Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ

И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

ФГБОУ ВПО Академия Гражданской Защиты МЧС России

Кафедра №47 «Системного анализа и управления»

Дисциплина «Теория случайных процессов»

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА: «Выбросы случайных процессов »

Выполнил:

студент 302 группы

Артём Алфёров

Проверил:

Добров А.В.

г. Химки - 2014 г.

Содержание

Введение

1. Теоретические сведения

1.1 Понятие случайной функции

1.2 Эргодичность случайного процесса

1.3 Математическое ожидание случайной функции

1.4 Дисперсия случайной функции

1.5 Понятие корреляционной функции случайного процесса

1.6 Метод наименьших квадратов

1.7 Выбросы случайной функции

2. Практическая часть

2.1 Исходные данные

2.2 Решение задания

Заключение

Список литературы



Введение

Теория случайных процессов (случайных функций) - это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Теория случайных процессов- интенсивно развивающийся раздел теории вероятностей, имеющий многочисленные приложения в физике, технике, биологии, медицине, экономике и других областях знаний. Для овладения методами этой теории нужны знания не только в объёме базового курса высшей математики и традиционных разделов курсов теории вероятностей и математической статистики, но и ряда специальных курсов.

В данной курсовой работе проводится исследование из отсчётов некоторого неизвестного стационарного эргодического случайного процесса, подобного исходному. Проводится построение графиков для исходного и нового процессов. Приведены программы, которые служат для расчётов значений в соответствии с нашим заданием.



1. Теоретические сведения

1.1 Понятие случайной функции

Случайной функцией называется такая функция, значение которой при любом фиксированном значении аргумента является случайной величиной

X(t)=о(t).

Конкретный вид случайной функции в определённом эксперименте называется реализацией случайного процесса, траекторией, выборочной функцией.

Случайные функции могут зависеть не от одного а от нескольких переменных. С

Скорость ветра зависит от времени пространственных координат, атмосферного давления, температуры.

Случайные функции нескольких переменных называются случайными полями или многомерными сигналами.

Для случайных полей- время и координаты.

Всё это в зависимости от того какая рассматривается случайная функция, различают скалярные и векторные поля.

1.2 Эргодичность случайного процесса

Рассматриваются понятия эргодичности:

1) Стационарный случайный процесс о(t) обладает эргодическим свойством относительно математического ожидания, т.е математическое ожидание случайного процесса определяется как предел:



Mо =M[о(t)]=,

Если и только если выполняется равенство:

,

Где - корреляционная функция случайного процесса.

2) Стационарный случайный процесс x(t) обладает эргодическим свойством относительно корреляционной функции:

=,

Если выполняется равенство

,

Где - корреляционная функция случайного процесса з(t)= *

Если 1 и 2 условия выполняются то процесс является эргодическим относительно математического ожидания и корреляционной функции.

1.3 Математическое ожидание случайной функции

Математическое ожидание -- среднее значение случайной функции.

mо(t)=



1.4 Дисперсия случайной функции

Дисперсия случайной функции-- мера разброса данной случайной функции, то есть её отклонения от математического ожидания.

Пусть -- функция, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

D[x]=],

где символ обозначает математическое ожидание

1.5 Понятие корреляционной функции случайного процесса

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов Rx(t1, t2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t1 и t2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X(t1) и X(t2) соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция:

Для действительного случайного процесса они определяются следующим образом:

mо(t)=M[о(t)]=,

Kо(t1, t2)= M[о(t1); о(t2)]= ,

Rо(t1, t2)= M[(о(t1)- mо(t1)) *(о(t2)- mо(t2))],

*d d,

()= Rо(t1, t2)+ mо(t1) mо(t2),

Из анализа выражений видно, что ковариационная отличается от ковариационной только наличием детерминированного слагаемого.

mо(t1) mо(t2) - для произвольных моментов t.

: то корреляционная и ковариационная функции совпадают.

Поэтому ковариационная по сравнению с корреляционной содержит только дополнительную информацию о математическом ожидании случайного процесса.

1.6 Метод наименьших квадратов

Функция правдоподобия

Каждое из значений -называется выборочным а их совокупность выборка.

Определение:

Совместное распределение выборочных значений- функция правдоподобия выборки. Выборка- многомерная случайная величина (случайный вектор) которая характеризуется некоторым распределением вероятностных функция правдоподобия.

Метод максимума функции правдоподобия:

Так как ошибки измерений распределены по нормальному закону, то функция правдоподобия имеет вид:

,

Нужно подобрать такие значения параметра «a» которые обеспечивают максимум этой функции.

Максимум функции правдоподобия равносилен минимуму квадратичной формы

,

так как это квадратичная форма, то нужно только воспользоваться условием необходимого существования экстремума функции.

- система линейных алгебраических уравнений (система нормальных уравнений).

Так как число измерений больше чем неизвестных параметров то система имеет, по крайней мере, одно решение.

- информационная матрица метода наименьших квадратов.

,

Если определение этой матрицы 0 значит, она невырожденная система и имеет одно единственное решение.

умножим на

,

- система условных уравнений, которая определяет оценку параметра по методу наименьших квадратов.

- формула метода наименьших квадратов.

1.7 Выбросы случайной функции

Выбросом случайного процесса называют превышение реализацией этого процесса некоторого определённого уровня. Рассмотрим процесс X(t). На рисунке приведена реализация x(t) случайного процесса X(t), пересекающая фиксированный уровень C.

Если рассматриваются только положительные выбросы, то величину И называют длительностью интервалов между выбросами.

Знание статистических характеристик выбросов случайных процессов необходимо при решении многих практических задач.

Среднее число выбросов определяется по формуле:

,

Вероятность того , что будет 0 выбросов

,

Вероятность того , что будет 1 выброс

,

Вероятность того , что будет 2 выброса

,



2. Практическая часть

2.1 Исходные данные

Таблица. 1

t=	1	x=	1,979	t=	26	x=	1,537	t=	51	x=	2,358	t=	76	x=	4,169
t=	2	x=	0,99	t=	27	x=	1,698	t=	52	x=	1,536	t=	77	x=	1,903
t=	3	x=	2,152	t=	28	x=	1,474	t=	53	x=	0,636	t=	78	x=	2,600
t=	4	x=	1,594	t=	29	x=	0,388	t=	54	x=	1,818	t=	79	x=	2,630
t=	5	x=	1,443	t=	30	x=	0,053	t=	55	x=	2,717	t=	80	x=	1,583
t=	6	x=	1,733	t=	31	x=	1,011	t=	56	x=	0,839	t=	81	x=	1,991
t=	7	x=	1,408	t=	32	x=	2,461	t=	57	x=	3,345	t=	82	x=	3,502
t=	8	x=	3,162	t=	33	x=	1,822	t=	58	x=	1,792	t=	83	x=	2,219
t=	9	x=	2,044	t=	34	x=	3,078	t=	59	x=	2,555	t=	84	x=	1,994
t=	10	x=	1,482	t=	35	x=	2,372	t=	60	x=	1,865	t=	85	x=	1,379
t=	11	x=	1,255	t=	36	x=	2,668	t=	61	x=	3,007	t=	86	x=	1,928
t=	12	x=	2,358	t=	37	x=	0,903	t=	62	x=	3,869	t=	87	x=	2,200
t=	13	x=	2,266	t=	38	x=	3,227	t=	63	x=	2,989	t=	88	x=	1,881
t=	14	x=	1,874	t=	39	x=	2,76	t=	64	x=	1,418	t=	89	x=	3,239
t=	15	x=	3,084	t=	40	x=	1,885	t=	65	x=	1,737	t=	90	x=	2,294
t=	16	x=	1,844	t=	41	x=	1,883	t=	66	x=	2,254	t=	91	x=	3,890
t=	17	x=	0,77	t=	42	x=	1,773	t=	67	x=	2,393	t=	92	x=	3,199
t=	18	x=	1,456	t=	43	x=	2,875	t=	68	x=	3,12	t=	93	x=	1,481
t=	19	x=	2,757	t=	44	x=	2,52	t=	69	x=	1,956	t=	94	x=	2,090
t=	20	x=	0,181	t=	45	x=	3	t=	70	x=	2,315	t=	95	x=	3,168
t=	21	x=	1,952	t=	46	x=	2,029	t=	71	x=	0,799	t=	96	x=	2,240
t=	22	x=	1,966	t=	47	x=	2,984	t=	72	x=	2,308	t=	97	x=	1,259
t=	23	x=	1,943	t=	48	x=	1,588	t=	73	x=	1,878	t=	98	x=	0,919
t=	24	x=	1,263	t=	49	x=	2,216	t=	74	x=	1,487	t=	99	x=	2,395
t=	25	x=	1,853	t=	50	x=	1,279	t=	75	x=	2,207	t=	100	x=	0,964

Задание на выполнение курсовой работы

1. Определить:

· является случайный процесс эргодическим относительно автокорреляционной функции;

· математическое ожидание случайной функции;

· дисперсию случайного процесса;

· значения корреляционной функции для различных интервалов времени;

2.Выбрать лучший вид корреляционной функции из следующих:

В качестве критерия принять минимальное значение суммы квадратов остаточных разностей. корреляционный функция квадрат график

3. Для выбранной корреляционной функции определить время корреляции, положив R(ф = 0,1.

4. Определить вероятность того, что на интервале t=100:

· не будет ни одного выброса за уровень, равный - с.к.о. случайной функции;

· будет ровно один выброс за уровень, равный - с.к.о. случайной функции;

· будет ровно два выброса за уровень, равный - с.к.о. случайной функции:

· определить среднее время пребывания случайного процесса выше уровня равного, равный - с.к.о. случайной функции.

2.2 Решение задания

Чтобы определить является ли случайный процесс эргодическим относительно автокорреляционной функции должно выполняться равенство:



корреляционная функция. случайного процесса Значения нового случайного процесса

Определим значения нового случайного процесса по формуле

.

Таблица 2

t=	1	x=	427,300	t=	26	x=	318,910	t=	51	x=	213,827	t=	76	x=	92,402
t=	2	x=	420,499	t=	27	x=	314,113	t=	52	x=	204,246	t=	77	x=	86,63
t=	3	x=	413,999	t=	28	x=	308,259	t=	53	x=	204,652	t=	78	x=	75,526
t=	4	x=	420,920	t=	29	x=	304,364	t=	54	x=	192,338	t=	79	x=	76,822
t=	5	x=	417,011	t=	30	x=	285,294	t=	55	x=	193,117	t=	80	x=	73,898
t=	6	x=	402,879	t=	31	x=	283,16	t=	56	x=	177,114	t=	81	x=	70,482
t=	7	x=	402,050	t=	32	x=	282,015	t=	57	x=	176,936	t=	82	x=	61,224
t=	8	x=	396,934	t=	33	x=	282,252	t=	58	x=	171,062	t=	83	x=	59,509
t=	9	x=	393,398	t=	34	x=	266,115	t=	59	x=	178,097	t=	84	x=	56,332
t=	10	x=	372,602	t=	35	x=	269,184	t=	60	x=	173,207	t=	85	x=	51,572
t=	11	x=	378,90	t=	36	x=	264,327	t=	61	x=	162,347	t=	86	x=	50,979
t=	12	x=	385,251	t=	37	x=	266,137	t=	62	x=	159,380	t=	87	x=	49,507
t=	13	x=	375,826	t=	38	x=	264,054	t=	63	x=	161,621	t=	88	x=	47,819
t=	14	x=	361,614	t=	39	x=	259,786	t=	64	x=	158,911	t=	89	x=	42,752
t=	15	x=	368,792	t=	40	x=	251,318	t=	65	x=	155,939	t=	90	x=	38,690
t=	16	x=	371,513	t=	41	x=	249,054	t=	66	x=	148,379	t=	91	x=	31,48
t=	17	x=	370,319	t=	42	x=	249,968	t=	67	x=	149,890	t=	92	x=	28,413
t=	18	x=	352,345	t=	43	x=	246,074	t=	68	x=	140,99	t=	93	x=	19,546
t=	19	x=	347,478	t=	44	x=	245,782	t=	69	x=	129,869	t=	94	x=	19,30
t=	20	x=	355,705	t=	45	x=	234,745	t=	70	x=	127,885	t=	95	x=	14
t=	21	x=	352,999	t=	46	x=	236,402	t=	71	x=	123,490	t=	96	x=	12,122
t=	22	x=	348,377	t=	47	x=	223,905	t=	72	x=	123,43	t=	97	x=	6,507
t=	23	x=	331,612	t=	48	x=	231,853	t=	73	x=	111,139	t=	98	x=	3,372
t=	24	x=	339,117	t=	49	x=	215,708	t=	74	x=	100,729	t=	99	x=	1,311
t=	25	x=	325,070	t=	50	x=	214,97	t=	75	x=	101,736



Найдем автокорреляционную функцию для процесса

,

Где ;

Используя программу мы получили значения

= 432,81;

= -4,401;

Найдем значения

Таб. 3

0	429,5496	33	284,2855	66	139,0213
1	425,1477	34	279,8835	67	134,6194
2	420,7457	35	275,4816	68	130,2174
3	416,3438	36	271,0796	69	125,8155
4	411,9418	37	266,6777	70	121,4136
5	407,5399	38	262,2757	71	117,0116
6	403,1379	39	257,8738	72	112,6097
7	398,736	40	253,4719	73	108,2077
8	394,334	41	249,0699	74	103,8058
9	389,9321	42	244,668	75	99,40383
10	385,5302	43	240,266	76	95,00189
11	381,1282	44	235,8641	77	90,59995
12	376,7263	45	231,4621	78	86,198
13	372,3243	46	227,0602	79	81,79606
14	367,9224	47	222,6583	80	77,39412
15	363,5204	48	218,2563	81	72,99217
16	359,1185	49	213,8544	82	68,59023
17	354,7166	50	209,4524	83	64,18829
18	350,3146	51	205,0505	84	59,78634
19	345,9127	52	200,6485	85	55,3844
20	341,5107	53	196,2466	86	50,98246
21	337,1088	54	191,8446	87	46,58051
22	332,7068	55	187,4427	88	42,17857
23	328,3049	56	183,0408	89	37,77663
24	323,903	57	178,6388	90	33,37468
25	319,501	58	174,2369	91	28,97274
26	315,0991	59	169,8349	92	24,5708
27	310,6971	60	165,433	93	20,16885
28	306,2952	61	161,031	94	15,76691
29	301,8932	62	156,6291	95	11,36496
30	297,4913	63	152,2272	96	6,963021
31	293,0893	64	147,8252	97	2,561078
32	288,6874	65	143,4233	98	-1,84087

Найдем значения автокорреляционной функции по формуле с помощью программы

Найдем значения корреляционной функции

используя значения автокорреляционной

функции

Значения корреляционной функции

B=20

Проверим, является ли процесс эргодическим относительно корреляционной функции

Для этого должно выполняться равенство:

,

Равенство выполняется

Є

Значит случайный процесс является эргодическим относительно автокорреляционной функции

Математическое ожидание 2,025

Дисперсия случайного процесса

0,673731

Выбрать лучший вид корреляционной функции из следующих:

,

В качестве критерия принять минимальное значение суммы квадратов остаточных разностей.

Используем математическое ожидание для исходного случайного процесса2,062 чтобы найти автокорреляционную функцию для исходного случайного процесса



,

,

Таблица. 4

0	0.68	33	0.048	66	0.073
1	0.015	34	0.059	67	0.028
2	-0.029	35	-0.081	68	-0.006
3	-0.035	36	0.072	69	-0.011
4	-0.011	37	0.042	70	-0.144
5	-0.016	38	0.096	71	-0.053
6	-0.056	39	0.071	72	-0.014
7	-0.095	40	-0.017	73	-0.03
8	0.104	41	-0.134	74	-0.011
9	0.071	42	-0.108	75	-0.145
10	-0.005	43	-0.17	76	0.018
11	-0.068	44	-0.069	77	-0.097
12	-0.061	45	-0.009	78	0.005
13	-0.082	46	0.003	79	0.003
14	-0.063	47	0.153	80	-0.112
15	-0.077	48	0.019	81	0.081
16	-0.017	49	0.027	82	-0.262
17	-0.048	50	-0.124	83	0.142
18	0.066	51	-0.057	84	-0.011
19	0.075	52	-0.144	85	0.218
20	0.043	53	-0.031	86	-0.098
21	-0.001	54	0.086	87	0.427
22	-0.064	55	0.164	88	0.11
23	-0.152	56	-0.083	89	-0.197
24	-0.004	57	-0.002	90	-0.171
25	-0.051	58	0.035	91	0.074
26	-0.032	59	-0.013	92	0.562
27	0.141	60	0.101	93	-0.227
28	0.076	61	-0.136	94	-0.247
29	0.013	62	-0.045	95	-0.369
30	0.201	63	0.132	96	0.695
31	-0.134	64	0.111	97	-0.394
32	0.023	65	0.046

Найдем A и б с помощью метода ньютона

Исходные значения

A=0,638

б= 0,412

Значения на 1-ой ,2-ой и 3-ей итерации

	1-я итерация	2-я итерация	3-я итерация
A	0,471	0,658	0.663
б	0,51	0,914	1.268

Значения на последней итерации

A=0,680

б= 3,925

Результат

A=0,680

б= 3,926

Найдем A, и с помощью метода ньютона

Исходные значения

A=0,638

б= 0.4

в=4

Значения на 1-ой ,2-ой и 3-ей итерации

	1-я итерация	2-я итерация	3-я итерация
A	0,638	0,638	0,638
б	0,57205504	0,822	0.916
в	4.01	4.33	5.24

Значения на последней итерации

A=0,638

б= 1,476

в=4,832

Результат

A=0,680

б= 1,51

в=4,851

,

,

Найдем A, и с помощью метода ньютона

Исходные значения

A=0,638

б= 0,523

в=5,23

Значения на 1-ой ,2-ой и 3-ей итерации

	1-я итерация	2-я итерация	3-я итерация
A	0,638	0,638	0,638
б	0,038	0,05	0,074
в	6,238	6,174	5,895

Значения на последней итерации

A=0,638

б= 1,415

в=5,097

Результат

A=0,680

б= 1,415

в=5,097

Сумма квадратов остаточных разностей равна 2,152138

Таб. 1

Сумма квадратов остаточных разностей	2,153387	2,151153	2,152138

Функция является лучшим видом корреляционной функции для исходного случайного процесса так как сумма квадратов остаточных разностей равна 2,151153

и является минимальным значением среди остальных значений сумм квадратов остаточных разностей.

Для выбранной корреляционной функции определить время корреляции, положив R(ф = 0,1 ф = 0,27544?0,315

4.Определить вероятность того, что на интервале t=100:

· не будет ни одного выброса за уровень, равный - с.к.о. случайной функции; = ±2

При у = 2

5,698328844,



A=0,680

б= 1,415

в=5,097

0,003482951

· будет ровно один выброс за уровень, равный - с.к.о. случайной функции;

0,019847003

· будет ровно два выброса за уровень, равный - случайной функции:

0,009923501

При у = -2

5,680144231

A=0,680

б= 1,415

в=5,097

0,003546432

· будет ровно один выброс за уровень, равный - с.к.о. случайной функции;

0,020144244

· будет ровно два выброса за уровень, равный - случайной функции:

0,010072



Заключение

В данной курсовой работе мы провели исследование из отсчётов некоторого стационарного эргодического случайного процесса и нахождение нового процесса. Проводится построение графиков для исходного и нового процессов. Приведены программы которые служат для расчётов значений в соответствии с нашим заданием.



Список литературы

1. «Введение в теорию случайных процессов», Розанов Ю.А., «Наука », 1982.

2. «Теория случайных процессов, Том 3 », Гихман И.И., Скороход А.В., «Наука », 1975.

3. «Теория случайных процессов, Том 2» Гихман И.И., Скороход А.В., «Наука », 1973.

4. «Основы теории случайных процессов» А. А. Натан, О. Г. Горбачев, С А. Гуз, «Пресс », 2003.

5. «Теория случайных процессов» Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., «Высшая школа », 2000.

Размещено на Allbest.ru

...