Размещено на http://www.allbest.ru/

„Границя функції”



План

1.Поняття про границі функції

1.1 Числова послідовність, границя числової послідовності

1.2 Нескінченно великі змінні величини

1.3 Границя функції в точці

1.4 Границя функції при. Нескінченно велика функція

1.5 Нескінченно малі величини, їхні властивості

2.Основні теореми про границі

3.Обчислення границі функції

3.1 Перша та друга важливі границі

3.2 Порівняння нескінченно малих функцій

3.3 Розкриття невизначеностей границь

Завдання для самоконтролю



1.Поняття про границі функції

1.1 Числова послідовність. Границя числової послідовності

З поняттям числової послідовності ми зустрічались підчас вивчення шкільного курсу математики. Зокрема, числовими послідовностями є арифметична прогресія, геометрична прогресія, послідовність периметрів і площ правильних -кутників, вписаних у коло, послідовність площ поверхонь та об'ємів правильних гранних призм, вписаних в циліндр тощо. функція границя теорема невизначеність

І викладання теорії границь починається з розгляду границі функції натурального числа - послідовності.

Означення. Якщо кожному натуральному числу за певним правилом ставиться у відповідність число х, то множину чисел називають числовою послідовністю і позначають символом .

З означення випливає, що послідовністю називається функція =, ,визначена на множині натуральних чисел.

Нехай, змінна перебігає значення послідовності , тобто дискретною змінною. Число називається границею послідовності , якщо для довільного числа е>0 існує такий номер (е), що при всіх > виконується нерівність:

< е. (1)



Якщо число є границею послідовності , то пишуть:

або ,

і кажуть, що послідовність , або змінна , має границю, яка дорівнює числу або прямує до .

Послідовність, яка має границю , називається збіжною до ( або просто збіжною).Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Розглянемо геометричний зміст границі послідовності. Нерівність (1) рівносильна нерівностям:

-< - <, або - < < + , які показують, що елемент знаходиться в - околі точки(Рис.1).

Тому означення границі геометрично можна сформулювати так: число називається границею послідовності , якщо для довільного - околу точки існує номер такий (), що всі значення , для яких >, попадають в цей окіл. Поза цим околом може залишитися хіба що скінченна кількість членів послідовності .

Нехай тепер змінна величинанабуває всіх числових значень деякого скінченного проміжку,тобто є неперервною змінною, і нехай точка або . Число називають границею змінної ,якщо для довільного числа >0 існує таке значення , починаючи з якого для всіх наступних значеньвиконується нерівність <і пишуть або .

Геометричний зміст поняття границі змінної такий: числоє границею змінної, якщо для довільного- околу точкизнайдеться таке значення, що всі наступні значення змінної попадають в цей окіл. Якщо порівняти означення границі послідовності і границі змінної, то визначення границі послідовності , починаючи з якого виконується нерівність<, а в означенні границі змінної йдеться про числове значення змінної.

Отже, границею змінної величиниє границя довільної послідовності значень, які ця змінна набуває:

або .

Як зазначалось, сталу величину можна розглядати як змінну, всі значення якої однакові:= .

Отже, границя сталої величини дорівнює цій сталій тому, що <.



1.2 Нескінченно великі змінні величини

При означенні границізмінної величинивважалось, щозмінюється на деякому скінченому проміжку і що - стале число.

Якщо для довільного >0 існує таке значення, починаючи з якого всі наступні значеннязадовольняють нерівність>, то кажуть, що зміннапрямує до скінченності і пишуть або .

Якщо змінна, то її називають нескінченно змінною величиною.

Користуючись означенням, можна показати, що сума нескінченно великої величини і величини обмеженої є величина нескінченно велика, тобто .

Сума двох нескінченно великих величин одного знака є нескінченно велика, тобто .

Сума двох нескінченно великих величин різних знаків не завжди буде нескінченно великою величиною, тому ця сума називається невизначеністю виду.

Добуток двох нескінченно великих величин не завжди є нескінченно великою величиною, тому дробовий вираз називають невизначеністю виду

1.3 Границя функції в точці

Нехай, функція визначена в деякому околіточки, крім, можливо, самої точки.Число називають границею функції в точці, якщо для довільної збіжної допослідовності, де , , послідовність має границю, яка дорівнює числу, і записують:

.

Якщо ж для деякої хоча б однієї послідовності, збіжної до, послідовність границі не має, то функція не має границі в точці.

Функція може мати в точцітільки одну границю.

1.4 Границя функції при . Нескінченно велика функція

Нехай функція визначена на проміжку .

Число називають границею функції при і пишуть , якщо для довільного числа>0 існує таке число >0, що при >виконується нерівність <.

Функція при називається нескінченно великою, якщо вона визначена в деякому околі точки, крім, можливо, самої точкиі для довільного числа>0 існує таке число >0, що для всіх, які задовольняють нерівності 0<<д, виконується нерівність>. Тобто, .

Функцію, задану на всій числовій прямій, при називають нескінченно великою і пишуть, якщо для довільного числа >0 можна знайти таке число >0, що для всіх , які задовольняють нерівність >, виконується нерівність .



1.5 Нескінченно малі величини. Їхні властивості

Нескінченно малою величиною називається змінна величина, границя якої дорівнює нулю.

Функція називається нескінченно малою величиною при або , якщо або .

Властивості нескінченно малих величин

1.Для того щоб число було границею функції при , необхідно і достатньо, щоб різниця була нескінченно малою величиною, тобто , де .

2.Якщо функція нескінченно мала величина при, то функція є нескінченно великою величиною при, і навпаки, якщо функція - нескінченно велика величина при , то є нескінченно малою величиною при.

3.Сума скінченного числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

4.Добуток обмеженої функції на скінченно малу є величина нескінченно мала.

5.Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, яка має відмінну від нуля границю, є величина нескінченно мала.



2. Основні теореми про границі

Теорема 1. Якщо кожна з функцій та має скінчену границю в точці, то в цій точці існують також границі функцій ;; і справедливі формули:

Наслідки теореми. Якщо існує, то виконуються рівності:

Теорема 2. Нехай в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , визначені функції і виконуються нерівності . Тоді, якщо функції і мають в точці одну й ту саму границю , то таку границю має функція:

Теорема 3. Якщо в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , виконується нерівність і існує границя , то .

Теорема 4. Якщо функція монотонна і обмежена при < або при >, то існує відповідно її ліва границя .



3. Обчислення границі функції

3.1 Перша та друга важливі границі

Візьмемо круг радіуса 1 (рис.2.) і позначимо радіанну міру кута через, 0<<.

Порівнюючи площі трикутників і і колового сектора , дістанемо:

<<

звідки

< <

або < < .

Розділивши останні нерівності на < 0,

дістанемо 1< < або 1 > > .

Оскільки і , то за теоремою 2 одержимо:

.

Оскільки , то

.

Отже, з вище розглянутих виразів одержали формулу , яка має назву перша важлива границя (перша чудова границя).

Скінченну границю послідовності , називають числом , тобто

.

Якщо змінна , приймаючи будь-які дійсні (раціональні та ірраціональні) додатні значення, то функція має своєю границею також число , тобто . Цю границю називають другою важливою границею (другою чудовою границею).

3.2 Порівняння нескінченно малих функцій

Дві нескінченно малі функції порівнюються між собою за допомогою дослідження їхнього відношення.

Нехай та - нескінченно малі функції при , тобто

, .

Для порівняння є такі означення:

1) функція і називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо , ;

2) функція називається нескінченно малою вищого порядку ніж при , якщо ;

3) функція називається нескінченно малою нижчого порядку ніж при , якщо .

4) функція називається нескінченно малою порядку відносно при , якщо , ;

5) нескінченно малі функції та називаються неперервними при , якщо в точціне існує границі їхнього відношення.

Аналогічно порівнюються нескінченно великі величини.



3.3 Розкриття невизначеностей границь

1)Невизначеність виду задана відношенням двох многочленів.

Приклад:

Підставивши , одержимо невизначеність виду . В таких випадках є загальний прийом: щоб розкрити невизначеність виду , задану відношенням двох многочленів, треба чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь у цих многочленах.

2) Невизначеність виду . В таких випадках потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники.

Наприклад:

.



Скорочення на тут можливе, тому що при визначенні границі значення . Множник через який чисельник і знаменник прямують до нуля, іноді називають критичним множником.

Приклад:

Маємо невизначеність виду . Оскільки ця невизначеність задається відношенням двох множників, то потрібно чисельник і знаменник поділити на критичний множник і одержимо:

3) Невизначеність виду задана ірраціональними виразами.

В таких випадках позбуваються від ірраціональності в чисельнику. Наприклад:

4) Невизначеність виду задані ірраціональними виразами.

Наприклад:



5)Невизначеність виду задані виразами, що містять тригонометричні функції, часто розкриваються за допомогою першої важливої (чудової) границі.

Наприклад:

6) При розкритті невизначеності виду використовують другу важливу (чудову) границю.

Наприклад:



Завдання для самоконтролю

1.Що називається числовою послідовністю?

2.Як можна задати числову послідовність?

3.Що називається границею числової послідовності?

4.Що називається границею змінної величини?

5.Яка величина називається нескінченно великою?

6.Сформулюйте властивості нескінченно великих величин.

7.Дати означення границі функції в точці.

8.В чому полягає геометричний зміст границі функції в точці?

9.Що називається нескінченно великою функцією?

10.Які величини називаються нескінченно малими?

11.Назвати властивості нескінченно малих.

12.Сформулювати основні теореми про границі та їх вивести.

13.Який порядок обчислення границі функції?

14.Що собою являють перша та друга важливі (чудові) границі?

15.Сформулювати означення порівняння нескінченно малих функцій.

16.Назвати види невизначеностей границь та порядок знаходження таких границь.

Размещено на Allbest.ru

...