Точність наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.62/.642+517.988.8

Точність наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші

01.01.07 - обчислювальна математика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Рябічев В'ячеслав Львович

Київ 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Горбачук Мирослав Львович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними

кандидат фізико-математичних наук, доцент Лазурчак Ігор Іванович, Дрогобицький державний педагогічний університет імені І. Франка, завідувач кафедри інформатики та обчислювальної математики

Провідна установа Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України, м. Львів

Захист відбудеться “ 3 ” жовтня 2006 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3

Автореферат розісланий “ 1 ” вересня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г. П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Математичними моделями багатьох процесів і явищ, досліджуваних природничими та суспільними науками, є диференціальні, інтегральні та інтегро-диференціальні рівняння з початковими або початково-крайовими умовами. Для дослідження і точного або наближеного розв'язування таких задач можливі різні підходи, які не завжди однаково зручні для їх числової реалізації. Разом з тим відомі початково-крайові задачі для рівнянь математичної фізики допускають абстрактні операторно-диференціальні постановки, наприклад, у формі задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь першого і другого порядків у банаховім просторі з необмеженими операторними коефіцієнтами. Тож актуальною проблемою теорії та застосувань обчислювальних методів є побудова ефективних алгоритмів дискретизації абстрактної задачі Коші.

Одним із наближених методів для розв'язування еволюційних рівнянь є скінченнорізницевий метод, збіжність якого вперше дослідив П. Лакс (1958). Виходячи з критики теореми П. Лакса, Х. Троттер (1958) побудував власну теорію і довів теорему про апроксимацію операторної експоненти. Окремі недоліки теорії Лакса усунуто також у працях Л. Якут. Абстрактну схему для методу скінченних різниць запропонував М. Гудович, провівши детальне дослідження зв'язків між стійкістю, збіжністю й апроксимацією.

У працях А. Бабіна, М. Горбачука, В. Городецького (1984) побудовано поліноміально-операторні наближення напівгрупи збіжні до неї на аналітичних векторах оператора Експоненціально збіжні наближення розв'язків рівняння за допомогою операторних поліномів знайдені О. Кашпіровським і Ю. Митником (1998), причому оцінка точності методу (2002) автоматично залежить від гладкості початкового вектора.

Ще один підхід до розв'язування задачі Коші для однорідного параболічного рівняння із самоспряженим додатно визначеним оператором розроблений у працях D. Sheen., L. H. Sloan, V. Thomйe (1999, 2003), де для наближення інтеграла, що зображує точний розв'язок, використано складені квадратурні формули трапецій і Симпсона.

Підхід, що базується на методах Рунге-Кутти, розвивають Alonso-Mallo I., M. P. Calvo, Palencia C. (2003). І хоч швидкістю збіжності він поступається щойно згаданим методам, та його перевагою є застосовність до нелінійних задач.

У працях І. Гаврилюка і В. Макарова запропоновано й розвинуто техніку, відому як метод перетворення Келі, основними рисами якої є: декомпозиція еволюційної задачі на послідовність стаціонарних задач (виключається, таким чином, часова змінна), автоматична залежність швидкості збіжності від регулярності точного розв'язку (а відтак ідеться про методи без насичення точності), можливість одержати наближений розв'язок в аналітичній формі засобами комп'ютерної математики тощо. Такі апроксимації операторних експоненти (1994, 1996) і косинуса (1999) є поліноміально збіжними як у гільбертовім просторі при самоспряжених додатно визначених операторах, так і в банаховім просторі, якщо оператори рівнянь задовольняють певні обмеження на спектр і розольвенту.

Перелік праць, очевидно, можна було б продовжити. Проте вже сказане свідчить про інтерес до вивчення дискретизацій абстрактної задачі Коші для рівнянь першого і другого порядків зі сталими необмеженими операторними коефіцієнтами. Разом з тим питання непокращуваності одержаних у згаданих працях оцінок авторами цих робіт не вивчалось.

Значно менше публікацій (М. Крейн, J. A. Goldstein, H. Fujita, N. Saito, T. Suzuki та ін.) присвячено наближенню розв'язків рівняння. Більшість із них будують за допомогою методів типу Рунге-Кутти, перенесених на абстрактний випадок, як, наприклад, у працях C. Gonzбlez і C. Palencia. Тому актуальними є нові підходи до апроксимації задачі Коші для рівняння зі змінним необмеженим оператором, які б, зокрема, мали довільний порядок точності, дозволяли апостеріорно оцінювати похибку, допускали розпаралелювання обчислень тощо.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась відповідно до загального плану досліджень відділу обчислювальної математики Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідницьких тем “Чисельно-аналітичні методи розв'язування диференціальних рівнянь з необмеженим операторним коефіцієнтом та обробка інформаційних даних” (№ державного замовлення 0101U000371, 2001-2005 рр.) і “Методи теорії наближень та чисельні методи для дослідження та керування нелінійними фізичними процесами в реальних неоднорідних середовищах” (№ державного замовлення 0105U000773, 2004-2005 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є одержання нових інтегральних оцінок точності методу перетворення Келі для наближення операторних експоненти і косинуса та доведення їх непокращуваності (або майже непокращуваності) за порядком.

У дисертації також поставлено за мету побудувати новий метод дискретизації задачі Коші для неоднорідного рівняння першого порядку зі змінним оператором у банаховім просторі, вивести оцінки його швидкості збіжності та вказати підхід до числової реалізації алгоритму.

Для цього в дисертаційній роботі використано методи теорії диференціальних рівнянь у банаховім і гільбертовім просторах, результати теорії напівгруп обмежених операторів, елементи операторного числення для необмежених операторів, загальні положення числових методів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи, які визначають її наукову новизну і виносяться на захист, такі: коші задача рівняння келі

1. Одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі наближеного розв'язування задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі у випадку скінченної гладкості початкового вектора та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.

2. Показано, що метод перетворення Келі для цієї ж задачі при початковому векторі з простору Рум'є експоненціально збіжний, а оцінка його точності непокращувана за порядком.

3. Знайдено нові інтегральні оцінки з ваговою функцією, які враховують початковий ефект у тій самій задачі при початковому векторі скінченної гладкості, а також у випадку його аналітичності.

4. Одержано нову поліноміальну оцінку похибки методу перетворення Келі для наближення операторного косинуса в гільбертовім просторі при початковому векторі з області визначення степеня оператора та доведено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.

5. Знайдено нову оцінку експоненціальної швидкості збіжності методу перетворення Келі та встановлено її непокращуваність за порядком для цієї ж задачі, якщо початковий вектор є елементом простору Рум'є.

6. Побудовано новий метод дискретизації задачі Коші для лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом та доведено апріорні оцінки його точності у випадку сильно позитивного оператора в банаховім просторі або самоспряженого додатно визначеного оператора в гільбертовім просторі за умови незалежності від їх області визначення.

7. Сформульовано і доведено достатні умови сильної стійкості розв'язків задачі Коші для еволюційного рівняння без вимоги комутативності вихідного і збуреного операторів. Розроблено реалізацію методу за умови поліноміальних наближень оператора і правої частини рівняння.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретична цінність результатів дисертації полягає у можливості поширити їх на нові типи рівнянь і задач та включити окремі їх положення у програми спецкурсів для класичних університетів. Одержані в дисертації результати мають і практичну цінність, оскільки можуть бути використані при розв'язуванні конкретних початково-крайових задач для параболічних і гіперболічних рівнянь математичної фізики, які допускають абстрактні операторно-диференціальні постановки.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, одержані автором дисертації особисто. У спільних працях співавторам належить постановка проблем і задач та участь в обговоренні ідей і підходів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу обчислювальної математики і відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України; на міжнародній конференції “П'яті Боголюбовські читання”, присвяченій пам'яті професора Д. І. Мартинюка (22-24 травня 2002 р., м. Кам'янець-Подільський, Україна); на Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (23-25 вересня 2003 р., м. Львів, Україна).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 працях, із них: у фахових наукових журналах -- 3, у збірнику наукових праць -- 1, у збірниках тез доповідей -- 3.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який налічує 95 назв. У дисертації є одна таблиця, що займає менше однієї сторінки, й один додаток обсягом 1 сторінка. Обсяг дисертації становить 158 сторінок машинопису.

Основний зміст дисертації

У вступі висвітлено сучасний стан проблеми й обґрунтовано актуальність проведення досліджень за вибраною темою, сформульовано мету роботи й викладено основні наукові результати, одержані в дисертації.

В розділі 1 зроблено стислий огляд джерел і проаналізовано відомі підходи при дискретизації задачі Коші для операторно-диференціальних рівнянь, окреслено проблемні питання і намічено можливі напрями дослідження для їх розв'язання.

Розділ 2 містить короткий перелік відомих результатів з теорії лінійних диференціальних рівнянь у банаховім просторі. Так, у підрозділі 2.1 йдеться про рівняння першого і другого порядків зі сталим необмеженим оператором, а в підрозділі 2.2 -- про рівняння першого порядку з необмеженим коефіцієнтом, залежним від.

В розділі 3 досліджено точність методу перетворення Келі для наближення операторних експоненти і косинуса.

Підрозділ 3.1 присвячений дискретизації задачі Коші

де-- самоспряжений додатно визначений оператор, що діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення Відомо, що при розв'язок задачі (1) зображується рядом

де-- довільна додатна стала,-- поліноми Лагерра,-- перетворення Келі оператора-- тотожний оператор). Якщо за наближення для узято відрізок ряду (2):

де елементи є розв'язками рекурентної послідовності “еліптичних” задач то для точності такого наближення справджується нерівність зі сталою не залежною від.

В дисертації для похибки методу перетворення Келі (3)-(4) одержано нову оцінку типу (5) в інтегральній нормі

Теорема 1. Нехай-- діючий у гільбертовім просторі самоспряжений додатно визначений оператор зі щільною в областю визначення і Тоді при точність методу перетворення Келі (3)-(4) характеризується нерівністю зі сталою не залежною від і

Для доведення майже непокращуваності оцінки (6) достатньо вказати оператор і початковий вектор для яких виконані вимоги теореми 1, а похибка методу перетворення Келі (3)-(4) оцінюється знизу так само, як і в нерівності (6).

Теорема 2. Нехай оператор задовольняє умови теореми 1 і має дискретний спектр причому Тоді для всіх виконується нерівність тобто оцінка (6) майже (з точністю до логарифма) непокращувана за порядком

Аналоги теорем 1 і 2 можна довести й у випадку нескінченної гладкості початкового вектора Позначимо простір Рум'є, утворений елементами банахового простору такими, що де і-- числова послідовність.

Теорема 3. Нехай оператор діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення Тоді при і метод перетворення Келі (3)-(4) має експоненціальну швидкість збіжності і його точність для всіх характеризує оцінка

Непокращуваність за порядком нерівності (7) можна показати, міркуючи, як і при доведенні теореми 2.

Теорема 4. Нехай оператор задовольняє умови теореми 3 і має дискретний спектр Тоді при для всіх справджується нерівність тобто оцінка (7) непокращувана за порядком

Нерівності (6) і (7) доповнено двома оцінками з ваговою функцією. Очевидно, Візьмемо як наближення точного розв'язку відрізок цього ряду. Для похибки встановлено такі твердження.

Теорема 5. Нехай-- діючий у гільбертовім просторі оператор зі щільною в областю визначення Якщо і то при всіх натуральних таких, що для точності методу перетворення Келі (3)-(4) правильна оцінка зі сталою не залежною від і.

Нерівність (8) природно назвати оцінкою з “початковим ефектом”. Постає питання про її непокращуваність.

Теорема 6. Нехай оператор задовольняє умови теореми 5 і має дискретний спектр Тоді при для всіх виконується тобто оцінка (8) майже (з точністю до логарифма) непокращувана за порядком.

Використовуючи позначення теорем 3 і 4, можна довести непокращуваність оцінки з ваговою функцією й у випадку нескінченної гладкості початкового вектора

Теорема 7. Нехай оператор діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення Тоді при і точність методу перетворення Келі (3)-(4) для всіх характеризується оцінкою зі сталою не залежною від і.

Зокрема, якщо спектр оператора утворений зліченною множиною власних значень а система відповідних власних векторів становить ортонормований базис в то при і можна також одержати оцінку знизу для

Теорема 8. Нехай оператор задовольняє умови теореми 7 і має дискретний спектр Тоді для всіх справджується нерівність тобто оцінка (9) непокращувана за порядком.

Підрозділ 3.2 присвячений наближеному розв'язуванню задачі Коші із самоспряженим додатно визначеним оператором що діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення.

Відомо, що при розв'язок задачі (10) зображується рядом

де-- довільна стала,-- поліноми Лагерра, а члени послідовності задовольняють рекурентні співвідношення

Апроксимуючи точний розв'язок задачі (10) частковою сумою ряду (11) для точності такого наближення дістають оцінку де стала не залежить від і.

В дисертації для швидкості збіжності методу перетворення Келі (12)-(13) доведено нову оцінку типу (14) в інтегральній нормі і вивчено питання про її непокращуваність.

Теорема 9. Нехай-- діючий у гільбертовім просторі оператор зі щільною в областю визначення Якщо то для всіх таких, що при кожному натуральному для швидкості збіжності методу (12)-(13) правильна оцінка

Якщо ж то оцінка (15) справджується для всіх і кожного натурального

Непокращуваність за порядком оцінки (15) буде доведено, якщо вказати справджуючий умови теореми 9 оператор і початковий вектор такі, щоб величина мала оцінку знизу за порядком таку саму, як (15).

Теорема 10. Нехай оператор задовольняє умови теореми 9 і має дискретний спектр Тоді для всіх виконується нерівність де тобто оцінка (15) майже (з точністю до логарифма) непокращувана за порядком.

У випадку нескінченної гладкості початкового вектора доведено такі твердження.

Теорема 11. Нехай оператор діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення Тоді при і метод перетворення Келі (12)-(13) має експоненціальну швидкість збіжності і його точність для всіх характеризується оцінкою.

Теорема 12. Нехай оператор задовольняє умови теореми 11 і має дискретний спектр Тоді при для кожного непарного справджується нерівність тобто оцінка (16) непокращувана за порядком

В розділі 4 побудовано й обговорено ефективний алгоритм наближення в банаховім просторі задачі Коші

Позначимо еволюційний оператор задачі (17). Тоді, як відомо, Апроксимуючи еволюційний оператор, дістаємо звідси наближення для точного розв'язку Справді, нехай-- скінченний набір вузлів на і Покладаючи як наближення еволюційного оператора візьмемо оператор

Тоді для наближення точного розв'язку при маємо, а звідси -- систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих.

Таким чином, у підрозділі 4.1 побудовано алгоритм дискретизації задачі Коші (17). Примітно, що оператори можна визначати і наперед, і паралельно.

В підрозділі 4.2 проведено аналіз похибки методу (18)-(19). Попередньо зроблено три важливі припущення.

У1. При кожному-- сильно позитивний оператор, тобто його спектр розташований у секторі на променях якого і поза яким для резольвенти справджується нерівність зі сталою не залежною від Тоді, як відомо,

У2. Оператори задовольняють вимогу (При не залежить від якщо від не залежить

У3. Для виконано умову

Доведено такий результат.

Теорема 13. Нехай-- діючий у банаховім просторі сильно позитивний щільно заданий оператор із не залежною від областю визначення який задовольняє умови (20)-(22) при Тоді метод (18)-(19) має порядок точності і для нього виконується оцінка.

де-- не залежна від стала.

Якщо існує таке, що для будь-яких, то можна відмовитися від обмежень й одержати оцінку похибки також і для Конкретизуємо сказане.

Теорема 14. Нехай -- діючий у банаховім просторі сильно позитивний щільно заданий оператор із не залежною від областю визначення який задовольняє умови (20)-(22) і припущення (23). Тоді точність методу (18)-(19) характеризує оцінка зі сталою не залежною від.

Для задачі Коші (17) у гільбертовім просторі зі скалярним добутком і нормою правильне таке твердження.

Теорема 15. Нехай-- самоспряжений додатно визначений оператор, який діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення не залежну від Якщо виконується умова то для похибки методу (18)-(19) при справджується оцінка.

У підрозділі 4.3 вивчено питання про стійкість розв'язків задачі (17) при збуренні початкових даних, правої частини й операторного коефіцієнта (т. з. сильна стійкість). Розглянемо разом з (17) задачу Коші.

Різниця очевидно, задовольняє рівняння і початкову умову.

Далі йдеться про оцінки для у банаховім просторі за таких припущень.

В1. Оператори і діють у банаховім просторі і мають щільну в спільну область визначення не залежну від При кожному існують обмежені обернені оператори і а резольвенти і рівномірно по задовольняють умови при

В2. Оператори і сильно неперервно диференційовні на

В3. Існує стала така, що

B4. Для еволюційних операторів і справджуються нерівності

В5. Оператор задовольняє умову

(Відомо, що існують оператори з властивостями В1-В5.)

Теорема 16. Нехай оператори і діють у банаховім просторі і мають щільну в спільну область визначення не залежну від Якщо виконані умови В1-В5, то справджується апріорна оцінка з додатними сталими і тобто задача(17) є сильно стійкою в.

Для одержання оцінки стійкості в гільбертовім просторі припустимо, що виконуються такі вимоги.

Н1. Існує самоспряжений додатно визначений оператор такий, що

Н2. Оператори і задовольняють умови

Тоді правильне таке твердження.

Теорема 17. Якщо діючі в гільбертовім просторі самоспряжений додатно визначений оператор та замкнуті оператори і мають щільну в спільну область визначення і задовольняють умови Н1-Н2, то задача Коші (17) є сильно стійкою і для неї справджується апріорна оцінка

(Стійкість щодо правої частині і початкових даних, а також коефіцієнтна стійкість.)

В окремих випадках зручніше користуватися достатніми умовами сильної стійкості, пов'язаними тільки з операторами і Про це йдеться в теоремі.

Теорема 2.6. Нехай діючі в гільбертовім просторі самоспряжені додатно визначені оператори і зі щільною в областю визначення є сильно неперервно диференційовними на Тоді задача Коші (17) є сильно стійкою і для неї справджується апріорна оцінка

В підрозділі 4.4 на підставі отриманих результатів про стійкість пропонується реалізація алгоритму (18)-(19).

Нехай на кожному проміжку для і можливе наближення поліномами з точністю у відповідній нормі:

Для розв'язування задачі попередньо встановлено кілька допоміжних тверджень, а потім одержано зручні рекурентні співвідношення для обчислення операторів суми (18).

В підрозділі 4.5 розглянуто початково-крайову задачу

При функція очевидно, є її точним розв'язком. Результати числових розрахунків підтверджують непокращуваність апріорних оцінок швидкості збіжності методу.

Додаток містить текст Maple-програми.

Висновки

В дисертації досліджено відомі та побудовано нові ефективні алгоритми розв'язування задачі Коші для операторно-диференціальних рівнянь першого й другого порядків у гільбертовім і банаховім просторах.

1. У випадку скінченної гладкості початкового вектора задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним щільно заданим оператором одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі та доведено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком де-- кількість доданків часткової суми ряду, що зображує точний розв'язок задачі Коші.

2. Для цієї ж задачі при початковому векторі з простору Рум'є доведено експоненціальну швидкість збіжності методу перетворення Келі, а для оцінки його точності показано непокращуваність за порядком.

3. При початковому векторі скінченної гладкості, а також у випадку його аналітичності одержано нові інтегральні оцінки з ваговою функцією, які враховують початковий ефект у тій самій задачі.

4. Доведено нову поліноміальну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі для наближення операторного косинуса в гільбертовім просторі при та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.

5. Для цієї ж задачі одержано нову оцінку експоненціальної швидкості збіжності методу перетворення Келі та показано її непокращуваність за порядком, якщо початковий вектор є елементом простору Рум'є.

6. Запропоновано новий метод дискретизації задачі Коші для лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку в банаховім просторі (гільбертовім просторі із сильно позитивним (самоспряженим додатно визначеним) при кожному необмеженим операторним коефіцієнтом який має щільну в і не залежну від область визначення Одержано апріорні оцінки похибки методу. Примітно, що новий алгоритм має довільний порядок точності та дозволяє розпаралелювати обчислення.

7. Встановлено і доведено достатні умови сильної стійкості розв'язків задачі Коші для еволюційного рівняння (на відміну від відомих результатів, наприклад, Самарського О. А., Вабіщевича П. М., Матуса П. П., в дисертації не вимагається, щоб вихідний оператор і його збурення комутували). На підставі доведених тверджень про сильну стійкість розроблено реалізацію методу за умови поліноміальних наближень оператора і правої частини рівняння.

Становлять також самостійний інтерес доведені в дисертаційній роботі допоміжні твердження, як-от: операторний аналог теореми про лишки, точні формули для інтегралів від операторних функцій тощо. Засобами пакету Maple проведено числові розрахунки, які підтверджують непокращуваність одержаних апріорних оцінок швидкості збіжності методу.

Достовірність одержаних результатів ґрунтується на строгості доведень усіх тверджень, а їхня вірогідність -- на несуперечності з відомими результатами, перевірці правильності теоретичних положень на тестових прикладах, а також на повноті викладу в публікаціях і належному рівні апробації.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Макаров В. Л., Василик В. Б., Рябичев В. Л. Неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости метода преобразования Кэли для приближения операторной экспоненты // Кибернетика и системный анализ. 2002. № 4. С. 180-185.

2. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Точність наближення операторної експоненти // Вісник Київського університету. 2002. № 4. С. 192-197.

3. Макаров В. Л., Рябічев В. Л. Непокращувані оцінки точності методу перетворення Келі для знаходження операторного косинуса // Доповіді НАН України. 2002. № 12. С. 21-25.

4. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Ryabichev V. L. A parallel high-accuracy method for the first-order evolution equation in Hilbert and Banach spaces // Computational Methods in Applied Math. 2003. Vol. 3. № 1. P. 86-116.

5. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Непокращувані оцінки точності методу перетворення Келі для знаходження операторної експоненти // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнародна конференція “П'яті Боголюбовські читання” (м. Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.): Тези доповідей. 2002. С. 110.

6. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Непокращувані оцінки точності методу перетворення Келі для знаходження операторного косинуса // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнародна конференція. “П'яті Боголюбовські читання” (м. Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.): Тези доповідей. 2002. С. 111.

7. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Паралельний метод високого порядку точності для еволюційного рівняння першого порядку // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики. X Всеукраїнська наукова конференція (м. Львів, 23-25 вересня 2003 р.): Тези доповідей. 2003. С. 90.

Анотація

Рябічев В. Л. Точність наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші. -- Рукопис.

Дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.07 - обчислювальна математика. -- Інститут математики НАН України, Київ - 2006.

В дисертації досліджено точність методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь 1-го і 2-го порядків у гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі і доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що при аналітичному початковому векторі метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності -- непокращуваною за порядком. У дисертації також побудовано паралельний алгоритм розв'язування задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором із сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовім просторах. Досліджено стійкість розв'язків та виконано числову реалізацію алгоритму.

Ключові слова: абстрактна задача Коші, метод перетворення Келі, непокращувані оцінки, змінний оператор, точність методу, стійкість розв'язків, розпаралелювання обчислень.

Аннотация

Рябичев В. Л. Точность приближённых методов решения абстрактной задачи Коши. -- Рукопись.

Диссертация на соискании учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. -- Институт математики НАН Украины, Киев - 2006.

В диссертации исследуются известные и разрабатываются новые методы дискретизации задачи Коши для уравнений первого и второго порядков с неограниченными операторными коэффициентами. Об актуальности таких алгоритмов для приближения операторных экспоненты и косинуса свидетельствует большое количество публикаций.

В последнее время предложена (И. Гаврилюк, В. Макаров) и активно применяется техника, основные преимущества которой состоят в декомпозиции эволюционной задачи на последовательность стационарных задач (исключается, таким образом, временнбя переменная), автоматической зависимости скорости сходимости от регулярности точного решения (следовательно, речь идёт о методах без насыщения точности), а также возможности получить приближённое решение в замкнутом виде при помощи средств компьютерной математики. С этой целью используется известное в теории операторов дробно-линейное преобразование операторного коэффициента уравнения, вследствие чего предложенный подход назван методом преобразования Кэли.

В работах упомянутых авторов для уравнений и доказаны полиномиальные оценки точности алгоритма как для случая гильбертова пространства при самосопряжённом положительно определённом плотно заданном операторе, так и в банаховом пространстве при некоторых общих предположениях о спектре оператора и условиях для его резольвенты. Вместе с тем неулучшаемость установленных оценок погрешости не изучалась.

Цель диссертационной работы состоит в получении новых интегральных оценок скорости сходимости метода преобразования Кэли и доказательстве их неулучшаемости по порядку.

Так, в случае конечной гладкости начального вектора задачи Коши для однородного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с самосопряжённым положительно определённым неограниченным постоянным оператором доказана новая оценка погрешности метода в некоторой интегральной норме и доказана её почти (с точностью до логарифма) неулучшаемость по порядку где-- число слагаемых в частичной сумме ряда, приедставляющего точное решение Для этой же задачи при начальном векторе из пространства Румье где-- стационарная числовая по-следовательность, а-- константа положительной определённости оператора, доказана экспоненциальная скорость сходимости метода преобразования Кэли, а для оценки его точности показана неулучшаемость по порядку. При начальном векторе конечной гладкости, а также в случае его аналитичности получены также новые интегральные оценки с весовой функцией, учитывающие, таким образом, начальный эффект в той же задаче.

Доказана новая полиномиальная оценка скорости сходимости метода преобразования Кэли для приближения операторного косинуса, порождённого самосопряжённым положительно определённым неограниченным постоянным оператором в гильбертовом пространстве при и установлена её почти (с точностью до логарифма) неулучшаемость по порядку где-- число слагаемых в частичной суме ряда, представляющего точное решение Для этой же задачи получена новая оценка экспоненциальной скорости сходимости метода и показана её неулучшаемость по порядку, если начальный вектор принадлежит пространству Румье.

Значительно меньше публикаций посвящено приближению решений уравнения Большинство из них строится при помощи методов типа Рунге-Кутты, перенесённых на абстрактный случай. Поэтому актуальны новые подходы к аппроксимации задачи Коши для уравнений с переменным неограниченным оператором. Весьма желательно при этом, чтобы разрабатываемые алгоритмы имели произвольный порядок точности, позволяли апостериорно оценивать погрешность, допускали распараллеливание вычислений и т. п.

В диссертации предложен новый метод дискретизации задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве (гильбертовом пространстве с сильно позитивным (самосопряжённым положительно определённым) при каждом неограниченным операторным коэффициентом имеющим плотную в и не зависящую от область определения (Сильно позитивные операторы используются в работах И. Гаврилюка, В. Макарова и др. В литературе, однако, известны и другие названия операторов с похожими свойствами, например, секторные операторы.) Получены априорные оценки скорости сходимости метода. Следует отметить, что новый алгоритм имеет произвольный порядок точности и позволяет проводить вычисления параллельно. Найдены и доказаны достаточные условия сильной устойчивости решений, причём в отличие от известных результатов не требуется, чтобы исходный и возмущённый операторы коммутировали. На основании утверждений о сильной устойчивости предложена реализация алгоритма при условии полиномиальных приближений оператора и правой части уравнения. Средствами пакета Maple выполнены численные расчёты, которые подтверждают неулучшаемость полученных априорных оценок скорости сходимости метода. Представляют также самостоятельный интерес доказанные в диссертации вспомогательные утверждения: операторный аналог теоремы о вычетах, точные формулы для интегралов от операторнозначных функций и др.

Ключевые слова: абстрактная задача Коши, метод преобразования Кэли, неулучшаемые оценки, переменный оператор, точность метода, устойчивость решений, распараллеливание вычислений.

Annotation

Ryabichev V. L. The accuracy of the approximation methods for solving an abstract Cauchy problem. -- Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in Physics and Mathematics (Ph. D.), specialty 01.01.07 - mathematics of calculations. -- Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv - 2006.

The convergence rate of non-saturation algorithms to approximate an initial value problem for both first- and second-order linear differential equations with self-adjoint positive-definite unbounded constant operators in a Hilbert space is investigated. In case of a regular initial vector the new integral accuracy estimates of the Cayley transform method are obtained and their near (accurate to logarithm) unimprovability is asserted. Under analyticity of the initial data the exponentially convergent Cayley transform method is applied and its unimprovable in order error estimates are established. A high-accuracy parallel algorithm of solving a first-order evolution equation with a variable unbounded operator coefficient is developed. The error estimates and the strong stability of the exact solution in both Hilbert and Banach spaces are substantiated, as well as some numerical results are presented.

Key words: abstract Cauchy problem, Cayley transform method, unimprovable estimates, variable operators, accuracy order, stability, parallel calculations.

Размещено на Allbest.ru

...