Компактні різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 519.6

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико_математичних наук

Компактні різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь

01.01.07 - обчислювальна математика

Кутнів Мирослав Володимирович

Київ 2007

Загальна характеристика роботи

різницева схема диференціальне рівняння

Актуальність теми. Одним з найважливіших та найпоширеніших застосувань комп'ютерної техніки є розв'язування задач, які виникають в науці і техніці або знаходження розв'язків математичних моделей, які описують це або інше фізичне явище, або процес. Значна частина математичних моделей формулюються у вигляді систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з крайовими умовами, які є природною частиною задачі. Зокрема, крайові задачі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь виникають при дослідженні задач теорії нелінійних коливань та нелінійної механіки, гідродинаміки, біофізики, техніки тощо. Для нелінійних крайових задач, які викликають найбільший інтерес, рідко вдається отримати аналітичний розв'язок, його можна знайти тільки наближено.

Побудова та обґрунтування нових чисельних методів розв'язування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, які є конкурентоздатними у порівнянні з існуючими методами, а для певних класів задач їх перевершують, складає значний інтерес як для розвитку обчислювальної математики, так і для математичного моделювання різних нелінійних фізичних явищ і процесів. У зв'язку з цим великого значення набули компактні різницеві схеми високого порядку точності, тобто схеми, які для звичайних диференціальних рівняннь _го порядку є _точковими. Важлива особливість компактних різницевих схем високого порядку точності полягає в тому, що їх розв'язок можна знайти за невелику кількість операцій, а високий порядок точності забезпечує потрібну точність для наближення розв'язку нелінійної крайової задачі на “грубих” сітках.

В працях А.М. Тіхонова та О.А. Самарського для лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з кусково-гладкими коефіцієнтами та крайовими умовами першого і третього роду розроблена теорія точних триточкових (компактних) різницевих схем та триточкових різницевих схем довільного порядку точності. Важливу роль у розвитку цієї теорії та її застосувань відіграли праці О.А. Самарського, В.Л. Макарова, Р.Д. Лазарова, І.П. Гаврилюка, В.Г. Пріказчікова та інших.

Вперше підхід до побудови точних триточкових різницевих схем та триточкових різницевих схем високого порядку точності на рівномірній сітці для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами першого роду було анонсовано В.Л. Макаровим та О.А. Самарським у 1990 р. у Доповідях АН СРСР. До останнього часу ідеї цієї роботи не були повністю обгрунтовані та розвинуті. Крім того, оскільки будь_яке нелінійне звичайне диференціальне рівняння _го порядку, розв'язне відносно старшої похідної може бути зведене до системи диференціальних рівнянь першого порядку, то виникає питання побудови точної двоточкової (компактної) різницевої схеми та її реалізації через двоточкові схеми довільного порядку точності для таких систем з додатковими двоточковими крайовими умовами.

Таким чином, розробка теорії точних компактних різницевих схем та компактних різницевих схем довільного порядку точності на нерівномірних сітках для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та їх систем із загальними крайовими умовами є актуальною проблемою обчислювальної математики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи відповідає напрямку досліджень:

· на кафедрі прикладної математики Національного університету “Львівська політехніка” -- держбюджетна тема “Розробка теорії гіллястих ланцюгових дробів, побудова чисельних, аналітичних методів розв'язування диференціальних рівнянь” (Міністерство освіти і науки України, номер держ. реєстрації 0104U002325);

· в Інституті математики НАН України -- “Чисельно_аналітичні методи в задачах з вільними границями” (тема ДФФД Ф7/405_2001);

· в Інституті прикладної математики Йенського університету ім. Фрідріха Шіллера (ФРН) -- “Чисельні методи високого порядку точності для диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами та їх застосування”.

Мета і завдання дослідження.

Предметом досліджень у даній роботі є:

1) крайові задачі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку на скінченному відрізку;

2) крайові задачі для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку;

3) крайові задачі для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором;

4) крайові задачі на півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

У дисертаційній роботі для чисельного розв'язування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь запропоновано компактні різницеві схеми високого порядку точності, які ґрунтуються на точних різницевих схемах.

Як методи досліджень у дисертаційній роботі використовуються методи теорії різницевих схем, функціонального аналізу та звичайних диференціальних рівнянь.

Метою досліджень є побудова та обгрунтування точних компактних різницевих схем та компактних різницевих схем довільного порядку точності на нерівномірних сітках для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та їх систем із загальними крайовими умовами. Для цього необхідно розв'язати такі задачі:

· побудувати та обґрунтувати точні компактні різницеві схеми розв'язування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь;

· розробити ефективну алгоритмічну реалізацію точних компактних схем через відсічені компактні різницеві схеми довільного порядку точності;

· дослідити існування та єдиність розв'язку відсічених компактних різницевих схем;

· довести збіжність та отримати оцінку похибки відсічених компактних різницевих схем;

· довести збіжність та отримати оцінку похибки ітераційних методів розв'язування різницевих схем;

· перевірити різницеві схеми на тестових прикладах та підтвердити теоретичні висновки, шляхом проведення чисельних експериментів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

1. Побудовано точну триточкову різницеву схему для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами першого та третього роду на нерівномірній сітці. Отримано умови існування та єдиності розв'язку цієї схеми, а також доведено збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження.

2. Розроблено нову ефективну алгоритмічну реалізацію точних триточкових різницевих схем через відсічені триточкові різницеві схеми високого порядку точності. Доведено існування та єдиність їх розв'язку, дано оцінку точності. Доведено збіжність методу послідовних наближень та методу Ньютона для знаходження розв'язку триточкових різницевих схем.

3. Доведено існування точної двоточкової різницевої схеми для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з нероздільними крайовими умовами, а також існування та єдиність її розв'язку. Доведено збіжність та отримано оцінку точності ітераційного методу послідовних наближень для розв'язування цієї схеми.

4. Побудовано двоточкові різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність їх розв'язку, отримано оцінку точності. Доведено збіжність та отримано оцінку точності ітераційного методу послідовних наближень для знаходження розв'язку двоточкових різницевих схем.

5. Поширено та обґрунтовано точні триточкові різницеві схеми на системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором.

6. Поширено та обґрунтовано триточкові різницеві схеми довільного порядку точності на системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

7. Отримано умови існування та єдиності розв'язку крайової задачі на півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

8. Побудовано точну триточкову різницеву схему на скінченній нерівномірній сітці з точною крайовою умовою в граничному вузлі сітки для розв'язування нелінійних крайових задач на півосі.

9. Розроблено ефективну реалізацію точних триточкових різницевих схем для задач на півосі через відсічені триточкові різницеві схеми високого порядку точності. Доведено існування та єдиність розв'язку відсічених триточкових різницевих схем та отримано оцінку точності, а також доведено збіжність методу послідовних наближень для розв'язування триточкових різницевих схем.

10. Розроблено новий алгоритм чисельного розв'язування крайових задач на півосі з заданою точністю та автоматичним вибором точок сітки за допомогою триточкових різницевих схем.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці компактних різницевих схем високого порядку точності чисельного розв'язування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь. Отримані результати ввійшли у звіт НДЧ Національного університету “Львівська політехніка” (1997 - 2006 р.р.). Ці результати також використовуються при читанні лекцій для студентів інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка” і при виконанні студентами курсових, дипломних і магістерських атестаційних робіт. Запропоновані підходи можуть бути використані при подальших дослідженнях, присвячених розробці нових чисельних методів та їх застосування до конкретних прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, винесені на захист, отримано автором самостійно. В роботах, виконаних у співавторстві, автор дисертації приймав участь в отриманні всіх результатів і особисто одержав такі: в [8] доведено існування точної триточкової різницевої схеми на рівномірній сітці, а також існування та єдиність її розв'язку, обґрунтування алгоритмічної реалізації точних триточкових різницевих схем через триточкові різницеві довільного порядку точності; в [5-7,24] -- формулювання задачі та аналіз результатів; в [26,27] -- дослідження існування та єдиності розв'язку задачі, побудова та обґрунтування точних двоточкових схем та двоточкових різницевих схем високого порядку точності; в [22,28] -- розробка та обґрунтування нової алгоритмічної реалізації точних двоточкових різницевих схем через двоточкові різницеві схеми довільного порядку точності; в [23,29,30] -- дослідження існування та єдиності розв'язку задачі, побудова та обґрунтування точних триточкових схем та триточкових різницевих схем високого порядку точності; в [4] -- розробка алгоритму розв'язування задачі Коші; в [3] -- дослідження математичної моделі, побудова різницевої схеми та розробка алгоритму розв'язування задачі, в [1,2] -- розробка чисельних методів розв'язування.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах: Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (Львівський національний університет ім. Івана Франка, керівники проф. Б.Й. Пташник, проф. П.І Каленюк, проф. С.П. Лавренюк 2000 р.); кафедри чисельних методів математичної фізики (Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, керівник проф. В.Л. Макаров, 1998-2001 р.р.); “Сучасні методи обчислювальної математики та їх застосування” (м. Львів, керівник чл.-кор. НАН України В.Л. Макаров, 2004 р.); Інституту прикладної математики Університету ім. Фрідріха-Шіллера, (м. Йена, ФРН, керівник проф. М. Герман, 2004 р.); на спільному семінарі відділів диференціальних рівнянь та теорії коливань; динаміки стійкості багатовимірних систем; обчислювальної математики Інституту математики НАН України (кер.: академік НАН України А.М. Самойленко, академік НАН України І.О. Луковський, чл._кор. НАН України В.Л. Макаров, 2006 р.), на семінарі відділу математичного моделювання проблем екології та енергетики Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (керівник чл._кор. НАН України В.В. Скопецький, 2007р.). На щорічних наукових конференціях професорсько_викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка”, а також на міжнародних і всеукраїнських конференціях: “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (м. Львів, 1998 р.); з нелінійних проблем математичної фізики (м. Кременчук, 2000 р.), “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (м. Дрогобич, 2001 р.), “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 2002 - 2005 р.), “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Львів, 2003 р.); “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики” (м. Львів, 2004 р.), математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (м. Дрогобич, 2004 р.).

Публікації. Результати досліджень опубліковано в 26 наукових статтях [1-26], 4 препринтах [27-30] та 12 тезах доповідей на конференціях [31-42].

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 274 сторінок, складається з вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел з 219 найменувань.

Основний зміст роботи

У першому розділі зроблено огляд стану проблеми за тематикою дисертації. У підрозділі 1.1 розглядаються існуючі методи побудови компактних різницевих схем розв'язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) на скінченному інтервалі. Спочатку зроблено огляд теорії точних триточкових різницевих схем (ТТРС) та триточкових різницевих схем (ТРС) довільного порядку точності, розробленої А.М. Тіхоновим, О.А. Самарським та їх учнями для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами першого та третього роду. Далі в цьому підрозділі обговорюються питання побудови ТТРС та її алгоритмічної реалізації через відсічені ТРС довільного порядку точності для систем лінійних ЗДР другого порядку з крайовими умовами Діріхле. Крім того, розглядаються проблеми побудови ТРС високого порядку точності для нелінійних ЗДР другого порядку та двоточкових різницевих схем високого порядку точності для систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

В підрозділі 1.2 здійснено короткий огляд проблем, пов'язаних з чисельним розв'язуванням крайових задач для ЗДР на нескінченному проміжку. Далі обговорюються питання побудови та дослідження ТТРС та ТРС довільного порядку точності для лінійних крайових задач на півосі.

Кожен розділ дисертації завершується висновками, які містять в собі перелік отриманих в ньому результатів.

В другому розділі для нелінійних ЗДР другого порядку з крайовими умовами першого та третього роду побудовано та обгрунтовано ТТРС на нерівномірній сітці. Розроблено ефективну алгоритмічну реалізацію ТТРС через ТРС порядку точності.

Третій розділ роботи присвячено побудові та обгрунтуванню точної двоточкової різницевої схеми (ТДРС) для систем ЗДР першого порядку з нероздільними крайовими умовами та її алгоритмічної реалізації через двоточкові різницеві схеми (ДРС) довільного порядку точності.

Таблиця 3.1 Чисельні результати, отримані за допомогою ДРС 7_го порядку точності

10	10-7	512	3,5833778•10-4	1	0,02
20	10-7	512	1,6487734•10-8	1	0,04
30	10-7	512	7,4861194•10-13	1	0,07
40	10-7	512	3,3987988•10-17	1	0,10
45	10-7	512	2,2902091•10-19	1	0,11
50	10-7	1024	1,5430022•10-21	1	0,15
61	10-7	262144	2,5770722•10-26	1	6,10

Таблиця 3.2 Чисельні результати, отримані за допомогою ДРС 10_го порядку точності

61	10-6	65536	0,860•10-5	3,50
61	10-8	131072	0,319•10-7	7,17
62	10-6	262144	0,232•10-5	8,01
62	10-8	262144	0,675•10-8	15,32

Результати розв'язування задачі Трьоша, отримані за допомогою ДРС, порівнювалися з результатами, які були отримані за допомогою методу багаторазової стрільби, реалізованого у програмі RWPM (див. табл. 3.3). В табл. 3.3 -- кількість автоматично визначених точок стрільби, NFUN -- кількість звертань до правої частини диференціального рівняння, it -- кількість ітерацій.

Зауважимо, що ми отримали кращі характеристики як за точністю, так і за часом, ніж ті, які дає програма RWPM. Крім того, розв'язати задачу Трьоша для значень параметра за допомогою програми RWPM взагалі не вдалося, тоді як в табл. 3.1, 3.2 наведено результати розв'язування цієї задачі двоточковими різницевими схемами.

Таблиця 3.3 Чисельні результати, отримані за допомогою програми RWPM

10	11	9	12641	3,5833779•10-4	1,0000000	0,01
20	11	13	34425	1,6487732•10-8	0,9999997	0,02
30	14	16	78798	7,4860938•10-13	1,0000008	0,05
40	15	24	172505	3,3986834•10-17	0,9999996	0,14
45	12	31	530085	2,2900149•10-19	1,0000003	0,30

У четвертому розділі для систем нелінійних ЗДР другого порядку з монотонним оператором та крайовими умовами першого роду доведено існування ТТРС на нерівномірній сітці, розроблено реалізацію ТТРС через ТРС порядку точності. Зазначимо, що крайову задачу для системи нелінійних ЗДР другого порядку можна звести до крайової задачі для системи нелінійних ЗДР першого порядку і використати двоточкові різницеві схеми, проте ці схеми обґрунтовано лише для задач з малими сталими Ліпшиця (див. (3.2)). Запропоновані в цьому розділі ТРС високого порядку точності, обгрунтовано і для задач з великими сталими Ліпшиця.

В п'ятому розділі для нелінійної крайової задача на півосі розглядаються питання побудови ТТРС на скінченній нерівномірній сітці. Крім того, тут запропонована реалізація ТТРС через відсічені ТРС порядку точності ( -- ціле додатне, -- ціла частина).

Запропоновано новий алгоритм чисельного розв'язування крайових задач на півосі триточковим різницевими схемами з заданою точністю та автоматичним вибором точок сітки. Згідно з цим алгоритмом крайова задача розв'язується за допомогою різницевих схем порядку точності і, які для розв'язування задач Коші використовують вкладені методи Рунге-Кутта-Нюстрьома порядків точності і. Спочатку вибирається нерівномірна сітка із врахуванням умови, щоб задачі Коші розв'язувалися з заданою точністю. Потім на цій сітці обчислюються розв'язки. Крайова задача буде розв'язана з точністю, якщо виконується умова.

Наведено результати чисельних експериментів, які підтверджують теоретичні висновки, а також результати порівняння запропонованого алгоритму розв'язування крайових задач на півосі з заданою точністю з алгоритмом, який грунтується на правилі Рунге, з чого випливає, що розроблений алгоритм є ефективнішим.

Висновки

В дисертаційній праці побудовано точні компактні різницеві схеми та компактні різницеві схеми високого порядку точності для чисельного розв'язування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь.

Основні результати:

1. Побудовано точну триточкову різницеву схему для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами першого та третього роду на нерівномірній сітці. Отримано достатні умови існування та єдиності розв'язку цієї схеми, а також доведено збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження.

2. Розроблено нову ефективну алгоритмічну реалізацію точних триточкових різницевих схем через відсічені триточкові різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність їх розв'язку, дано оцінку точності. Доведено збіжність методу послідовних наближень та Ньютона для знаходження розв'язку триточкових різницевих схем.

3. Доведено існування точної двоточкової різницевої схеми для систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку, а також існування та єдиність її розв'язку. Доведено збіжність та отримано оцінку точності ітераційного методу послідовних наближень для розв'язування цієї схеми.

4. Побудовано двоточкові різницеві схеми високого порядку точності. Доведено існування та єдиність їх розв'язку, отримано оцінку точності. Доведено збіжність та отримано оцінку точності ітераційного методу послідовних наближень для знаходження розв'язку двоточкових різницевих схем. Доведено стійкість двоточкових різницевих схем.

5. Поширено та обгрунтовано точні триточкові різницеві схеми на системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором.

6. Поширено та обгрунтовано триточкові різницеві схеми довільного порядку точності на системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

7. Отримано достатні умови існування та єдиності розв'язку крайової задачі на півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

8. Побудовано точну триточкову різницеву схему на скінченній нерівномірній сітці з точною крайовою умовою в граничному вузлі сітки для розв'язування нелінійних крайових задач на півосі.

9. Розроблено ефективну реалізацію точних триточкових різницевих схем через відсічені триточкові різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність розв'язку відсічених триточкових різницевих схем та отримано оцінку точності, а також доведено збіжність методу послідовних наближень для розв'язування триточкових різницевих схем.

10. Розроблено новий алгоритм чисельного розв'язування крайових задач на півосі з заданою точністю та автоматичним вибором точок сітки за допомогою триточкових різницевих схем.

11. Наведено результати чисельних експериментів, які підтверджують теоретичні висновки, а також результати порівняння розроблених різницевих схем з методом багаторазової стрільби, які ілюструють ефективність запропонованого підходу.

12. Виділено клас задач, для яких запропоновані різницеві схеми є ефективнішими, ніж існуючі чисельні методи.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бєлов Ю. А., Гординський Л. Д., Кутнів М. В. Дослідження нелінійних математичних моделей перенесення протонів у системах з водневим зв'язком // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. - 2003. - Вип. 1. - С. 59 - 68.

2. Бєлов Ю. А., Гординський Л. Д., Кутнів М. В. Про існування розв'язків нелінійної моделі переносу протонів у системах з водневим зв'язком // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. - 2003. - Вип. 3. - С. 91 - 95.

3. Гарматій Г., Кутнів М., Попович В. Числове розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності термочутливих тіл при складному теплообміні // Машинознавство. - 2002. - № 1 (55). - С. 21 - 25.

4. Гнатів Б. В., Кутнів М. В., Максимів Є. М. Алгоритм реалізації однокрокових дробово-раціональних чисельних методів розв'язування систем звичайних диференціальних рівнянь // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Диференціальні рівняння та їх застосування. - 1995. - № 286. - С. 37 - 39.

5. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині // Доп. НАН України. - 2004. - № 2. - С. 23 - 29.

6. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Мат. методи та фіз._мех. поля. - 2004.- Т. 47, № 1. - С. 32 - 42.

7. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 2004. - Вип. 8. - C. 14 - 22.

8. Кутнив М. В., Макаров В. Л., Самарский А. А. Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2_го порядка и их реализация // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1999. - Т. 39, № 1. - С. 45 - 60.

9. Кутнив М. В. Точные трехточечные разностные схемы для монотонных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их реализация // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2000. - Т. 40, № 3. - С. 387 - 401.

10. Кутнив М. В. Трехточечные разностные схемы высокого порядка точности для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2001. - Т. 41, № 6. - С. 909 - 921.

11. Кутнив М. В. Трехточечные разностные схемы высокого порядка точности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с монотонным оператором // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2002. - Т. 42, № 5. - С. 754 - 768.

12. Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Мат. методи та фіз._мех. поля. - 2003. - Т. 46, № 2. - С. 42 - 50.

13. Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Мат. методи та фіз._мех. поля. - 2003. - Т. 46, № 4. - С. 120 - 129.

14. Кутнів М. В. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами третього роду // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 2002. - Вип. 4. - С. 61 - 66.

15. Кутнів М. В. Про точність триточкових різницевих схем _го рангу для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 2000. - Вип. 2. - С. 43 - 49.

16. Кутнів М. В. Чисельне розв'язування триточкових різницевих схем _го порядку точності // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 2003. - Вип. 6. - C. 68 - 73.

17. Кутнів М. В. Ефективний екстраполяційний метод розв'язування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь // Вісник держ. ун_ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1996. - № 299. - С. 92- 95.

18. Кутнів М. В. Існування точних триточкових різницевих схем для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник держ. ун_ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1998. - № 337. - С. 340 - 343.

19. Кутнів М. В. Триточкова різницева схема пятого порядку точності розвязування нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник держ. ун_ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1998. - № 341. - С. 157 - 161.

20. Кутнів М. В. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності розвязування нелінійних монотонних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь // Вісник держ. ун_ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1999. - № 364. - С. 114 - 120.

21. Кутнів М. В. Про реалізацію точних триточкових різницевих схем для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник нац. ун_ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 2000. - № 407. - С. 123 - 129.

22. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., and Makarov V. L. Difference schemes for nonlinear BVPs using Runge_Kutta IVP_solvers // Advances in Difference Equations, Volume 2006, Article ID 12167, P.1 - 27.

23. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., and Makarov V. L. Difference schemes for nonlinear BVPs on the semiaxis // Computational Methods in Applied Mathematics (CMAM). - 2007. - Vol. 7, No. 1. - P. 25 - 47.

24. Gnativ L. B., Kutniv M. V. Modified of three_point difference schemes of high-accuracy order for second order monotone ordinary differential equations with derivative in right_hand

side // Журнал обчисл. прикл. матем. - 2003. - Вип. 1. - С. 43 - 65.

25. Kutniv M.V. Modified of three_point difference schemes of high_accuracy order for second order nonlinear ordinary differential equations // Computational Methods in Applied Mathematics (CMAM). - 2003. - Vol. 3, No. 2. - P. 287 - 312.

26. Makarov V. L., Gavrilyuk I. P., Kutniv M. V., Hermann M. A two_point difference scheme of arbitrary given accuracy order for BVPs for systems of first order nonlinear ODEs // Computational Methods in Applied Mathematics (CMAM). - 2004. - Vol. 4, No. 4. - P. 464 - 493.

27. Makarov V. L., Gavrilyuk I. P., Kutniv M. V., Hermann M. A two_point difference scheme of arbitrary given accuracy order for BVPs for systems of first order nonlinear ODEs / Jenaer schriften zur mathematik und informatik. Eingag: 03.03. - 2003. - P. 1 - 24.

28. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V. and Makarov V. L. Variable order difference schemes for nonlinear two_point BVPs. Technical Report / Friedrich Schiller University Jena, Department of Mathematics and Computer Science; 05_15, 2005- P. 1 - 25.

29. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., Makarov V. L. Three_point difference schemes of variable order for nonlinear BVPs on the half_axis. Technical Report / Friedrich Schiller University Jena, Department of Mathematics and Computer Science; 05_04, 2005. - P. 1 - 37.

30. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., Makarov V. L. New methods for nonlinear BVPs on the half_axis using Runge_Kutta IVP_solvers. Technical Report / Friedrich Schiller University Jena, Department of Mathematics and Computer Science; 05_18, 2005. - P. 1 - 37.

31. Гаврилюк І. П., Герман М., Кутнів М. В., Макаров В. Л. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку на півосі // Тези доповідей міжнародної конференції “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики”. - Львів: “Сколом”, 2004. - С. 14 - 15.

32. Гаврилюк І. П., Герман М., Кутнів М. В., Макаров В. Л. Модифіковані двоточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку // Тези доповідей XII Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” - Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2005. - С. 53.

33. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині // Тези доповідей дев'ятої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” - Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2002. - С. 31 - 32.

34. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Матеріали Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” - Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2003. - С. 44.

35. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Тези доп. наукової конференції проф._викл. складу Ін_ту прикладної мат. та фунд. наук. - Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2003. - С. 33.

36. Гнатів Л., Кутнів М. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Тези доп. міжнародної математичної конференції ім. В. Я. Скоробогатька. - Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2004. - С. 52.

37. Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь 2_го порядку // Тези доп. наукової конференції проф.-викл. складу Ін-ту прикладної математики та фундаментальних наук: - Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2002. - С. 41.

38. Кутнів М. В. Розв'язування нелінійних триточкових різницевих схем _го рангу // Тези доповідей дев'ятої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” - Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2002. - С. 79 - 80.

39. Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Тези доп. VI міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Львів: ВКП “ВМС”, 2003. - С. 523 - 524.

40. Кутнів М. В. Двоточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку // Тези доп. наукової конференції проф._викл. складу Ін_ту прикладної математики та фундаментальних наук. - Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2004. - С. 32.

41. Кутнів М. В. Загальні триточкові різницеві схеми високого порядку точності для квазілінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // П'ята відкрита наукова конференція проф._викл. складу Ін_ту прикладної математики та фундаментальних наук: Тези доповідей. - Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2006. - С. 45.

42. Макаров В. Л., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку на півосі // Матеріали Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. - Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2003. - С. 88.

Анотація

Кутнів М.В. Компактні різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико_математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена побудові та обґрунтуванню компактних різницевих схем високого порядку точності для розв'язування крайових задач на скінченному відрізку та півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. У зв'язку з нелінійністю крайових задач та різницевих схем за основу брався як метод лінеаризації і принцип стискаючих відображень, так і метод монотонних операторів. Побудовано точні компактні різницеві схеми, коефіцієнти та права частина яких у кожному вузлі сітки виражаються через розв'язки додаткових задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь на інтервалі довжиною в один крок. Доведено існування та єдиність їх розв'язку, збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження. Розроблено ефективні алгоритмічні реалізації точних схем через відсічені компактні різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність розв'язку, отримано оцінки точності відсічених компактних різницевих схем. Доведено збіжність та дано оцінки точності ітераційних методів (послідовних наближень, Ньютона) для знаходження їх розв'язку. Ефективність запропонованих підходів ілюструється на чисельних прикладах.

Ключові слова: крайові задачі, звичайні диференціальні рівняння, точні компактні різницеві схеми, відсічені компактні різницеві схеми, порядок точності, ітераційні методи.

Аннотация

Кутнив М.В. Компактные разностные схемы високого порядка точности для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико_математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена построению и обоснованию компактных разностных схем высокого порядка точности для решения краевых задач на конечном отрезке и полуоси для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и их систем.

В первой главе сделан обзор состояния проблемы по тематике диссертации. Сначала сделан обзор теории точных трехточечных разностных (ТТРС) и трехточечных разностных схем (ТРС) произвольного порядка точности, разработанной А.Н. Тихоновим, А.А. Самарским и их учениками для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями первого и третьего рода. Далее рассматриваются проблемы построения ТРС для нелинейных ОДУ второго порядка и двухточечных разностных схем (ДРС) для систем нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Обсуждаются вопросы построения и исследования ТТРС и ТРС произвольного порядка точности для линейных краевых задач на полуоси.

Во второй главе построено ТТРС на неравномерной сетке для нелинейных ОДУ второго порядка с краевыми условиями первого и третьего рода. При помощи метода линеаризации и принципа сжимающих отображений, а также метода монотонных операторов доказаны существование и единственность их решения. Доказано сходимость метода последовательных приближений решения нелинейной ТТРС. Разработана эффективная алгоритмическая реализация ТТРС и точных краевых условий третьего рода на неравномерной сетке через ТРС и разностные краевые условия ранга ( -- целое положительное, -- целая часть). Предложенные ТРС ранга для своего построения требуют для каждого узла сетки решения двух нелинейных и двух линейных задач Коши на отрезках (вперед) и (назад), что осуществляется за один шаг при помощи любого одношагового метода: разложения в ряд Тейлора или Рунге-Кутта порядка точности . Используя метод линеаризации и принцип сжимающих отображений, а также метод монотонных операторов, доказано существование и единственность решения усеченных ТРС ранга . Кроме того, показано, что эти схемы имеют порядок точности как по отношению к функции , так и для ее потока в узлах сетки. Отметим, что необходимость использования двух методов исследования ТРС связана с тем, что при условиях, которые вытекают из принципа сжимающих отображений ТРС порядка точности можно использовать лишь для задач с малыми постоянными Липшица, тогда как в случае метода монотонных операторов такие схемы можно использовать и для задач с большими постоянным Липшица. Доказано также сходимость и получена оценка точности методов последовательных приближений и Ньютона решения ТРС порядка точности . Разработанные ТРС высокого порядка точности апробированы на ряде численных экспериментов. Полученные результаты подтверждают теоретические обоснования и показывают высокую эффективность этих схем для численного решения краевых задач для нелинейных ОДУ.

В третьей главе доказано существование точной двухточечной разностной схемы (ТДРС) для системы нелинейных ОДУ первого порядка с неразделенными краевыми условиями, существование и единственность ее решения, а также сходимость метода последовательных приближений. Разработано эффективную алгоритмическую реализацию ТДРС через усеченные ДРС _го ранга, которая не требует вычисления фундаментальной матрицы. Для построения разностной схемы _го ранга в каждом узле , неравномерной сетки необходимо решить задачу Коши для системы нелинейных ОДУ на отрезке . Задачи Коши решаются при помощи любого одношагового метода -го порядка точности (разложения в ряд Тейлора или Рунге-Кутта). Доказано существование и единственность решения усеченной ДРС _го ранга, а также показано, что она имеет _й порядок точности. Для вычисления решения двухточечной нелинейной разностной схемы использовался метод последовательных приближений или метод Ньютона. Предложенный подход успешно применялся для решения периодических краевых задач, краевых задач для жестких систем ОДУ и задач с малым параметром, не используя при этом “дорогих” методов решения жестких задач Коши. На численных примерах проведено сравнение с методом многоразовой стрельбы, результаты которого подтверждают высокую эффективность разработанных в этом разделе ДРС.

В главе 4 построено ТТРС на неравномерной сетке для систем нелинейных ОДУ второго порядка с краевыми условиями первого рода. С помощью метода монотонных операторов доказано существование и единственность решения ТТРС, а также сходимость метода простой итерации для вычисления ее решения. Для определения вектора правой части ТТРС в произвольном узле сетки необходимо решить две вспомогательные задачи Коши для системы нелинейных ОДУ и две матричные линейные задачи Коши на отрезках (вперед) и (назад). Каждая из задач Коши решается за один шаг одношаговым методом (разложения в ряд Тейлора или Рунге_Кутта) порядка точности ( --целая часть). В результате получена реализация ТТРС через усеченные ТРС ранга , для которой доказано, что она имеет порядок точности . Построено приближение потока в узлах сетки, точность которого такая же как и точность решения , т.е. равна . Доказано существование и единственность решения усеченной ТРС ранга , а также сходимость методов простой итерации и Ньютона вычисления ее решения. Предложенные в этом разделе ТРС в отличие от ДРС из предыдущего раздела обоснованы и могут использоваться для задач с монотонным оператором и большими константами Липшица. Проведены численные эксперименты для задач с большими константами Липшица, которые подтверждают теоретические выводы.

В пятой главе для нелинейной краевой задачи на полуоси построено ТТРС на конечной неравномерной сетке . При этом здесь сконструировано точное нелинейное краевое условие на правом граничном конце сетки . Предложена реализация ТТРС через усеченные ТРС ранга . Доказана теорема о существовании и единственности решения ТРС и дана оценка скорости ее сходимости. Показано, что скорость сходимости ТРС ранга является величиной . Предложено новый эффективный алгоритм численного решения краевых задач на полуоси с заданной точностью и автоматическим выбором сетки. Проведены численные эксперименты, которые подтверждают теоретические выводы.

Ключевые слова: краевые задачи, обыкновенные дифференциальные уравнения, точные компактные разностные схемы, усеченные компактные разностные схемы, порядок точности, итерационные методы.

Summary

Kutniv M.V. Compact difference schemes of high accuracy order for nonlinear ordinary differential equations. - A manuscript.

A thesis presented for the Degree of Doctor of Physics and Mathematics in speciality 01.01.07 - computational mathematics. Institute of Mathematics of NAS of Ukraine.

The dissertation is concerned with the construction and justification of the compact difference schemes of high accuracy order for nonlinear boundary value problems on finite intervals and half_axis for ordinary differential equations. Since the problems and difference schemes are nonlinear, our analysis is based on the linearization method and the principle of contraction maps and method of monotone operators. Exact compact difference schemes are constructed. In order to find of the coefficients and right_hand side of an exact compact difference schemes at an arbitrary node of the grid auxiliary initial value problems for ordinary differential equations on the interval by length of one step should be solved. Existence and uniqueness of the solution of this schemes and convergence of fixed point iteration for its numerical solution are proved. The effective implementations of the exact compact difference schemes in terms of so_called truncated compact difference schemes are developed. The convergence of iteration methods (fixed point iteration, Newton's iteration) for its numerical solution are proved. Effectiveness of proposed approaches is illustrated on the numerical examples.

Key words: boundary value problems, ordinary differential equations, exact compact difference schemes, truncated compact difference schemes, accuracy order, iterations methods.

Размещено на Allbest.ru

...