Черепичні порядки та їх ідеали

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

УДК 512.552

ЧЕРЕПИЧНІ ПОРЯДКИ ТА ЇХ ІДЕАЛИ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Черноусова Жанна Трохимівна

Київ - 2005

АНОТАЦІЇ

Черноусова Ж.Т. Черепичні порядки та їх ідеали. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. -Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

В дисертаційній роботі отримано низку результатів щодо черепичних порядків та їх ідеалів. В роботі описано з точністю до ізоморфізму всі циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки. Доведено, що для довільного нерозкладного зведеного нетерового справа напівдосконалого напівпервинного напівдистрибутивного кільця існує зліченне число допустимих ідеалів, факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. У дисертаційній роботі за кожним зведеним черепичним порядком будується зліченна множина фробеніусових факторкілець з тотожною підстановкою Накаями, причому сагайдаки таких фробеніусових факторкілець збігаються з сагайдаком порядку. В роботі описуються всі двосторонні ідеали одного класу горенштейнових черепичних порядків, що лежать у квадраті радикала Джекобсона, і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Для горенштейнового черепичного порядку встановлюється зв'язок між підстановкою Кириченка цього порядку, підстановкою, що задає ідеал J порядку , та підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом.

Ключові слова: горенштейновий черепичний порядок, матриця показників порядку, підстановка Кириченка, ідеал черепичного порядку, квазіфробеніусове факторкільце, фробеніусове кільце, підстановка Накаями, матриця суміжності сагайдака.

Черноусова Ж.Т. Черепичные порядки и их идеалы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Идеалы горештейновых черепичных порядков, факторкольца по которым являются квазифробениусовыми, впервые были рассмотрены Киpиченко В.В. Учеником В.В. Кириченко Журавлёвым В.М. было установлено, что каждый такой идеал задаётся подстановкой . Кроме того, были найдены все двусторонние идеалы, которые лежат в квадрате радикала Джекобсона горештейновых (0,1)-порядков, и факторкольца по которым являются квазифробениусовыми. Также В.М. Журавлёвым было сделано описание гоpенштейновых полумаксимальных колец, сагайдаки которых содержат не более семи вершин. В.В. Кириченко поставил задачу выяснить, существует ли между подстановками , и связь. В работах В.М. Журавлёва начато решение этого вопроса.

В диссертационной работе получен ряд новых результатов о черепичных порядках и их идеалах, факторкольца по которым являются квазифробениусовыми. Описаны с точностью до изоморфизма все циклические приведённые горенштейновы черепичные порядки, сагайдаки которых содержат не более 10 вершин: посчитаны матрицы показателей и матрицы смежности таких порядков. С точностью до изоморфизма описаны все циклические приведённые горенштейновы черепичные порядки: найдены формулы, по которым вычисляются все элементы их матриц показателей через определённое число целых положительных параметров. Доказано, что матрицы показателей таких порядков симметричны относительно побочной диагонали. В работе доказано, что для произвольного неразложимого приведённого нётерова справа полусовершенного полупервичного полудистрибутивного кольца существует счётное число идеалов, которые лежат в квадрате радикала Джекобсона этого кольца и факторкольца по которым являются квазифробениусовыми. В диссертационной работе по каждому приведённому черепичному порядку строится счётное множество фробениусовых факторколец с тождественной подстановкой Накаямы, в том числе, по каждому конечному частично упорядоченному множеству строится счётное множество фробениусовых колец с тождественной подстановкой Накаямы. Причём сагайдаки таких фробениусовых факторколец совпадают с сагайдаком порядка.

В работе описываются все двусторонние идеалы горенштейновых черепичных порядков _k (матрицы показателей которых являются таблицами Кели элементарных абелевых 2-групп), что лежат в квадрате радикала Джекобсона таких порядков, и факторкольца по которым являются квазифробениусовыми. Причём для порядка _k существует 2^k таких существенно различных идеалов, и определёнными преобразованиями их можно получить из главного идеала порядка _k.

Для горенштейнова черепичного порядка , который не является (0,1)-порядком, устанавливается связь между подстановкой Кириченко этого порядка, подстановкой , что задаёт идеал J порядка , и подстановкой Накаямы квазифробениусова факторкольца /J по этому идеалу. Оказалось, что эти подстановки связаны равенствами .

Ключевые слова: горенштейнов черепичный порядок, матрица показателей порядка, подстановка Кириченко, идеал черепичного порядка, квазифробениусово факторкольцо, фробениусово кольцо, подстановка Накаямы, матрица смежности сагайдака.

Chernousova J.T. Tiled orders and their ideals. Manuscript.

Thesis of the disertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2005.

Some results about tiled orders and their ideals are obtained. All reduced cyclic Gorenstein tiled orders are described (up to isomorphism).

It is proved that in an indecomposable reduced semiperfect right noetherian semiprime semidistributive ring there is a countable set of ideals that lie in the square of the Jacobson radical of this ring and factor rings modulo them are quasi-Frobenius. In the disertation, for every reduced tiled order, the countable set of Frobenius factor rings with identical Nakayma's permutation is constructed. Furthermore, quivers of those Frobenius factor rings coincide with the quiver of the order.

All ideals of Gorenstein tiled orders with exponent matrices being the Cayley tables of elementary abelian 2-groups are characterized that lie in the square of Jacobson's radicals and quotient rings modulo them are quasi-Frobenius. For Gorenstein tiled order , we consider the connection between Kirichenko's permutation of , a permutation that determines the ideal J of this ring, and the Nakayama permutation of the quasi-Frobenius factor ring /J.

Key words: Gorenstein tiled order, exponent matrix of order, Kirichenko's permutation, ideal of tiled order, quasi-Frobenius factor ring, Frobenius ring, the Nakayma permutation, adjacency matrix of quiver.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Кабінет Міністрів України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор КИРИЧЕНКО Володимир Васильович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, завідувач кафедри геометрії.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор КОМАРНИЦЬКИЙ Микола Ярославович, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, завідувач кафедри алгебри і логіки;

кандидат фізико-математичних наук, БЕЗУЩАК Оксана Омелянівна, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, доцент кафедри алгебри та математичної логіки.

Провідна установа:Ужгородський національний університет, кафедра алгебри, Міністерство освіти і науки України, м. Ужгород.

Захист відбудеться “ 28 ” листопада 2005 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “ 26 ” жовтня 2005 року.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В структурній теорії кілець важливим напрямком є вивчення класів кілець, що задовольняють деяким модульним умовам.

Черепичні порядки (tiled orders) над дискретно нормованими кільцями вивчалися, починаючи з 70-х років минулого сторіччя, багатьма математиками, зокрема, Ятегаонкаpом В.А., Таpсi P.Б., Pогенкампом К.В., Сiмсоном Д., Дpоздом Ю.А., Завадським О.Г. та Киpиченком В.В. Скінченні прямі добутки A таких порядків є нетеровими справа напівдосконалими напівпервинними напівдистрибутивними кільцями, у яких для будь-якого локального ідемпотента eA кільце eAe є дискретно нормованим (не обов'язково комутативним). Такі кільця під назвою “напiвмаксимальнi кільця” були введенні у 1974 році Завадським О.Г. та Киpиченком В.В. Цей клас кілець природно виникає в теорії цiлочисельних зображень. За допомогою напівмаксимальних кілець Ю.А. Дроздом, О.Г. Завадським та В.В. Кириченком одержано інтерпретацію зображень частково впорядкованих множин, введених Л.О. Назаровою та А.В. Ройтером. Такими кільцями є цілком розкладні порядки над повним локальним дедекіндовим кільцем, що лежать в сепарабельних алгебрах та збігаються з перетином своїх максимальних надкiлець.

Д. Гоpенштейн у 1952 році у зв'язку з теорією алгебраїчних кривих вперше розглядав комутативні нетерові локальні кільця, що мають скінченну ін'єктивну розмірність. Ці кільця пізніше були названі гоpенштейновими. Важливість гоpенштейнових кілець була усвідомлена в працях видатного американського математика Х. Басса. Він у 1963 році в статті “On the Ubiquity of Gorenstein Rings” вивчав модулі без скруту над комутативними горенштейновими областями. Некомутативні горенштейнові порядки розглядалися Рогенкампом К.В. у 1970 році та Дроздом Ю.А., Кириченком В.В., Ройтером А.В. у 1967 році в статті “О наследственных и бассовых порядках”. В ній для випадку некомутативних порядків над дедекіндовими кільцями автори переносять з праці Х. Басса “On the Ubiquity of Gorenstein Rings” означення горенштейнових кілець. За Дроздом Ю.А., Кириченком В.В., Ройтером А.В. порядок називається горенштейновим, якщо ін'єктивна розмірність його як лівого регулярного модуля дорівнює 1.

В.В. Кириченко ввів поняття сагайдака напівдосконалого нетерового справа кільця та сагайдака напівдосконалого нетерового зліва кільця. У 2000 році В.М. Журавльовим був зроблений опис гоpенштейнових напiвмаксимальних кілець, сагайдаки яких містять не більше семи вершин.

Киpиченко В.В. у 1978 році досліджував зв'язки між горенштейновими порядками та квазіфробеніусовими кільцями. В.В. Киpиченко отримав зручний критерій того, що зведений черепичний порядок є гоpенштейновим. Виявилося, що з горенштейновим порядком пов'язана підстановка , яку Журавльов В.М. запропонував називати підстановкою Кириченка. Крім того, Киpиченком В.В. вперше було розглянуто ідеали горештейнових черепичних порядків, факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Це дослідження було продовжено учнем В.В. Кириченка Журавльовим В.М., який встановив, що кожний такий ідеал задається підстановкою . З квазіфробеніусовим кільцем теж пов'язана підстановка - підстановка Накаями . В.В. Кириченко поставив задачу з'ясувати, чи існує зв'язок між підстановками , та . В роботах В.М. Журавльова започатковано розв'язання цього питання.

Актуальність теми. В дисертаційній роботі продовжуються дослідження у вищевказаних напрямках. Вона присвячена вивченню циклічних горенштейнових черепичних порядків. В роботі за кожним зведеним черепичним порядком будується зліченна множина фробеніусових факторкілець з тотожною підстановкою Накаями. У дисертаційній роботі описуються всі двобічні ідеали, що лежать у квадраті радикала Джекобсона одного класу горенштейнових черепичних порядків і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Для горенштейнового черепичного порядку встановлюється зв'язок між підстановкою Кириченка цього порядку, підстановкою, що задає ідеал J порядку , та підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань підрозділу “Геометричні структури та їх застосування” держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, матриці показників та матриці суміжності сагайдаків таких порядків;

двобічні ідеали, що лежать у квадраті радикала Джекобсона довільного нерозкладного зведеного нетерового справа напівдосконалого напівпервинного напівдистрибутивного кільця, факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

двобічні ідеали довільного зведеного черепичного порядку, факторкільця за якими є квазіфробеніусовим;

двобічні ідеали горенштейнових черепичних порядків з матрицями показників, що є таблицями Келі елементарних абелевих 2-груп, які лежать у квадраті радикала Джекобсона таких порядків і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

підстановка Кириченка горенштейнового черепичного порядку , який не є (0,1)-порядком, підстановка , що задає ідеал J цього порядку, та підстановка Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом.

Задачі дослідження:

описати циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, сагайдаки яких містять не більше 10 вершин;

дослідити матриці показників та матриці суміжності сагайдаків циклічних зведених горенштейнових черепичних порядків;

дослідити двобічні ідеали, що лежать у квадраті радикала Джекобсона нерозкладних зведених нетерових справа напівдосконалих напівпервинних напівдистрибутивних кілець і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

дослідити двобічні ідеали довільного зведеного черепичного порядку, факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

дослідити сагайдаки таких квазіфробеніусових факторкілець у порівнянні із сагайдаком порядку;

розробити загальний метод побудови квазіфробеніусових факторкілець за довільним зведеним черепичним порядком;

описати всі двобічні ідеали зведених горенштейнових черепичних порядків з матрицями показників, що є таблицями Келі елементарних абелевих 2-груп, які лежать у квадраті радикала Джекобсона таких порядків і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

для кожної підстановки , що задає ідеал J зведеного горенштейнового черепичного порядку , що не є (0,1)-порядком, знайти підстановку Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом та встановити зв'язок між підстановками , та підстановкою Кириченка у().

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше отримано такі нові теоретичні результати:

описано з точністю до ізоморфізму всі циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, сагайдаки яких містять не більше 10 вершин, обчислено матриці показників та матриці суміжності сагайдаків таких порядків;

описано з точністю до ізоморфізму всі циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, знайдено формули, за якими виражаються елементи матриці показників довільного циклічного зведеного горенштейнового черепичного порядку, доведено, що матриці показників таких порядків є симетричними відносно бічної діагоналі;

доведено, що для будь-якого зведеного черепичного порядку існує зліченна кількість ідеалів, факторкільця за якими є фробеніусовими з тотожною підстановкою Накаями, причому сагайдаки таких фробеніусових факторкілець збігаються із сагайдаком порядку;

розроблено загальний метод побудови фробеніусових факторкілець з тотожною підстановкою Накаями за довільним зведеним черепичним порядком;

доведено, що для довільного нерозкладного зведеного нетерового справа напівдосконалого напівпервинного напівдистрибутивного кільця існує зліченне число ідеалів, які лежать у квадраті радикала Джекобсона і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

описано всі ідеали, які лежать у квадраті радикала Джекобсона зведених горенштейнових черепичних порядків з матрицями показників, що є таблицями Келі елементарних абелевих 2-груп, і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими;

встановлено, що для зведеного горенштейнового черепичного порядку , який не є (0,1)-порядком, виконуються рівності , де - підстановка, що задає ідеал J цього порядку, - підстановка Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом, - підстановка Кириченка порядку .

Всі ці результати мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх зручно застосовувати у розрахунках матриці показників та побудові сагайдака довільного циклічного зведеного горенштейнового черепичного порядку. Одержані результати дають можливість знайти (обчислити матриці показників) всі суттєво різні двобічні ідеали, які лежать у квадраті радикала Джекобсона будь-якого зведеного горенштейнового черепичного порядку з матрицею показників, що є таблицею Келі елементарної абелевої 2-групи, і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Також знайти матриці показників ідеалів довільного зведеного черепичного порядку, факторкільця за якими є фробеніусовими з тотожною підстановкою Накаями; за діаграмою довільної скінченної частково впорядкованої множини побудувати сагайдаки фробеніусових кілець з тотожною підстановкою Накаями. Отриманні результати можуть бути застосовані у подальшому дослідженні зв'язку між підстановками , та для довільного зведеного горенштейнового черепичного порядку. Одержані результати можуть бути використані, і вже використовуються, при читанні спецкурсів з алгебри.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівнику належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Результати підрозділів 2.1, 4.2, твердження 3.3.2, теорема 3.3.3, леми 3.1.6, 3.1.8, твердження 4.1.1, 4.1.3 та наслідки 2.2.3, 2.2.5, 3.1.7 отримані дисертантом особисто; теорема 3.1.9 - у співавторстві з науковим керівником; твердження 2.2.4, 4.1.4 та теорема 4.1.5 - у співавторстві з Журавльовим В.М.; твердження 2.2.6 - у співавторстві з Докучаєвим М.А.; теорема 2.2.7 - у співавторстві з науковим керівником, Докучаєвим М.А., Журавльовим В.М.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на Алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Третій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Суми, 2-8 липня 2001 p.), Міжнародній Математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті (м. Київ, 17-22 червня 2002 р.), Четвертій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Львів, 4-9 серпня 2003 p.), П'ятій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Одеса, 20-27 липня 2005 p.). горенштейновий сагайдак черепичний квазіфробеніусовий

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-16], які наводяться в кінці автореферату, з них статті [1-7] - у фахових виданнях з переліку, що затверджений ВАК України, та тези [11-16] - у матеріалах Міжнародних математичних конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів (які містять 15 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи - 121 сторінка, 12 з яких займає список використаних джерел, що складається із 112 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику Кириченку Володимиру Васильовичу та співавтору Журавльову Віктору Миколайовичу за постійну увагу та консультації при виконанні даної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, формулюється його мета і задачі, вказано зв'язок роботи із планами наукових досліджень кафедри, охарактеризовано наукову новизну дисертаційної роботи, практичне значення отриманих результатів, визначено особистий внесок дисертанта, вказано апробацію результатів роботи, структуру й обсяг дисертації. В структурі дисертаційної роботи виділяється чотири розділи I-IV.

РОЗДІЛ I “ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ” носить допоміжний та систематизуючий характер і містить основні означення понять та деякі твердження, які використовуються в дисертаційній роботі. Він складається з восьми підрозділів. У підрозділі 1.1 “Напівдосконалі кільця” наводяться основні факти про напівдосконалі кільця. Показано, як будується проективне накриття скінченнопородженого модуля над напівдосконалим кільцем. У підрозділі 1.2 “Дискретно нормовані кільця” дається означення і розглядаються властивості дискретно нормованих кілець, наводяться приклади таких кілець: кільце формальних степеневих рядів над деяким полем та кільце p-цілих чисел. У підрозділі 1.3 “Гратки та черепичні порядки” наводяться означення порядку над деякою областю цілісності та приклади порядків, розглядається зв'язок між черепичними порядками та гратками. Нагадаємо означення напівмаксимального кільця. Напівдосконале нетерове справа напівпервинне кільце A називається напівмаксимальним, якщо кільце ендоморфізмів кожного нерозкладного правого проективного A-модуля є дискретно нормованим кільцем. Кожне таке кільце є скінченним прямим добутком черепичних порядків (первинних напівмаксимальних кілець) вигляду: =(O), де n1 та O - дискретно нормоване кільце з простим елементом , _ij є цілими, причому _ij+_jkik для всіх i, j, k= та _ii=0 для всіх i=1,…,n. Матриця ()=(_ij) називається матрицею показників кільця . Очевидно, що черепичний порядок над дискретно нормованим кільцем є нетеровим зліва кільцем. Зрозуміло, що просте аpтiнове кільце M_n(D), де D - класичне тіло часток кільця O, є як лівим, так i пpавим класичним кільцем часток кільця . Черепичний порядок є зведеним тоді й тільки тоді, коли матриця показників цього порядку не має симетричних нулів.

Модуль M називається дистрибутивним, якщо гратка його підмодулей є дистрибутивною, тобто K(L+N)=KL+KN для будь-яких підмодулей K, L, N M. Напівдистрибутивний модуль є прямою сумою дистрибутивних модулей. Кільце називається напівдистрибутивним справа (зліва), якщо воно є напівдистрибутивним правим (лівим) регулярним модулем. Кільце є напівдистрибутивним, якщо воно напівдистрибутивне як справа, так і зліва. Наступна теорема дає конструктивний опис напівдосконалих напівпервинних напівдистрибутивних кілець.

Теорема 1.3.10. Наступні умови для напівдосконалого нетерового справа напівпервинного кільця A еквівалентні:

а) кільце A є напівдистрибутивним;

б) кільце A є прямим добутком напівпростого артінового кільця та напівмаксимального кільця.

Правою (лівою) -граткою називається правий (лівий) -модуль, який є скінченнопородженим вільним O-модулем. Зокрема, всі скінченнопороджені проективні -модулі є -гратками. Серед -граток виділяють, так звані, незвідні -гратки, тобто -гратки, що лежать у простому правому (лівому) M_n(D)-модулі. Ці гратки утворюють відносно включення частково впорядковані множини S_r() або S_l(), які виявляються структурами відносно операцій суми і перетину незвідних -граток. У випадку зведеного черепичного порядку елементи множини S_r() (S_l()) знаходяться в бієктивній відповідності з цілочисельними векторами-рядками (₁,...,_n) (векторами-стовпчиками (₁,...,_n)^T), причому _i+_ijj, якщо (₁,...,_n) S_r(), та _ij+_ji, якщо (₁,...,_n)^T S_l(). Зрозуміло, що гратки M₁=(₁,...,_n) та M₂=(₁,...,_n) ізоморфні тоді й тільки тоді, коли мають місце рівності _i=_i+z, де i=1,...,n; zZ. Для кожної незвідної -гратки MS_r() визначається дуальна незвідна ліва -гратка M*=(-₁,...,-_n)^T. Таким же саме чином для кожної лівої незвідної -гратки N визначається дуальна незвідна права -гратка N*. Неважко перевірити, що M^**=M (N^**=N). Якщо M₁M₂ - дві незвідні праві -гратки, то M₂*M₁*. В цьому випадку гратка M₂ називається надмодулем гратки M₁ (відповідно M₁* є надмодулем гратки M₂*). Нехай M₁,...,M_sS_r(). Тоді (M₁...M_s)*=M₁^*...M_s*, де M₁...M_s є зовнішньою прямою сумою. Нагадаємо, що -гратка L називається цілком розкладною, якщо вона є прямою сумою незвідних -граток. Черепичний порядок над дискретно нормованим кільцем O є цілком розкладною правою та лівою -граткою, що лежить у M_n(D). Проективна -гратка, тобто скінченнопороджений проективний -модуль, є цілком розкладною -граткою.

Черепичний порядок будемо називати горенштейновим черепичним порядком, якщо ^* є проективною лівою -граткою.

У підрозділі 1.4 “Горенштейнові порядки та квазіфробеніусові кільця” даються означення горенштейнових черепичних порядків, квазіфробеніусових і фробеніусових кілець, розглядаються властивості горенштейнових порядків та квазіфробеніусових кілець, наводяться факти про ідеали горенштейнових порядків, факторкільця за якими є квазіфробеніусовими.

Теорема 1.4.2. Наступні умови для зведеного черепичного порядку еквівалентні:

a) кільце - горенштейнове;

б) існує підстановка : i(i), така, що _ij+_ji=_ii для i,j=1,...,n.

Надалі підстановка називається підстановкою Кириченка.

В наступній теоремі в якості одної з еквівалентних умов фігурує початкове означення квазіфробеніусових (QF-) кілець, дане Накаямою (1939 р.).

Нехай rad(A) - радикал Джекобсона артінового з обох боків кільця A, 1=e₁+e₂+...+e_n - розклад 1A в суму примітивних взаємно ортогональних ідемпотентів і =A/rad(A), _i=e_i+rad(A).

Теорема 1.4.13. Для артінового з обох боків кільця А наведені нижче умови еквівалентні:

а) кільце А квазіфробеніусове;

б) для кожного примітивного ідемпотента е цоколі soc(еA) і soc(Ае) прості і в soc(A_А), відповідно в soc(_АA), містяться з точністю до ізоморфізму всі прості праві, відповідно ліві, А-модулі;

в) для кожного примітивного ідемпотента е цоколі soc(еA) і soc(Aе) прості та soc(A_А)=soc(_АA);

г) (означення Накаями) існує перестановка множини {1,...,n}, така, що soc(е_iA)_A(_(i))_A, _Asoc(A)_A(_i) для кожного і=1,...,n.

Наведемо означення фробеніусових кілець, що дав Т. Накаяма у 1941 р. Кільце називається фробеніусовим, якщо воно є квазіфробеніусовим і soc(A_A)_A, soc(_AA)_A.

Наступна теорема, автором якої є Кириченко В.В., дає можливість з горенштейнового черепичного порядку отримувати квазіфробеніусові кільця.

Теорема 1.4.16. Нехай - зведений горенштейновий черепичний порядок з радикалом Джекобсона R і J - двосторонній ідеал порядку , такий, що R²JRⁿ, де n2. Факторкільце /J є квазіфробеніусовим тоді та тільки тоді, коли існує pR², таке, що J=p=p.

Черепичний порядок ={O, E()} називається (0,1)-порядком, якщо E() є (0,1)-матрицею. Всі горенштейнові черепичні (0,1)-порядки з точністю до еквівалентності у розумінні Моріти вичерпуються двома типами кілець: H=H_s(O) та G_2s=, де R - радикал Джекобсона кільця H. Відомо, що для спадкового кільця H факторкільце H/J є квазіфробеніусовим при RⁿJR² (n2) тоді й тільки тоді, коли J=R^m, де m2. Нехай radG - радикал Джекобсона кільця G, J - двобічний ідеал кільця G, такий, що (radG)ⁿJ(radG)² і факторкільце G/J квазіфробеніусове. Тоді J=e₁J₀…e_sJ₀e₁J₀…e_sJ₀, де J₀=, e_i дорівнюють e_i і e_s+i, а e_i=e_i, якщо e_i=e_s+i, та e_i=e_s+i, якщо e_i=e_i. Навпаки, всі факторкільця G/J за такими ідеалами є квазіфробеніусовими.

У підрозділі 1.5 “Сагайдаки черепичних порядків” дається означення сагайдака напівдосконалого нетерового справа (зліва) кільця; розглядаються властивості сагайдаків черепичних порядків та сагайдаків горенштейнових порядків. Матриця суміжності сагайдака зведеного черепичного порядку є (0,1)-матрицею і виражається через матриці показників радикала Джекобсона R порядку та його квадрата: [Q()]=(R²)-(R). Сагайдак черепичного порядку є сильно зв'язним. Зауважимо, що сагайдаки горенштейнового черепичного порядку та квазіфробеніусового факторкільця збігаються.

Горенштейновий черепичний порядок називається циклічним горенштейновим порядком, якщо підстановка Кириченка () цього порядку є циклом. Якщо - зведений циклічний горенштейновий черепичний порядок, тоді [Q()]=P, де - натуральне число і матриця P двічі стохастична.

У підрозділі 1.6 “(0,1)-порядки” розглядається зв'язок між черепичними (0,1)-порядками та частково впорядкованими множинами.

Зведений (0,1)-порядок з матрицею показників (_ij) задає частковий порядок на множині P={1,...,n} за правилом: ij тоді й тільки тоді, коли _ij=0. Нехай P={p₁,..., p_n} - скінченна частково впорядкована множина. P_max - множина всіх максимальних елементів частково впорядкованої множини P, P_min - множина всіх мінімальних елементів множини P, P_maxP_min - декартовий добуток ціх множин. Діаграмою частково впорядкованої множини P є сагайдак Q(P) з множиною вершин VQ={1,...,n}, та в Q(P) існує стрілка : kl тоді й тільки тоді, коли p_k<p_l та не існує елемента p_j, такого, що p_kp_jp_l, де p_jp_k, p_jp_l.

Сагайдак Q((P)) збігається з сагайдаком, що отримується з діаграми Q(P) додаванням стрілок _ij для всіх (p_i,p_j)P_maxP_min.

У підрозділі 1.7 “Скінченні групи та черепичні порядки” розглядається зведений порядок _k, матриця показників якого задана рекурентно:

₀=(0), _k=.

Черепичний порядок _k є горенштейновим з підстановкою Кириченка =. Матрицю показників цього порядку можна розглядати як таблицю Келі скінченної групи G_k порядку 2^k (G₀={0}). Таблиця Келі скінченної групи G є матрицею показників зведеного горенштейнового черепичного порядку тоді та тільки тоді, коли G=(2)...(2).

У підрозділі 1.8 “Підстановки горенштейнових черепичних порядків” наводяться факти, встановлені В.М. Журавльовим, щодо підстановок, пов'язаних з горенштейновими черепичними порядками, ідеалами таких порядків та підстановками Накаями квазіфробеніусових факторкілець за цими ідеалами. Ізоморфні ідеали I та J черепичного порядку будемо називати суттєво ізоморфними, якщо I=J, де - ціле число. В іншому випадку ці ізоморфні ідеали називаються суттєво різними. Існує взаємно однозначна відповідність між суттєво різними двосторонніми ідеалами J зведеного горенштейнового черепичного порядку з радикалом Джекобсона R, такими, що R²JRⁿ (n2) і факторкільця /J за якими є квазіфробеніусовими, та підстановками , які задовольняють рівність _ij+_jk-_ik=_ij+_jk-_ik. Причому елементи матриці показників ідеалу E(J)=(_ij) виражаються через елементи матриці показників кільця E()=(_ij) наступним чином: _ij=_ij+_1i-_1i+. Позначимо через T() множину підстановок , що задають ідеали зведеного горенштейнового черепичного порядку , факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Підстановка Кириченка () належить T(). Множина T() утворює групу відносно звичайного множення. Звідки група T() містить циклічну підгрупу <>, породжену підстановкою Кириченка (). Група всіх підстановок T() є підгрупою централізатора підстановки (). Якщо порядок є циклічним, тоді T() збігається з циклічною групою <>.

У РОЗДІЛІ 2 “ОПИС ЦИКЛІЧНИХ ГОРЕНШТЕЙНОВИХ ЧЕРЕПИЧНИХ ПОРЯДКІВ” дається повний опис циклічних горенштейнових черепичних порядків. У підрозділі 2.1 “Циклічні зведені горенштейнові порядки, сагайдаки яких містять не більше 10 вершин” описуються з точністю до ізоморфізму всі циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, сагайдаки яких містять не більше 10 вершин, обчислюються матриці показників і матриці суміжності сагайдаків таких порядків.

Нагадаємо, що два зведених черепичних порядки в M_n(D) ізоморфні тоді та тільки тоді, коли їх матриці показників отримуються одна з одної перетвореннями наступних двох типів:

відніманням від i-го рядка цілого раціонального числа з одночасним додаванням до i-го стовпчика цього числа;

одночасною перестановкою двох рядків та відповідних їм стовпчиків.

Перетвореннями першого типу завжди можна добитися, щоб, наприклад, перший стовпчик матриці показників став нульовий, причому елементи матриці показників E()=(_ij) порядку стають невід'ємними. Це надалі спрощує викладки. При перетвореннях першого типу підстановка Кириченка і сагайдак кільця не змінюються. При перетвореннях другого типу, що задаються підстановкою , підстановка Кириченка і матриця суміжності [Q] сагайдака порядку змінюються за формулами: ґ= ^-1, [Qґ]=P^T[Q]P , де P= - матриця перестановки, e_ij - матричні одиниці. Звідси випливає, що неізоморфних горенштейнових черепичних порядків є стільки, скільки існує різних типів підстановок Кириченка. Тому, щоб описати горенштейнові порядки, достатньо дослідити порядки з різними типами підстановки Кириченка. Оскільки всі циклічні підстановки є підстановками одного типу, то для циклічних горенштейнових порядків беремо =(1,2,...,n-1,n).

Умова горенштейновості _ij+_ji=_ii, де i,j=1,...,n, дає системи рівнянь, з яких знаходимо елементи матриць показників. Щоб не обчислювати матрицю показників квадрата радикала Джекобсона E(R²)=(_ij), отримали наступні формули для обчислення елементів q_ij матриці суміжності сагайдака через елементи _ij: (ij) q_ij=min(1,_kt), де k=i+1-j, якщо i+1>j, або k=i+1-j+n, якщо i+1j, q_ii=min(2, _1t)-1. Крім того, [Q]=. Аналогічно, [Q]=. Отже, матриця суміжності сагайдака циклічного зведеного горенштейнового черепичного порядку [Q] повністю визначається підстановкою Кириченка та першим рядком або першим стовпчиком. Порядок елементів у наступному рядку або стовпчику зумовлений дією підстановки .

У підрозділі 2.2 “Загальний випадок. Циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки” описуються з точністю до ізоморфізму всі циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, знаходяться формули, за якими виражаються елементи матриці показників довільного циклічного зведеного горенштейнового черепичного порядку через визначену кількість додатних цілих параметрів, досліджуються матриці показників циклічних зведених горенштейнових порядків.

Лема 2.2.1. Нехай - циклічний зведений горенштейновий черепичний порядок з матрицею показників E()=(_ij) та підстановкою Кириченка =(12...n). Якщо _i1=0 для всіх i=1,...,n, то _1j=_1,n+2-j при j=.

Твердження 2.2.2. Нехай ₁₂, ₁₃, ..., _1n - довільний набір дійсних чисел. Існує єдина матриця (_ij), така, що дані числа є елементами першого рядка цієї матриці, _kk=_k1=0 і _ik+_k,i+1=_i,i+1 для всіх k=1,...,n; i=1,...,n-1.

Ми отримали матрицю (_ij), елементи якої обчислюються за формулами (2.4): _km=0, якщо m=1; або _km=_1j-_1,k-j, якщо km>1;

або _km=_1,m-j -_1j, якщо 1<k<m; або _km=_1m, якщо k=1.

Наслідок 2.2.3. Нехай (_ij) - матриця, елементи якої задовольняють рівності (2.4) і _1j=_1,n+2-j при j=2,...,n. Тоді _ij+_j(i)=_i(i) для всіх i,j=1,...,n, де =(12...n).

Твердження 2.2.4. Нехай (_ij) - матриця, елементи якої задовольняють рівності (2.4). Тоді для кожної трійки попарно різних індексів i, j, k існують індекси p, q, такі, що _ij+_jk-_ik=_pq.

Таким чином, _pq=_i-k+1,j-k+1, якщо min(i, j, k)=k; або _pq=_k-j,i-j+1, якщо min(i, j, k)=j; або

_pq=_j-i,k-i, якщо min(i, j, k)=i. У випадках, коли хоча б два індекси збігаються, отримуємо: _ij+_jj-_ij=0, _ii+_ik-_ik=0.

Наслідок 2.2.5. Матриця (_ij), елементи якої є цілими невід'ємними числами та задовольняють рівності (2.4) і _1j=_1,n+2-j для всіх j=, є матрицею показників циклічного горенштейнового порядку з підстановкою Кириченка =(12...n). Навпаки, будь-який циклічний зведений горенштейновий черепичний порядок з підстановкою Кириченка =(12...n) є ізоморфним зведеному порядку , елементи матриці показників E()=(_ij) якого цілі невід'ємні числа, задовольняють рівності (2.4) і _1j=_1,n+2-j для всіх j=.

Твердження 2.2.6. Матриця (_ij) показників циклічного зведеного горенштейнового черепичного порядку з підстановкою Кириченка =(12...n), у якої _i1=0 для i=1,…,n, є симетричною відносно бічної діагоналі.

На підставі наслідків 2.2.3, 2.2.5 та твердження 2.2.6 отримуємо теорему, що повністю описує циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки.

Теорема 2.2.7. Будь-який циклічний зведений горенштейновий черепичний порядок є ізоморфний зведеному порядку з підстановкою Кириченка =(12...n), матриця показників E()=(_ij) якого має такі властивості:

Всі елементи матриці (_ij) виражаються за формулами (2.4) через [n/2] натуральні параметри ₁₂,…,_1,[n/2]+1.

_1j=_1,n+2-j для всіх j=.

Матриця (_ij) є симетричною відносно бічної діагоналі.

Навпаки, кожна невід'ємна цілочисельна матриця (_ij) із властивостями 1-3, для якої _ij+_ji>0, де ij, є матрицею показників деякого циклічного зведеного горенштейнового черепичного порядку з підстановкою Кириченка =(12...n).

У РОЗДІЛІ 3 “ЧЕРЕПИЧНІ ПОРЯДКИ І ФРОБЕНІУСОВІ КІЛЬЦЯ” вивчається зв'язок між черепичними порядками та фробеніусовими факторкільцями. У підрозділі 3.1 “Ідеали (0,1)-порядків, факторкільця за якими є фробеніусовими” досліджуються дробові ідеали черепичних порядків ={O, E()}.

Означення 3.1.1. Незвідна -гратка Q називається відносно ін'єктивною, якщо QQ_i*, де Q_i - нерозкладний проективний лівий -модуль.

Лема 3.1.2. Нехай Q₁ та Q₂ - відносно ін'єктивні незвідні -гратки, X₁Q₁ і X₂Q₂ - єдині мінімальні надмодулі граток Q₁ та Q₂, відповідно. Тоді прості -модулі X₁/Q₁ та X₂/Q₂ ізоморфні тоді й тільки тоді, коли ізоморфні -гратки Q₁ та Q₂.

Означення 3.1.3. -гратка L, що міститься в, називається повною, якщо LO як O-модуль.

Нагадаємо, що цілком розкладна -гратка L називається відносно ін'єктивною, якщо L=P*, де P - проективна -гратка.

Означення 3.1.4. Якщо повна -гратка L є лівим -модулем, то L=e_ijO, і матрицю (_ij) будемо називати матрицею показників -гратки L та позначати E(L).

Означення 3.1.5. Повні -гратки, які є лівими -модулями, називають дробовими ідеалами порядку .

Цілком розкладну гратку позначимо через . Нехай

E()=.

Лема 3.1.6. Цілком розкладна ліва -гратка є правою повною -граткою.

...