Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

Кафедра вычислительной техники и прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Вычислительная математика»

На тему: «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

2010



• Содержание
• Введение
• 1. Краевая задача
• 1.1 Постановка краевой задачи
• 2. Численные методы решения краевой задачи
• 2.1 Метод стрельбы
• 2.2 Конечно-разностный метод
• 3. Примеры и их реализация в среде MathCad
• 3.1 Метод стрельбы
• 3.2 Метод конечных разностей
• 3.3 Сравнение результатов вычислений
• 3.4 Пример решения нелинейного ОДУ
• Заключение
• Библиографический список



Введение

Краевые задачи часто возникают в науке и технике (иногда могут встречаться в ходе решения других задач). Хотя отличие между задачей Коши и задачами, в которых граничные условия заданы в двух или нескольких точках, может показаться незначительным, они существенно различаются по своей трудности. Существует множество методов решения этой задачи, хорошо применимых в различных случаях. Методы решения краевых задач можно в целом разделить на три основных класса:

(I) методы пристрелки (стрельбы);

(II) конечно-разностные методы;

(III) вариационные методы, метод коллокаций и прочие.

Третий класс состоит из аналитических методов решения ОДУ. Так метод коллокаций, а также схожий с ним метод Галеркина, подразумевают введение операторов для уравнения и краевых условий и выбор базисных функций, удовлетворяющих условию, дальнейшее решение производится по формулам, связывающим базисные функции с искомой функцией. Суть вариационных методов заключается в приведении краевой задачи к аналогичной вариационной задаче и ее последующем решении.

В данной работе я рассматриваю только первые два численных метода решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.



1. Краевая задача

1.1 Постановка краевой задачи

Краевая задача - часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

Сформулируем краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, являющуюся одной из самых существенных. Такая задача имеет вид:

где в краевых условиях считается, что Очень важен часто встречающийся случай - линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

краевую задачу, которую мы и будем рассматривать в дальнейшем.



2. Численные методы решения краевой задачи

2.1 Метод стрельбы

Метод стрельбы - это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к решению последовательности задач Коши для той же системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим краевую задачу для ОДУ:

Перейдем от этой задачи к системе уравнений первого порядка.

Пусть и . Тогда уравнение переходит в

А краевые условия принимают вид

Таким образом, исходная краевая задача свелась к задаче 1-го порядка для систем двух уравнений.

Метод стрельбы - это переход от решения исходной краевой задачи к решению некоторой задачи Коши для системы (2.1.2). Для этого выберем произвольное значение . Теперь решаем систему ОДУ (2.1.2) с начальными условиями:



Такая задача является задачей Коши, решим ее некоторым способом. Решение наверняка не будет удовлетворять второму краевому условию . Чтобы удовлетворить ему, дальнейшая «стрельба» сводится к нахождению корня уравнения:

Метод решения данного уравнение будет аналогичен методу решения нелинейного уравнения, например, подойдет метод секущих. С его помощью можно найти последующее приближенное значение по двум предыдущим и , поэтому нужно взять второе произвольное значение . Следующее значение искомого корня будет определяться из формулы:

При этом стоит заметить, что при каждом выбранном необходимо решать задачу Коши системы дифференциальных уравнений (2.1.2) с начальными условиями:

2.2 Конечно-разностный метод

Идея метода заключается в сведении краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений путем замены производных в дифференциальном уравнении и краевых условий конечно-разностными соотношениями.

Рассмотрим краевую задачу вида:

и будем решать ее конечно - разностным методом, заменяя дифференциальные операторы отношением конечных разностей с использованием формул численного дифференцирования.

Для этого введем конечно-разностную сетку с шагом h:

Поскольку ОДУ в (2.2.1) описывает поведение функции у(х) внутри расчетной области x ? (a,b) , то производные 1-го и 2-го порядков можно аппроксимировать с помощью отношения центральных разностей со 2-м порядком аппроксимации:

Подставляя (2.2.2-4) в ОДУ из (2.2.1), получим следующую конечно-разностную схему



которую можно представить в виде следующей СЛАУ с трехдиагональной матрицей:

где

При первое слагаемое в левой части (2.2.5) известно и равно ;

При последнее слагаемое в левой части также известно и равно . Поэтому СЛАУ (2.2.5) приобретает следующий вид:

= 0,

Здесь коэффициенты и полагаются равными нулю только после вычисления правых частей и .

Теперь СЛАУ (2.2.6) пригодна для использования метода прогонки (она имеет трехдиагональную матрицу и ).

3. Примеры и их реализация в среде MathCad

3.1 Метод стрельбы

Рассмотрим пример решения краевой задачи,

используя встроенные и графические возможности математического пакета Mathcad.

Решение:

1. Запишем исходные данные задачи.

2.Определим: - границы интервала, количество шагов, краевые условия, и решим полученную в результате преобразований задачу Коши методом Рунге-Кутты, используя встроенную функцию rkfixed(y,a,b,m,D) (см. рис.1)

краевой задача mathcad дифференциальный



Рис. 1

Однако необходимо добиться, чтобы y₁(0,6)=-1,2. Для этого и будем использовать метод стрельбы.

3. Составим программу, реализующую метод стрельбы (см. рис. 2):

Вычисление нового предполагаемого значения с помощью двух предыдущих (метод секущих):

Рис. 2. Программа, реализующая метод стрельбы

Результатом запуска программы будет искомое значение решения дифференциального уравнения на границе интервала и максимально приближенное к заданному значению (в зависимости от точности) в конце, полученное в результате использования метода стрельб.

Недостающее начальное условие -.

4. Конечное решение поставленной задачи: Z:=rkfixed(y,a,b,n,D) Проверка значения на правом конце интервала: должно быть максимально близким к данному значению в условии.

Zn,p=-1,2 (в этом случае совпадает)

5. Визуализируем полученное решение (см. рис. 3):



3.2 Метод конечных разностей

Попробуем решить ту же самую краевую задачу для ОДУ методом конечных разностей, после чего будет возможность сравнить полученные результаты.

Сначала мы вводим исходные данные те же, что и в предыдущем пункте.



Но в отличие от метода стрельбы, нам придется разбить интервал на k частей и сформировать трехдиагональную матрицу с помощью формул аппроксимации и конечно-разностной схемы.

Полученную СЛАУ мы решим с помощью метода прогонки, для этого напишем специальную функцию, которая будет искать корни при заданном значении количества элементов.

Для сравнения можно найти два решения с разным количеством разбиений.



Найдем погрешность между ними и построим график функций.



Среднее значение погрешности:

3.3 Сравнение результатов вычислений

В данном пункте показано сравнение между результатами, полученными из вычислений. Приведен сравнительный график и таблица.

Y1 - график функции, полученный методом стрельбы,

Y2 - график функции, полученный конечно-разностным методом.

Из графика можно заметить, что погрешность между двумя полученными функциями очень мала, рассчитаем её, чтобы убедиться в этом.

Для сравнения результаты приведены в сводной таблице



где y₁ - значения, полученные методом стрельбы,

y₂ - значения, полученные конечно-разностным методом,

а _y - абсолютная погрешность между ними.

Подсчитаем среднее значение погрешности:

3.4 Пример решения нелинейного ОДУ

Рассмотрим задачу из раздела математической физики с простейшим нелинейным ОДУ:

Известно уравнение колебаний математического маятника в дифференциальном виде , где , а длина нити маятника м. Построить график (по 10 узлам) зависимости угла отклонения от времени в течение 2 с., если известно, что в начальный момент времени t₀=0 с. угол отклонения от положения равновесия был равен , а в момент времени t₁=2 с. .

Примечание: y(t) - угол отклонения от положения равновесия в момент времени t, g - ускорение свободного падения.

Запишем задачу в математическом виде:

Данная краевая задача решается тем же алгоритмом метода стрельбы, что и линейные ОДУ.

После приведения краевой задачи к задаче Коши получим следующую систему ОДУ:

Обозначим начальные условия



Для нахождения значения второго начального условия будем использовать функцию, описанную в пункте 3.1 (рис. 2).

В итоге получим следующее недостающее начальное условие:

После решения очередной задачи Коши с найденным начальным условием получим ответ в виде таблицы значений и графика.

Где Z^<1> и Z^<2> соответственно график искомой функции и её производной.

Решение данной задачи кончено-разностным методом невозможно, так как он подразумевает получение трехдиагональной матрицы после аппроксимации производной конечно-разностными формулами и последующее за ним решение методом прогонки. В данном случае мы получим практически не решаемую систему из 10 нелинейных уравнений.



Заключение

В данной работе были рассмотрены численные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде всего, я выяснил понятие краевой задачи для ОДУ.

Во второй части я выделил основные идеи для метода стрельбы и кончено-разностного метода и алгоритмы их решения и выяснил, что метод стрельбы в отличии от конечно-разностного метода применим, как для решения линейных, так и нелинейных ОДУ. Можно также сказать, что метод стрельбы сильно зависит от сходимости используемого метода для нахождения неизвестного начального условия и метода решения полученной задачи Коши, в то время как конечно-разностный метод зависит точности аппроксимации производной.

В третьей части работы было приведено решение примера в математическом пакете Mathcad методом стрельбы и конечно-разностным методом, получены результаты для 32 узлов и построены графики искомых функций. В итоге была подсчитана погрешность и произведено сравнение графиков функций, полученных в результате вычислений. Кроме этого, было решено нелинейное ОДУ методом стрельбы и выяснено, что данная задача не может быть решено конечно-разностным методом.



Библиографический список

1 Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов - М.: Высш.шк., 2002.

2 Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие. -2-е изд. стер.- М.: Высш. шк., 2006.

3 Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Дрофа, 2003.

4 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для вузов. В 2 -х т. Т.П: - М.: Интеграл - Пресс, 2002.

5 Тарасевич Ю. Ю. Численные методы на Mathcad'е. - Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000.

6 Турчак Л.И., Плотников П. В. Основы численных методов: Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

7 Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - Изд. 2-е, испр., доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

8 Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

9 Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001.

10 Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Вся высшая математика в задачах). - М.:УРСС, 2002.

11 Буслов В.А., С.Л. Яковлев. Численные методы. Решения уравнений. - Санкт-Петербург: СПГУ, 2001.

12 Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:Дрофа, 2005.

13 Дж. Холл, Дж. Уатт. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:Мир, 1979.

Размещено на Allbest.ru

...