Скінченні орієнтовні графи та їх застосування в структурній теорії кілець

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

СКІНЧЕННІ ОРІЄНТОВНІ ГРАФИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В СТРУКТУРНІЙ ТЕОРІЇ КІЛЕЦЬ

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор КИРИЧЕНКО Володимир Васильович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, професор кафедри геометрії.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор КОМАРНИЦЬКИЙ Микола Ярославович, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, завідувач кафедри алгебри і логіки;

кандидат фізико-математичних наук БЕЗУЩАК Оксана Омелянівна, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, доцент кафедри алгебри та математичної логіки.

Провідна установа: Ужгородський національний університет, кафедра алгебри, Міністерство освіти і науки України, м. Ужгород.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “28” квітня 2006 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

Загальна характеристика роботи

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню зв'язків між теорією графів та структурною теорією кілець. Важливим етапом в розвитку теорії скінченновимірних алгебр над полем та їх зображень була робота швейцарського математика П.Габріеля, в якій було введено поняття сагайдака скінченновимірної алгебри та зображення сагайдака.

Л.А.Скорняков у 1968 р. ввів важливий клас напівланцюгових кілець, який включає в себе однорядні та узагальнено однорядні кільця Накаями. Цей клас міститься в класі напівдосконалих кілець, який було введено у 1960 році американським математиком Бассом.

Властивості напівланцюгових кілець вивчалися багатьма авторами, в першу чергу Капланським, Купишем, Голді, Фаччіні, Фуллером, Айзенбудом та Гриффітом, Уорфілдом, В.Камілло, Л.А.Скорняковим, Ю.А.Дроздом, В.В.Кириченком, Г.Є.Пунінським, А.А.Туганбаєвим та іншими.

На початку 70-х років Л.О.Назаровою та А.В.Ройтером були введені зображення частково впорядкованих множин у зв'язку з побудовою загальної теорії матричних задач та їх застосуванням до теорії зображень скінченновимірних алгебр.

Поняття сагайдака скінченновимірних алгебр було перенесено В.В. Кириченком на випадок нетерових напівдосконалих кілець в 1975 році як правої схеми кільця. Багато властивостей кілець можна охарактеризувати властивостями їх сагайдаків.

Актуальність теми. В дисертаційній роботі досліджується зв'язок між нерозкладними напівдосконалими кільцями та певними видами скінченних орієнтовних графів, які співставлені таким кільцям. Важливим частинним випадком таких графів є так звані праворядні сагайдаки, які пов'язані з сагайдакими часткових та однозначних відображень. Описуються дводольні графи, які виникають при вивченні скінченно породжених модулів, і доводиться теорема про напівпримарні напівдистрибутивні кільця скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю. Досліджуються квазіфробеніусові кільця, які є слабосиметричними скінченновимірними алгебрами над алгебраїчно замкненим полем. Досліджуються слабосиметричні скінченновимірні алгебри та будується приклад слабосиметричної алгебри, яка не є симетричною. сагайдак напівдосконалий алгебра слабосиметричний

В роботі використовуються методи теорії графів, теорії зобра-жень частково впорядкованих множин, методи теорії кілець та модулів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань підрозділу “Геометричні структури та їх застосування” держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є вивчення сагайдаків різного типу відображень; обчислення кількості помічених праворядних сагайдаків; дослідження деяких класів напівдосконалих кілець та їх сагайдаків; розгляд слабосиметричних скінченновимірних алгебр та опис напівдистрибутивних та напівпримарних кілець скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю.

У дисертаційній роботі поставлено наступні задачі:

встановити кількість сагайдаків часткових та однозначних відображень;

встановити зв'язок сагайдаків часткових та однозначних відображень з праворядними сагайдаками;

дослідити досконалі праворядні кільця та зв'язність їх сагайдаків;

опис напівпримарних напівдистрибутивних кілець скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю;

дослідження слабосиметричних скінченновимірних алгебр над алгебраїчно замкненим полем;

побудувати праворядне нетерове нерозкладне кільце, яке не є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця;

дослідити квазіфробеніусові кільця, які є слабосиметричними скінченновимірними алгебрами над алгебраїчно замкненим полем.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше отримано такі нові теоретичні результати:

доведено, що існує (n+1)ⁿ помічених праворядних сагайдаків на n точках;

доведено, що кількість зв'язних помічених праворядних сагайдаків дорівнює

;

доведено, що кількість сильно зв'язних помічених праворядних сагайдаків на n вершинах дорівнює (n-1)!;

знайдено наступні еквівалентні умови для досконалого праворядного кільця: A -- нерозкладне; факторкільце A/R² --нерозкладне; сагайдак Q(A) зв'язний;

доведено, що спадкове справа досконале праворядне кільце є артіновим справа;

наведено приклад праворядного нетерового нерозкладного кільця, яке не є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця;

доведено, що для довільного сильно зв'язного сагайдака Q і для довільного поля k існує симетрична k-алгебра А така, що Q= Q(A);

розглянуто слабосиметричні скінченновимірні алгебри над полем та побудовано приклад слабосиметричної алгебри, яка не є симетричною;

для напівпримарних напівдистрибутивних кілець, квадрат ради-калу яких дорівнює нулю, доведено критерій скінченності типу.

Всі ці результати мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Її результати та методи можуть бути використаними в теорії кілець та модулів, в теорії зображень, в лінійній алгебрі, а також в подальших дослідженнях класів кілець скінченного типу.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівнику належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Результати підрозділів 1.4, 1.5, твердження 1.4.6, теорема 1.4.7, твердження 1.5.4 отримані дисертантом у співавторстві з Журавльовим В. М., який рецензував обчислення; результати з підрозділів 2.5, 3.2, 3.3, 3.7, 4.2 отримані дисертантом особисто, це теорема 2.5.4, теорема 3.2.7, теорема 3.3.9, твердження 3.7.7 та теорема 4.2.1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на Третій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Суми, липень 2001 p.), Міжнародній Математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті (м. Київ, червень 2002 р.), Четвертій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Львів, серпень 2003 p.), П'ятій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Одеса, липень 2005 p.).

Публікації.Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1]-[10], які наводяться в кінці автореферату. Роботи [1]-[4] опубліковані у фахових виданнях, що відповідають вимогам ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів (всього 22 підрозділи), висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи - 127 сторінок, 8 з яких це список використаних джерел (112 найменувань).

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику Кириченку Володимиру Васильовичу та співавтору Журавльову Віктору Миколайовичу за постійну увагу та консультації при виконанні даної роботи.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність дослідження, показано зв'язок теми, що досліджується в роботі, із планами наукових досліджень кафедри, формулюється мета і задачі дослідження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації. Дисертаційна робота складається з чотирьох розділів.

Розділ 1 містить основні означення та деякі твердження, які використовуються у дисертаційній роботі. Цей розділ присвячено розгляду графів і сагайдаків. Важливим поняттям, яке розглядається в цьому розділі є поняття праворядного сагайдака.

У підрозділі 1.1 наводяться допоміжні відомості з теорії графів: означення дерев, зв'язних графів та їх характеристичні властивості. У підрозділ 1.2 наводиться доведення добре відомої теореми Келі (1.2.1). Теорема. На п вершинах можна побудувати п^п-2 помічених дерев.

Теорема Келі має багато різних доведень, а її результат часто використовується в обчисленнях кількості дерев та сагайдаків. Ця формула має не одне красиве доведення, які спираються на комбінаторні та алгебраїчні методи. В дисертації її доведено за допомогою взаємно однозначної відповідності дерев та множини впорядкованих наборів.

При вивчені сагайдаків праворядних кілець виникають так звані праворядні сагайдаки. Сагайдак називається праворядним, якщо з кожної його вершини виходить не більше однієї стрілки. Основні означення і відомі результати про праворядні сагайдаки наводяться в підрозділі 1.3.

Для сагайдака Q і поля k можна задати алгебру шляхів A(Q,k) над полем k. Це векторний простір над k, що складається з усіх шляхів сагайдака Q. Множення в A(Q,k) можна визначити таким чином: якщо існує шлях ₁₂…_m, який зв'язує і з j, і існує шлях _mm+1…_n, який зв'язує j з k, тоді добутком буде шлях ₁…_mm+1…_n який зв'язує i з k. В іншому разі добутком буде шлях довжини 0. Одиницею цієї алгебри є сума усіх шляхів _і довжини нуль. Поширюючи множення шляхів за дистрибутивністю, ми отримаємо k-алгебру (скінченної розмірності).

Розглядається вигляд матриць суміжності в залежності від сагайдаків, переставно незвідні матриці пов'язуються з сильно зв'язними сагайдаками. Доводиться єдиність розбиття сагайдака в сильно зв'язні компоненти, яке витікає з єдиності розбиття множини його вершин на класи еквівалентності.

Прикладами праворядних сагайдаків є сагайдаки часткових відображень та сагайдаки однозначних відображень. Вони розглядаються в підрозділах 1.4 і 1.5.

Сагайдак на п точках називається поміченим, якщо його вершини занумеровані натуральними числами від 1 до п.

Твердження 1.4.6. Існує (n+1)ⁿ помічених праворядних сагайдаків на n точках.

Теорема 1.4.7. Кількість зв'язних помічених праворядних сагайдаків на n точках дорівнює

.

Твердження 1.5.4. Кількість сильно зв'язних помічених праворядних сагайдаків на n вершинах дорівнює (n-1)!.

Результати 1.4.5, 1.4.7 та 1.5.4 отримані у співавторстві з Журавльовим В.М, і опубліковані в [1], [2], [6].

Розділ 2 присвячений вивченню питання розкладу кільця в прямий добуток нерозкладних кілець. Доводиться еквівалентність нерозкладності досконалого праворядного кільця та зв'язності його сагайдака.

В підрозділі 2.1 розглядаються сагайдаки напівдосконалих кілець і описується вигляд двостороннього пірсовського розкладу радикала Джекобсона цього кільця. Наводиться і використовується в розділах дисертаційної роботи твердження і доведення добре відомих ануляторної леми [2.1.2] та Q-леми [2.1.3].

Підрозділ 2.2 стосується властивостей первинного радикалу, який у випадку артінового справа кільця співпадає з радикалом Джекобсона. Для внутрішньої характерізації вводиться означення строгої нільпотентності і теорема Дж. Левінскі.

Сагайдак Q(A,Pr(A)) напівдосконалого кільця А називається первинним сагайдаком А і позначається PQ(A). Якщо А -- артінове справа кільце, то за твердженням 2.2.3 первинний радикал співпадає з радикалом Джекобсона. Тому в цьому випадку первинний сагайдак PQ(A) отримується із сагайдака Q(A) заміною всіх стрілок, що виходять з однієї вершину в іншу, однією стрілкою, тобто, PQ(A)= Q_и(A).

Теорема 2.3.2. Нехай А -- напівдосконале кільце. Сагайдак Q(A,), асоційований з нільпотентним ідеалом , зв'язний тоді і тільки тоді, коли кільце А є нерозкладним.

Наслідок 2.3.4. Нехай А -- напівдосконале кільце з первинним радикалом Pr(A). Якщо Pr(A) є нільпотентним ідеалом, то первинний сагайдак PQ(A) зв'язний тоді і тільки тоді, коли А -- нерозкладне кільце.

Наслідок 2.3.5. Первинний сагайдак PQ(A) напівдосконалого нетерового кільця А з первинним радикалом Pr(A) зв'язний тоді і тільки тоді, коли А -- нерозкладне кільце.

В підрозділі 2.4 для напівдосконалого кільця А вводиться сагайдак Пірса, який у випадку скінченновимірної алгебри з нульовим квадратом радикала Джекобсона співпадає з сагайдаком Габріеля.

Сагайдаком Пірса напівдосконалого кільця А з радикалом Джекобсона R є орієнтований граф Г(А)=(V,E) з множиною вершин V={e₁,…,e_r} і множиною стрілок Е={(e_i, e_j) e_iRe_j 0}.

Очевидно, сагайдак Г(А) такий же для кілець, Моріта-еквівалентних кільцю А. Нагадаємо, що скінченновимірна алгебра А над полем k називається алгеброю скінченного типу, якщо вона має скінченне число нееквівалентних нерозкладних зображень. Зазначимо, що якщо А _ алгебра скінченного типу з нульовим квадратом радикала, то сагайдак Габріеля Q(A) співпадає з сагайдаком Пірса Г(А).

Кільце A називається досконалим справа (зліва), якщо кожен правий (лівий) A_модуль має проективне накриття. Досконале зліва і справа кільце є досконалим.

Теорема 2.5.4. Наступні умови рівносильні для досконалого праворядного кільця A: (1) кільце A нерозкладне;

(2) факторкільце A/R² нерозкладне;

(3) сагайдак Q(A) зв'язний.

Теорема 2.5.5. Спадкове справа досконале праворядне кільце є артіновим справа.

Результатом підрозділу також є приклад праворядного нетерового з двох сторін кільця, яке не є прямим добутком артінового і напівпервинного кільця. Нехай де р _ просте і _ поле з р елементів. Розглянемо кільце А наступного виду:

Додавання визначається поелементно. Нехай --канонічний епіморфізм: . Множення елементів кільця визначається за правилом:

Сагайдак кільця А має вигляд:

У розділі 3 наводиться нове доведення теореми Е. Гріна про існування симетричної алгебри, сагайдак якої є сильно зв'язним, з використанням алгебри шляхів сагайдака. Крім того, будується приклад слабосиметричної алгебри, яка не є симетричною. Окремий підрозділ присвячено розгляду квазіфробеніусових алгебр і кілець.

Важливим для теорії сагайдаків є їх зв'язок з тензорними алгебрами. В твердженні 3.1.4 і теоремі 3.1.5 розглядаються гомоморфізми В-бімодулей та ізоморфність веддербарнового кільця факторкільцю T_B(V)/І, де тензорна алгебра T_B(V) однозначно визначається сагайдаком Q(A) і кратностями n_i.

Тензорною алгеброю В- бімодуля V називається градуйоване кільце

Т(V)=Т_В(V)=

де V=B, a V^k=V_BV^k-1 при k>0.

Твердження 3.1.4. Нехай - гомоморфізм кілець, f: V гомоморфізм В-бімодулей, де А розглядається як В -бімодуль за допомогою гомоморфізма . Існує єдиний гомоморфізм кілець F: T(V), обмеження якого на В співпадає з , а на V з f.

Кільце А (артінове справа) називається веддербарновим, якщо в ньому є таке підкільце ВА, що А=ВR (пряма сума груп), а R=VR² (пряма сума В- бімодулей). Тоді ВА/R -- напівпросте артінове кільце, а VR/R² -- скінченно породжений справа В-бімодуль.

Теорема 3.1.5. Будь-яке веддербарнове кільце А ізоморфне факторкільцю вигляду T_B(V)/ I, де B= A/ R, V= R/ R², I - істотний ідеал в T_B(V).

Якщо А - скінченновимірна алгебра над алгебраїчно замкненим полем k, тоді B=B₁… B_s, де B_iM_nі(k), і існує єдиний простий B_i-B_j-бімодуль U_ij, причому V= Тому тензорна алгебра T_B(V) однозначно визначається сагайдаком Q(A) і кратностями n_i. Зокрема, коли всі n_i=1, тензорна алгебра T_B(V) співпадає з алгеброю шляхів графа Q(A) над полем k.

В підрозділі 3.1 розглядаються праворядні артінові кільця, для яких будь-який головний А-модуль є ланцюговим і розглядається будова сагайдаків таких кілець. Сагайдак нерозкладного узагальнено однорідного кільця являє собою цикл або ланцюг.

Артінове справа кільце А називається праворядним, якщо будь-який головний А-модуль є ланцюговим, тобто структура його підмодулів лінійна. Аналогічно визначаються ліворядні кільця.

Теорема 3.2.1. Кільце А праворядне тоді і тільки тоді, коли з кожної точки сагайдака Q(A) виходить не більше однієї стрілки.

Наслідок 3.2.2. Кільця А і А/R² праворядні одночасно.

Наслідок 3.2.3. Нерозкладне в прямий добуток кільце А праворядне тоді і тільки тоді, коли Q(A) є або деревом з однією кінцевою точкою, або графом з одним циклом, причому всі стрілки, які не входять до циклу, направлені до нього.

З наслідку 3.2.3 і зауваження до наслідку 3.1.3 випливає, що сагайдак нерозкладного узагальнено однорідного кільця є циклом або ланцюгом. Крім того, у цьому випадку всі тіла, які входять в розклад Веддербарна-Артіна кільця А/R, повинні бути ізоморфні. Якщо А -- скінченновимірна алгебра над деяким полем, цих умов і достатньо. Однак в загальному випадку це не так.

Нехай В -- напівпросте артінове кільце. В-бімодуль V називається праворядним, якщо eV -- простий бімодуль для будь-якого мінімального ідемпотента еВ.

Наслідок 3.2.4. Позначимо B=A/R, V=R/R². Кільце А і В-бімодуль V праворядні одночасно.

Теорема 3.2.5. Якщо V - праворядний бімодуль над напівпростим артіновим кільцем В, J -- істотний ідеал в T_B(V), то факторкільце T(V)/J праворядне, і будь-яке веддербарнове праворядне кільце має такий вигляд.

Твердження 3.2.6. Нехай В _ напівпросте артінове кільце, V - праворядний В-бімодуль, Q=Q(T(V)/y²). Істотний ідеал J T(V) однозначно визначається набором чисел {l₁,…,l_s} таким, що l_i=1, якщо і- кінцева точка Q i 2 l_i l_j+1, якщо з і в j веде стрілка (s-число точок Q, тобто число простих компонент В).

Теорема 3.2.5 та твердження 3.2.6 дають повний опис веддербарнових праворядних кілець.

Теорема 3.2.7. Праворядне веддербарнове кільце А однозначно визначається набором (B; V; l₁,…,l_s ), де B= A/R -- напівпросте артінове кільце; V=R/R² --праворядний В-бімодуль; l_і=l(P_i) -- цілочисельна функція на сагайдаку Q(A)=Q(T(V)/y²), причому l_i=1, якщо i -- кінцева точка Q(A), і 2 l_i l_j+1, якщо з і в j веде стрілка.

Змістовні результати третього розділу починаються з підрозділу 3.3, в якому вивчаються квазіфробеніусові кільця і алгебри, та квазіфробеніусові праворядні кільця.

Сагайдак називається ациклічним, якщо він не має орієнтованих циклів. Очевидно, що будь-який сильно зв'язний сагайдак, який має стрілки, має орієнтовані цикли. Сагайдаки зведених первинних напівдосконалих напівдистрибутивних нетерових, але не артінових кілець сильно зв'язні.

Нехай А _ скінченновимірна алгебра над полем k. Існує двоїстість між категорією mod_rA правих скінченнопороджених А-модулів і категорією mod_lA лівих скінченнопороджених А-модулів.

Нехай Мmod_rA. Позначимо M^*=Hom_k(M,k). Тоді M^*є лівим А-модулем. Дійсно, для M^* і аА ми визначимо а за формулою: (а)(т)=(та), де тМ. Легко бачити, що M^* є скінченнопородженим лівим А-модулем. Аналогічно, якщо Мmod_lA, то спряжений модуль М^*mod_rA є скінченнопородженим правим А-модулем.

Скінченновимірна k-алгебра А називається фробеніусовою, якщо праві модулі А_А і (_АА)* є ізоморфними. Якщо алгебра А фробеніусова, тоді ліві модулі _АА і (А_А)* також ізоморфні.

Теорема 3.3.5. Нехай А _ скінченновимірна k-алгебра. Наступні твердження еквівалентні:

(1) А -- фробеніусова алгебра;

існує лінійне відображення : A k таке, що ядро не містить правих і лівих ідеалів;

існує невироджена білінійна форма f: AA k така, що f(ab, c)= =f(a,bc) для всіх a,b,cА.

Фробеніусова алгебра А називається симетричною, якщо існує невироджена асоціативна білінійна форма f:ААk така, що f(a,b)=f(b,a) для a,bA. Це еквівалентно існуванню лінійного відображення : Аk.

Для заданого k-лінійного відображення k покладемо S={bB: (b)0} і I( )={ )=0}.

Позначимо через J двосторонній ідеал , базис якого є множина В-В₀.

Лема 3.3.8. Нехай k є -лінійним відображенням. Тоді

(а) двосторонній ідеал І() -- найбільший двосторонній ідеал і ідеал, який входить в ker;

(b) множина S скінчена тоді і тільки тоді, коли J^m I( )для деякого m.

(S,) називається фробеніусовою системою, якщо виконуються умови:

( fs1) S _ скінченна множина;

( fs2) для всіх ker тоді і тільки тоді, коли ker .

Теорема 3.3.9. Нехай =kQ _ алгебра шляхів сагайдака Q над полем k і (S,)--фробеніусова система. Тоді /J( ) є фробеніусовою алгеброю.

Теорема 3.3.11. Нехай Q _ сильно зв'язний сагайдак. Тоді для довільного поля k існує симетрична k-алгебра А така, що Q= Q(A).

Нехай А -- напівдосконале кільце. Для формулювання наступної теореми будемо вважати, що матриця суміжності [Г(А)] сагайдака Пірса Г(А) має наступний вигляд:

, [ 3.4.1]

де квадратні матриці B₁,B₂,…,B_t переставно незвідні.

Нагадаємо, що алгебра А називається слабосиметричною, якщо її підстановка Накаями є тотожньою. Наведемо приклад слабосиметричної напівдистрибутивної алгебри А, яка не є симетричною. Через [Q] позначимо матрицю суміжності сагайдака Q. Нехай k=F₂={0,1} - поле з двох елементів і =kQ - алгебра шляхів сагайдака Q з матрицею суміжності [Q]=

Ідеал називається допустимим, якщо Jⁿ J², де J - ідеал алгебри , породжений всіма ненульовими шляхами.

Позначимо через І допустимий ідеал, породжений наступними шляхами: ₂₁₁₂, ₁₂r₂, r₂₂₁, r₂^m, (m?2).

Розглянемо фактор-алгебру А= /І. Алгебра А є зведеною і має два неізоморфні нерозкладні проективні (головні) модулі Р₁ і Р₂. Базис першого головного модуля Р₁ складається з елементів е₁, ₁₂, _{12 21}. Базис другого головного модуля Р₂ складається з елементів е₂, ₂₁, r₂, r₂²,…, r₂^m-1, де m?2. Тому dimA=m+4 і скінченна алгебра А має 2^т+4 елементів. Очевидно, socP₁=U₁ і socP₂=U₂, тобто А є слабосиметричною. Покажемо, що алгебра А не є симетричною. Припустимо супротивне. За означенням симетричної алгебри існує лінійне відображення k таке, що ker не містить односторонніх ідеалів і (a₁a₂)=(a₂a₁) для будь-яких a₁,a₂А. Очевидно, socP₁=U₁={0, ₁₂₂₁} складається з двох елементів і є нульовим ідеалом в алгебрі А. З чого слідує, (₁₂₂₁)=(₂₁₁₂)=0. Таким чином, ker включає правий ідеал socP₁. Отримана суперечність доводить, що алгебра А не є симетричною.

Теорема 3.4.6. Нехай А -- напівдосконале кільце з нільпотентним первинним радикалом Pr(A) і нехай матриця [PQ(A)] є блочною верхньою трикутньою матрицею з переставно незвідними діагональними матрицями В₁,...,В_t така, що вона має вигляд [3.4.1]. Тоді існує розклад 1А в суму взаємно ортогональних локальних ідемпотентів 1=g₁+…+g_t, такий, що А= -- двосторонній пірсовський розклад кільця А з =0 при j<і, і, крім того, матриці суміжності сагайдаків Q(A_i) кілець А_і= співпадають з В_і (і=1,...,t).

Наслідок 3.4.7. Напівдосконале кільце А з нільпотентним первинним радикалом може бути однозначно розкладене в скінченний прямий добуток нерозкладних кілець А₁,...,А_т зі зв'язними первинними сагайдаками PQ(А_i), і=1,…,т.

Наступну теорему можна розглядати як версію теореми Веддербарна-Артіна.

Теорема 3.4.8. Наступні умови є еквівалентними для напівдосконалого кільця А:

А -- напівпросте;

сагайдак Пірса Г(А) є скінченною множиною точок.

Кільце із скінченно розкладною діагоналлю (факторкільце А/Pr(A)) та властивості первинного радикалу Pr(A) розглядаються в підрозд. 3.5.

Двосторонній пірсовський розклад первинного радикала має вигляд:

Pr(A)=

де -- первинний радикал Pr(A_і) кільця .

В цьому ж підрозділі наведено важливе означення Т-нільпотентного ідеалу (правого, лівого, двостороннього), введеного Н. Бассом і доведено теорему, яку можна розглядати як узагальнення леми Накаями для довільних правих модулів.

Ідеал (правий, лівий) називається Т-нільпотентним справа (зліва), якщо для будь-якої послідовності а₀,а₁,...,а_п,... елементів а_і існує додатне ціле число k таке, що a_ka_k-1…a₁=0 (a₁a₂…a_k=0). Ідеал називається Т-нільпотентним якщо він Т-нільпотентний справа і зліва.

Теорема 3.5.2. Для довільного правого ідеалу в кільці А наступні твердження еквівалентні:

(1) ідеал є Т-нільпотентним справа;

(2) правий А-модуль М, який задовольняє рівність М=М, дорівнює нулю;

(3) ММ для довільного ненульового правого А-модуля;

(4)А^ІА^І, де А^І -- вільний модуль зліченого рангу.

В загальному випадку для напівдосконалого кільця А з радикалом Джекобсона R граф зачеплень G(A) співпадає з сагайдаком Q(A, R) асоційованим з R. Розгляду цього факту і відповідних властивостей графу зачеплень G(A) приділено увагу в підрозділі 3.6.

Нехай -- розклад кільця А в пряму суму нерозкладних проективних модулів, де Р₁,...,Р_s з точністю до ізоморфізму всі нерозкладні праві проективні модулі. Нехай для 1 k s. Тоді М₁, ..., М_s максимальні двосторонні ідеали в А і Навпаки, кожний максимальний (двостороній) ідеал М співпадає з деяким M_k.

Ми співставимо максимальним ідеалам М₁, ..., М_s вершини 1,...,s і з'єднаємо вершину і з вершиною j стрілкою тоді і тільки тоді, коли добуток M_iM_j строго міститься в M_i M_j.

Отриманий простий сагайдак (сагайдак без кратних петель і стрілок) називається графом зачеплень напівдосконалого кільця А і позначається G(A). Нехай Q _ сагайдак. Позначимо через Q_u сагайдак, отриманий з Q заміною всіх стрілок з і в j на єдину стрілку (навіть і=j). Якщо в Q немає стрілки з і в j, тоді її не існує в Q_u.

Теорема 3.6.1. Нехай А - нетерове справа напівдосконале кільце. Тоді G(A)=Q_u(А).

Кільце А називається спадковим справа кільцем (спадковим зліва), якщо довільний правий (лівий) ідеал є проективним правим (лівим) А-модулем. Якщо кільце А одночасно спадкове справа і зліва, то воно називається спадковим кільцем.

Твердження 3.7.1. Якщо кільце А спадкове, то будь-який ненульовий гомоморфізм f: P_i P_j головних А-модулів є мономорфізмом.

Наслідок 3.7.4. Кільце А праворядне і спадкове тоді і тільки тоді, коли Q(A) є незв'язним об'єднанням дерев з однією кінцевою точкою.

Наслідок 3.7.5. Спадкове веддербарнове кільце А ізоморфне T_B(V), де B=A/R; V=R/R². Навпаки, якщо T_B(V)-- артінове справа, то воно також спадкове справа.

До спадкових справа праворядних кілець застосовується теорема Капланського і доводиться їх нетеровість справа, спадковість кільця еАе і праворядність кільця еАе для ненульового ідемпотента е.

Твердження 3.7.7. Спадкове справа праворядне кільце нетерове справа.

Твердження 3.7.8. Нехай А _ спадкове праворядне кільце і еА - ненульовий ідемпотент. Тоді еАе - спадкове праворядне кільце.

Твердження 3.7.9. Локальне нетерове спадкове кільце є або тілом або дискретно нормованим кільцем.

При вивченні будови алгебр виділилися нерозкладні модулі, які є прямими доданками модуля А_А. Зокрема такі модулі є проективними. Зауважимо, що для “більшості” артінових алгебр число класів ізоморфізму скінченнопороджених нерозкладних модулів нескінченне, а це збільшує складність проблеми.

У розділі 4 проводиться дослідження напівпримарних напівдистрибутивних кілець скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю. Доводиться, що напівпримарні напівдистрибутивні кільця є артіновими з двох сторін. Для них доведено аналог теореми Габрієля із застосуванням діаграм Динкіна. Вибір класу напівпримарних напівдистрибутивних кілець зумовлений його природністю, бо діаграми таких кілець містять загальновідомі схеми Динкіна, і це дає можливість розв'язати задачу класифікації скінченновимірних асоціативних алгебр скінченно зображувального типу над алгебраїчно замкненим полем. Артінове кільце А (тобто артінове справа і зліва кільце) має скінченний тип, якщо число класів ізоморфізму скінченно породжених нерозкладних правих А-модулів скінченне. В протилежному випадку А має нескінченний тип.

Твердження 4.1.4. Локальна алгебра А над алгебраїчно замкненим полем скінченно зображувального типу є ланцюговою.

З тверджень 4.1.3, 4.1.4 отримаємо наступне узагальнення.

Твердження 4.1.5. Нехай А _ скінченновимірна алгебра над алгебраїчно замкненим полем k скінченно зображувального типу. Тоді сагайдак А є простим, тобто не містить кратних стрілок і кратних петель.

Теорема 4.2.1. Нехай А _ напівдистрибутивне артінове кільце з радикалом R. Нехай Q(A) _ його сагайдак і R²=0. Тоді А є кільцем скінченного зображувального типу тоді і тільки тоді, коли є скінченним незв'язним об'єднанням діаграм Динкіна виду: А_п, D_n, Е₆, Е₇, Е₈:

Доведення цієї теореми використовує алгоритм диференціювання Назарової-Ройтера, який застосовується до розгляду зображень, які задаються схемами Динкіна А_п, D_n, Е₆, Е₇, Е₈.

Твердження 4.2.2. Якщо кільце є А скінченно представним, то є лісом. Твердження 4.2.3. Якщо кільце А є кільцем скінченно зображувального типу, то в сагайдаку Q(A) всі вершини мають степінь, що не перевищує3.

В дисертаційній роботі широко використовувалися методи теорії зображень, методи теорії кілець та модулів (теореми про будову різних класів напівдосконалих напівдистрибутивних кілець), діаграми Динкіна та діаграми скінченних частково впорядкованих множин.

Висновки

В дисертаційної роботі розв'язується задача дослідження напівдосконалих кілець за допомогою їх сагайдаків, які відіграють важливу роль в структурній теорії кілець. Досліджено досконалі праворядні кільця та зв'язність їх сагайдаків; описано напівдосконалі та спадкові праворядні кільця, для яких узагальнено властивості сагайдаків праворядних кілець.

Побудовано праворядне нетерове нерозкладне кільце, яке є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця, та доведено існування слабосиметричної алгебри, яка не є симетричною. Також вивчені властивості сагайдаків квазіфробеніусових кілець та досліджені сагайдаки нетерових справа напівдосконалих напівпервинних напівдистрибутивних.

В дисертації вперше отримано такі нові теоретичні результати:

існує (n+1)ⁿ помічених праворядних сагайдаків на n точках;

кількість зв'язних помічених праворядних сагайдаків дорівнює

кількість сильно зв'язних помічених праворядних сагайдаків на n вершинах дорівнює (n-1)!;

доведено умови рівносильні для досконалого праворядного кільця A: A нерозкладне; факторкільце A/R² нерозкладне; сагайдак Q(A) зв'язний;

спадкове справа досконале праворядне кільце є артіновим справа;

наведено приклад праворядного нетерового нерозкладного кільця, яке не є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця;

для довільного сильно зв'язного сагайдаку Q і для довільного поля k існує симетрична k-алгебра А така, що Q= Q(A);

для напівпримарних напівдистрибутивних кілець доводиться аналог теореми Габріеля із застосуванням діаграм Динкіна: A_n, D_n, E₆, E₇, E₈;

розглянуто слабосиметричні скінченновимірні алгебри над полем, побудовано приклад слабосиметричної скінченновимірноі алгебри, яка не є симетричною.

Список публікацій автора за темою дисертації

1. Журавльов В.М., Кулаковська І.В. Сагайдаки часткових відображень. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. _ Серія: фізико-математичні науки. _ 2001. _ №1. - С. 14-21.

2. Журавльов В.М., Кулаковська І.В. Сагайдаки однозначних відображень. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. _ Серія: фізико-математичні науки. _ 2001. _ №4. - С. 33-36.

3. Кулаковська І.В. Досконалі праворядні кільця. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. _Серія: математика. механіка.- 2004. _ № 11-12.- С.81-82.

4. Кулаковская И.В. Полупримарные полудистрибутивные кольца конечного типа. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. _ Серія: фізико-математичні науки. _ 2005. _ №2. - С. 24-37.

5. Кулаковская И.В. О праворядных совершенных кольцах. - Міжнародна матем. конференція, присвячена сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті._Київ: Інст. матем. НАН України.-2002.-С. 106.

6. Журавлёв В.Н., Кулаковская И.В. Колчаны частичных отображений - Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Наукове видання. - Суми: Сум ДПУ ім.А.С.Макаренко, 2001. - С. 177-178.

7. Zhuravlev V.N., Kulakovska I.V. On quivers of partial maps - ІV International Algebraic conference in Ukraine. Abstracts. -Lviv: LNU Franka. -2003. - Р.126.

8. Кулаковская И.В. Праворядные кольца. -Международная алгебраическая конференция, посв. 250 Моск. Унив.: Тезисы докладов. - М.: Изд-во механ.-матем-го фак-та МГУ. - 2004. - С. 82-83.

9. Kulakovska I.V. Semiprimary semidistributive rings of finite type with zero square radical - V Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні.- Одеса: ОНУ ім.І.І.Мечнікова. _ 2005. - С. 116.

10. Кулаковская И.В. О квазифробениусовых алгебрах и кольцах. - Известия Гомельського государственного университета им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. - Гомель: ГГУ - 2006.

Анотації

Кулаковська І. В. Скінченні орієнтовні графи та їх застосування в структурній теорії кілець. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

В дисертаційній роботі застосовується до вивчення праворядних кілець техніка, яка пов'язана з поняттями сагайдака кільця і тензорних алгебр бімодуля, що дає простий опис класу кілець, до якого входять праворядні алгебри над досконалим полем. Крім того, описані праворядні квазіфробеніусові, а також праворядні спадкові кільця.

Досліджується зв'язок між довільним нерозкладним зведеним нетеровим справа напівдосконалим напівпервинним напівдистрибутивним кільцем та певними видами сагайдаків, пов'язаних з таким кільцем. Також описуються дводольні графи, які виникають при вивченні скінченно представних модулів і доводиться теорема про напівпримарні напівдистрибутивні кільця скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю (діаграми таких кілець містять схеми Динкіна).

Кулаковская И. В. Конечные ориентированные графы и их использование в структурной теории колец. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Диссертационная робота посвящена применению конечных ориентированных графов (колчанов) к структурной теории колец. Понятие колчана и его представления впервые было рассмотрено П.Габриелем в начале 70^х годов прошлого столетия и применено к изучению конечномерных алгебр над алгебраически замкнутым полем, квадрат радикала которых равен нулю.

Понятие колчана конечномерной алгебры над полем естественно переносится на полусовершенные кольца, что позволяет описать нётеровы справа полуцепные кольца и ряд других колец (в частности, полудистрибутивные полусовершенные наследственные кольца).

В диссертационной работе к изучению праворядных колец применяется техника, которая связана с понятиями колчана кольца и тензорных алгебр бимодуля, что дает простое описание класса колец, в который входят праворядные алгебры над совершенным полем.

Важным понятием, которое возникает при изучении праворядных колец, является понятие праворядного колчана. Получено количество помеченных праворядных колчанов, количество связных праворядных колчанов и количество сильно связных помеченных праворядных колчанов. Отметим, что с помощью праворядных колчанов дается доказательство известной теоремы Кели о числе помеченных деревьев, заданных на п вершинах.

Для совершенного праворядного кольца сформулированы эквивалентные условия равносильности неразложимости кольца, факторкольца и связности его колчана. Доказано, что наследственное справа совершенное праворядное кольцо является артиновым справа (приведен пример праворядного нетерового неразложимого кольца, которое не является произведением артинова и полупервичного кольца). Доказано, что полупримарное полудистрибутивное кольцо является артиновым з двух сторон.

Исследуется связь между произвольным неразложимым приведенным нетёровым справа полусовершенным полупервичным полудистрибутивным кольцом и определёнными видами колчанов, связанных с такими кольцами. Рассмотрены слабосимметричные конечномерные алгебры над полем (квазифробениусовые алгебры, в которых подстановка Накаямы является тождественной). Построен пример слабосимметричной алгебры, которая не является симметричной.

Описываются двудольные графы, которые возникают при изучении конечно представимых модулей, и доказывается теорема о полупримарных полудистрибутивных кольцах конечного типа, квадрат радикала которых равняется нулю (диаграммы таких колец содержат схемы Дынкина).

Kulakovska I.V. Finite directed graphs and their applications to structural theory of rings. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specialty 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.

In the dissertation we apply technique, connected with the notions of quiver of ring and tensor algebras of bimodule, to the study of right serial rings. It give a simple description of a class of rings that contains right serial algebras over a perfect field. Moreover, right serial quasi-Frobenius and right serial hereditary rings are described.

We investigate connections between an indecomposable reduced semiperfect right noetherian semiprime semidistributive rings and some rings of quivers associated with such ring. We describe bipartite graphs that appear under the study of finitely presented modules. We prove the theorem about semiprimary semidistributive rings of finite type with zero square of radical (diagrams of such rings contain the Dynkin schemes).

Размещено на Allbest.ru

...