Линейные уравнения с n неизвестными, СЛАУ, метод Гаусса

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С N НЕИЗВЕСТНЫМИ, СЛАУ, МЕТОД ГАУССА

Выполнил:

Студент 116 группы, ПМИ,

Власов Александр

Краснодар 2014



Система линейных алгебраических уравнений

Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными называется система уравнений вида:

Здесь m -- количество уравнений, а n -- количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n -- неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn -- коэффициенты системы -- и b₁, b₂, … b_m -- свободные члены -- предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе -- неоднородной.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы -- совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества. линейный алгебраический матричный уравнение

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств: c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾

Совместная система вида называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределенной.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Или Ax = b. Здесь А - это матрица системы, x - столбец неизвестных, а b - столбец свободных членов.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Рангом матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений Ax = b эквивалентна системе СAx = Сb где С - невырожденная матрица.

Элементарные преобразования матрицы

Элементарные преобразования матрицы -- это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений СЛАУ.

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

1. перестановку уравнений;

2. умножение уравнения на ненулевую константу;

3. сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Метод Гаусса

Метод Гаусса -- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Описание метода Гаусса

Пусть исходная система выглядит следующим образом, где А называется основной матрицей системы, b столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов).1

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число, где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом . Где - номер строки.

Если свободным переменным системы придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой, то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением исходной системы.

Следствия:

Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности:

Упомянутое выше условие , для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Теорема Кронекера - Капелли

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Следствия:

1. Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения.

2. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм

Подразумевается два этапа.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

I. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путем элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

II. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Пример

Требуется решить системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами.

Пример 1. Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:



Обнулим коэффициенты при X во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и 1, соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при Y в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное z

из первого, подставив полученные z и y.

Таким образом, исходная система решена.

Опорный конспект

Однородная

Все свободные члены равны 0



Размещено на http://www.allbest.ru/

Квадратная Совместная

Число уравнений равно Имеет хотя бы 1

Числу неизвестных решение

НесовместнаяОпределенная

Не имеет решенийСовместная система

Имеет единственное

решение

Неоднородная

Хотя бы 1 свободный член ?0

Перестановка уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Умножение на ненулевуюСложение одного

константууравнения с другим

Сложение уравнений перемноженных

На некоторую константу

Тесты

I. Тест «Да/Нет» на тему СЛАУ и метод Гаусса

В бланке протокола записать ответы в форму «Да», «Нет». Проверку следует выполнять по карте ответов, предложенной преподавателем.

(1)

(2)

1. Является ли данная система (1) однородной?

2. Является ли данная система (2) однородной?

3. Является ли данная система (1) совместной?

4. Является ли данная система (2) совместной?

5. Являются ли данные системы эквивалентными?

6. является ли данные числа решением системы (1)?

7. является ли данные числа решением системы (1)?

8. является ли данные числа решением системы (2)?

9. является ли данные числа решением системы (2)?

10. Является ли число 2 рангом системы (1)?

11. Является ли число 3 рангом системы (2)?

12. Является число 2 количеством главных переменных в системе(1)?

13. Является число 3 количеством главных переменных в системе(2)?

14. Является ли возведение столбца в квадрат элементарным преобразованием?

15. Является ли прибавление к каждому элементу строки элементарным преобразованием?

Бланк ответов:

№ ?:	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ:

№ ?:	9	10	11	12	13	14	15
Ответ:

Число верных ответов:
Число неверных ответов:

Тест «установить соответствия» на тему СЛАУ и метод Гаусса

II. В бланке протокола соотнесите номер утверждения и букву ответа. Проверку следует выполнять по карте ответов, предложенной преподавателем.

1. Система называется … - если все её свободные члены равны 0.

2. Система называется … - если она имеет хотя бы одно решение.

3. Система называется … - если она не имеет решений.

4. Количество главных переменных равно … системы.

5. Если в … системе все переменные главные, то она является определенной.

6. Решением системы является множество … таких, что их подстановка обращает систему в тождество .

7. Если одну СЛАУ можно получить из другой СЛАУ путем элементарных преобразований, то такие СЛАУ называются …

8. Общее количество переменных минус количество главных переменных, равняется количеству … переменных.

a) Несовместной

b) Совместной

c) Однородной

d) Рангу

e) Эквивалентны

f) Чисел

g) Совместной

h) Свободных

Бланк ответов:

№ 1-8	1	2	3	4
a - h

№ 1-8	5	6	7	8
a - h

III. «Таблица соответствий»

Заполните таблицу. Проверку следует выполнять по карте ответов, предложенной преподавателем.

Указание	Примеры
Первоначальные понятия
Определения
Применение формул и свойств
Системы бывают
Переменные бывают



Ответы

Тест «Да/Нет» на тему СЛАУ и метод Гаусса

№ ?:	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ:	Нет	Нет	Да	ДА	Нет	Да	Нет	Нет

№ ?:	9	10	11	12	13	14	15
Ответ:	Нет	Нет	Да	Нет	Да	Нет	Нет

Верный ответ: 1 балл, неверный ответ 0 баллов.

Отлично	14-15
Хорошо	9-13
Удовлетворительно	6-8
Не удовлетворительно	<6

Тест «установить соответствие» на тему СЛАУ и метод Гаусса

№ 1-8	1	2	3	4
a - h	c	b	a	d

№ 1-8	5	6	7	8
a - h	e	f	g	h

Верный ответ 2 балла, неверный ответ 0 баллов.

Отлично	7-8
Хорошо	5-6
Удовлетворительно	3-5
Не удовлетворительно	<3

Тест «таблица соответствий» на тему СЛАУ и метод Гаусса

	Ответы
Первоначальные понятия	Элементы	Переменные	Уравнения
Определения	Матрицы	Ранг	СЛАУ
Применяемые методы или формулы	Гаусса	Элементарные преобразования
Системы бывают	Совместные	Однородные	Эквивалентные
Переменные бывают	Главными	Свободными

За всякую верно заполненную ячейку 1 балл, за неверно заполненную или пустую 0 баллов.

Отлично	38-45
Хорошо	28-37
Удовлетворительно	18-27
Не удовлетворительно	<18

Размещено на Allbest.ru

...