улучшают известные ранее оценки такого типа. Для получения этих оценок мы модифицировуем метод Ю.В. Крякина, который, в свою очередь, является развитием идеи Б. Сендова о представлении интегрируемой функции через алгебраический многочлен и остаток, оцениваемый модулем непрерывности этой функции.

Ключевые слова: суммирование п.в., методы Чезаро, константы Уитни.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Класичну теорію підсумовування однократних ортогональних рядів за довільними ортонормованими системами (ОНС) започатковано роботами Д.Є. Меншова, С. Качмажа, А. Зигмунда, які були опубліковані у 1925 - 1927 роках. Зокрема, у роботах Д.Є. Меншова та С. Качмажа було знайдено достатню на класі всіх ОНС коефіцієнтну умову підсумовування майже скрізь (м.с.) загальних однократних ортогональних рядів методами Чезаро додатного порядку і доведено, що знайдену умову, взагалі кажучи, покращити неможливо. Для чезарівських методів від'ємного порядку достатню умову підсумовування м.с. встановили Г. Суноуті і С. Яно (1950 р.). Пізніше Д.В. Брегвадзе (1993 р.) показав, що твердження Г. Суноуті та С. Яно у загальному випадку посилити не можна.

Одержані результати зробили можливим вивчення багатьох питань про порядок наближення сумовних з квадратом функцій однієї змінної середніми Чезаро їх загального ортогонального розвинення, або, іншими словами, про швидкість чезарівського підсумовування м.с. однократних рядів Фур'є за довільними ОНС. З тих пір у цьому напрямку було проведено значну кількість досліджень. Перші результати у важливому випадку чезарівських методів - методу середніх арифметичних (С,1) отримали Й. Медер, К. Тандорі, Г. Алексіч, Д. Кралік, Л. Лейндлер (1957-1963 рр.). Питання про точну швидкість (С,1) - підсумовування вперше розглядалося у роботі В.О. Андрієнка (1967 р.). Остаточне розв'язання задачі про точну швидкість (С,1) - підсумовування м.с. однократних рядів Фур'є було знайдено В.І. Колядою у 1973 р. Для методів чезарівського підсумовування довільного додатного та від'ємного порядкiв перші окремі результати про точну швидкість отримали В.О. Андрієнко та Л.В. Грнєвська (1982-1985 рр.). Повністю розв'язав задачу про точну швидкість підсумовування м.с. однократних рядів Фур'є методами Чезаро довільного порядку В.О. Андрієнко у 1989 р.

Останні чотири десятиріччя інтенсивно розвивається загальна теорія підсумовування кратних ортогональних рядів (як відомо, ця теорія має суттєві відмінності від однократного випадку). Зокрема, у 80-90 -х роках XX сторіччя К. Тандорі, Ф. Моріцем та Д.В. Брегвадзе розроблялась теорія чезарівського підсумовування м.с. подвійних ортогональних рядів за довільними ОНС. Було знайдено достатні умови чезарівського підсумовування м.с. додатного, невід'ємного, від'ємного порядку та доведено, що знайдені достатні умови для методів (C,1,1), (C,1,0) і методів будь-якого від'ємного порядку, взагалі кажучи, посилити неможливо. Відносно швидкості чезарівського підсумовування були відомі окремі результати Ф. Моріца. У загальному випадку питання про швидкість чезарівського пiдсумовування м.с. кратних рядів Фур'є дотепер залишалося нез'ясованим.

Питання покращання оцінок найменших сталих у нерівностях Уітні, яке розглядається у другій частині роботи, тісно пов'язане з досить актуальною останні 20 років задачею знаходження точних значень цих сталих. Така задача вперше була поставлена Б. Сендовим на початку 80-х років у зв'язку з частим використанням нерівностей Уітні для оцінок похибки широкого класу чисельних методів наближення (інтерполювання, квадратурних формул та ін.). Цій тематиці присвячені роботи Б. Сендова, К. Іванова, М. Такєва, П. Бінєва, Ю.В. Крякіна, О.Д. Желнова. Знаходження точних значень цих сталих у більшості випадків і на сьогодні є актуальною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження частково проводилися в рамках держбюджетних наукових проектів “Проблеми апроксимації в задачах оптимального управління та оптимізація нерівностей в теорії апроксимації” (0100V000957), “Дослідження лінійних операторів у гільбертовому просторі та лінійних стаціонарних систем. Методи апроксимації в теорії оптимального керування” (0101U000273) на кафедрі математичного аналізу Південноукраїнського державного педагогічного університету (2000 - 2002 рр.) і є також складовою частиною досліджень, що виконуються за проектом Державного Фонду Фундаментальних Досліджень (грант Ф7/329-2001) на кафедрі математичного аналізу Інституту математики, економіки та механіки Одеського національного університету.

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження першої частини роботи є методи чезарівського підсумовування м.с. кратних рядів Фур'є за довільними ОНС. Мова йдеться про методи Чезаро різних порядкiв: додатного, від'ємного та змішаного.

Предмет дослідження першої частини роботи - точна на класі всіх ортогональних рядів швидкість чезарівського підсумовування м.с. кратних рядів Фур'є за довільними ОНС.

Мета першої частини дисертаційної роботи полягає у знаходженні точних на класі всіх кратних рядів Фур'є оцінок швидкості підсумовування м.с. методами Чезаро рiзних порядкiв. Для цього ми використовуємо методи класичного аналізу, теорії міри та інтеграла, сильні методи теорії збіжності та підсумовування м.с. однократних ортогональних рядів, розроблені Д.Є. Меншовим, А. Зиґмундом, С. Качмажем і модифіковані пізніше у роботах К. Тандорі, В.І. Коляди, В.О. Андрієнка.

Об'єктом дослідження другої частини роботи є нерівність Уітні в інтегральній метриці.

Предмет дослідження другої частини роботи - найменші сталі в нерівностях Уітні для простору L[0,1].

Мета другої частини дисертаційної роботи полягає у покращанні відомих оцінок сталих Уітні в метриці L[0,1]. За основу ми приймаємо метод доведення теореми Уітні, запропонований Ю.В. Крякіним, що використовує аналог представлення Б. Сендова інтегровної функції через алгебраїчний многочлен та залишок, який оцінюється через модуль неперервності цієї функції.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати роботи є новими і полягають у наступному:

- одержано оцінки швидкості підсумовування м.с. кратних рядів Фур'є за довільними ОНС в довільному просторі з додатною мірою методами Чезаро додатного, від'ємного та змішаного порядків;

- доведено, що у випадку скінченної, неатомічної міри знайдені оцінки є точними на класі всіх рядів Фур'є, а коефіцієнтні умови, що розглядаються, - необхідними для справедливості відповідних оцінок на цьому класі;

- покращені відомі асимптотична та абсолютна оцінки найменших сталих у нерівностях Уітні для простору L[0,1].

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані в теорії наближення функцій, теорії ортогональних рядів та в апроксимаційних задачах.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження і загальна постановка задач першої частини роботи належить науковому керівникові В.О. Андрієнку. Постановка задачі другої частини роботи, розробка загального методу дослідження задач такого типу належить Ю.В. Крякіну. Усі наведені без посилань у роботі результати одержані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Подані результати доповідалися на десятій Саратовській зимовій математичній школі (27 січня - 2 лютого 2000 р., Саратов); на Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградського, секція “Теорія наближень та гармонічний аналіз” (21 - 23 серпня 2001 р., Київ); на одинадцятій Саратовській зимовій математичній школі “Современные проблемы теории функций и их приложения” (28 січня - 4 лютого 2002 р., Саратов); на конференції молодих вчених у Московському державному університеті (8 - 13 квітня 2002 р., Москва); на дев'ятій Міжнародній науковій конференції пам'яті М. Кравчука (16 - 18 травня 2002 р., Київ); на науковому семінарі з теорії наближень в Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка (керівник проф. Шевчук І.О.); на науковому семінарі з аналітичної теорії неперервних дробів та їх узагальнень в Інституті прикладних проблем математики і механіки ім. Я.С. Підстригача (м. Львів, керівники проф. Боднар Д.І. та проф. Кучмінська Х.Й.); на семінарах з теорії функцій в Одеському національному університеті (керівник проф. Е.О. Стороженко, неодноразово).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в чотирьох фахових виданнях [1 - 4] та у матеріалах і тезах наукових конференцій [5 - 9]. Роботи [2,3, 5] виконані у співавторстві з науковим керівником - Андрієнком В.О. Науковому керівникові належить постановка задач та визначення напрямку їх дослідження. Конкретні опубліковані результати одержані здобувачем самостійно. Робота [1] виконана у співавторстві з Ю.В. Крякіним. Постановка задачі, розробка методу дослідження задач такого типу, а також лема 1 і теорема 1 належать Ю.В. Крякіну; лема 2 та теорема 2 належать здобувачеві. До дисертації включено тільки результати, одержані здобувачем самостійно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, які включають у собі висновки, та списку використаних джерел, що містить 68 найменувань. Повний обсяг роботи складає 146 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові професору В.О. Андрієнку та професору Вроцлавського університету Ю.В. Крякіну за постановку задач, постійну увагу до роботи та плідні обговорення.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розглянуто суть та стан наукових проблем за темою дисертації, їх актуальність, наведена мета роботи та наукова новизна запропонованих результатів.

Розділи 1,2 присвячено вивченню апроксимативних властивостей середніх Чезаро кратних рядів Фур'є за довільними ОНС. У розділі 1 одержано оцінки швидкості підсумовування м.с. кратних рядів Фур'є методами Чезаро додатного порядку у будь-якому просторі з додатною мірою за коефіцієнтних умов класичного типу. Доведено, що у випадку скінченної, неатомічної міри знайдені оцінки є точними на класі всіх рядів Фур'є, а коефіцієнтні умови, що розглядаються, - необхідними для їх справедливості на цьому класі. У розділі 2 аналогічні оцінки знайдено для середніх Чезаро від'ємного та змішаних порядків.

Для формулювання точної постановки задачі запровадимо деякі позначення. Нехай _ множина точок евклідового простору Rз цілими невід'ємними координатами. Всюди далі вважаємо, що i,k,n є Z, , і якщо x,y є, g(t) - функція однієї змінної, то

, , .

Нехай (X,F,) - довільний простір з додатною мірою, d2, - d - кратна ОНС на X і Ф - множина усіх таких систем. Розглянемо d- кратний ортогональний ряд

x єX (1)

де - кратна послідовність дійсних чисел, які задовольняють умову

 (2)

За теоремою Ріса-Фішера, ряд (1) збігається за метрикою L до деякої функції f є L(X,F,) і є її рядом Фур'є.

Для >-1 означимо середні Чезаро порядку ряду (1):

,

де - біноміальні коефіцієнти, j=1,…,d. Говорять, що ряд (1) підсумовується методом Чезаро порядку (або (С,) -методом) м.с. на множині X, якщо послідовність має м.с. на X скінченну границю, коли .

Ми розглядаємо більш загальну задачу: нехай - неспадна додатна d - кратна (d2) послідовність, прямуюча до нескінченності, коли ; >-1, 0. Треба знайти функцію >0, що має наступні властивості:

(i) якщо

(3)

то для довільної системи єФ м.с. на X

(4)

(ii) у просторі зі скінченною, додатною, неатомічною мірою оцінка (4) є точною на класі всіх кратних рядів Фур'є, тобто для довільної послідовності () знайдеться ортогональний ряд (1) такий, що умова (3) виконується, але для всіх xєX ;

(iii) у просторі зі скінченною, додатною, неатомічною мірою умова (3) для оцінки (4) є необхідною на класі всіх кратних рядів Фур'є, тобто існує ортогональний ряд (1) з коефіцієнтами, які задовольняють умову (2), але

для якого всюди на X.

У роботах В.І. Коляди та В.О. Андрієнка була розв'язана задача про точну швидкість чезарівського підсумовування м.с. однократних рядів Фур'є (d=1) (властивість (iii) не розглядалася). У підрозділах 1.1 та 2.1 дисертації доведено, що цей розв'язок задовольняє також (iii).

Середні Чезаро кратних рядів (1) та їх апроксимативні властивості вивчалися К. Тандорі, Ф. Моріцем, Д. Брегвадзе у випадку . Знайдено достатні умови чезарівського підсумовування м.с. невід'ємного (Ф. Моріц, 1985 р.), від'ємного порядку (Д.В. Брегвадзе, 1993 р.) та доведено, що для методів (C,1,1), (C,1,0) і методів довільного від'ємного порядку на класі всіх подвійних ортогональних рядів знайдені достатні умови посилити неможливо (Ф. Моріц, К. Тандорі, 1986 р., Д.В. Брегвадзе, 1993 р.). Безпосередньо у напрямку досліджень дисертаційної роботи були відомі результати Ф. Моріца для (C,1,1) та (C,1,0) - середніх - оцінки виду (4) для деяких спеціальних послідовностей . Властивості (ii), (iii) знайдених оцінок в роботах Ф. Моріца не досліджувались. Як виявилося, ці результати не були остаточними. Відзначимо також, що доведення Ф. Моріца в значній мірі були засновані на означеннях (C,1,1) та (C,1,0) - середніх, які мали більш простий вигляд у порівнянні з довільними середніми. Застосування цього методу у випадку чезарiвського пiдсумовування м.с. будь-якого порядку не виявлялось можливим.

У першому розділі дисертації сформульована вище задача розв'язана для кратних рядів (1) та середніх Чезаро довільного додатного порядку. Так, на основі теорем 4 - 7 підрозділу 1.2 можна стверджувати, що якщо d- кратна послідовність (n ) > 0 задовольняє умови

і (5)

за кожною змінною та виконана умова (3), то для будь-якого >0 функція за визначається рівністю

, (6)

де , j=1,…,d - сліди послідовності на координатних осях. Ясно, що можна вважати виконаною угоду: (0)=1, j=1,…,d. Перша умова (5) є суттєвою, оскільки вона забезпечує чезарівське підсумовування м.с. будь-якого додатного порядку. У кінці першого розділу показано, що за припущенням (2) суттєвою є і друга умова (5), оскільки подальше підвищення порядку зростання (n) не покращує швидкості підсумовування. Звернемо увагу також на те, що функція залежить лише від n і слідів послідовності (n). Оцінка (6) узагальнює, а в деяких випадках і покращує відомі раніше результати Моріца про швидкість (C,1,1) - підсумовування. Із (6) легко одержати аналог достатньої умови підсумовування м.с. подвійних рядів методами Чезаро додатного порядку, доведеної Ф. Моріцем, на випадок d - кратних рядів (d >2). При цьому будуть виконаними твердження (ii), (iii).

Метод доведення основних результатів першого розділу, на яких базується оцінка (6), є розвитком у кратному випадку основних ідей В.І. Коляди та В.О. Андрієнка про зведення вивчення швидкості чезарівського підсумовування м.с. однократних рядів Фур'є до задачі про швидкість збіжності м.с. та про порядок зростання деяких підпослідовностей часткових сум ортогональних рядів спеціального вигляду. Реалізація цих ідей у кратному випадку має суттєві відмінності. Це пояснюється більш складним виразом для (x) та особливостями теорії збіжності м.с. кратних ортогональних рядів у порівнянні з однократними. У другому розділі дисертаційної роботи аналогічна задача розв'язана для решти можливих чезарівських методів. Відзначимо, що методи чезарівського підсумовування додатного, від'ємного та змішаного порядків, згідно з означенням та властивостями біноміальних коефіцієнтів, суттєво відрізняються. Проте основна ідея першого розділу про зв'язок між чезарівськими середніми додатного порядку ряду (1) та деякою підпослідовністю його прямокутних часткових сум виявляється провідною і для середніх Чезаро інших порядків. Доведення основних результатів другого розділу базуються на ключових зображеннях (x), які знайдено для від'ємного та різних змішаних порядків. Ці зображення розглядуваними умовами, вибором підпослідовностей часткових сум в головній частині зображень та різною поведінкою залишку. Внаслідок цього маємо різну швидкість підсумовування м.с.

У розділі 3 наведено нові асимптотичну та абсолютну оцінки найменших сталих у нерівностях Уітні для простору L[0,1]. Нехай f(x) - вимірна на I =[0,1] функція, f (x)- n-а скінченна різниця з кроком h, - - норма (квазінорма, коли 0< p <1), - інтегральний модуль неперервності n -го порядку, - найкраще наближення функції f (x) алгебраїчними поліномами степеня не вище n за метрикою . Позначимо через простір неперервних функцій і - класичну норму у ньому. В теорії наближень добре відома

Теорема A. Нехай f є L(I ), 0< p. Тоді для будь-якого n є N знайдеться додатна стала (n) така, що

(7)

Найменші з можливих сталих у нерівності (7) називають сталими Уітні.

Теорема А була доведена спочатку для неперервних функцій у роботах Х. Баркіла (n =2 ) та Х. Уітні (n3). Потім Х. Уітні було встановлено її справедливість для обмежених функцій , Ю.А. Брудним - для функцій із L( I ), , та Е.О. Стороженко - у випадку 0<p<1. Ці доведення давали досить грубі оцінки можливих сталих. Питання про знаходження найменших можливих сталих було вперше поставлене Б. Сендовим на початку 80-х років у зв'язку з тим, що теорема Уітні часто застосовувалась для оцінок похибки широкого класу методів наближення і виникла потреба у точних значеннях цих сталих. У 1982 році Б. Сендов запропонував досить сміливу на той час гіпотезу про обмеженість сталих Уітні одиницею. На протязі 1985 - 1998 років були одержані результати К. Іванова і М. Такєва, П. Бінева, Б. Сендова, Ю.В. Крякіна, О.Д. Желнова. На сьогоднішній день гіпотеза Б. Сендова доведена для n=1,2,3,4 Ю.В. Крякіним. Поряд з оцінками величин W(n) з'явилися оцінки сталих Уітні в інтегральній метриці: 30 (Б. Сендов та М. Такєв) і 11, p1 (Ю.В. Крякін). Модифікуючи метод Ю.В. Крякіна, за допомогою якого був доведений останній результат, у третьому розділі дисертації ми одержуємо наступні оцінки: W(n)2(1+2/e)+O(1/ln n), W(n)6,4.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглянуто дві задачі: про точну швидкість наближення сумовних з квадратом функцій середніми Чезаро їх загальних ортогональних розвинень у кратному випадку та про покращання відомих оцінок для найменших сталих у нерівностях Уітні. У перших двох розділах визначені точні апроксимативні властивості середніх Чезаро всіх можливих порядків кратних рядів Фур'є у просторі з довільною додатною мірою. Одержані результати

1) узагальнюють відомі раніше достатні умови чезарівського підсумовування м.с. подвійних рядів Фур'є за довільними ОНС на випадок d - кратних рядів (d 2) та доповнюють їх достатніми умовами (С,) - підсумовування м.с., коли серед чисел , j=1,…,d є як додатні, так і від'ємні, нульові;

2) свідчать про те, що на класі всіх кратних рядів Фур'є ці достатнi умови покращити неможливо;

3) узагальнюють, а в деяких випадках уточнюють і доповнюють відомі теореми Ф. Моріца про швидкість (C,1,1) та (C,1,0) - підсумовування;

4) цілком з'ясовують питання про точну швидкість підсумовування м.с. кратних рядів Фур'є за довільними ОНС методами Чезаро рiзних порядків: додатних, від'ємних та змішаних.

Третій розділ присвячено знаходженню нових, більш точних оцінок сталих Уітні в метриці простору L[0,1]. Отримано наступні асимптотичну та абсолютну оцінки найменших сталих у нерівностях Уітні: : W(n)2(1+2/e)+O(1/ln n), W(n)6,4.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Крякин Ю.В., Коваленко Л.Г. О константах Уитни в класах L// Изв. вузов. Математика. - 1992. - №1. - С. 69 - 77.

2. Андриенко В.А., Коваленко Л.Г. Аппроксимативные свойства средних Чезаро двойных ортогональных рядов// Вісник ОДУ, фіз.-мат. науки. - 2000. - 5, №3. - С. 5 - 11.

3. Андриенко В.А., Коваленко Л.Г. Скорость приближения функций средними Чезаро (С, > 0, 0) двойных ортогональных рядов// Теорія наближення функцій та суміжні питання. Праці ІМ НАН України. - 2002. - 35. - С. 7 - 22.

4. Коваленко Л.Г. Об одном представлении средних Чезаро отрицательного порядка двойных ортогональных рядов// Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2003. - 46, №3. - С. 48 - 53.

5. Андриенко В.А., Коваленко Л.Г. Аппроксимативные свойства средних Чезаро кратных ортогональных рядов // Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения”. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. - 2000. - С. 9.

6. Коваленко Л.Г. Скорость чезаровской суммируемости двойных ортогональных рядов// Теорія наближень і гармонічний аналіз, УМК-2001, секція 10, Тези доповідей. - Київ: ІМ НАН України. - 2001. - С. 27 - 28.

7. Коваленко Л.Г. Скорость приближения функций средними Чезаро двойных ортогональных рядов// Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения.” - Саратов: Изд-во ГосУНЦ “Колледж”. - 2002. - С. 91 - 92.

8. Коваленко Л.Г. Скорость приближения функций средними Чезаро двойных ортогональных рядов// Труды ХХIV Конференции молодых ученых. - Москва: МГУ. - 2002. - С. 81 - 85.

9. Коваленко Л.Г. Скорость приближения функций средними Чезаро отрицательного порядка двойных ортогональних рядов// Матеріали VII Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. - Київ: ІМ НАН України. - 2002 - С. 300.

Размещено на Allbest.ru