Задачі для параболічних та еліптичних рівнянь у необмежених областях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

АВТОРЕФЕРАТ

ЗАДАЧІ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ ТА ЕЛІПТИЧНИХ РІВНЯНЬ У НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичної економіки та економетрії Львівського національного університету імені Івана Франка, Мінінстерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Лавренюк Сергій Павлович, завідувач кафедри математичної економіки та економетрії Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Копитко Богдан Іванович, завідувач кафедри вищої математики Львівського національного університету ім. Івана Франка, доктор фізико-математичних наук, доцент Пукальський Іван Дмитрович, завідувач кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету ім. Юрія Федьковича

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий __” 4 ” квітня _ 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _______ Остудін Б.А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Вивчення нелінійних еліптичних та параболічних рівнянь в необмежених областях без умов на нескінченності почало активно розвиватися з середини 80-х років 20 століття. У праці Х.Брезіса (Brezis) вперше було чітко сформульовано явище, коли однозначна розв'язність задачі Коші не залежить від поведінки розв'язків на нескінченності. Згодом появилась велика кількість праць, в яких досліджувались нелінійні параболічні та еліптичні рівняння, для яких справджується цей ефект (праці Ф.Берніса (Bernis), О.Л.Гладкова, М.Херреро (Herrero), М.М.Бокала, Е.ДіБенедетто (Di Benedetto), К.Марчі(Marchi), А.Тесеі (Tesei), Ж.-Л.Вазкеза (Vazquez)).

У цей же час актуальним залишається вивчення лінійних та нелінійних рівнянь, коректність яких досліджується в класах функцій, що задовольняють певні умови зростання на нескінченності. Одним із визначних результатів у цьому напрямі є праця А.Н.Тихонова, опублікована в 1935р. Ефективним методом дослідження таких рівнянь є метод введення параметра, розроблений О.А.Олійник в 70-х роках 20 століття. Серед нових результатів у дослідженні нелінійних рівнянь зі зростаючими даними є праці А.Є.Шишкова, С.П.Лавренюка, М.Херреро, Ж.Ж.Л.Велазкеза (Velazquez), Е.ДіБенедетто, О.Л.Гладкова.

Варто відзначити, що при дослідженні нелінійних рівнянь типу фільтрації-абсорбції класи функцій, в яких задачі для цих рівнянь є коректними, залежать від показників степенів нелінійностей (надалі коротко говоритимемо „від параметрів нелінійностей”) цих рівнянь. При різних умовах на ці параметри розв'язність одного і того ж рівняння можна досліджувати як без умов на нескінченності так і в класах функцій, що зростають або як експоненціальні, або як степеневі. Причому для деяких рівнянь показано, що при певних умовах на їхні параметри нелінійності неможливим є доведення існування та єдності розв'язку рівняння без умов на нескінченності.

Одним із альтернативних способів дослідження фізичних задач є варіаційні нерівності. Крім того, вони є одним з методів дослідження крайових задач і задач Коші. Результати, одержані для варіаційних нерівностей (існування та єдиність розв'язку), можна інтерпретувати як коректність різноманітних задач для диференціальних рівнянь. Параболічні варіаційні нерівності в необмежених областях з лінійним і напівлінійним еліптичним оператором другого порядку досліджено в працях С.П.Лавренюка, А.Фрідмана (Fridman), К.Урбанської та інших авторів.

Одним із узагальнень рівнянь типу фільтрації-абсорбції є рівняння типу p-Лапласа в анізотропних просторах. Такі рівняння в необмежених областях вивчались у роботах М.М.Бокала.

Актуальним є наступне дослідження в цьому напрямі:

- вивчення коректності крайових задач для нелінійних рівнянь в анізотропних просторах без умов на нескінченності;

- визначення класів коректності для еліптичних та параболічних нелінійних варіаційних нерівностей в необмежених областях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідних державних тем "Розробка теорії класичних та некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей" (номер держреєстрації 0103U001908) та "Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних" (номер держреєстрації 0106U001284), що виконуються у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення коректної розв'язності нелінійних еліптичних та параболічних задач в необмежених областях.

Безпосередніми задачами є:

встановлення існування та єдиності узагальненого розв'язку крайових задач для нелінійних рівнянь в анізотропних просторах без умов на нескінченності;

дослідження нелінійних варіаційних нерівностей та визначення співвідношень між параметрами їхньої нелінійності, при яких такі нерівності є коректними без умов на нескінченності;

дослідження альтернативних випадків, при яких варіаційні нерівності є коректними в певних класах зростання.

Об'єкт дослідження: нелінійні еліптичні та параболічні рівняння в необмежених областях.

Предмет дослідження: умови існування та єдиності розв'язків крайових задач для нелінійних рівнянь та для варіаційних нерівностей в необмежених областях.

Методи дослідження: метод Гальоркіна, штрафа, монотонності (при дослідженні задач в обмежених областях); метод компактності та метод введення параметра (при дослідженні задач в необмежених областях).

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримані такі нові результати.

Для нелінійних рівнянь типу фільтрації-абсорбції в анізотропних просторах визначено умови однозначної розв'язності цих рівнянь в необмежених областях без умов на нескінченності.

Визначено умови коректності для деяких нелінійних варіаційних нерівностей в необмежених областях без умов на нескінченності.

Доведено існування та єдиність розв'язків нелінійних еліптичних та параболічних нерівностей в класах функцій, що зростають на нескінченності.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер і складають певний внесок в теорію нелінійних рівнянь у необмежених областях. Їхні результати можуть бути використані при подальшому дослідженні рівнянь типу фільтрації-абсорбції і систематизації різноманітних випадків їх нелінійності.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільній з науковим керівником праці С.П.Лавренюку належить формулювання задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, Україна, 2004); Конференції молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача (Львів, Україна, 2005); Міжнародній математичній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування". КНУ ім. Т. Шевченка (Київ, Україна, 2005); Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, Україна, 2006); Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-річчю Я.Б. Лопатинського (Львів, Україна, 2006); Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Чернівці, Україна, 2006); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, Україна, 2007); засіданнях міського семінару з диференціальних рівнянь у Львівському національному університеті імені Івана Франка (2005-2007); засіданнях наукового семінару ім. В.Я. Скоробогатька.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 12 працях, з них 5 - у наукових журналах, 7 - у матеріалах і тезах наукових математичних конференцій. Серед публікацій є 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 81 найменування. Загальний обсяг дисертації складає 128 сторінок, список використаних джерел займає 11 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, вказано мету та задачі дослідження, наукову новизну, апробацію одержаних результатів та їхнє практичне значення.

У першому розділі подано короткий огляд тих праць, які безпосередньо стосуються теми дисертаційної роботи.

У другому розділі дисертації вивчено еліптичні та параболічні рівняння в необмежених областях з оператором типу -Лапласа. Розв'язки таких рівнянь лежать в анізотропних просторах. Коректність крайових задач для цих рівнянь досліджена без умов на нескінченності на вихідні дані.

Нехай - натуральні числа, - необмежена область в , - обмежена область в , .

Позначимо . Припустимо, що множина є областю і поверхня є регулярною для кожного . Позначимо .

Розглянемо систему областей , де , , , . Нехай - обмежена область. Позначимо:

- банахів простір з нормою

- банахів простір, що є замиканням в з нормою ;

Для компактності записів введемо позначення

Нехай для деякої області операція - позначає скалярний добуток між просторами та , а - скалярний добуток між просторами та .

В області розглянемо мішану задачу для параболічного рівняння (1)

(2)

(3)

Для параболічного рівняння (4)

розглянемо задачу (4),(2),(3).

В області розглянемо задачу Діріхле (5)

(6)

Означення 2.1. Функцію , яка задовольняє інтегральну рівність

для будь-яких і умову (2), називатимемо узагальненим розв'язком задачі (1)-(3).

Означення 2.2. Функцію , яка задовольняє інтегральну рівність

для будь-яких і умову (2), називатимемо узагальненим розв'язком задачі (4),(2),(3).

Означення 2.3. Функцію , яка задовольняє інтегральну рівність

для будь-яких, називатимемо узагальненим розв'язком задачі (5),(6).

У підрозділі 2.1 доведено одну загальну теорему, яка стверджує про існування розв'язків задач (1)-(3) та (4),(2),(3) в деякій обмеженій області. Доведення базується на методі Гальоркіна та методі монотонності

Теорема 2.1. Нехай і виконуються умови:

;

існує стала така, що м.с. в ; існує таке, що м.с. в .

Тоді існує функція , яка задовольняє рівність для будь-яких і умову .

У підрозділі 2.2 доведено існування узагальненого розв'язку задачі (1)-(3) без умов на нескінченності.

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови:

існує стала така, що м.с. в ; існує таке, що м.с. в .

або .

Тоді існує узагальнений розв'язок задачі (1)-(3).

В основі доведення теореми 2.2 лежить дослідження послідовності функцій, кожна з яких є розв'язком задачі в обмеженій області . Це є один із загальновідомих підходів при вивченні нелінійних рівнянь в необмежених областях. Ключовим питанням у такому випадку є здійснення граничного переходу в нелінійному рівнянні з елементами послідовності. Тут для цього використано метод компактності.

У підрозділі 2.3 доведено існування та єдиність узагальненого розв'язку задачі (4),(2),(3) без умов на нескінченності. Тут для здійснення граничного переходу використано метод, що є аналогом методу монотонності в обмеженій області.

Теорема 2.3 Нехай виконуються умови:

,

;

існує стала така, що м.с. в ; існує таке, що м.с. в ; м.с. в .

і .

Тоді існує і єдиний узагальнений розв'язок задачі (4),(2),(3).

У підрозділі 2.4 отримано аналогічні результати для крайової задачі для відповідного еліптичного рівняння. Завдяки використанню теорем вкладення Соболєва тут умови на параметри є слабшими ніж для параболічного рівняння.

Теорема 2.4 Нехай виконуються умови:

існує стала така, що м.с. в , ; існує таке, що м.с. в ; м.с. в .

і , або.

Тоді існує і єдиний узагальнений розв'язок задачі (5),(6).

У третьому розділі дисертації вивчено варіаційні нерівності в необмежених областях для рівнянь типу фільтрації-абсорбції. Існування та єдиність розв'язків таких нерівностей доведено без умов на нескінченності на вихідні дані.

Нехай - необмежена область в , де ; . Припускаємо, що множина є областю і поверхня є регулярною для кожного . Нехай ; ; ; ; ; - зовнішня нормаль до .

Нехай . Введемо простори (для кожного ):

Нехай такий замкнений простір, що . Крім того, нехай

Через позначимо простір таких функцій , що для кожного , а через - простір таких функцій , що для кожного , де .

Нехай - такий банахів простір, що щільно і неперервно вкладений в (для кожного ).

Нехай - опуклий замкнeний конус в , , . Через позначимо звуження на .

Говоритимемо, що для деякого натурального виконується умова , якщо для кожного існує оператор , який задовольняє умови:

семінеперервний i обмежений;

, ;

і для всіх функцій таких, що .

Говоритимемо, що функції , визначені на , задовольняють відповідно умови і , якщо:

;

;

;

;

;

;

;

;

; , для майже всіх .

Функції , визначені на , задовольняють відповідно умови і , якщо:

;

;

;

;

;

; , для майже всіх .

Говоритимемо, що функції визначені на , задовольняють умови , якщо:

;

;

;

Функції визначені на , задовольняють умови , якщо:

;

( - кількість

різних мультиіндексів довжини );

;

Говоритимемо, що функція задовольняє умови , якщо:

- додатні константи.

Функція задовольняє умови , якщо:

;

- додатні константи, які не залежать від .

Приклад 1. Умову задовольняють зокрема функції

Приклад 2. Умову () задовольняє наприклад функція

Нехай . Розглянемо в області параболічну варіаційну нерівність (7)

Розглянемо в області еліптичну варіаційну нерівність (8)

Розглянемо в області параболічну варіаційну нерівність (9)

Означення 3.1. Функцію , яка задовольняє включення

майже для всіх і нерівність (1) ((3)) для всіх , для всіх , і для всіх функцій таких, що і майже для всіх , будемо називати розв'язком нерівності (1) ((3)) з початковою умовою

Означення 3.2. Функцію , яка задовольняє включення і нерівність (2) для всіх , і для всіх функцій , таких, що , будемо називати розв'язком нерівності (2).

У підрозділі 3.1 доведено існування розв'язків варіаційних нерівностей, досліджуваних у цій дисертації, в обмежених областях. У доведеннях для параболічних нерівностей використано метод штрафа

Нехай задане число, яке задовольняє умову .

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови і, крім того, при при , , , , . Тоді існує функція

майже для всіх , яка задовольняє нерівність

для всіх , для всіх , і для всіх функцій таких, що майже для всіх .

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови і, крім того, при при , , , , . Тоді існує функція

майже для всіх , яка задовольняє нерівність

для всіх , для всіх , і всіх функцій таких, що майже для всіх .

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови і, крім того для , . Тоді існує функція яка задовольняє нерівність

для всіх , і для всіх функцій , .

У підрозділах 3.2, 3.3, 3.4 доведено існування та єдиність розв'язку відповідно нерівностей (7), (8) та (9) без умов на нескінченності.

Теорема 3.4. Якщо виконуються умови і, крім того, , то нерівність (7) може мати лише один розв'язок.

Теорема 3.5. Нехай виконуються умови і, крім того, при при , , . Тоді існує розв'язок нерівності (7).

Теорема 3.6. Нехай виконуються умови і, крім того, . Тоді нерівність (8) може мати не більше одного розв'язку.

Теорема 3.7. Нехай виконуються умови і, крім того, , при . Тоді існує розв'язок нерівності (8).

Теорема 3.8. Якщо виконуються умови і, крім того, , то нерівність (9) може мати лише один розв'язок.

Теорема 3.9. Нехай виконуються умови і, крім того, , при , при , , . Тоді існує розв'язок нерівності (9).

У підрозділі 3.5 наведено інтерпретацію розв'язків однієї із досліджуваних параболічних варіаційних нерівностей. Наведено приклади крайових задач, для яких розв'язок варіаційної нерівності можна інтерпретувати як розв'язок задачі.

У четвертому розділі дисертації вивчено варіаційні нерівності, вихідні дані яких обмежені певними умовами зростання.

Нехай . Розглянемо в області параболічну варіаційну нерівність (10)

Розглянемо в області еліптичну варіаційну нерівність (11)

Означення 4.1. Функцію , яка задовольняє включення , майже для всіх і нерівність (10) для всіх , для всіх , , і для всіх функцій таких, що і майже для всіх , будемо називати розв'язком нерівності (10) з початковою умовою

Означення 4.2. Функцію , яка задовольняє включення , і нерівність (11) для всіх , і для всіх функцій , таких, що , будемо називати розв'язком нерівності (11).

У підрозділі 4.1 встановлено умови існування та єдиності розв'язку нерівності (10) в певному класі зростання, що залежить від параметра .

Нехай задане число, яке задовольняє умову .

Теорема 4.1. Якщо виконуються умови і, крім того, , то для будь-якої сталої нерівність (10) може мати лише один розв'язок в класі функцій, що задовольняють оцінку для всіх , де .

Зауваження 4.1. Зокрема, , у випадку , і , у випадку .

Теорема 4.2. Нехай виконуються умови , і, крім того, при при , , , для деякої константи .

Тоді існує розв'язок нерівності (10) і для нього правильною є оцінка

У підрозділі 4.2 встановлено умови існування та єдиності розв'язку нерівності (11) в класі функцій, що зростають не швидше ніж , .

Теорема 4.3. Якщо виконуються умови і, крім того, , то існує стала така, що нерівність (11) може мати лише один розв'язок в класі функцій, що задовольняють оцінку

для всіх , де .

Теорема 4.4. Нехай виконуються умови і, крім того для . Тоді існує функція , яка задовольняє нерівність

для всіх , і для всіх функцій , .

Нехай деяка додатна стала, визначена через вихідні дані нерівності (11).

Теорема 4.5. Якщо виконуються умови і, крім того, , при

для деякої константи , тоді існує розв'язок нерівності (11) і для нього правильною є оцінка

Висновки

Дисертаційна робота присвячена вивченню розв'язності та асимптотичної поведінки розв'язків крайових задач для нелінійних параболічних та еліптичних рівнянь в необмежених областях.

1. Досліджено коректність крайових задач для параболічних та еліптичних нелінійних рівнянь в анізотропних просторах. Встановлено умови на вихідні дані та на параметри нелінійності рівнянь, при яких такі задачі є однозначно розв'язними без умов на нескінченності. При доведенні використано метод монотонності та метод компактності.

2. Встановлено умови існування розв'язку для широкого класу нелінійних параболічних варіаційних нерівностей в обмежених областях.

3. Для нелінійних параболічних та еліптичних варіаційних нерівностей 4-го порядку визначено умови на вихідні дані та параметри нелінійності цих нерівностей, при яких дані нерівності є однозначно розв'язними без умов на нескінченності.

4. Наведено інтерпретацію розв'язків досліджених параболічних варіаційних нерівностей. Зокрема наведено приклади задач, розв'язками яких будуть розв'язки нерівностей.

5. Розглянуто альтернативні умови на параметри нелінійностей варіаційних нерівностей, при яких такі нерівності є коректні в певному класі зростання. На основі методу введення параметра визначено клас коректності для параболічної варіаційної нерівності 4-го порядку, причому цей клас залежить від параметрів нелінійності нерівності.

6. Визначено клас коректності для еліптичної варіаційної нерівності вищого порядку, причому цей клас не залежить від порядку нерівності. Тут використано певний аналог методу введення параметра для еволюційних рівнянь.

7. Результати, отримані в дисертаційній роботі досить повно описують різноманітні випадки нелінійностей в рівняннях типу фільтрації-абсорбції, а також класи, в яких такі рівняння є розв'язними. Отримані результати разом з результатами, описаними в розділі 1, дозволяють певною мірою систематизувати теорію нелінійних рівнянь в необмежених областях і визначити методологію дослідження таких рівнянь в залежності від типів їхньої нелінійності.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лавренюк С.П., Медвідь І.М. Параболічна варіаційна нерівність вищого порядку в необмежених областях // Доповіді НАН України. - 2006. - №7. - С.12-18.

2. Медвідь І. Задачі для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь в анізотропних просторах // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2005. - Вип.64. - С. 149-166.

3. Медвідь І. Параболічна задача для рівняння фільтрації-абсорбції без умов на нескінченності // Математичні студії. - 2006. - Т.26. - №2. - С. 202-211.

4. Медвідь І.М. Еліптична варіаційна нерівність в необмежених областях // Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача, 24 - 27 травня 2005р., м.Львів. - С. 303.

5. Медвідь І.М. Еліптична варіаційна нерівність в необмежених областях // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - Т.49. - №2 - С.108-116.

6. Медвідь І.М. Нелінійна параболічна задача без умов на нескінченності // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич. - С. 142.

7. Медвідь І.М. Нелінійна параболічна задача без умов на нескінченості // Міжнародна математична конференція "Диференціфльні рівняння та їх застосування". КНУ ім. Т. Шевченка, 6 - 9 червня 2005р., м.Київ. - С. 70.

8. Медвідь І.М. Параболічна варіаційна нерівність в необмежених областях // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18 - 20 травня 2006р., м.Київ. - С. 515.

9. Медвідь І.М. Параболічна задача для рівняння фільтрації-абсорбції без уов на нескінченності // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007р., м.Дрогобич. - С. 80.

10. Medvid I. A parabolic variational inequality of higher order in unbounded domains // Міжнародна конференція з диференціальних рівнянь присвячена 100-річчю Я.Б. Лопатинського (ЛНУ ім. І. Франка, м. Львів), 12 - 17 вересня 2006р. - С. 127-128.

11. Medvid I. Elliptic variational inequality of higher order in unbounded domains // Міжнародна математична конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування" (ЧНУ ім. Ю. Федьковича, м. Чернівці), 11 - 14 жовтня 2006р. - С. 194.

12. Medvid Ivan. Variational parabolic inequality of higher order in unbounded domains // International journal of nonlinear operator theory and applications. - 2007. - V.2 - №1 - P.90-105.

Анотації

Медвідь І.М. Задачі для параболічних та еліптичних рівнянь в необмежених областях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2008.

Дисертація присвячена вивченню нелінійних параболічних та еліптичних рівнянь типу фільтрації-абсорбції в необмежених областях. Досліджено коректність крайових задач для таких рівнянь в анізотропних просторах без умов на нескінченності. Як один із методів вивчення крайових задач досліджено варіаційні нерівності. Розглянуто різноманітні випадки співвідношень між показниками степенів нелінійностей варіаційних нерівностей, при яких такі нерівності є коректними як без умов на нескінченності так і в певних класах зростання.

Medvid I.M. The problems for parabolic and elliptic equations in unbounded domains. - Manuscript.

The thesis for Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.01.02 - Differential Equations. Ivan Franko Lviv National University. Lviv, 2008. нелінійний рівняння нескінченність

Thesis is devoted to investigation of the parabolic and elliptic filtration-absorption equations in unbounded domains.It is studied the solvability of boundary problems treated for such equations in anisotropic spaces without conditions at infinity. There are also investigated nonlinear parabolic and elliptic variational inequalities. It is considered different relations between the degrees of nonlinearity of inequalities. There are cases both when the inequalities is solvable without conditions at infinity and when the ones is solvable in some growth classes.

Медвидь И.М. Задачи для параболических и эллиптических уравнений в неограниченных областях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2008.

Диссертация посвящена изучению разрешимости и асимптотического поведения решений краевых задач для нелинейных параболических и эллиптических уравнений в неограниченных областях. В первой главе приведен обзор работ по нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям в неограниченных областях, уравнениям четвертого порядка, вариационным неравенствам. Во второй главе исследована корректность краевых задач для параболических и эллиптических нелинейных уравнений в анизотропных просторах. Найдены условия существования и единственности решений таких задач с произвольно растущими начальными данными на бесконечности. В доказательствах использованы методы монотонности и компактности. В третьей главе определены условия существования и единственности решений для нелинейных параболических и эллиптических вариационных неравенств 4-го порядка с произвольно растущими начальными данными на бесконечности. Осуществлена интерпретация решений исследуемых параболических вариационных неравенств. В частности приведены примеры задач, решениями которых являются решения неравенств. В четвертой главе рассмотрены альтернативные условия на показатели степеней нелинейностей вариационных неравенств, при каких данные неравенства разрешимы в некоторых классах роста. На основании метода введения параметра определён класс разрешимости параболического вариационного неравенства 4-го порядка, причем этот класс зависит от параметров нелинейности неравенства. Также определён класс разрешимости эллиптического вариационного неравенства высокого порядка, причем этот класс не зависит от порядка неравенства. Размещено на Allbest.ru

...