Інтерполяційні властивості розв'язків збурених лінійних параболічних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.95

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

Інтерполяційні властивості розв'язків збурених лінійних параболічних рівнянь

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Лопушанський Андрій Олегович

Львів -- 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрi обчислювальної математики і програмування секторіальний диференціювання функція

Національного унiверситету "Львівська політехніка".

Науковий керівник: доктор фiзико-математичних наук, професор Каленюк Петро Іванович, Національний університет "Львівська політехніка", директор Інституту прикладної математики та фундаментальних наук, завідувач кафедри обчислювальної математики і програмування.

Офіційні опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор Лавренюк Сергій Павлович, Львівський національний університет імені Івана Франка, професор кафедри диференціальних рівнянь;

кандидат фiзико-математичних наук, доцент Пукальський Іван Дмитрович, Чернiвецький національний унiверситет імені Ю. Федьковича, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики.

Захист вiдбудеться 20 листопада 2003 року о 15 год. 20 хв. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради К.035.51.07 у Львiвському національному унiверситетi iмені Iвана Франка (79000 м.Львiв, вул. Унiверситетська,1).

З дисертацiєю можна ознайомитися у бiблiотецi Львiвського національного унiверситету iмені Iвана Франка за адресою: м. Львiв, вул. Драгоманова,5.

Автореферат розiсланий 17 жовтня 2003p.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради М.М. Бокало

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія абстрактних параболічних рівнянь, виділена у відомих монографіях Крейна С.Г. (1967) та Хенрі Д. (1985) в окремий напрямок досліджень, сьогодні представлена у працях багатьох авторів. Серед них Соболевский П.Е., Аманн Х., Пазі А., Танабе Н., Горбачук В.І., Горбачук М.Л., Лунарді A., Клемент Ф., Хейманс Х., Ангенент С., ван Дуйн К., де Пахтер Б. та ін.

З іншого боку, відомі результати Агмона С., Ніренберга Л., Дугліса А. та ін. про умови секторіальності регулярних еліптичних операторів пов'язують теорію абстрактних параболічних рівнянь і теорію параболічних диференціальних рівнянь в одне ціле. Дослідження з теорії параболічних диференціальних рівнянь проведене у працях багатьох відомих авторів. Серед них Ейдельман.С.Д., Івасишен С.Д., Фрідман А., Загорський Т.Я., Ладиженська О.А., Солонніков В.А., Уральцева Н.Н. та ін.

Збурення абстрактних параболічних рівнянь необмеженими операторами недостатньо повно вивчені. Важливою для застосувань є побудова таких необмежених збурень секторіальних операторів, при яких збурений оператор залишається секторіальним або володіє багатьма його властивостями. Саме цій проблемі присвячена дисертаційна робота. Використання розвиненої у працях Ліонса Ж.Л., Петре Й., Кальдерона А.П., Крейна С.Г., Берга Й., Лєфстрема Й.,

Трібеля Х.та ін. інтерполяційної техніки дає можливість одержати нові результати в цьому напрямі.

Навіть для незбуреної задачі Коші залишається проблема послаблення умов на неоднорідну частину рівняння, за яких задача залишається коректною. Використовуючи при розв'язуванні цієї задачі неперервний інтерполяційний метод, Грісвард і да Прато одержали нові результати. Застосування інших методів інтерполяції може давати нові результати в обох відзначених напрямах досліджень.

Нові результати можна отримати при застосуванні теорії збурених абстрактних параболічних рівнянь у конкретних випадках, зокрема для регулярного еліптичного диференціального оператора, збурення якого вже може не бути диференціальним оператором.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота тісно пов'язана з науковими дослідженнями факультету прикладної математики Національного університету "Львівська політехніка"та відділу теорії диференціальних рівнянь та теорії функцій Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України, зокрема, її тематика є складовою частиною досліджень по державній науково-дослідній темі "Методи побудови та дослідження розв'язків некласичних крайових задач для лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними" за держреєстраційним номером 0194U029571.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження умов існування та єдиності розв'язків задачі Коші для збурених лінійних параболічних рівнянь з необмеженим замкненим секторіальним оператором від'ємного типу, вивчення властивостей розв'язків і застосування одержаних результатів до збуреної параболічної змішаної задачі.

Задачі дослідження:

-- дослідити умови існування класичних розв'язків задачі Коші дляи неоднорідного параболічного рівняння з правою частиною, заданою в комплексній інтерполяційній шкалі, породженій оператором рівняння;

-- вивчити властивості розв'язків неоднорідних параболічних рівнянь при збуреннях секторіального оператора на дійсних та комплексних проміжних інтерполяційних просторах;

-- застосувати одержані результати до випадку, коли заданий секторіальний оператор задачі Коші є регулярним еліптичним диференціальним оператором в обмеженій області;

-- розробити метод наближення розв'язків збуреної змішаної параболічної задачі, що базується на властивостях аналітичності півгрупи, породженої заданим секторіальним оператором рівняння, на проміжних інтерполяційних просторах у загальному випадку, коли збурюючий оператор не комутує із заданим секторіальним оператором.

Об'єктом дослідження є абстрактна задача Коші з необмеженим замкненим секторіальним оператором від'ємного типу в банаховому просторі, збурена необмеженим оператором, а також відповідна їй змішана задача для збуреного диференціального параболічного рівняння.

Предметом дослідження є

-- умови існування класичних розв'язків збурених неоднорідних параболічних задач;

-- властивості розв'язків;-- оцінка похибки наближення розв'язків.

Методи дослідження. Методи дійсної та комплексної інтерполяції пар банахових просторів, функціональне числення секторіальних операторів та його диференціальні властивості в напрямках некомутуючих збурень на інтерполяційних шкалах проміжних просторів, півгрупові властивості секторіальних операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації:-- одержані умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші для збуреного на комплексній інтерполяційній шкалі лінійного неоднорідного параболічного рівняння; умови на неоднорідну частину рівняння для однорідної задачі Коші, при яких існує єдиний класичний розв'язок, узагальнюють відомі умови Грісварда і да Прато;

-- встановлено умови рівномірної неперервності та рівномірної обмеженості розв'язків задачі Коші для неоднорідного рівняння при збуреннях секторіального оператора в комплексних інтерполяційних шкалах за слабших припущень, ніж відомі, та подано вигляд таких умов у випадку, коли заданий секторіальний оператор є регулярним еліптичним диференціальним оператором, а інтерполяційна шкала збігається зі шкалою беселевих потенціалів;

-- використовуючи відомі результати Сілі і Грісварда про інтерполяцію просторів функцій, які задовольняють крайові умови Шапіро-Лопатинського, одержано узагальнення умов секторіальності Агмона на випадок збурень регулярного еліптичного диференціального оператора на дійсній інтерполяційній шкалі просторів Бєсова;

-- розроблено наближений метод знаходження розв'язків збуреної на дійсній інтерполяційній шкалі просторів Бєсова задачі Коші у загальному випадку, коли збурюючий оператор не комутує із заданим оператором рівняння; метод базується на розвиненій у дисертації техніці диференціювання аналітичних функцій операторного аргументу за некомутативними напрямками на інтерполяційних шкалах проміжних просторів.

Всі названі результати є новими.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони мають застосування в математичній фізиці і можуть бути використані у Львівському національному університеті імені Івана Франка, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича, Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації основні результати отримані автором самостійно. Науковому керівнику належить формулювання задач і керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: IV (13--15 листопада 1995), YII (14--16 травня 1998) та

IX (16--19 травня 2002) міжнародних наукових конференціях ім. акад. М.Кравчука, Міжнародній конференції "Nonlinear differential equations" (1995), Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м.Чернівці, 1998 р.); Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (м.Дрогобич, 1--5 жовтня 2001~р.);

II Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (м. Івано-Франківськ, 26-29 вересня, 2000 р.); Міжнародній конференції "Functional Analysis and its Applications" присвяченій 110-річчю з дня народження Стефана Банаха (м.Львів, 28-31 травня, 2002р.); семінарі кафедрn обчислювальної математики і програмування Національного унiверситету "Львівська політехніка", семінарі із диференціальних рівнянь ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, міському семінарі з диференціальних рівнянь при Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 13 роботах, з яких 7 статей у виданнях, затверджених ВАК України, 6 у матеріалах та тезах міжнародних і всеукраїнських наукових математичних конференцій.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 148 стор. Список використаних джерел включає 64 найменувань і займає 6 сторінок.

Основний зміст дисертаційної роботи

Дисертація присвячена дослідженню властивостей розв'язків лінійнихпараболічних задач, збурених необмеженими операторами. Такі задачі в загальному випадку можна подати у вигляді

тобто простір також буде банаховим, а вкладення неперервним. Припускаємо, що збурюючий оператор є лінійним та необмеженим у вихідному просторі і для його області визначення виконуються вкладення

.

Числовий параметр вважаємо невід'ємним. Початкові дані можуть належати області визначення оператора , або простору . Далі розглядаємо тільки неперервні розв'язки задачі (1) вигляду , які є також функціями параметру . В роботі розглядаються лише такі збурюючі оператори , для яких сума залишається секторіальним оператором над вихідним простором , тобто для яких задача (1) залишається параболічною.

Досліджується окремо частковий випадок задачі (1), коли є регулярним еліптичним оператором у функціональному просторі над обмеженою областю , і який задовольняє умови параболічності Агмона. У цьому випадку відповідна незбурена задача Коші (1) буде звичайною змішаною крайовою задачею для неоднорідного диференціального параболічного рівняння. Рівняння збуреної задачі загалом може не бути диференціальним.

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, вказується зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами, формулюються мета і задачі досліджень, наводиться наукова новизна і практичне значення одержаних у дисертації результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи вводяться основні поняття, формулюються означення, робиться огляд літератури за темою дисертації, наводиться огляд основних напрямків досліджень і отриманих результатів.

Другий розділ має технічний характер, в ньому викладено спеціальне функціональне числення секторіальних операторів, на якому базуються доведення теорем наступних розділів.

Третій розділ присвячено дослідженню збурень задачі Коші (1) в випадку абстрактних операторів та .

Нехай --- промінь відповідний деякому числу . Фіксованому куту в комплексній площині співставимо сектор . Позначаємо та для деякого числа .

Нехай оператор вкладення. Розглянемо множину операторів

,

для яких оператори є визначені для всіх чисел і належать до простору всіх неперервних операторів. Тоді резольвента

в секторі належить алгебрі . Кожен з операторів класу генерує аналітичну півгрупу в просторі і має від'ємний тип .

Зафіксуємо довільний оператор і через позначимо область визначення дробової степені із нормою графіка . Простір --- проміжний для інтерполяційної пари .

Нехай далі та . Якщо на просторі задати норму графіка вигляду , то простори знову утворюють інтерполяційну пару і простір є для цієї пари проміжним.

Теорема 3.2. Нехай задано число та оператори , , .

(a) Для будь-якої вектор-функції існує єдиний розв'язок класу задачі (1) і його можна подати у вигляді

.

Якщо , то розв'язок задачі (1) як вектор-функція параметру , рівномірно неперервний в нулі за нормою простору , тобто,

.

Теорема 3.3. Нехай задано число та оператори , , . Якщо , то існує така стала , що розв'язок задачі (1) задовольняє нерівність

,

де стала не залежить від параметру .

Четвертий розділ роботи присвячений дослідженню властивостей

розв'язків задачі (1) у випадку, коли оператор породжений регулярною еліптичною задачею в обмеженій області.

У п'ятому розділі роботи розвинено метод наближення розв'язків збурених неоднорідних змішаних параболічних задач, який базується на аналітичній залежності розв'язків від збурюючого оператора. Наближені розв'язки будуються за допомогою скінчених ітерацій резольвенти еліптичного оператора.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню умов існування та єдиності, вивченню властивостей розв'язків параболічних задач, збурених на проміжних інтерполяційних просторах. У дисертації:

-- виведені умови існування і єдиності класичного розв'язку задачі Коші для автономного параболічного рівняння у випадку, коли неоднорідна частина належить комплексній інтерполяційній шкалі, породженій оператором рівняння;

-- одержані властивості розв'язків (рівномірна неперервність та рівномірна

обмеженість) задачі Коші для абстрактного параболічного рівняння при збуреннях оператора рівняння в комплексних інтерполяційних шкалах;

-- одержано умови розв'язності та описано властивості розв'язків збуреної задачі у випадку, коли оператор задачі є регулярним еліптичним диференціальним оператором, а інтерполяційна шкала є шкалою беселевих потенціалів;

-- умови Агмона секторіальності операторів, породжених крайовими задачами для диференціальних рівнянь, поширено на випадок збурень таких операторів на дійсній інтерполяційній шкалі Бєсова;

-- розроблена техніка диференціювання аналітичних функцій операторного аргументу в напрямках некомутуючих операторів, заданих на проміжних інтерполяційних просторах;

-- побудовані аналітичні наближення розв'язків збуреної на дійсній інтерполяційній шкалі просторів Бєсова параболічної змішаної задачі, коли збурений оператор не комутує з заданим оператором задачі.

Основні результати дисертаційної роботи є новими, мають завершений характер, їх доведення є повними і вони можуть застосовуватися у прикладних проблемах, пов'язаних з розв'язуванням параболічних рівнянь.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лопушанський А.О. Деякі інтегральні формули для аналітичних функцій над некомутативними банаховими алгебрами// Мат. методи і фіз.-мех. поля. -- 1997. Т. 40, No 3. C. 31--38

2. Лопушанський А.О. Диференціювання аналітичних функцій від секторіальних операторів за некомутативними напрямками// Мат. методи і фіз.-мех. поля. -- 1997. Т. 40, No 4. C. 70--74.

3. Лопушанський А.О. Інтерполяційна оцінка збурень деяких класів еволюційних рівнянь// Вісник ДУ "Львівська політехніка". -- 1998, N 337.- С. 128-130.

4. Lopushanskyy A.O. On analyticity of the solutions of evolutionary equations generated by elliptic operators perturbations// Математичні студії.- 1999.-Т. 12, N 2.- С. 145-148.

5. Лопушанський А.О. Сильно неперервні півгрупи збурень абстрактних параболічних рівнянь//Мат. методи і фіз.-мех. поля. -- 1999.Т. 42, N 3.- C. 75--82.

6. Лопушанський А.О. Інтерполяційні оцінки аналітичних наближень розв'язків збурених параболічних змішаних задач// Вісник Львів. ун-ту. Cер. мех.-мат.- 2000.- Вип. 56.- C. 123-128.

7. Лопушанський А.О. Аналітичні збурення еволюційного рівняння із секторіальним оператором// Зб. наук. праць Ін-ту математики НАНУ "Сучасні проблеми математики". За матерілами Міжн. наук. конф. Чернівці-1998. -- 1998. Част. 3.- C. 33--34.

8. Лопушанський А.О. Ряд Ньютона в некомутативних банахових алгебрах// Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука (13--15 листопада 1995). Тези доповідей. Київ-1995. С.159.

9. Lopushanskyy A.O. Derivate in noncommutative Banach algebras// Int. conf. "Nonlinear differential equations". Book of Abstr.- Kyiv -- 1995. -- P. 61.

10. Лопушанський А.О. Збурення еволюційного рівняння у банаховому просторі// VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. 14--16 травня 1998. Тези доповідей.- Київ-1998. - С. 295.

11. Лопушанський А.О. Про один клас збурень змішаної параболічної задачі//Міжнар. наук. конф. "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь". 1-5 жовтня 2001 р., м. Дрогобич. Тези доповідей. Київ-2001.-C. 84.

12. Лопушанський А.О. Збурення неоднорідних параболічних змішаних задач в шкалі просторів беселевих потенціалів// IX Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. 16--19 травня 2002р., Київ. -- Матеріали конф. Київ - 2002.- C. 321.

13. Lopushanskyy A.O. Ingomogeneous parabolic mixed boundary value problems' perturbation //Int. conf. on Func. Anal. and its Appl. deducated to the 110-th Annyv. of S. Banach.- Lviv. May, 28-31, 2002. - Book of Abstr. - P. 124.

Анотація

Лопушанський А.О. Інтерполяційні властивості розв'язків збурених

лінійних параболічних рівнянь. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

У дисертації для лінійного замкненого секторіального оператора від'ємного типу в банаховому просторі з щільною в областю визначення встановлено нові достатні умови на збурюючий оператор та послаблено відомі умови на функцію , при яких задача Коші має єдиний класичний розв'язок для довільного параметру . Доведено рівномірну неперервність та рівномірну обмеженість розв'язків задачі за параметром .

Подано вигляд таких умов, коли оператор породжений регулярним еліптичним диференціальним оператором в обмеженій гладкій області, а інтерполяційна шкала є шкалою беселевих потенціалів. Знайдено умови секторіальності збурень цього оператора на дійсній інтерполяційній шкалі просторів Бєсова та побудовано аналітичні наближення розв'язків у загальному випадку, коли збурюючий оператор не комутує з заданим оператором.

Ключові слова: абстрактна задача Коші, параболічне рівняння, секторіальний оператор, регулярний еліптичний оператор, збурена задача, класичний розв'язок, інтерполяційна шкала, аналітичні наближення розв'язку.

Abstract

Lopushanskyy A.O. Interpolational properties of solutions of perturbed linear parabolic equations. -- Manusсript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physіcal and Mathematical degree on the speciality 01.01.02 -- Differential Equations. -- Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2003.

New sufficient conditions onto disturbing operator and improved known restrictions onto the function , at which Cauchy problem for linear closed sectorial autonomous operator of negative type in Banach space with dense in domain of definition has the classical solution for arbitrary parameter are established in the thesis. The uniform continuity and the uniform boundedness according the parameter of the solutions of the problem are proved.

The kind of such conditions in case of the operator be the regular elliptic one in bounded smooth domain and the interpolational scale be Bessel potential's one is reduced. The conditions of the sectoriality of the perturbations of such operator on the real interpolational scale of Besov spaces are obtained and the solution's analytic approximations in general case, if the disturbing operator can't commute with the given one, are constructed.

Key words: abstract Cauchy problem, parabolic equation, sectorial operator, regular elliptic operator, perturbed problem, classical solution, interpolational scale, solution's analytic approximations.

Аннотация

Лопушанский А.О. Интерполяционные свойства решений возмущенных линейных параболических уравнений. -- Рукопись.

Дисcертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. - Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2003.

В диссертации исследуются условия разрешимости и свойства решений задачи Коши для возмущенных абстрактных параболических уравнений.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников (64 наименований на 3 страницах) и изложена на 148 страницах.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, указана связь работы с научными программами, планами, темами, сформулированы цель и задачи исследований, обоснована научная новизна и практическое значение полученных в диссертации результатов.

В первом разделе диссертационной работы дан краткий обзор литературы по теме диссертации, обзор основных направлений исследования и полученных результатов.

Во втором разделе получены свойства резольвенты возмущенного оператора для секториального оператора отрицательного типа в банаховом пространстве с областью определения (плотной в ) при возмущениях , где -- числовой параметр, -- линейный непрерывный оператор из в , , -- правильные промежуточные пространства для пары банаховых пространств . Здесь разработана техника дифференцирования аналитических функций операторного аргумента по некоммутирующими направлениями, заданными на , и исследована возмущенная экспонента .

В третьем разделе установлены новые достаточные условия, при которых задача Коши имеет классическое решение для произвольного параметра .

Это условия вида: , ( при ), -- линейный непрерывный оператор из в , , где , -- интерполяционные пространства, порожденые дробными степенями (, соответственно) произвольного секториального оператора отрицательного типа.

Доказана равномерная непрерывность и равномерная ограниченность по параметру решений задачи.

В четвертом разделе приведен вид таких условий, когда оператор является регулярным эллиптическим дифференциальным оператором в ограниченной гладкой области, а интерполяционнная шкала является шкалой бесселевых потенциалов. Здесь найдены условия секториальности возмущений регулярного эллиптического дифференциального оператора на вещественной интерполяционной шкале пространств Бесова.

В пятом разделе построены аналитические приближения решений в общем случае, когда возмущающий оператор не коммутирует с заданным оператором.

Ключевые слова: абстрактная задача Коши, параболическое уравнение, секториальный оператор, регулярный эллиптический оператор, возмущенная задача, классическое решение, интерполяционная шкала, аналитические приближения решения.

Размещено на Allbest.ru