Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория вероятностей

Курс лекций

Содержание

Введение

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

1. Испытания и события

2. Виды случайных событий

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

4. Основные формулы комбинаторики

5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Глава 2. Теорема сложения вероятностей

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

2. Полная группа событий

3. Противоположные события

4. Принцип практической невозможности маловероятных событий

Глава 3. Теорема умножения вероятностей

1. Произведение событий

2. Условная вероятность

3. Теорема умножения вероятностей

4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

5. Вероятность появления хотя бы одного события

Глава 4. Следствия теорем сложения и умножения

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

2. Формула полной вероятности

3. Вероятность гипотез. Формула Бейеса

Глава 5. Повторение испытаний

1. Формула Бернулли

2. Локальная теорема Лапласа

3. Интегральная теорема Лапласа

4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Глава 6. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины

1. Случайная величина

2. Дискретные и непрерывные случайные величины

3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

4. Биномиальное распределение

5. Распределение Пуассона

6. Простейший поток событий

7. Геометрическое распределение

8. Гипергеометрическое распределение

Глава 7. Математическое ожидание дискретной случайной величины

1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

3. Вероятностный смысл математического ожидания

4. Свойства математического ожидания

5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Глава 8. Дисперсия дискретной случайной величины

1. Целесообразность введения параметра рассеяния случайной величины

2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

3. Дисперсия дискретной случайной величины

4. Формула для вычисления дисперсии

5. Свойства дисперсии

6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

7. Среднее квадратическое отклонение

8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины. Свойства среднего арифметического

10. Начальные и центральные теоретические моменты

Глава 9. Закон больших чисел

1. Замечания

2. Неравенство Чебышева

3. Теорема Чебышева

4. Сущность теоремы Чебышева

5. Значение теоремы Чебышева для практики

6. Теорема Бернулли

Глава 10. Функция распределения вероятностей случайной величины

1. Определение функции распределения

2. Свойства функции распределения

3. График функции распределения

Глава 11. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

1. Определение плотности распределения

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

4. Свойства плотности распределения

5. Вероятностный смысл плотности распределения

6. Закон равномерного распределения вероятностей

Глава 12. Нормальное распределение

1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание

2. Нормальное распределение

3. Нормальная кривая

4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

6. Вычисление вероятности заданного отклонения

7. Правило трех сигм

8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

Глава 13. Показательное распределение

1. Определение показательного распределения

2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

3. Числовые характеристики показательного распределения

Глава 14. Система двух случайных величин

1. Понятие о системе нескольких случайных величин

2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

3. Функция распределения двумерных случайных величин

4. Свойства функции распределения двумерной случайной величии

5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

6. Вероятность попадания точки в прямоугольник

7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения

9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности

10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

11. Свойства двумерной плотности вероятности

12. Отыскание плотностей вероятностей составляющих двумерной случайной величины

13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величии

14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

15. Условное математическое ожидание

16. Зависимые и независимые случайные величины

17. Числовые характеристики систем двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

18. Коррелированность и зависимость случайных величин

19. Нормальный закон распределения на плоскости

20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии

21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция

Введение

Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Событие достоверное - обязательно происходит при осуществлении определенных комплексов условий

Событие невозможное - заведомо не произойдет при осуществлении определенных комплексов условий

Событие случайное - которое либо произойдет, либо нет при осуществлении определенных комплексов условий

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события протекают.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, в теории автоматического управления, в теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей используется для обоснования математической и прикладной статистики.

случайный вероятность дисперсия распределение

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

1. Испытания и события

События случайные - если при осуществлении определенной совокупности условий оно может произойти, либо не произойти.

Событие - результат испытания.

Примеры: Выстрел - это испытание, Попадание или не попадание в мишень - это событие. Бросание монеты - это испытание. Появление герба и решки - это событие.

2. Виды случайных событий

Несовместные - если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Примеры: появление герба и ее не появление при бросании монеты.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытаний появится хотя бы одно из них (достоверное событие).

События, образующие полную группу, попарно несовместимы и в результате испытания появится одно и только одно из событий.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

3. Классическое определение вероятности

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появление того или иного события.

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием). Обозначения: …,

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими.

Пример: В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 - черные, 6- белые. Событие - из урны извлекается белый шар. Число благоприятствующих исходов, в которых из урны будут извлекаться белые шары, равно 4-м.

Отношение числа благоприятствующих событию элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события; обозначение В нашем примере

Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу,

где число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

2. Вероятность невозможного события равно нулю, т.е.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е.

или

С учетом свойств 1 и 2, вероятность любого события удовлетворяет неравенству

4. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества элементов произвольной природы. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок , где Принято, что

Пример. Число трехзначных чисел, когда каждая цифра входит в изображение трехзначного числа только один раз, равно

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

.

Пример. Число сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2:

Здесь

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример. Число способов выбора двух деталей из ящика, содержащего 10 деталей:

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами.

Правило произведения. Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.



5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительная частота также является основным понятием теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний и определяется формулой

,

где число появлений события в испытаниях, общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты , заключаем, что определение вероятности не требует проведения испытаний, а определение относительной частоты предполагает фактическое проведение испытаний.

Длительные наблюдения показывают, что при проведении опытов в одинаковых условиях, относительная частота обладает свойством устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных сериях опытов относительная частота испытаний от серии к серии изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Классическое определение вероятности имеет некоторые недостатки:

1) число элементарных исходов испытания конечно, на практике это число может быть и бесконечным;

2) очень часто результат испытания невозможно представить в виде совокупности элементарных событий;

3) мало оснований, позволяющие считать элементарные события равновозможными, предметы испытаний симметричными.

По этим причинам наряду с классическим определением вероятности используют статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту.

В этом случае вероятность достоверного события ; если событие невозможно, то ; для любого события , т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Недостатком статистического определения вероятности является ее неоднозначность. Статистической вероятностью события являются все значения относительной частоты в ее малой -окрестности .

Геометрическая вероятность - вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.), применяется к испытаниям с бесконечным числом исходов.

Пример 1. Пусть отрезок составляет часть отрезка и на отрезок наудачу поставлена точка. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется формулой

и не зависит от его расположения относительно отрезка .

Пример 2. Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры .

На фигуру наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру определяется равенством

и не зависит от ее формы и ее расположения относительно .

Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности (как отношения двух мер)

.

Глава 2. Теорема сложения вероятностей

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий и называют событие, состоящее в появлении событий , или событий , или обоих этих событий. Если два события и - несовместные, то -событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие

состоит в появлении одного из следующих событий: и и и и и С.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий , безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Введем обозначения: общее число возможных элементарных исходов испытания; число исходов, благоприятствующих событию число исходов, благоприятствующих событию

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо событию А, либо событию равна Следовательно

.

Принимая, что и , получим .

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

2. Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий …,образующих полную группу, равна единице:

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

(*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения

(**)

Сравнивая (*) и (**), получим



3. Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Пусть событие, тогда -противоположное.

Пример. - попадание при выстреле, - промах при выстреле.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице, т.е

и

Отсюда

или .

Замечание. Если и , то и или .

4. Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенными между 0,01 и 0,05. Если событие имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность противоположного события близка к единице. Непоявление события означает наступление противоположного события . Из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее: если случайное событие имеет вероятность, очень близкое к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи.

Глава 3. Теорема умножения вероятностей

1. Произведение событий

Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, появление герба в трех одновременных бросках монеты.

2. Условная вероятность

Условной вероятностью называют вероятность наступления события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило:

,

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность

Условная вероятность события при условии, что событие уже наступило, по определению, равна

, .

3. Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

Доказательство. По определению условной вероятности,

,

Отсюда

.

Замечание. . Событие равносильно событию . Следовательно,

и . (***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились(в случае появления трех событий :

.

Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй и третий шары. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором - черный (событие ) и при третьем - синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная при предположении, что в первом испытании появился белый шар (условная вероятность)

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором - черный (условная вероятность)

Искомая вероятность

4. Независимые события. Теорема умножения для независиых событий

Событие называется независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , т.е. если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:

Подставив эту формулу в соотношение



,

Получим

,

отсюда

,

т.е. событие не зависит от события .

Итак, если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события , т.е. свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид

,

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события называют зависимыми.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие ) равна 0,8 , а вторым (событие ) равна 0,7 .

Р е ш е н и е. События и независимы, поэтому по теореме умножения

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события попарно независимы, если независимы события и , и , и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события независимы в совокупности, то независимы события и , и , и ; и , и , и .

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Отсюда следует, что требование независимости в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

…

Доказательство. Рассмотрим три события: Совмещение событий равносильно совмещению событий и , поэтому

.



Так как события независимы в совокупности, то независимы и события и , а также и . По теореме умножения двух независимых событий имеем:

и .

Отсюда имеем

.

5. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

,

где .

Доказательство. Обозначим через событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий События и (ни одно из событий не наступило) противоположны. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

Или

.

Если события имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна

.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Найти вероятность хотя бы одного попадания (события ) при одном залпе из трех орудий.

Решение. Вероятности не попаданий при залпе выстрелов:

Искомая вероятность

Глава 4. Следствия теорем сложения и умножения

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.

Решение. Пусть событие - попадание первого орудия, - попадание второго орудия. Они независимы. Тогда

Искомая вероятность равна

Задачу можно решить и пользуясь формулой

,



2. Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности .

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

-

- формула полной вероятности.

Доказательство. По условию, событие реализуется лишь при осуществлении любого из несовместных событий …,. Тогда по теореме сложения

. (*)

Каждое слагаемое в этой формуле по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Подставляя эти формулы в (*) получим формулу полной вероятности.

Пример. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй - 4голубых и 4 красных, в третьей - 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие ).

Решение. Шар может быть извлечен из любых трех урн. Обозначим через - выбор урн. Вероятности выбора урн одинаковые: Из условия задачи

Тогда искомая вероятность

3. Вероятность гипотез. Формула Бейеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Так как заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность наступления события определяется по формуле полной вероятности

.



Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие . Поставим себе задачу, определить, как изменились в связи с наступлением события , вероятности гипотез , т.е., , ?

Найдем условные вероятности по теореме умножения вероятностей

.

Отсюда

или

.

Аналогично выводятся условные вероятности остальных гипотез

.

Это формулы Бейеса, позволяющие переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам ящиках шары. В двух ящиках - 6 голубых и 4 красных шара (ящик состава ). В двух других ящиках (состава - по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?

Из условия задачи

.

Вероятности вынуть голубой шар, если известно, что взяты ящики состава соответственно:

;

В соответствии с формулой полной вероятности:

По формуле Бейеса найдем искомую вероятность

Глава 5. Повторение испытаний

1. Формула Бернулли

Производится несколько испытаний, вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называют независимыми относительно события . Будем считать, что в этих независимых испытаниях событие имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться и не появиться; появляется с вероятностью , не появляется с вероятностью .

Представляет интерес вычисления вероятности того, что при испытаниях событие осуществляется ровно раз и не осуществляется раз. При этом не требуется повторения события в определенной последовательности. Обозначим искомую вероятность через .

Поставленная задача решается с использованием формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли. Вероятность сложного события, состоящее в том, что в испытаниях событие наступит раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

Таких сложных событий (событий типа ) может быть столько, сколько можно составить сочетаний из элементов по элементов, т.е. . Эти сложные события несовместны и по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

или .

Это и есть формула Бернулли.

2. Локальная теорема Лапласа

Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях и громоздки. Вычисления упрощаются при переходе к формуле Лапласа

при .

Итак, вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях ровно раз, приближенно равна

, где .

3. Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличается от нуля и единицы, то вероятность

,

и .

Имеется таблица интеграла

(функция Лапласа). Вероятность

появления события в независимых испытаниях от до раз.

4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

оценивается неравенством

.

Вероятность осуществления неравенства приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа при .

Глава 6. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины

1. Случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных.

Пример 2. Точное время, пройденное человеком от пункта А до пункта В.

Обозначения: случайные величины; - возможные значения случайных величин возможные значения случайной величины .

2. Дискретные и непрерывные случайные величины

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями (пример 1 предыдущего пункта). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка (пример 2 предыдущего пункта). Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.



3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их - различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соотношение между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

Возможные значения случайной величины образуют полную группу (попарно несовместны; появление одного и только одного из них в измерениях является достоверным событием; сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е. ).

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для чего в прямоугольной системе координат строят точки а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

	0,2	0,4	0,6	0,8	1
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Рис. 1

4. Биномиальное распределение

Производится независимых испытаний, в каждом из которых

событие может появиться с вероятностью и не появиться с вероятностью Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины число появлений события в этих испытаниях.

Поставим задачу: найти закон распределения величины . Для ее решения требуется определить возможные значения и их вероятности. Событие в испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза,…, либо раз. Таким образом, возможные значения таковы:

…, Остается найти вероятности этих возможных значений. Для этого воспользуемся формулой Бернулли:

, где (*)

Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правая часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события раз; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Биномиальный закон напишем в виде таблицы:

			…		…
			…		…

Пример. Производится 9 независимых испытаний. При каждом испытании событие появляется с одной и той же вероятностью Записать в виде таблицы закон распределения случайной величины - числа появления события при этих испытаниях.

Решение. По формуле Бернулли

вычисляем вероятности

,

,

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,000	0,0009	0,0073	0,0341	0,1024	0,2049	0, 2733	0, 2341	0,1170	0, 0260

5. Распределение Пуассона

Если в формуле Бернулли велико, то пользуются

асимптотической формулой Лапласа

, где .

Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала . В этих случаях ( велико, мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона:

где .

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых ( велико), и редких (мало) событий.

6. Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примеры потоков событий:

поступление вызовов в пункт неотложных медицинских вызовов, последовательность отказов элементов в системах.

Свойства потоков событий:

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялось или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Простейшим (пуассоновским) называет поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствием последействия и ординарности.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единице времени. Если известна интенсивность потока , то вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона



.

7. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна и не появления Испытания заканчиваются, как только появится событие . Таким образом, если событие появилось в -м испытании, то в предшествующих

испытаниях оно не появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий выражается формулой

Полагая , получим геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , …,… (*)

По этой причине распределение (*) называется геометрическим.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию:

Искомая вероятность

8. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим задачу. В партии из изделий имеется стандартных (). Из партии случайно отбирают изделий. Обозначим через случайную величину - число стандартных изделий среди отобранных.

Найдем вероятность того, что т.е. что среди отобранных изделий ровно стандартных. Воспользуемся для решения задачи классическим определение вероятности.

Общее число возможных исходов испытания равно числу способов извлечения изделий из . Это число равно числу сочетаний . Найдем число исходов, благоприятствующих событию (среди взятых изделий ровно стандартных). стандартных изделий можно извлечь из стандартных изделий способами; при этом остальные изделий должны быть нестандартными; взять нестандартных изделий из нестандартных изделий можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех элементарных исходов

.

Эта формула определяет гипергеометрическое распределение вероятностей. Это распределение определяется тремя параметрами:

Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение. По условию: Искомая вероятность

Глава 7. Математическое ожидание дискретной случайной величины

1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Часто этот закон неизвестен и приходится ограничиться меньшими сведениями. Часто выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину в среднем. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Эти параметры дают о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения многих практических задач они оказываются достаточными.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если случайная величина принимает значения …, вероятности которых соответственно равны …, то математическое ожидание случайной величины определяется равенством

где

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

.

Математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения:

3 5 2

0,1 0,6 0,3

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события в одном испытании, если вероятность события равна .

Решение. Случайная величина может принимать только два значения: - событие наступило с вероятностью и - событие не наступило с вероятностью . Тогда искомое математическое ожидание



Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

3. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено испытаний, в которых случайная величина приняла значения с частотами

….

…..

причем .

Cумма одноименных произведений всех значений равна

Среднее арифметическое всех значений, принятой случайной величиной равна

Обозначим относительные частоты:

.

Тогда

.



Допуская, что число испытаний достаточно велико, относительные частоты заменим на их вероятности: …,.

И средняя арифметическая

приближенно равно математическому ожиданию , т.е.

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

4. Свойства математического ожидания

Св-во 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Пусть - дискретная случайная величина с одним возможным значением с вероятностью И по определению

Замечание 1. Если вероятность возможного значения равна , то вероятность того, что величина примет значение , также равна .

Св-во 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:



Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

… .

…..

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины : ….

…. .

Математическое ожидание случайной величины :

.

Замечание 2. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Произведение независимых случайных величин и есть случайная величина , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение ; вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Если при этом получается, например, , то вероятность или равна , где вероятности значений , соответственно.

Св-во 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина . Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение ; в итоге получим и .

Закон распределения примет вид:

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

Или



Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

Пример 1. Независимые случайные величины и заданы законами распределения:

5 2 4 7 9

0,6 0,1 0,3 0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Найдем математическое ожидание каждой из данных величин:

Случайные величины и независимы, поэтому

Замечание 4. Определим сумму случайных величин и как случайную величину , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения с каждым возможным значением ; вероятности возможных значений для независимых величин и равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых переменных - призведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго. Ести получается, что и вероятности этих возможных значений соответственно равны и , то вероятность или, что то же , равна

Следующее свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Св-во 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины и заданы законами распределения:

Составим все возможные значения величин + и получим:

Полученным суммам случайных значений и соответствуют вероятности: .

Математическое ожидание величин + равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

Раскрывая скобки и приведя подобные, получим



(*)

Но . Так как это означает, что примет значение с вероятностью . Это влечет за собой событие, которое состоит в том, что + примет значение или с вероятностью .

Аналогично доказываются равенства

и

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*) получим

или окончательно

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

Пример 2. Найти математическое ожидание суммы числа очко, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим: и - число очков при бросании двух игральных костей. Возможные их значения: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Причем вероятность каждого значения равна

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Очевидно, что и Искомое математическое ожидание

5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Доказательство. Пусть случайная величина есть число наступления события в независимых испытаниях. распределена по биномиальному закону. Очевидно, что общее число появлений события в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Если - число появлений события в первом испытании, во втором, …, в -м, то общее число испытаний

.

По четвертому свойству математического ожидания,

По условию теоремы

следовательно,

Глава 8. Дисперсия дискретной случайной величины

1. Целесообразность введения параметра рассеяния случайной величины

На практике, случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, могут иметь различные возможные значения.

Например, заданы законы распределения случайных чисел X и Y:

Х -0,01 0,01 Y -100 100

p 0,5 0,5 p 0,5 0,5

Найдем математические ожидания X и Y:

-0,01x 0,5+0,01x 0,5=0; -100x 0,5+100x 0,5=0.

В примере математические ожидания случайных величин X и Y одинаковы, а их возможные значения - различны. Причем возможные значения Х близки к математическому ожиданию, а у Y - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить какие возможные значения она может принимать, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Получается, что математическое ожидание полностью не характеризует случайную величину.

По этой причине, наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводят дисперсию. Но прежде введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.



2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть случайная величина и ее математическое ожидание. Вводим новую случайную величину .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием .

Напишем закон распределения отклонения:

….

…...

Так как вероятности событий равны .

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

.

Доказательство. Зная, что математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий и, что математическое ожидание постоянного числа равно самой постоянной, получим

При этом учтено, математическое ожидание - число постоянное.

Пример. Закон распределения дискретной случайной величины

Х 1 2

0,2 0,8

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание

Напишем закон распределения отклонения:

Х - М(Х) -0,8 0,2

0,2 0,8

Математическое ожидание отклонения:

Другое название отклонения - это центрированная случайная величина.

3. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Такую оценку дает среднее значение квадрата отклонения, которое называется дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения

….

….

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

….

…...

По определению дисперсии,

…. .

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию необходимо вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Пример. Найти дисперсию случайной величины , которая задана законом распределения

1 2 5

Решение. В соответствии с определением дисперсии, найдем математическое ожидание:

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

1,69 0,09 7,29

0,3 0,5 0,2

По определению,

Вычисления дисперсии, основанные на ее определение, громоздки. Вычисления можно упростить.

4. Формула для вычисления дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

.

Доказательство. Принимая во внимание, что математическое ожидание есть величина постоянная, следовательно, постоянны и . Упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

.



Пример. Найти дисперсию случайной величины , которая задана законом распределения

2 3 5

Решение. Найдем математическое ожидание

Напишем закон распределения случайной величины :

4 9 25

Найдем математические ожидания

Искомая дисперсия

5. Свойства дисперсии

Св-во 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. По определению дисперсии,

Пользуясь свойством математического ожидания о том, что

т.е. постоянное число рассеяния не имеет.

Св-во 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство.

Пользуясь свойством математического ожидания о том, что

,

получим

т.е.

Св-во 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:



Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии

имеем

.

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания, т.е.

Получим

Получили

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Доказательство. Величины и независимы, поэтому

Так как то

Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу третьего свойства дисперсии

и учитывая, что

,

Получим



т.е.

6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Поставим задачу. Производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях?

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появлений события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

...