Производная функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1 (о скорости движения).

По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s(t), где t - время (в секундах), s(t) - положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с). Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M.

Дадим аргументу t приращение ?t и рассмотрим ситуацию в момент времени t+?t. Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P:OP=s(t+?t). Значит, за ?t секунд тело переместилось из точки M в точку P. Имеем:

MP=OP?OM=s(t+?t)?s(t).

Полученную разность мы назвали в приращением функции:

s(t+?t)?s(t)=?s.

Итак,

MP=?s (м).

Нетрудно найти среднюю скорость vср движения тела за промежуток времени [t;t+?t]:

vср=?s?t (м/с).

А что такое скорость v(t) в момент времени t (ее называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t;t+?t] при условии, что ?t выбирается все меньше и меньше; точнее: при условии, что ?t>0. Это значит, что v(t)=lim?t>0vср. Итак, v=lim ?t>0 ?s(стремится)?t

Задача 2 (о касательной к графику функции).

Дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение ?x и рассмотрим на графике точку P с абсциссой a+?x. Ордината точки P равна f(a+?x). Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле

kсек=?y(делить)?x.

Если мы теперь устремим ?x к нулю, то точка P начнет приближаться по кривой к точке M. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной kкас=lim ?x>0kсек будет вычисляться по формуле kкас=lim ?x>0kсек. Используя приведенную выше формулу для kсек, получаем:

kкас=lim ?x>0 ?y(делить)?x

2. Производная ее механический и геометрический смысл

Механический смысл производной. Теорема. Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :. Геометрический смысл производной.

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

3. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок). Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1) Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

4. Производные тригонометрических функций

5. Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражениемДля натурального логарифма y = ln x производная равна

6. Производная сложной функции

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна стр 27.

7. Производная степенной функции

Если f(x) = xp, где p - действительное число, то . Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x?p, то

8. Производная высших порядков

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде . Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: .

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как . Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

9. Дифференциал функции. Его геом. смысл

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Таким образом:

Геометрический смысл: На графике функции возьмем произвольную точку и дадим аргументу приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ).Проведем касательную к кривой в точке и обозначим угол ее наклона коси через , тогда . Из треугольника находим , т.е. .

10. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функции представимо в виде:

Где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как ,то В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике. Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

11. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа). На кривой между точками и найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде (рис. 1).

производная тригонометрический логарифмический нормаль

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

12. Теорема Ролля (о нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .Следствие. Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

13. Теорема Ферма (о равенстве нулю производной)

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале ;

2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма). В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

14. Условия монотонности функции на интервале

Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале. Теорема . Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.Доказательство. Рассмотрим случай, когда . Пусть x1 и x2 - любые две точки интервала (a;b), удовлетворяющие условию . На отрезке функция дифференцируема, а, следовательно, непрерывна. Поэтому к ней можно применить формулу Лагранжа: , где .По условию . Поэтому или , т.е. функция возрастает на интервале (a;b). Случай, когда , рассматривается аналогично.

15. Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x_{0}, кроме, быть может, самой точки x_{0} и непрерывна в этой точке. Тогда: Если производная меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку : и , то - точка строго минимума функции Если производная меняет знак с "+" на "-" при переходе через точку : и , то - точка строго максимума функции Доказательство: Пусть, например, меняет знак с "-" на "+". Рассмотрим точку на сегменте .

Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: , . Поскольку при переходе через точку функция меняет знак с "-" на "+", то и , то Аналогично рассмотрим сегмент , получим - точка строгого минимума функции. Замечания: Если - точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная меняет знак при переходе через точку

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной) Пусть дана функция , ее первая производная и пусть , тогда: Если , то точка - точка строгого минимума; Если , то точка - точка строгого максимума. Доказательство: Докажем теорему для первого случая, когда . По скольку непрерывна, то на достаточно малом интервале , т.к. , то возрастает в этом интервале. , значит на интервале и на интервале . Таким образом функция убывает на интервале и возрастает на интервале по первому достаточному условию экстремума функция в точке имеет минимум. Аналогично доказывается второй случай теоремы. Замечания: Если и , то функция может и не иметь экстремум в точке

16. Функции нескольких переменных. Определение

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом.

Например:

z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0. Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y). Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t). Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства.

Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования. Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность. Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

17. Частное и полное приращение ф-ции. Полное приращение функции

Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции

Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Размещено на Allbest.ru