Розвиток аналітичної геометрії в XVII–XVIII ст.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Розвиток аналітичної геометрії в XVII-XVIII ст.

1. Алгебраїчні методи в геометрії

геометрія алгебраїчний декарт

Застосування алгебри в геометрії мало до початку XVII ст. довгу історію. Ще стародавні вавилоняни розв'язували багато завдань на прямокутні трикутники, позначаючи шукані відрізки, як корені багатьох квадратних рівнянь; аналогічні прийоми вживалися згодом не однократно. У Греції важливим засобом геометричного дослідження, зокрема конічних перетинів, служила геометрична алгебра, в якій місце обчислень займали побудови відрізків.

Бурхливі успіхи символьної і числової алгебри в XVI ст. стали основою набагато більш обширних додатків алгебраїчного методу в геометрії, що призвели до створення нової аналітичної геометрії. Спочатку роботи в цьому напрямку не виходили за межі традиційних постановок і вирішень питань, іноді досить складних. Велика кількість таких завдань була розглянута Вієтом, за яким слідували й інші, наприклад Марин Геталдіч (Гетальді, 1566-1627), уродженець югославського міста Дубровник (Рагуза), тоді колишньої самостійної республіки. Хороший знавець грецьких авторів, Гетальді випробував особливо сильний вплив Вієта, з яким познайомився під час перебування в Парижі. У «Зборах різних завдань» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) і посмертно в праці «Про математичному аналізі та синтезі» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальді засобами алгебри Вієта вирішує різноманітні завдання на поділ відрізків, на побудову тощо; здебільшого його завдання виражаються рівняннями першого або другого порядку відносно шуканого невідомого відрізка. У деяких випадках застосовується суто геометричне розв'язання. Згадаємо античне завдання про вставки між продовженням сторони квадрата і найближчою перпендикулярною стороною відрізка даної довжини, продовження якого проходить через вершину квадрата, не лежить на названих сторонах. Гетальді відніс завдання до тих, які не відносяться до алгебри (sub algebram non cadunt), і вирішив його геометрично. Дане завдання привернуло увагу й інших учених. Жирар (1629) оголосив його рівнянням четвертого ступеня і показав, як пов'язаний вибір знаків перед радикалами, що входять до його коренів, з розташуванням частин шуканого відрізка. Декарт (1637) розглянув його з метою привести приклад рівняння четвертого ступеня, що розпадається на два квадратних (коефіцієнти яких, між іншим, квадратично-ірраціональні щодо вихідних коефіцієнтів). Попутно Декарт вказав, як від більш-менш вдалого вибору невідомої залежить порівняна простота рівняння. Ці міркування Декарта докладніше розвинуті в «Загальній арифметиці» Ньютона. Оригінальне рішення належало ще Гюйгенсу. Алгебраїчним рішенням геометричних задач займалися, як відомо, дуже багато. До вже названих можна додати, наприклад, ім'я англійського алгебраїста Вільяма Отреда (1574-1660), на книзі котрого, під заголовком, подібно до одного з творів ал-Коші, «Ключ математики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631), відбився безсумнівний вплив «Зборів різних завдань» Гетальді.

2. Аналітична геометрія

Описання алгебраїчних трактувань питань геометрії є підґрунтям для створення аналітичної геометрії, предметом якої являється вже не тільки знаходження окремих відрізків, які визначаються як корені рівнянь з одним невідомим, але вивчення властивостей різних геометричних фігур, насамперед алгебраїчних ліній і поверхонь, які визначаються рівняннями з двома або більше невідомими або координатами.

Координати з'явилися ще в давнину, притому в різних формах, між собою безпосередньо не пов'язаних. З одного боку, це були географічні координати, іменувалися довготою і широтою, причому положення пунктів земної поверхні, зображеної у вигляді прямокутника, характеризувалося парою чисел. Подібними були астрономічні координати, що служили для визначення положення світил на небесній сфері. Інший вид координат представляли собою відрізки, залежності між якими, так звані симптоми, визначають властивості деяких кривих. У цьому випадку мова йшла не про числові координатах будь-яких точок з відліком від фіксованого меридіана і паралелі, а про відрізки діаметрів і хорд, пов'язаних з точками розглянутої фігури.

Своєрідним різновидом координат були відрізки широт і довгот в теорії зміни форм Орема (1323-1382). Тут не було ні числових координат будь-яких точок, ні «симптомів», виражених засобами геометричної алгебри; словесно сформульована залежність між широтою і довготою форми зображувалася плоскою лінією.

Координатні відрізки давньогрецької геометрії стали відомі в Європі частково з арабських творів, але в основному із праць Архімеда і Аполлонія. Паралельні хорди або напівхорди, пов'язані певним чином з діаметром, Аполлоній називав, якщо перекласти з грецької, «по порядку проведеними лініями», а відрізки цього діаметра від його кінця до хорди - «відрубаними діаметром, по порядку проведеними лініями». У своєму, згадуваному раніше латинському виданні «Конічних перетинів» (Венеція, 1566) Федоріго Коммандіно перші вираження передав обходом ordinatim applicatae, тобто «по порядку докладені» (спрямовані), а другої - quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, тобто «які відсікаються ними на діаметрі від вершини». Звідси беруть початок терміни abscissa, тобто «відтята», ordinata і applicata, які, втім, прижилися не відразу. Слово «абсциса», що зустрічалося в сенсі відрізка у різних авторів, наприклад Кавальєрі (1635), стає технічним терміном координатної геометрії в 1668 р. у Мікеланджело, Річчі (1619-1692), у Лейбніца, починаючи з рукописів 1673 Ферма і Декарт у своїх основоположних творах по аналітичної геометрії (1636-1637) писали ще про «відтинки діаметра». Слово «ордината» в нашому сенсі застосовував інший перекладач на латинь «Конічних перерізів» - Франческо Мавроліко. Ферма користувався терміном applicata, Декарт - appliquee par ordre, тобто французьким перекладом ordinatim applicata, але також (у листі 1638) словом ordonnee, яке незадовго перед тим в 1637 р. вжив у своєму курсі П. Ерігона (у латинському тексті 1644 г.-ordinata); потім ним став регулярно користуватися Лейбніц.

У середині XVIII ст. слово «ордината» починає витісняти в геометрії на площині слово «апліката». Обидві координати спочатку називалися невідомими величинами, як у Ферма, або невизначені, як у Декарта; слово «координати» ввів у 1692 р. Лейбніц, маючи на увазі вже будь-які криволінійні координати. Але ще й пізніше поняття про координати пов'язувалося з відрізками діаметрів і хордами плоских кривих. Так описується, наприклад, в статтях «Abscissa, die Abscisse» і «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математичного словника» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Вольфа.

Термін «вісь», який у Аполлонія означав взаємно перпендикулярні з діаметром хорди, ужив в більш широкому сенсі І. Барроу (1670). Позначення початкової точки буквою О перегукується з її найменуванням origine - «початок», використаному Ф. Лагіром в 1679 р.; двадцяти роками раніше Я. де Вітт писав про initium immutabile, нерухомому початку. Декарт ще говорив про точку, з якої починаються обчислення. Повернемося від історії термінології до історії геометричних методів та ідей.

3. Аналітична геометрія Ферма

До розробки початків нової аналітичної геометрії незалежно один від одного і одночасно приступили обидва найбільших французьких математика XVII ст. - Ферма і Декарт. Невелике «Вступ до вивчення плоских і об'ємних фігур» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма було написано трохи раніше 1637 р. Нагадаємо, що «плоскі і об'ємні фігури» - терміни грецької геометрії - означали прямі та кола і відповідно еліпси, параболи і гіперболи. Робота написана в позначеннях Вієта з дотриманням однорідності рівнянь.

Ферма формулює принцип аналітичної геометрії таким чином: «Щоразу, коли в останньому рівнянні є дві невідомі величини (quantitates ignotae), в наявності є їх розташування, і кінець однієї з них описує пряму або ж криву лінію… Для установлення рівнянь зручно розташувати обидві невідомі величини під деяким заданим кутом (який ми здебільшого приймаємо прямим) і задати положення і кінець однієї з величин». Як ми бачимо, під невідомими величинами (координатами) Ферма розуміє прямолінійні відрізки: перший з них він щоразу позначає NZ і алгебраїчні буквою А, а другий відповідно ZI і Е. Потім по порядку розглядаються різні плоскі і об'ємні фігури.

Рівняння прямої, що проходить через початкову точку, Ферма виводить у формі D на А дорівнює В на Е, тобто. До цієї нагоди наводиться загальне рівняння першого степеня (із зазначеним обмеженням) і трохи пізніше однорідне рівняння другого ступеня, причому тут йдеться лише про одну з двох можливих прямих. Перше перетворення, по суті, полягає в перетворенні координат, саме у паралельному зсуві вздовж горизонтальній осі. Ідею перетворення координат шляхом паралельного перенесення системи Ферма більш чітко висловлює в наступних прикладах: записавши спочатку в прямокутній системі рівняння кола з центром у початковій точці, він правильно характеризує загальне рівняння кола і перетворює його до загальної форми рівняння. Для цього добудувавши доповнення до квадрата, де потім пише знову x замість x + d і y замість у + r.

Слід зауважити все ж, що Ферма обходить мовчанням питання про від'ємні координати, якими виявляються координати центру в даній задачі (бо і у нього додатні). Зрозуміло, побудувати центр для нього не склало труднощів і в цьому випадку.

Основні рівняння конічних перетинів являють собою у Ферма безпосереднє вираження в термінах алгебри їх властивостей, відомих з праці Аполлонія. Це рівняння симетричне для параболи, для еліпса (вказується, що у разі непрямого координатного кута крива буде еліпсом), для гіперболи. Цікаво, що на малюнку в останньому випадку зображені обидві гілки гіперболи, хоча знов-таки про від'ємні координатах нічого не сказано. Крім того, наводиться рівняння рівносторонньої гіперболи. Все це поширюється на відповідні рівняння, доповнені лінійними елементами.

На власному прикладі рівняння Ферма розглядає і найбільш важкий випадок, коли група старших членів містить і член з перетвореними координатами. Його викладки та побудови відповідають переходу до нової системи координат з колишнім початком і віссю ординат та з віссю абсцис, що утворює кут 45° зі старою. У цій системі, так що і фігура є еліпсом.

Виклавши все це, Ферма писав: «Таким чином, ми коротко і ясно виклали все, що залишили нез'ясованим древні щодо плоских і об'ємних фігур». Насправді було зроблено лише перший крок до створенню нового типу геометрії, яка, між іншим, отримала своє нинішнє найменування лише в кінці XVIII століття.

4. Аналітична геометрія Декарта

«Вступ» Ферма, довгий час залишався в рукописі, не знайшовши того широкого розповсюдження, яке отримала «Геометрія» Декарта, видана в 1637 р. Про вплив «Вступу» на Декарта не може бути мови. Ми говорили вже, що всі основні ідеї «загальної математики», як у алгебраїчній, так і в геометричній частині, були у її творця не пізніше 1632 виклад аналітичної геометрії у Декарта багато в чому відрізняється від створеного Ферма. В одному воно поступається, а саме - тим, розкидано по всіх трьох книгах «Геометрія» і навіть у другій з них, яка містить найбільш важливі елементи нової дисципліни, не має систематичного характеру, як у «Запровадження». Але в інших відношеннях геометрія Декарта мала вирішальні переваги. Не кажучи вже про те, що Декарт застосовував більш розвинену символіку, що його виклад був доступнішими і багатшим прикладами, він висунув кілька загальних ідей і пропозицій, дуже істотних для подальшого.

Одне з основних питань для Декарта полягало у наступному, які лінії є предметом геометрії? Відповідь визначалася вірою Декарта в те, що єдиним загальним методом математики є алгебраїчний. Спочатку ця відповідь формулюється в кінематичних вираженнях: геометричні лінії - це ті, які «описані неперервним рухом або ж декількома такими послідовними рухами, з яких наступні цілком визначаються їм передуючими, бо цим шляхом завжди можна точно дізнатися їх міру». Навпаки, з геометрії, тобто власне загальної математики, виключаються механічні лінії, описувані «двома окремими рухами, між якими не існує ніякого відношення, яке можна було б точно виміряти. Приклади механічних ліній спіраль і квадіратриса: як приклад геометричних наводяться криві, що описується деяким шарнірним механізмом, кількість ланок якого можна невизначено збільшувати. Цей механізм, за ідеєю схожий з зображенням, запропонованим Ератосфеном у III ст. до н. е. для побудови двох середніх пропорційних. Декарт в третій частині «Геометрії» показав, як можна з його допомогою будувати будь-яку кількість середніх пропорційних між двома даними відрізками.

Рівняння описуваних цим приладом ліній, Декарт не привів ні в загальному вигляді, ні для конкретних значень п.

Кінематичне висвітлення ліній було відправним пунктом геометрії Декарта і застосовується в ній неодноразово. Звичайно, дана їм при цьому кінематична характеристика геометричних ліній як кривих, описуваних одним або кількома безперервними рухомі, послідовно визначаючими один одного, не цілком виразна. Так само як і думка, що для проведення всіх таких ліній «потрібно тільки те припущення, що дві або кілька ліній можна переміщувати одна вздовж одної і що їх перетини утворюють інші лінії. Але в цих твердженнях, по суті, Декарт передбачив вже згадану важливу теорему англійського вченого А. Кемпі (1876), згідно з якою за допомогою плоских шарнірних механізмів можна описати дуги будь-яких алгебраїчних кривих і не можна описати жодної трансцендентної. Свій кінематичний спосіб розподілу ліній на геометричні і механічні Декарт негайно оформлює в більш ясну аналітичну форму і одразу ж пропонує класифікацію перших. «Всі точки ліній, - пише він, - які можна назвати геометричними, тобто які підходять під яку-небудь точну і певну міру, обов'язково знаходяться в деякому відношенні до всіх точок прямої лінії, що може бути виражено деяким рівнянням, одним і тим же для всіх точок даної лінії». У цьому дійсно чудовому за глибиною місці свого твору Декарт вводить і метод прямолінійних координат і поняття про вирівнювання кривої, а разом з тим поняття про функції як аналітичне вираження, складене з «невизначених» відрізків x і у. Трохи раніше Декарт пояснив, як описувати криву або, вірніше, будувати будь-яке число її точок, обчислюючи значення за даними значенням, - першою координатою.

У 1684 г. Лейбніц назвав геометричні криві Декарта алгетичними, а механічні - трансцендентними, мотивуючи відмову від термінології Декарта тим, що і механічні лінії не підлягають виключенню з геометрії.

Безпосередньо за викладеними загальними міркуваннями Декарт наводить першу загальну класифікацію алгебраїчних кривих в залежності від степеня їх рівнянь. Класифікація була потрібна, насамперед, для всезагальної математики Декарта, а також була потрібна в аналітичній геометрії. Запропонований Декартом поділ кривих за родами, себе не виправдав, мотивуючи тим, що, на його думку, криві з рівнянням меншого степеня нічим не складніше, ніж з рівнянням більшого степеня. Всі труднощі, пов'язані з четвертим степенем, писав він, приводяться до третього, а труднощі, пов'язані з шостим степенем, - до п'ятого і т.д. Загальноприйнятою класифікацією плоских кривих за порядком ми зобов'язані Ньютону.

Але класифікація кривих в прямолінійних координатах за родами або порядками має сенс, якщо рід або порядок кривої не залежить від вибору координатної системи. Це було Декарту ясно, і він, правда, описово, але цілком виразно, сформулював фундаментальне припущення про інваріантність роду кривої при заміні однієї системи прямолінійних координат іншою: «Дійсно, хоча для отримання більш короткого і зручного рівняння і потрібен досить ретельний вибір, але все ж, якими б пряму і точку не взяли, завжди можна зробити так, щоб лінія виявилася того ж самого роду: це легко довести». Втім, доведення не наводиться, та й формули лінійного перетворення координат у Декарта ще були відсутні.

В якості першого прикладу Декарт виводить рівняння лінії ЕС, описаної точкою перетину лінії GL й нескінченно продовженої сторони CNK плоскої прямолінійної фігури NKL, сторона по котрій KL рухається вздовж даної прямої ВА, змушуючи обертатися навколо точки G лінію, незмінно проходить при цьому через точку L. Прийнявши GA, перпендикуляр до ВА, рівним а, KL = NL = с, вибравши АВ за вісь і точку А за початок, Декарт позначає «невизначені і невідомі величини» СВ = у, ВА = х. Тоді на підставі подібності трикутників СВК і NLK, з одного боку, і CBL і GAL - з іншого, швидко виводиться рівняння лінії ECG так, що ця лінія першого роду і, як вказує без доведення Декарт, гіпербола (приклад цей докладно розібрали коментатори латинського видання «Геометрія»).

5. Сторінка першого видання «Геометрії» Р. Декарта (1637)

Замінюючи пряму CNK іншими лініями, можна одержувати, таким чином, безліч кривих. Так, якщо CNK є колом з центром L, то буде описана конхоїда (безсумнівно, що прийом Декарта є якраз узагальненням античного визначення конхоїда), а якщо CNK є параболою з діаметром KB, то виникає крива другого роду, саме та, яку Ньютон назвав тризубом.

Неточність Декарта показав на власному прикладі ще Ферма. У розглянутому щойно прикладі намальовані дві взаємно перпендикулярні координатні осі, хоча і не в звичайному для нас положенні. Проте найчастіше Декарт, так само як Ферма і найближчі покоління їх послідовників, креслив тільки одну вісь з початковою точкою і вказував напрям інших координат, взагалі кажучи, похилих. Від'ємні абсциси не розглядалися, що іноді призводило до неточних або неповних креслень. Ці зауваження не відносяться до Ньютона або Лейбніца, але правильне розрізнення знаків координат і застосування обох осей стало звичайною справою вже у XVIII столітті.

Важливість свого методу Декарт потім демонструє на запропонованому йому завданню Паппа про геометричне місце що стосується чотирьох прямих: дано чотири прямих, потрібно знайти геометричне місце таких точок, щоб утворення відрізків, проведених від них під даними кутами до цих прямих, знаходилося в даному відношенні до утворених аналогічних відрізків. проведених до решти з цих прямим. У древні часи знали, що таким геометричним місцем є конічний перетин, але не залишили аналізу і цього випадку: випадок же залишився нерозглянутим.

Велике місце займають у «Геометрії» дослідження оптичних овалів, що розглядаються в біполярних координатах, і проведення нормалей. Друга книга твору завершується короткими зауваженнями про можливість поширення методу на просторові криві допомогою проектування їх точок на дві взаємно перпендикулярні площини і заявою: «Я вважаю тепер, що нічого не пропустив з початків, необхідних для пізнання кривих ліній».

Звичайно, в цих словах Декарта, як і в наведеній вище авторській оцінці «Введення» Ферма, було безсумнівну перебільшення. Але дійсно, перед геометрією розкривалися небачено широкі перспективи. Історики науки чимало сперечалися про те, чи була у Аполлонія аналітична геометрія, і чи була творчість Ферма і Декарта у цій галузі новаторськими. Відповідь залежить від визначення терміна «аналітична геометрія», який, як зазначалося в іншому відношенні, розуміється по-різному. Безсумнівно, що обидва вчених надзвичайно багато чим зобов'язані були античним математикам і що в саму теорію конічних перетинів вони не внесли якихось нових теорем, а також не побудували її в чисто аналітичному плані. І разом з тим Декарт і Ферма закладали фундамент воістину нової геометрії, хоча «симптоми» Аполлонія і відповідали буквеним рівнянням кривих другого порядку.

Справа в тому, що, як правильно писав Г. Цейтен, «геометрична форма, подання древнім методом самої алгебрі, була причиною численних комбінацій між вартістю і об'єктом геометричного дослідження - комбінацій, які мали залишатися чужими для аналітичної геометрії, особливо, оскільки остання прагнула перетворити геометричні проблеми повністю в задачі на обчислення». І до тих пір, поки засобом дослідження залишалася геометрична алгебра, синтетичний розгляд неминуче переплітався з аналітичним. Ньютон, завершуючи свій висновок теореми про чотири прямі, писав: «Таке рішення виконуване не за допомогою обчислення, але геометричною побудовою, і вишукувався древніми». Тим часом після Ферма і Декарта і завдяки їм починає розвиватися суто аналітичний метод дослідження геометричних образів, в принципі не потребує звернення до геометричних побудов і спирається лише на алгебраїчне числення. Така загальна, ідейна сторона справи. До цього слід додати, що нова алгебра примножувала важливість вивчення кривих будь-якого порядку. Перші приклади є вже у Декарта (таке застосування геометричної алгебри було неможливе), що система координат ставала вільною від зв'язку з тими чи іншими винятковими точками і напрямами (наприклад, діаметром і вершиною конічного перетину). Набували право на існування від'ємні координати і т.д. У новій геометрії вперше знайшло явне вираження поняття про функції, задану формулою.

У світлі сказаного другорядне значення мають недоліки, присутні в аналітичній геометрії Декарта і Ферма, що користувався до того ж менш досконалою алгеброю Вієта, наприклад відсутність поняття про від'ємні координати або відсутність на більшості креслень другої осі, а також та обставина, що обидва вчені обмежилися деякими прикладами програми нового методу.

Сучасники сприйняли нову геометрію з ентузіазмом.

Основна література

1. Математична енциклопедія. Книги 1-5. - М.: Радянська енциклопедія, 1977-1985.

2. Рибніков К.А. Історія математики. Уч.пособие для судентов математичних спеціальностей університетів і пед.інстітутов. 2-е вид. - М.: Изд-во МГУ, 1974.

3. Стройк Д.Я. Короткий нарис історії математики. - Москва: Наука, 1969.

4. Юшкевич А.П. Історія математики в середні століття. - М.: Наука, 1961.

5. Історія математики з найдавніших часів до початку ХІХ століття. У 3-х томах. Под.ред А.П. Юшкевіча.-М.: Наука, 1970-1972.

6. Нейгебауер О. Точні науки в давнину - М: Наука, 1968.

7. Хрестоматія з історії математики. Под.ред. А.П. Юшкевіча. - М.: Просвещение, 1976, 1977.

8. Глейзер Г.І. Історія математики в середній школі в 3-х кн..-М.: Просвещение, 1981-1983.

9. Депман І.Я., Віленкин Н.Я. «За сторінками підручника». - М.: Просвещение, 2002.

10. Стройк Д.Я. Короткий нарис історії математики. - Москва: Наука, 1969.

Размещено на Allbest.ru