Групи з інваріантними нормалізаторами підгруп

Размещено на http://allbest.ru

Національна Академія Наук України

Інститут математики

01.01.06 - Алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Групи з інваріантними нормалізаторами підгруп

Савочкіна Тетяна Ігорівна

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Національному педагогічному університеті

ім.М.П.Драгоманова, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Кузенний Микола Феодосійович,

Інституту математики НАН України,

провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Лиман Федір Миколайович,

Сумський державний педагогічний університет

імені А.С.Макаренка

завідувач кафедри математики

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Боднарчук Юрій Вікторович,

Національний університет “Києво-Могилянська академія”

завідувач кафедри математики

Провідна установа: Львівський національний університет

імені Івана Франка МОН України

Захист відбудеться “19” квітня 2005 року о 17:00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розіслано “17” березня 2005 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дослідження груп за заданими властивостями деяких систем їх підгруп є одним із важливих напрямків сучасної теорії груп. Суттєву роль у розвитку ідей і методів цього напрямку відіграли роботи Р. Дедекінда, О.Ю. Шмідта та Р.Бера. Значний внесок у вивчення груп з обмеженням для підгруп зробив С.М.Черніков. До цього напрямку відносяться дослідження, в яких обмеження накладаються на нормалізатори підгруп і вони носять різноманітний характер: нормалізаторна умова (О.Ю.Шмідт, Б.І.Плоткін, А.Г.Курош, С.М.Черніков, Ф.М.Лиман, Х.Хейнекен, М.І.Каргаполов, М.С.Черніков); скінченність індексу (Б.Ньюмен, М.М.Семко, С.С.Левіщенко, Л.А. Курдаченко); максимальність нормалізаторів (А. Манн); структурні обмеження на множину нормалізаторів підгруп (Л.С.Казарін, В.П.Шунков, А.М.Паглюиса, Х.Херінг). Важливі результати при дослідженні груп з обмеженням на нормалізатори різних систем підгруп групи одержав Ф.М.Лиман, використовуючи поняття норми (-норми) групи.

Серед обмежень на нормалізатори системи підгруп виділимо наступні два напрямки:

А) дослідження груп з умовою нормальності нормалізаторів підгруп із системи ;

Б) дослідження груп, в яких нормалізатори із системи підгруп мають доповнення.

В 1968 році Ч.Хоббі започаткував дослідження груп з умовою А), тобто досліджувались групи, у яких нормалізатори усіх підгруп нормальні (-групи). Зокрема ним знайдено необхідні і достатні умови того, щоб 2-породжена р-група (p > 3) була -групою. С.К. Махдавіанарі в 1983 році довів, що усяка -група має клас нільпотентності 3, а в 1984 він класифікував усі 2-породжені -групи для p = 3. В 1987 році К. Махдаві запропонував класифікацію усіх 2-породжених 2-груп із з точністю до гомоморфних образів (знайдено визначальні співвідношення таких чотирьох 2-породжених 2-груп із , що кожна інша 2-породжена 2-група із класу є гомоморфним образом однієї із указаних груп). В 1996 році скінченні p-групи (для p3), у яких кожна підгрупа 2-субнормальна, вивчав Г. Пармежжіані; а у 2002 році Е.А.Ормерод одержала опис таких груп для р 5. Крім того, у 2004 році (у своїй сумісній роботі) ними було встановлено, що у всякій скінченній р-групі G (для р5) із класу комутант нормалізує кожну підгрупу. Незважаючи на ці результати проблема повного опису 2-породжених 2-груп із класу з точністю до ізоморфних образів залишалась невирішеною.

У 1973 році Д.С.Бучтал вивчав скінченні групи, нормалізатори неодиничних силовських підгруп яких мають холовське доповнення. І.П.Докторов і Т.Д.Гормаш узагальнили ці дослідження і з'ясували будову таких груп. А.В.Романовський досліджував групи, у яких нормалізатор сильно ізольованої підгрупи M < G має нормальне доповнення в G.

Відомо, що екстраспеціальні групи відіграють важливу роль, як в теорії скінченних простих груп, так і в теорії зображення груп у якості мінімальних випадків. Із опису екстраспеціальних груп випливає, що усяка скінченна екстраспеціальна 2-група G є -групою, нормалізатори підгруп із G мають доповнення в G і якщо G не ізоморфна групі кватерніонів, то вона породжується інволюціями. У зв'язку з цим важливого значення набуває вивчення таких скінченних 2-груп із , в яких нормалізатори підгруп мають доповнення (*-групи), а також -груп, породжених інволюціями.

В 1969 році у роботі “ Исследование групп с заданными свойствами подгрупп” С.М.Черніков виділив, як можливий об'єкт дослідження, клас груп з нормальними централізаторами усіх підгруп. У 1977 році Б.А.Крамарьов вивчав топологічні групи з нормальними централізаторами підгруп і встановив, що всяка така група є 2-енгелевою. Однак, як легко показати (лема 4.1.2), цей факт справедливий і для довільних дискретних груп, отже клас груп збігається з многовидом 2-енгелевих груп. Крім того, у таких групах другі нормалізатори нормальні. Відмітимо, що групи, у яких нормалізатори і централізатори усіх підгруп нормальні, мають центральний комутант.

Ф.Леві довів, що для многовиду виконуються строгі включення 2 3, де k - многовид нільпотентних груп класу k. Многовид 3 і решітка його підмноговидів R3 є предметом численних досліджень. Слід відмітити роботи: О.Н.Головіна і Н.П.Гольдіної, Н.Ф.Сєсєкіна, П.Конрада, В.Н.Ремеслєнікова, Б.Йонсона. Однак, многовид та решітку його підмноговидів R ще недостатньо вивчено. Зокрема, невідомою була будова вільних груп заданого рангу многовиду , а також невирішеним було питання про існування дуальних атомів решітки R.

При вивченні локально скінченних многовидів груп значну роль відіграють так звані критичні групи (Х.Нейман). Як встановили Л.Ковач і М.Ньюмен, скінченна група G є критичною тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови: і) група G не належить многовиду , породженому її власними фактор-групами; іі) група G не належить многовиду , породженому її власними підгрупами. Слід відмітити, що скінченні групи з умовою і) - це в точності монолітичні групи.

В теорії груп достатньо давно розпочато вивчення будови групи із заданим сімейством усіх її власних фактор-груп. Історичний екскурс та ряд важливих результатів у цьому напрямку можна знайти в роботах Л.А.Курдаченка і П.Соулеса та роботі М.С.Чернікова і Д.Я. Требенка. Дослідження груп з умовою іі) (для різних класів груп ) проводили Г.А.Мілер, Х.Морено, Ф.Леві, Брайент Роджер М., Д.Я.Требенко, М.Ф.Кузенний і М.М.Семко. Таким чином, вивчення вільних і критичних груп многовиду та груп, що задовольняють умову іі), є важливою задачею теорії многовидів груп.

Усе вище зазначене свідчить про те, що вивчення груп з обмеженням на нормалізатори підгруп типу А) та Б) має науковий інтерес та є актуальною задачею теорії груп.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації відноситься до програми теоретико-групових досліджень, що здійснюється в Інституті математики НАН України та Національному Педагогічному Університеті ім. М.П.Драгоманова.

Мета і задачі дослідження. Для більш точного формулювання мети введемо наступні позначення: - клас усіх груп, у яких нормалізатори усіх підгруп нормальні; * - клас усіх груп G із , у яких нормалізатори підгруп мають доповнення; - многовид усіх груп, у яких централізатори підгруп нормальні.

Метою роботи є конструктивний опис та вивчення властивостей примарних груп із класу з додатковими обмеженнями (обмеження кількості твірних, існування доповнень, породження групи інволюціями, існування центральних твірних інволюцій).

Основні задачі дисертаційної роботи: класифікація 2-груп з двома твірними із класу з точністю до ізоморфних образів та опис таких груп з обмеженнями на комутант; опис та класифікація усіх -груп, породжених елементом і двома інволюціями; доведення структурних теорем, які розкривають будову скінченних 2-груп із класу *; опис 4-породжених 2-груп із *; вивчення вільних і критичних груп многовиду та дослідження решітки підмноговидів R.

В роботі використовуються, як загальні методи теорії груп, так і специфічні методи дослідження скінченних примарних груп. Зокрема: метод мінімальних контрприкладів; розклад групи в прямі, півпрямі та центральні добутки власних підгруп; факторизація групи за центральними інволюціями. Використовуються також деякі факти з теорії чисел, комбінаторної теорії груп та теорії многовидів груп.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, сформульовані та доведені в теоремах і лемах дисертаційної роботи та наслідки з них, є новими і строго обґрунтованими. В дисертації вперше:

Розв'язано проблему класифікації 2-породжених 2-груп з нецентральним комутантом із класу з точністю до ізоморфних образів; за допомогою числових інваріантів дано опис таких груп: з циклічним комутантом; метациклічних груп; груп, що розщеплюються над комутантом;

Знайдено необхідні і достатні умови того, щоб скінченна 2-група G, породжена елементом і двома інволюціями, мала нормальні нормалізатори усіх підгруп; одержано класифікацію таких груп з нецентральним комутантом з точністю до ізоморфних образів;

Доведено ряд теорем, які розкривають будову скінченних 2-груп, у яких нормалізатори підгруп нормальні та мають доповнення;

Дано опис скінченних 2-груп із класу * з числом твірних 4;

Здійснено опис вільних і критичних груп многовиду ; а також встановлено ряд нових важливих властивостей решітки підмноговидів R.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Теореми, леми та наслідки з них, а також досліджені класи 2-груп, поповнюють конкретну базу абстрактної теорії груп. Одержані результати можуть бути використані при вивченні скінченних груп з іншими обмеженнями на нормалізатори підгруп. Матеріал дисертації можна використовувати для проведення спецкурсів та семінарів для студентів математичних спеціальностей. Окремі факти можуть бути основою для виконання дипломних та магістерських робіт.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано самостійно і опубліковано в 9 фахових виданнях без співавторів.

Апробація результатів роботи. Основні результати проведеного дослідження доповідались та обговорювались на: VIII Міжнародній науковій конференції імені М.Кравчука (Київ, 2000); Ш Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, 2001); IX Міжнародній науковій конференції імені М.Кравчука (Київ, 2002); X Міжнародній науковій конференції імені М.Кравчука (Київ, 2004); науково-звітних семінарах та конференціях молодих вчених Київського НПУ ім.М.П.Драгоманова; науковому семінарі з алгебри КНУ ім.Т.Г.Шевченка (керівник - професор Сущанський В.І.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано без співавторів в 13 роботах [1-13], чотири з них тези наукових конференцій. Повністю відображають основні результати дисертації 9 робіт, які надруковано в фахових виданнях. група інваріантний нормалізатор

Структура дисертації. Робота складається з переліку термінів та умовних скорочень; вступу; чотирьох розділів; висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації 133 сторінки, з них 125 сторінок основного тексту та 8 сторінок списку використаних джерел.

Основний зміст

У вступі визначено мету та задачі дисертаційного дослідження; обґрунтовано актуальність теми. Розкрито особистий внесок автора та апробацію результатів роботи.

У розділі 1 зроблено огляд літератури; сформульовано низку допоміжних тверджень інших авторів та встановлено ряд нових, які використовуються у подальших розділах дисертації. Основним є підрозділ 1.3, у якому встановлено ряд загальних властивостей про групи з нормальними нормалізаторами усіх підгруп. Зокрема доведено наступне твердження.

Теорема 1.3.1. Для того, щоб у групі G нормалізатори і централізатори усіх підгруп були нормальні необхідно і достатньо, щоб G була нільпотентною групою класу 2.

Як наслідок із цієї теореми виводиться, що усяка неперіодична -група G має центральний комутант.

Розділ 2 присвячено вивченню деяких класів 2-груп з нормальними нормалізаторами підгруп.

У підрозділі 2.1 досліджуються 2-породжені 2-групи із класу з нецентральним комутантом; вводиться поняття канонічної пари твірних та визначаються числові інваріанти, за допомогою яких дається повна класифікація усіх таких груп з точністю до ізоморфних образів. Позначимо K* узагальнену групу кватерніонів 16-го порядку, а через k - многовид нільпотентних груп класу k.

Теорема 2.1.1. Для того, щоб 2-група G = <u, v>K* з нецентральним комутантом була -групою необхідно і достатньо, щоб існували такі твірні a, b, для яких виконуються умови: |a| = 2, |b| {2 - 1, 2}; > 2; [a, b, a] = a, [a, b, b] = b, > k > 1, 2k > ; (ab)= ab, де {1, 1 + 2 - k - 1}; c = [a, b], c= 1, G 3.

Розглянемо довільну 2-групу G = <u, v> з нецентральним комутантом і покладемо: K = <u> <v>, L = <u> <c1>, M = <v> <c1>, R = <u> (<v><c1>), S = <v> (<u><c1>), T = <c1> (<u><v>), c1 = [u, v].

Теорема 2.1.2. Для того, щоб 2-породжена 2-група G з нецентральним комутантом була -групою необхідно і достатньо, щоб G була ізоморфна одній із груп T1*, …, T9*, які попарно не ізоморфні:

T1* = <u, v>, |u| = |v| = 2, c1 = [u, v], |c1| = 2, [u, v, u] = u, [u, v, v] = v,

= 1 + 2 - k - 1; L = R = K = {1}, T = M = S = <d>, d = v= c1,

> k = > l 1; > + 1, k 3; G 3.

T2* = <u, v>, |u| = 2, |v| = 2, |c1| = 2, [u, v, u] = u, [u, v, v] = v, L =

= R = K = {1}, T = M = S = <d>, d = v= c1; ;

> k > > l 0, G 3.

T3* = <u, v>, |u| = 2, |v| = 2, |c1| = 2, [u, v, u] = u, [u, v, v] = v,

K = M = S = {1}, R = T = L = <d>, d = u= c1, > ;

> k > l 1, k 3, > + 1; G 3.

T4*= <u, v>, |u| = 2, |v| = 2, |c1| = 2, [u, v, u] = u, [u, v, v] = v, M =

= K = {1}, L = <d>, d = u= c1; c1= uv, t - непарне,

1 t < 2, = min{ - k, l, - l, - - l}, |R| = |T| = 2, |S| = 2 - l;

> + l; > k > l 1, ; G 3.

T5* = <u, v>, |u| = |v| = 2, |c1| = 2 - 1, [u, v, u] = u, [u, v, v] = 1, K = L =

= R = {1}, M = S = T = <d>, d = v= c1, 3; G 3.

T6* = <u, v>, |u| = |v| = 2, |c1| = 2 - 1, [u, v, u] = 1, [u, v, v] = v,

K = L = R = M = S = T = <d>, d = u= v= c1, 3; G 3.

T7* = <u, v>, |u| = |v| = 8, |c1| = 4, [u, v, u] = 1, [u, v, v] = v4, K = M = S =

= <d>, d = u4 = v4 = c12, L = R = T = <c1>, c1 = u2; G 3.

T8* = <u, v>, |u| = 8, |v| = 2, |c1| = 2, [u, v, u] = u4, [u, v, v] = v4,

K = L = M = R = S = T = {1}, 3 1; G 3.

T9* = K* = <u, v>, |u| = |v| = 4, |c1| = 4, [u, v, u] = u2, [u, v, v] = v2,

K = L = M = R = S = T = <d>, d = u2 = v2 = c12.

У підрозділі 2.2 вивчаються 2-породжені 2-групи з додатковими обмеженнями на комутант. Основними твердженнями є теореми 2.2.1, 2.2.2 і 2.2.3, при доведенні яких суттєво використовується одержана класифікація.

Теорема 2.2.1. Усяка 2-група G = <u, v> з нецентральним циклічним комутантом ізоморфна одній із наступних груп: 1) H1 =T3* з умовою k і - l k; 2) H2 = T4* з умовою - l k; 3) H3 {T6*, T7*, T9*}.

Теорема 2.2.2. 2-група G = <u, v> з нецентральним комутантом буде метациклічною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна одній із груп: 1) L1 = T4* з умовою k > = ; 2) L2 {T7*; T9*}.

За означенням група G розщеплюється над комутантом, якщо G = D л л T, де D G і T {1}.

Теорема 2.2.3. 2-породжена 2-група G із класу з нецентральним комутантом розщеплюється над комутантом тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна одній із груп:

P1 = <u, v>, |u| = 2, |v| = 2, c1 = [u, v], |c1| = 2, [u, v, u] = u, [u, v, v] = 1,

K = L = R = M = S = T = {1}, > k 1, k > ; P1 3;

P2 = <u, v>, |u| = 2, |v| = 2, c1 = [u, v], |c1| = 2, [u, v, u] = u, [u, v, v] = 1,

K = M = S = {1}, R = T = L = <d>, d = u= c1, k 3, > + 1,

> k > l > 0, P2 3.

Як наслідок із теореми 2.2.3 випливає, що групи T1*, T4*, T5*, T6*, T7*, T9* не розщеплюються над комутантом. Група T2* розщеплюється тоді і тільки тоді, коли l = 0 і k . Група T3* розщеплюється над комутантом тоді і тільки тоді, коли k . Група T8* розщеплюється тоді і тільки тоді, коли {1, 2}.

У підрозділі 2.3 досліджуються 2-групи з нецентральним комутантом із класу , породжені елементом і двома інволюціями; тобто групи

G = G() = <a, t, v> , де |a| = 2, > 1; і t, v - інволюції. Будову таких груп описують теореми 2.3.1, 2.3.3 і 2.3.4. Покладемо: c1 = [a, t], c2 =

= [a, v], w = [t, v].

Теорема 2.3.1. Для того, щоб у групі G = G(), > 2, нормалізатори підгруп були нормальними необхідно і достатньо щоб виконувалися умови: 1)

c12 = c22 = w2 = 1, w Z(G); 2) [a, v, a] = a, [a, t, a] = a,

, {0, 1}; 3) [a, v, v] = [a, t, t] = [a, t, v] = [a, v, t] = 1.

Слід відмітити леми 2.3.1 і 2.3.2, які дають важливу інформацію про групи типу G = G(). Зокрема доведено, що комутант G - елементарна абелева підгрупа і якщо = 2, то G Z(G). Крім того на групі G() виконуються тотожності: (xy)4 = x4y4, [x4, y] = 1, [x2, y2] = 1, а також рівність [a, t, v] = 1.

Розглянемо множину груп M = {F1, …, F8}, кожна з яких породжується елементом a і інволюціями t, v. Крім того: |a| = 2, > 2, c12 = c22 =

= w2, a0 = a, a0, w Z(Fi), [c1, t] = [c1, v] = [c2, t] = [c2, v] = 1;

Fi = (Hi л <t>) л <v>, де

H1 = (<a> <w>) л (<c1> <c2>), c1c2 Z(F1), [c1, a] = [c2, a] = a0, |w| = 2;

H2 = (<a> <w> <c1>) л <c2>, c1 Z(F2), [c2, a] = a0, |c1| = 2, |w| = 2;

H3 = (<a> <c1>) л <c2>, c1 Z(F3), [c2, a] = w = a0, |c1| = 2;

H4 = (<a> <c1>) л <c2>, c1 Z(F4), [v, t] = 1, [c2, a] = a0, |c1| = 2;

H5 = (<a> <w>) л <c1>, [c1, a] = a0, c1 = c2, |w| = 2;

H6 = (<a> <w>) л <c2>, [c2, a] = a0, [a, t] = 1, |w| = 2;

H7 = <a> л <c2>, [t, v] = [c2, a] = a0, [a, t] = 1;

H8 = <a> л <c2>, t Z(F8), [c2, a] = a0, [t, v] = 1, [a, t] = 1.

Теорема 2.3.3. Для того, щоб група G = G(), > 2, з нецентральним комутантом, була -групою необхідно і достатньо, щоб G була ізоморфна одній із груп: F1, …, F8.

Теорема 2.3.4. Групи F1, …, F8 попарно не ізоморфні і для довільного > 2 F4, F5 і F8 є гомоморфними образами групи F1, а F3, F6, F7 - гомоморфні образи групи F2.

У розділі 3 вивчаються примарні групи, у яких нормалізатори підгруп нормальні та мають доповнення (*-групи).

У підрозділі 3.1 досліджуються -групи, породжені інволюціями. Вводиться клас груп : група G тоді і тільки тоді, коли G - скінченна 2-група, яка породжується інволюціями і для якої |G| = 2. Відмітимо, що усяка скінченна екстраспеціальна 2-група G, яка не ізоморфна групі кватерніонів Q 8-го порядку, належить класу . Леми 3.1.1 - 3.1.6 розкривають основні властивості -груп.

Нехай A - скінченна елементарна абелева 2-група або A = {1}.

Теорема 3.1.1. Скінченна 2-група G є -групою тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна групі одного із слідуючи типів:

F1) G = EA, де Е - скінченна екстраспеціальна 2-група, не ізоморфна Q;

F2) G = (E<g>) A, |g| = 4 і Е - довільна скінченна екстраспеціальна 2- група;

Теорема 3.1.2. Нехай G - скінченна 2-група, яка породжується інволюціями і комутант G = <z>, z2 = 1. Тоді у групі G нормалізатор кожної підгрупи Н із G має доповнення в G, тобто група G *.

Як наслідок із цієї теореми випливає, що усяка скінченна екстраспеціальна 2-група G *. Крім того, якщо G , то усяка підгрупа H із G належить *.

У підрозділі 3.2 доводяться основні твердження про скінченні примарні *-групи. Встановлено (лема 3.2.1), що клас * замкнений за гомоморфними образами і незамкнений за підгрупами та прямими добутками груп. Вводиться у розгляд важливий клас метаелементарних груп. Група Mk = (R T) л <a>, де T = <t1> … <tk>, R = <b1> … <bk>, [a, ti] = bi, [a, bi] = 1, де a, bi, ti -інволюції, називається метаелементарною групою.

Теорема 3.2.1. Нехай G - скінченна 2-група із і = 0 1 - її мінімальна система твірних, де 0 - система із n + 1 інволюцій, n 0; якщо 1 , то 1 Z(G). Якщо в групі G існує така елементарна абелева підгрупа Н, що |H| = 2n і H (BФ(G)) = {1}, де B = <1>, то група G *.

Як наслідок із цієї теореми випливає, що метаелементарна група Mk

* і якщо k > 1, то в Mk існує підгрупа H *. Крім того, для усякої скінченної абелевої 2-групи B група G = Mk B *; зокрема, якщо D - група діедра 8-го порядку, то D B * (наслідки 3.2.1, 3.2.2 і 3.2.3).

Теорема 3.2.2. Нехай G - скінченна недедекіндова 2-група із * і G містить єдину центральну інволюцію z. Тоді в G існують підгрупи R і F такі, що 1) G = RF, RG; 2) R - дедекіндова підгрупа;

3)F = F /F<z> - елементарна абелева група; 4) G = <z> Z(G).

Теорема 3.2.3. Усяка скінченна 2-група G із * є нільпотентною класу 2 і її комутант G - елементарна абелева підгрупа, або G = {1}. Крім того, на G виконуються тотожності: [x2, y] = 1, (xy)4 = x4y4 і для кожної підгрупи H G доповненням до нормалізатора NG(H) є елементарна абелева підгрупа T або T = {1}.

Нехай H - підгрупа групи G * і G = NG(H) л T, тоді підгрупа T називається N-доповненням до підгрупи H у групі G.

Теорема 3.2.4. Нехай G - скінченна неабелева 2-група із * не містить центральних твірних інволюцій і нехай Т1 - довільна елементарна абелева підгрупа із G максимального порядку, для якої Т1 Ф(G) = {1}. Тоді:

для усякого N-доповнення Т2 до підгрупи Т1 в G виконуються рівності: G = NG(T1) л Т2 = NG(T2) л Т1;

G = FS, де [F, S] = {1}, F S G, F = <T1, T2>, expF = 4,

S = N1 N2, N1 = NG(T1) = T1 S, N2 = NG(T2) = T2 S, Ф(G) S,

Z(F) F і = {1};

об'єднання 1 2 мінімальних систем твірних 1 і 2, відповідно підгруп Т1 і Т2, є мінімальною системою твірних підгрупи F, крім того F G = F;

мінімальну систему твірних групи G можна вибрати так, що

= 1 2 3, де 3 S або 3 = .

Нехай Q і D, відповідно, група кватерніонів і група діедра 8-го порядку; M = Mk - метаелементарна група; L - скінченна елементарна абелева 2-група; A - абелева скінченна 2-група і K - довільна скінченна група із *. Покладемо: F1 = M D, F2 = Q D, F3 = A D, F4 = L K, F5 = M A; R1 = Q Q, R2 = Q <t>, |t| = 2n, n > 1. Лема 3.2.5 доводить, що групи F1, …, F5 *, а групи R1, R2 *.

У підрозділі 3.3, використовуючи попередні результати, дається повна класифікація 2-груп із * з числом твірних 4. Введемо у розгляд клас груп = {Г1, …, Г11}, де Г1 - абелева 4-породжена 2-група, Г2 = D A, Г3 = Q K; Г4 = DA; Г5 = M5 <f>, |f| = 2k, k 1; Г6 = DQ; Г7 = D Q; Г8 = M5<g>, |g| = 2k, k 2, M <g> = <z>, |z| = 2; Г9 = M7; Г10 = D1 D2; Г11 = D1D2; де A - скінченна абелева 2-породжена 2-група; Mr - метаелементарна група; Di - групи діедра 8-го порядку.

Теорема 3.3.1. Для того, щоб скінченна 4-породжена 2-група G належала * необхідно і достатньо, щоб вона була ізоморфна одній із груп Г1, …, Г11.

У розділі 4 досліджується клас груп з нормальними централізаторами підгруп. Оскільки клас збігається с многовидом 2-енгелевих груп, то розглядаються лише проблеми, пов'язані з вільними та критичними групами многовиду .

У підрозділі 4.1 встановлено низку загальних тверджень про групи із многовиду (леми 4.1.1, 4.1.2 і 4.1.3). Далі вводиться у розгляд спеціальна група F = F123 Fijk і доводиться

Теорема 4.1.1. Многовид породжується кожною своєю вільною групою F3 рангу 3, причому F3 F123. Усяка вільна група F(X) многовиду , з зчисленною системою вільних твірних X, ізоморфна піддекартовому добутку спеціальних груп і F(X) = Hijk л Fijk, і < j < k, де Hijk = <X0F> - нормальне замикання підгрупи <X0> в F(X) і X0 = X \ {xі, xj, xk}.

Наслідок 4.1.1. Нехай F3 - вільна група рангу 3 многовиду , тоді F3 = ((F3 л <a>) л <b>) л <c>, де |a| = |b| = |c| = ; підгрупа F3 = <z> <u> <v> <w>, |u| = |v| = |w| = , u = [a, b], v = [a, c], w = [b, c], z = [a, b, c]= = [b, c, a] = [c, a, b], |z| = 3, z Z(F3); F3 Z(F3) = <z> <u3> <v3> <w3>; [u, a] =[u, b] = [v, a] = [v, c] = [w, b] = [w, c] = 1.

Теорема 4.1.2. Многовид 2 - єдиний максимальний підмноговид многовиду і усяка група G \2 така, що усі власні підгрупи якої належать 2, є скінченною 3-породженою 3-групою.

Відмітимо, що скінченні групи G 2, власні підгрупи яких належать 2, досліджувались Ф.Леві (1942р.) і Д.Я.Требенком (1993р.).

У підрозділі 4.2 дається опис -критичних груп із многовиду . Як відомо, група G називається критичною, якщо вона скінченна і не належить многовиду, породженому її власними факторами. Група G називається -критичною, якщо її власні підгрупи і фактор-групи належать многовиду 2, а сама група G \2.

Теорема 4.2.1. Для того, щоб група G була -критичною необхідно і достатньо щоб виконувалися слідуючи умови:

G - скінченна 3-породжена 3-група з циклічним центром Z(G);

існують твірні a, b, c групи G, для яких виконуються рівності:

z = [a, b, c] =[b, c, a] = [c, a, b] Z(G); |z| = 3, [u, a] = [u, b] = [v, a] =

= [v, c] = [w, b] = [w, c] = 1, u = [a, b], v = [a, c], w = [b, c].

Опис -критичних груп з елементарним абелевим комутантом дає

Теорема 4.2.2. Для того щоб група G була -критичною з елементарним абелевим комутантом необхідно і достатньо, щоб вона була ізоморфна одній із груп:

G = B(3, 3) - 3-породжена група з тотожністю x3 = 1, причому |G| = 37 (група Бернсайда);

G = <a, b, c> = ((<a> л R) л <b>) л <c>, |a| = 3, > 1; |b| = |c| = 3; z =

= [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] Z(G); u = [a, b], v = [a, c], w = [b, c],

u3 = v3 = w3 = z3 = 1; [u, a] = [u, b] = [v, a] = [v, c] = [w, b] = [w, c] = 1;

z = a; G = <z> R, R = <u> <v> <w>; Z(G) = <a3>.

Завершується підрозділ 4.2 дослідженням -критичних груп з неелементарним абелевим комутантом. Будову таких груп розкриває теорема 4.2.3. Як наслідок із цієї теореми випливає, що усяка -критична група G має порядок 3k, де k 7 (цей результат належить Д.Я.Требенко).

Висновки

В дисертаційній роботі проведено дослідження наступних класів груп: примарних груп, у яких нормалізатори усіх підгруп нормальні (-групи); скінченних 2-груп із , у яких нормалізатори підгруп мають доповнення (*-групи); многовиду усіх груп з нормальними централізаторами підгруп. В дисертації вперше:

розв'язано проблему класифікації усіх 2-породжених 2-груп з нецентральним комутантом із класу з точністю до ізоморфних образів; знайдено необхідні і достатні умови того, щоб скінченна 2-пород-жена 2-група була -групою;

доведено, що групи, в яких централізатори і нормалізатори усіх підгруп нормальні, мають центральний комутант;

дано опис 2-груп із класу , породжених елементом і двома інволюціями; знайдено усі типи таких груп з нецентральним комутантом;

введено в розгляд і вивчено будову класу -груп, який є розширенням класу екстраспеціальних 2-груп, за виключенням групи кватерніонів 8-го порядку; доведено, що в усякій -групі нормалізатори підгруп нормальні та мають доповнення;

дано конструктивний опис * груп, з додатковими обмеженнями; доведено, що усяка скінченна 2-група із класу * має центральний комутант;

вивчено будову скінченних 2-груп із *, що містять єдину центральну інволюцію, та будову скінченних 2-груп із *, що не містять центральних твірних інволюцій;

дано опис 4-породжених 2-груп із класу *, знайдено усі типи таких груп з точністю до ізоморфних образів;

одержано опис вільних та критичних груп многовиду ; доведено, що многовид породжується кожною своєю вільною групою рангу 3.

В дисертації одержано і ряд інших результатів, які є новими і які мають певний інтерес для сучасної теорії груп.

Відмітимо, що основні методи, які розроблено для класифікації скінченних 2-породжених -груп (метод канонічних пар, метод факторизації за інволюціями) можуть бути корисними і при дослідженні інших класів 2-породжених груп.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору Кузенному М.Ф.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Мельник Т.І. Групи з нормальними нормалізаторами підгруп і циклічним комутантом // Вісник КНУ. Серія: фіз.-матем. науки. - 2001. - №2. - С. 54-75.

Мельник Т.І. Про критичні групи з нормальними централізаторами підгруп // Вісник КНУ. Серія: фіз.-матем. науки. - 2001. - №3. - С. 43-52.

Мельник Т.І. Многовиди груп з інваріантними централізаторами підгруп // Укр. матем. журн. - 2002. - 54, №4. - С. 483-491.

Мельник Т.І. Про групи з обмеженнями на нормалізатори підгруп // Доповіді НАН України. Матем., природознавство, техн. науки. - 2002. - № 4 - С.20-23.

Мельник Т.І. Примарні групи з нормальними нормалізаторами і нециклічним комутантом // Вісник КНУ. Серія: фіз.-матем. науки. - 2002. - № 2. - С. 77-85.

Мельник Т.І. Властивості груп з нормальними нормалізаторами підгруп // Наукові записки НПУ ім.М.П.Драгоманова. - 2002. - №3. - С. 236-249.

Мельник Т.І. Про один клас груп, породжених елементом і двома інволю-ціями // Вісник КНУ.Серія: фіз.-матем. науки.- 2003. - № 3.- С.49-59.

Мельник Т.І. Примарні групи, у яких нормалізатори підгруп інваріантні і мають доповнення // Вісник КНУ. Серія: фіз.-матем. науки. - 2003. - № 4. - С.39-54.

Мельник Т.І. Про проблему класифікації 2-породжених 2-груп з інваріантними нормалізаторами підгруп // Вісник КНУ. Серія: фіз.-матем. науки. - 2004. - № 1. - С.36-42.

10. Мельник Т.І. Екваціональна характеристика груп з інваріантними централізаторами підгруп // Матеріали VIII-ої Міжнародної наукової конференції ім.академіка М.Кравчука. - К.: НТУУ (КПІ), 2000. - С.325.

Мельник Т.І. Про групи з нормальним обмеженням на систему нормалізаторів // Третя Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні - Суми: СумДПУ ім..А.С.Макаренка, 2001. - С. 212-214.

Мельник Т.І. Про одне узагальнення груп Мілера-Морено // Матеріали IX-ої Міжнародної наукової конференції ім.акад.М.Кравчука - К.: НТУУ “КПІ”, 2002. - С.328.

Мельник Т.І. Класифікація 2-породжених 2 груп з інваріантними нормалізаторами підгруп // Десята Міжнародна наукова конференція ім.академіка М.Кравчука. - К.: Задруга, 2004. - С.454.

Анотації

Савочкіна Т.І. Групи з інваріантними нормалізаторами підгруп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

В дисертації проведено дослідження наступних класів груп: при-марних груп, у яких нормалізатори усіх підгруп нормальні (-групи); скінченних 2-груп із , у яких нормалізатори підгруп мають доповнення (*-групи); многовиду усіх груп з нормальними централізаторами підгруп.

У роботі розв'язано проблему класифікації 2-породжених 2-груп з нецентральним комутантом із класу з точністю до ізоморфних образів; за допомогою числових інваріантів дано опис таких груп: з циклічним комутантом; метациклічних груп; груп, що розщеплюються над комутантом. Знайдено необхідні і достатні умови того, щоб скінченна 2-група G, породжена елементом і двома інволюціями, мала нормальні нормалізатори усіх підгруп; одержано класифікацію таких груп з нецентральним комутантом з точністю до ізоморфних образів.

Доведено ряд теорем, які розкривають будову скінченних 2-груп, у яких нормалізатори підгруп нормальні та мають доповнення. Дано опис скінченних 2-груп із класу * з числом твірних 4. Доведено, що усяка група з нормальними нормалізаторами і централізаторами усіх підгруп має центральний комутант.

Зроблено опис вільних і критичних груп многовиду ; а також встановлено ряд нових властивостей решітки підмноговидів R.

Ключові слова: нормальний нормалізатор, комутант, 2-група, екстраспеціальна група, доповнення до нормалізатора, многовид, критична група.

Савочкина Т.И. Группы с инвариантными нормализаторами подгрупп. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

В диссертационной работе проведено исследование следующих классов групп: примарных групп, у которых нормализаторы всех подгрупп нормальны (-групп); конечных 2-групп из , у которых нормализаторы подгрупп имеют дополнения (*-групп); многообразия всех групп с нормальными централизаторами подгрупп.

В работе решена проблема классификации всех 2-порожденных 2-групп с нецентральным коммутантом из класса с точностью до изоморфных образов; найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы конечная 2-порожденная 2-группа с нецентральным коммутантом была -группой; с помощью числовых инвариантов получено описание -групп: с циклическим коммутантом; метациклических; групп расщепляемых над коммутантом. Дано описание 2-групп из класса , порожденных элементом и двумя инволюциями; найдены все типы таких групп с нецентральным коммутантом. Доказано, что группы, в которых централизаторы и нормализаторы всех подгрупп нормальны, имеют центральный коммутант.

В работе исследуются 2-группы из класса , порожденные инволюциями. Рассматривается класс 2-групп , который является естественным расширением класса экстраспециальных 2-групп (за исключением группы кватернионов Q). Конечная 2-группа G принадлежит тогда и только тогда, когда она порождается инволюциями и |G| = 2. Доказывается, что в каждой -группе нормализаторы подгрупп нормальны и имеют дополнения. Установлено, что всякая конечна 2-группа из * имеет центральный коммутант, и для нормализатора каждой подгруппы имеется элементарное абелевое дополнение. Раскрыто строение конечных недедекиндовых 2-групп из класса * с единственной центральной инволюцией, а также *-групп, у которых нет центральных образующих инволюций. Дано описание всех 2-групп из класса * с количеством образующих n 4; с точностью до изоморфных образов перечислены все типы таких групп.

Класс всех групп с нормальными централизаторами всех подгрупп совпадает с многообразием всех 2-энгелевых групп. Получено описание свободных групп ранга > 2 из многообразия и доказано, что многообразие порождается каждой своей свободной группой ранга 3. Доказано, что многообразие всех групп с центральным коммутантом - единственное максимальное подмногообразие многообразия . Каждая группа из , собственные подгруппы которой имеют центральный коммутант, является конечной 3-порожденной группой. Дано описание -крити-ческих групп; найдены все типы таких групп.

Ключевые слова: нормальный нормализатор, коммутант, 2-группа, экстраспециальная группа, дополнение до нормализатора, многообразие, критическая группа.

Savochkina T.I. Groups with normal normalizers of subgroups. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's degree in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Institute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kyiv, 2005.

We are investigating such clauses of the groups: primary groups with normal normalizers of all subgroups (ф-groups); finite 2-groups from ф, which normalizers of subgroups have additions (ф*-groups); variety д all groups, with normal centralizers of all subgroups.

We solved the problem of classification of 2-generator 2-groups with nonecentral commutant from class ф with exactly up to isomorphism. We described these groups with help of numeral invariants: the groups with cyclic commutant; the metacyclic groups; the groups with dividing over the commutant. We are founding necessary and sufficient condition for the groups, generated by one element and two involutions, have normal normalizers of all subgroups; we received the classification of these groups with noncentral commutant with exactly up to isomorphism.

We have proved theorems about building of finite 2-groups which normalizers of all subgroups are normal and have additions. Finite 2-groups from ф*, which are generated 4 elements, have described. We have proved that each group with normal normalizers and normal centralizers of all subgroups have central commutant.

Free and critical groups of variety д are described; new properties of lantice of subvarieties Rд are founded.

Keywords: normal normalizer, a commutant, a 2-group, extraspecial group, addition to normalizer, a variety, critical group.

Размещено на Allbest.ru

...