Особенности применения векторов к решению геометрических задач

Исследование базиса и составление таблицы умножения для заданных векторов. Особенности и условия применения векторов в процессе доказательства алгебраических неравенств. Вычисление скалярного произведения заданных векторов, условия перпендикулярности.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 18.06.2015
Размер файла 69,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача. Каждое ребро призмы ABCA1B1С1 равно 2.

Точки М и N - середины ребер АВ и A1А. Найти расстояние от точки М до прямой CN, если известно, что угол A1AС paвeн 60° и прямые A1A и АВ перпендикулярны.

Решение

Рассмотрим базис, состоящий из векторов , , и составим таблицу умножения для этих векторов.

*

а

b

с

а

4

0

2

b

0

4

2

с

2

2

4

Расстояние от точки М до прямой CN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN.

Пусть Р - проекция точки М на прямую CN.

Тогда

для некоторого числа х.

Так как и ,

Поскольку прямые и перпендикулярны, то т.е.

.

Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем: .

Тогда .

Искомое расстояние равно

Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим . Таким образом, расстояние от точки М до прямой равно .

Ответ: расстояние равно .

у 6

Задача. В параллелограмма ABCD точка К - середина стороны ВС, а точка М - середина стороны CD. Найдите AD, если АК = 6, АМ = 3, угол КАМ = 60°.

Решение

В качестве базиса выберем векторы и и составим таблицу умножения для векторов этого базиса.

*

k

m

k

36

9

m

9

9

По формуле треугольника и .

Так как X - середина ВС, М - середина CD, то и , и получаем систему:

, откуда

Ответ: 4.

Задача. Ребра СА, СВ, СС, треугольной призмы ABCA1В1С1 равны, соответственно 2, 3 и 4 образуют между собой углы ACB = 90°, ACС1 = 45° и BCC1 = 60°. Найдите объём призмы.

Решение

Пусть отрезок С1О является высотой данной призмы. Тогда

Для того, чтобы найти высоту С1О, выберем в качестве базиса векторы

и составим таблицу умножения.

*

4

0

0

9

6

6

16

Разложим вектор C1O по векторам . Получим: , где , а .

Таким образом .

Коэффициенты х, у находим из условий перпендикулярности вектора C1O с векторами .

вектор алгебраический неравенство

.

Следовательно,

Значит

С1О =

Тогда V = 3·C1O = 3·2 = 6

Ответ: 6.

С помощью векторов можно решать не только геометрические задачи, но и доказывать алгебраические неравенства.

I. Доказать неравенство

Доказательство:

Рассмотрим векторы и .

Их скалярное произведение

Так как , , то, учитывая неравенство , получим .

II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b, c справедливо неравенство:

Доказательство:

Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение: , а длины и . Отсюда, учитывая неравенство , получаем

.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.

    контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012

  • Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.

    курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014

  • Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец, его свойства. Виды определения векторов, действия над ними. Правила сложения векторов, их сумма. Скалярное произведение векторов. Особенности использования векторов. Решение геометрических задач.

    контрольная работа [640,1 K], добавлен 18.01.2013

  • Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.

    контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016

  • Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.

    презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013

  • Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

    реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014

  • Линейные операции над векторами. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение векторов. Графическое решение систем неравенств. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Простейшие геометрические преобразования.

    методичка [2,0 M], добавлен 15.06.2015

  • Нахождение собственных значений и векторов линейного преобразования, заданных в некотором базисе матрицей. Составление характеристического уравнения и нахождение семейства векторов и их значения при решении, корни характеристического уравнения.

    контрольная работа [44,9 K], добавлен 29.05.2012

  • Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде. Свойства векторного произведения и их доказательства. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

    контрольная работа [297,9 K], добавлен 14.03.2009

  • Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.

    курсовая работа [53,4 K], добавлен 29.08.2010

  • Сущность понятия "скалярное произведение векторов". Законы векторного произведения. Практический пример нахождения площади треугольника. Общее понятие о правой и левой тройке. Содержание закона круговой переместительности. Объём треугольной пирамиды.

    презентация [373,9 K], добавлен 16.11.2014

  • Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.

    реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010

  • Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.

    контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012

  • Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.

    лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014

  • Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.

    контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013

  • Основные определения геометрических векторов. Понятие коллинеарных и равных векторов. Простейшие операции над векторами, их проекция на ось. Понятие угла между векторами. Отсчет угла против часовой стрелки, положительная и отрицательная проекция.

    реферат [187,4 K], добавлен 19.08.2009

  • Уравнение прямой линии на плоскости, условия перпендикулярности плоскостей. Вычисления для векторов и их значение, нахождение скалярных произведений, обратная матрица к квадратной матрице и вычисление определителя, бесконечные системы и их признаки.

    тест [526,3 K], добавлен 08.03.2012

  • Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.

    контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010

  • Доказательство коллинеарности и компланарности векторов. Проведение расчета площади параллелограмма, построенного на векторах а и в, объема тетраэдра, косинуса угла, точки пресечения прямой и плоскости. Определение канонических уравнений прямой.

    контрольная работа [87,7 K], добавлен 21.02.2010

  • Доказательство теоремы о линейно независимой системе векторов в пространстве Rn. Краткое рассмотрение базиса пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса, особенности его представления на плоскости и в пространстве.

    презентация [68,5 K], добавлен 21.09.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.