Вывод трехмерной графической информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Математические основы получения перспективных, аксонометрических и объемных изображений трехмерных объектов

математический аксонометрический изображение

В отличие от двумерных объектов, заданных в мировых координатах и легко выводимых на экран векторного дисплея путем отсечения по кадровому окну, вывод трехмерных объектов вызывает определенные трудности, вытекающие из того, что экран дисплея не имеет третьего измерения.

На рис. 1 показана концептуальная модель процесса вывода трехмерной графической информации.

Рис. 1

Процесс содержит несколько этапов: от объекта, выраженного набором графических примитивов, заданных в мировых координатах, до физических координат точек объекта на экране дисплея.

При получении проекций точки, заданные в системе координат размерностью га, преобразуются в точки системы координат размерностью, как правило, меньшей на единицу. В трехмерном пространстве три измерения отображаются в два. Аппарат получения проекций состоит из четырех частей: центра проекций, картинной поверхности или плоскости и изображаемого объекта, представляемого обычно совокупностью точек. Через каждую из этих точек и центр проекций проходит прямая, называемая проецирующей прямой или лучом.

На центральном проецировании основывается перспективная проекция или перспектива. Объектив фотоаппарата и глаз человека воспринимают окружающий нас трехмерный мир как перспективное изображение: особенностью его является эффект перспективного укорачивания линейных размеров, которые изменяются обратно пропорционально удалению от центра проекции до объекта. Отсюда и недостатки перспективного изображения, которое хотя и наиболее реалистично, но непригодно для непосредственного определения линейных размеров, площадей и углов.

Параллельная (аксонометрическая) проекция уступает в реалистичности, но выигрывает в возможности измерения линейных размеров, параллельных соответствующим координатным осям, так как искажение вдоль каждой из осей постоянно.

Центральные проекции характеризуются тем, что параллельные прямые сходятся в одной точке, называемой точкой схода. Когда совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Всего есть три такие точки, соответствующие точкам пересечения координатных осей с картинной плоскостью.

В зависимости от числа главных точек, расположенных на конечном расстоянии в картинной плоскости, перспективные изображения можно условно классифицировать на три разновидности. К первой относится так называемая фронтальная перспектива. Когда передняя грань изображаемого параллелепипеда расположена параллельно картинной плоскости, тогда точки схода вертикальных и горизонтальных его ребер будут несобственными точками и только ребра, идущие в глубину, будут пересекаться в одной главной точке схода (рис. 2).



Рис. 2

В этом случае картинная плоскость параллельна двум координатным осям Ох и Оу.

Во втором случае картинная плоскость параллельна только одной оси Оу, пересекая две другие. Здесь реализуются две главные точки схода (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3

Это наиболее употребительная разновидность перспективного изображения в архитектуре, строительстве и дизайне.

Если картинная плоскость пересекает все три координатные оси, наблюдается третья разновидность перспективного изображения -- так называемая трехфокусная перспектива. Ее построение сложнее однофокусной или двухфокусной и применяется она сравнительно редко для изображения, например, высотных зданий и сооружений (рис. 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4

Если центр проецирования является несобственной точкой, на картинной плоскости получается параллельная проекция объекта. Параллельная проекция может быть двух типов, в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к картинной плоскости. Если эти два направления совпадают, параллельная проекция называется прямоугольной, в случае несовпадения -- косоугольной.

Для представления точек объектов в перспективе используются матрицы преобразований размерности 4 х 4 и однородные координаты. Общий вид такого алгоритма

Vn = У, * Тр,

где У„ -- вектор перспективных координат точки; V, -- вектор однородных трехмерных координат точки; Тр -- результирующая матрица, дающая возможность получить перспективные координаты.

В случае использования координатной системы, начало которой совмещено с главной точкой картины, оси Ох и Оу совпадают с осями u и v картинной системы координат, а точка зрения расположена на отрицательном направлении оси Ог на расстоянии d от картины, предыдущее выражение получает вид

[и и 0 1] = [x у z 1] *Тр.

Результирующая матрица Тр вычисляется как произведение матриц отдельных преобразований в порядке их выполнения:

Т0 = T1 * T2 * T3 * T4, (3.28)

где T1 -- матрица параллельного переноса; T2 -- матрица поворота вокруг оси Оу; Т3 -- матрица поворота вокруг оси Ox; T4 -- матрица перспективного преобразования.

Для вычисления аксонометрических координат используется матрица, которая получается из результирующей матрицы вычисления перспективы путем исключения матрицы перспективных преобразований Т4:

Тp = Т1 * Т2 * Т3 (3.29)

или в развернутом виде

Здесь Ф, 0 -- углы поворота объекта вокруг осей соответственно Оу, Ох. Отсюда аксонометрические координаты

[и v 0 1] = [х у z 1] *Tp (3.31)

Прямоугольное проецирование лежит в основе собственно прямоугольных проекций, когда объект или сооружение изображается двумя, тремя или большим числом видов и в основе прямоугольной аксонометрии, которая дает возможность изобразить сразу несколько сторон объекта. Стандартами ЕСКД регламентированы два наиболее приемлемых вида прямоугольной аксонометрии: прямоугольная изометрия и прямоугольная диметрия. В случае прямоугольной изометрии нормаль к плоскости проекций составляет одинаковые углы с каждой из координатных осей, поэтому эти координатные оси одинаково укорачиваются и расположены под равными углами друг к другу (рис. 5, а). Отсюда показатель или коэффициент искажения равен в прямоугольной изометрии 0,82. Если отложить по всем трем осям натуральные размеры, получим изометрическое изображение, увеличенное по отношению к прямоугольным проекциям в 1/0,82 = 1,22 раза. В прямоугольной аксонометрии наблюдается простая аналитическая зависимость

где р, q, r -- показатели искажения по соответствующим координатным осям.

В прямоугольной диметрии показатели искажения по оси Ох -- р и по оси Оz -- q одинаковы и равны 0,94, а показатель искажения г по оси Оу равен 0,47 (рис. 5, б).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5

В косоугольной фронтальной диметрии (кабинетной проекции) показатели искажения по осям Ох и Ог равны 1, а по оси Оу -- 0,5.

Для математического описания проекций, как центральных, так и параллельных, будем считать, что при центральном проецировании картинная плоскость перпендикулярна оси г и может быть задана зависимостью z = d, а при параллельном проецировании совпадает с плоскостью г = 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6

На рис. 6 показаны аксонометрическое изображение и две прямоугольные проекции перспективного аппарата при определении перспективы точки, заданной в пространстве тремя координатами. Использована левосторонняя система координат, при которой ось х направлена вправо, ось у -- вверх, а ось z -- внутрь экрана, что согласуется с экраном векторного дисплея.

Наиболее удобно каждую из проекций описывать матрицей размером 4 X 4. В этом случае появляется принципиальная возможность объединить матрицу проецирования с матрицей преобразования, представив обе операции одной матрицей.

На рисунке 6 показано проецирование точки М (х, у, z) на картинную плоскость, перпендикулярную оси Ог и расположенную от начала координат на расстоянии d.

Для определения координат x_M и Y_M центральной проекции точки М воспользуемся отношениями, которые получаются из подобных треугольников:

Если умножить обе стороны соотношений на d, получим

В данном случае расстояние d является масштабным множителем по отношению к координатам, x_M и Y_M. Размер перспективного изображения зависит от деления на координату г. При этом возможны все значения этой координаты, кроме нулевого. Точки могут располагаться как перед центром проецирования, так и позади него.

Эти преобразования можно представить в виде матрицы размером 4X4:

При умножении точки М = [х у г 1] на матрицу P_центр получается общее выражение для точки в однородных координатах [X Y Z Н]

Для обратного перехода к трем измерениям необходимо предыдущее равенство разделить на Н (равное z/d)

В этом результате содержится преобразованная z координата -- d, которая фиксирует положение картинной плоскости.

Ортогональное проецирование на плоскость 2 = 0 осуществляется по направлению оси z. Точка М имеет координаты Х_M = х, Y_M =у, Z_M = 0. Такая проекция описывается матрицей

Косоугольная проекция зависит от значений а и п (рис. 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7

Из рисунка видно, что проекция точки N (О, О, 1), совпадающей с задней нижней левой вершиной единичного куба, является точка N' (n cos а, n sin a, 0), лежащая в плоскости ху.

Эти действия выполняются матрицей размером 4x4:

Рассмотрим построение косоугольной проекции точки на плоскость ху (рис. 8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8

Здесь представлены две проекции точки и направление проецирования, заданное двумя проекциями, каждая из которых определена линейным уравнением у = mz + b.

Так как для прямоугольной проекции п = 0, а b = 90° (угол между направлением проецирования и плоскостью проекций), то М_орт является частным случаем М_кос.

Рассмотрим методы формирования объемных (стереоскопических) изображений. Для построения систем формирования таких изображений используются стереотелевизионные, голографические методы, а также методы, в которых реализуются электронно-оптические системы с объемными или многослойными элементами.

Известно, что стереоскопический эффект возникает благодаря бинокулярности зрения человека, т. е. восприятию окружающего мира глазами. Вследствие расстояния между центрами зрачков -- глазного базиса -- человек воспринимает объект с двух точек зрения, что дает объемный или стереоскопический эффект.

Два перспективных изображения, сформированные отдельно для правого и левого глаза, называются стереопарой. Для их получения матрица преобразованного объекта умножается поочередно на матрицы:

где d -- глазной базис.

Чтобы при рассмотрении стереопары возникало ощущение объемности изображения, нужно разделить два перспективных изображения так, чтобы каждый глаз воспринимал только свое изображение. Это разделение стереопары называется сепарацией.

При стереотелевизионных методах объемные изображения с помощью стереопары реализуются на одном или двух телевизионных экранах. Эти методы классифицируются по трем признакам:

параллельному или последовательному способу передачи стереопар (на один или несколько экранов);

способу сепарации стереопар для получения объемного изображения;

по числу стереопар, используемых для формирования изображения.

Наиболее часто применяемой сепарацией является очковая сепарация, когда изображения разделяются непосредственно у глаз оператора. Существует четыре разновидности очковой сепарации стереопар. Первый основан на воспроизведении стереопар, окрашенных в различные цвета (например, красный и зеленый). При этом сепарация осуществляется цветными очками со светофильтрами. Второй способ использует эффект поляризации света, при котором каждое изображение пропускается через поляризационные оптические фильтры. В третьем способе, называемом эклипсным очковым, в очки наблюдателя вмонтированы специальные механические или оптикоэлектронные системы, позволяющие осуществлять попеременное прерывание излучений, поступающих в правый и левый глаз.

В четвертом предполагается применение персональных стереоскопов, в которых сепарация происходит с помощью линзовоприз-мовых оптических устройств.

Безочковое разделение изображений чаще всего реализуется с помощью растровых телевизионных экранов, которые состоят из тонких цилиндрических линз.

Наконец, существует многоракурсное воспроизведение изображения, полученного с разных точек зрения. Здесь разделение пары стереоизображений реализуется только методами экранной сепарации. Чередование зон стереоскопического видения происходит перед растровым экраном. Перемещаясь внутри зоны стереовидения, несколько операторов могут рассматривать объемное изображение, изменяя точку зрения на объект.

Эффективным методом формирования объемных изображений является голографический, при котором используется явление интерференции, заключающееся в том, что две световые волны, достигая определенной точки предмета, в зависимости от амплитуды могут складываться, давая свет большей интенсивности, или вычитаться, образуя темные места. Для восприятия этого эффекта объекты нужно осветить когерентным светом, волны которого имеют одинаковую фазу, например, с помощью лазера. На фотопластинку попадает отраженный от объекта предметный пучок, на эту же фотопластинку направляется опорный пучок света непосредственно от источника, минуя объект. Зарегистрированная картина интерференции предметного и опорного пучков и дает голограмму.

2. Задачи геометрического моделирования

Теоретической основой использования ЭВМ для геометрического моделирования является возможность установления изоморфизма между алгеброй, оперирующей множествами абстрактных моделей, и геометрией, объектами которой являются множества координатных точек. Математическое обеспечение систем геометрических расчетов состоит из совокупности методов и алгоритмов построения геометрических моделей.

Определение абстрактных геометрических объектов не затрагивает физические, механические, визуальные и другие свойства или природу моделируемых процессов и явлений: это могут быть градиенты целевых функций в оптимизационных проектных задачах и градиенты функции поверхности Земли (линии наибольшего подъема), волны напряжений и деформаций в сплошных средах, а также волны на поверхности воды. При построении геометрических моделей выделяются аспекты общей математической модели, которые характеризуют ее геометрические свойства: вводится аксиоматика рассматриваемых метрических пространств, определяются допустимые системы координат, их преобразования и классы геометрических объектов, конструируются множества отношений между объектами геометрической модели» операции над ними, а также функции их отображения на модели, внешние по отношению к геометрической.

Одной из самых широких областей применения геометрического моделирования в САПР является синтез и анализ пространственных форм проектируемых объектов [9; 10; 17]. Среди задач геометрического моделирования, инвариантных по отношению к объектно-ориентированным приложениям, выделим следующие: 1) представление математических моделей, характеризующих структуру, форму и положение пространственных объектов; 2) реализация базовых операций геометрических расчетов и анализа объектов; 3) постановка и решение задач проектирования пространственных форм на основе композиционного подхода.

Математические модели, описывающие структуру и форму областей определения геометрических объектов в метрических пространствах, составляют информационно-логическое (инфологическое) представление этих объектов. Геометрические объекты, которые в процессе решения конкретной задачи рассматриваются как неделимые, называются базовыми. Объекты, сконструированные из базовых, называются составными. Самый нижний уровень рассмотрения образуют элементарные геометрические фигуры: нульмерные -- точки, одномерные -- отрезки линий, двумерные -- отсеки плоскостей и поверхностей.

К базовым операциям над геометрическими объектами относятся вычисление характеристик линий и поверхностей и решение задач, которые в прикладной геометрии называют метрическими и позиционными. Это вычисление направлений касательных и нормалей, кривизны и кручения кривых, коэффициентов матриц первой и второй квадратичных форм поверхностей, коэффициентов преобразований к главным осям, главных кривизн; вычисление длин, углов, пересечений, площадей, объемов, моментов инерции, кратчайших расстояний и других параметров, установление взаимного положения геометрических объектов.

Алгоритмы решения задач композиции и декомпозиции геометрических объектов реализуются на основе алгоритмов базовых операций и представления математических моделей геометрических объектов. Типична задача сборки новой геометрической фигуры по нескольким заданным. В процессе сборки необходимо найти сопрягаемые отсеки и разместить их в пространстве; добиться гладкого сопряжения отдельных отсеков; разместить новую геометрическую фигуру в базе данных. Другая типичная задача -- расчленение геометрической фигуры на фрагменты определенной структуры. При ее решении необходимо находить точки и линии пересечения поверхностей; перезадавать координатные системы; размещать вновь создаваемые отсеки в базе данных, связывая их указателями с другими геометрическими объектами.

Алгоритмы решения задач геометрических расчетов для тел сложной формы помимо геометрических построений, реализуемых на основе методов аналитической и дифференциальной геометрии, включают в себя алгоритмы поиска объединений и пересечений геометрических объектов. При таком поиске с использованием инфоюгических математических моделей в значительной степени абстрагируются от конкретной геометрической формы объектов. Наличие единой для данной САПР информационной подсистемы позволяет решить все логические и поисковые задачи, встречающиеся при выполнении геометрических расчетов, с помощью системных программных средств ведения и поддержки СУБД. В результате глобальные задачи геометрических расчетов сводятся к ряду операций над элементарными геометрическими объектами, являющимися инвариантными по отношению к информационному обеспечению САПР.

3. Представление структуры и формы геометрических объектов

Математическая модель геометрического объекта -- это формализованное описание его структуры и формы. Математическим аппаратом для описаний являются теоретико-множественные и алгебрологические методы описания структур данных, а также методы аналитической и дифференциальной геометрии. Рассмотрим некоторые из применяемых на практике способов представления таких моделей.

Теоретико-множественное определение структуры геометрических фигур. В теоретико-множественном представлении трехмерное пространство определяется как бесконечное множество точек, а точки, линии, поверхности и тела -- как их подмножества.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9

Трехмерный геометрический объект представляется замкнутым ограниченным точечным множеством, в котором различаются множество граничных точек -- поверхность и множество внутренних точек -- тело [10]. Поверхность представляется состоящей из граней G_i являющихся отсеками поверхностей Р_i -- носителей граней. Линия пересечения граней называется ребром R, а точка пересечения ребер или граней -- вершиной V. Грань G_i может быть плоской или криволинейной, связанной или несвязанной, ребра R могут быть отрезками прямых и кривых линий -- носителей ребер, являющихся линиями пересечения поверхностей--носителей граней. Ребра, организованные в определенные последовательности, образуют граничные контуры K_i. На рис. 9, а иллюстрируются отношения вершины V с ребрами R и гранями G, ребра -- с гранями и вершинами, грани -- с ребрами и вершинами.

На рис. 9, б приведен граф, отображающий иерархию элементов поверхности геометрического объекта. Внешними вершинами графа являются базовые объекты, промежуточными вершинами -- расчленяемые объекты.

Алгебрологическое определение структуры геометрических фигур. Алгебрологические модели (АЛМ) применяются для описания объектов сложной структуры, ограниченных отсеками поверхностей, для которых имеется аналитическое представление. АЛМ строятся с помощью теории множеств, булевой алгебры или R-функций [6]. АЛМ объекта называется [10; 17] совокупность уравнений ориентированных поверхностей, теоретико-множественная формула F и параметры системы координат объекта S:

М = {{S, F}, М'_Р}, i = 1, 2, .... п. (4.1)

Любая булева функция представлена с помощью конъюнкции дизъюнкции и отрицания. Переменные булевой функции y = F(x₁ .... х_п) принимают два значения 0 и 1, соответствующие понятиям ложно и истинно.

Для ориентации ограничивающих геометрические объекты линий и поверхностей в качестве носителей граней G_i принимаются двусторонние поверхности P_i, заданные уравнением

P_t=P_t(x,y,z). (4.2)

Такие поверхности разделяют пространство на положительные D_i и отрицательные D_i области, определяемые неравенствами.

Р_i>0, Р_i<0. (4.3)

Точки трехмерного объекта принадлежат областям с неотрицательными значениями выражений (4.3).

Положительная ориентация линий L_i, образующих границы отсека поверхности P_i, определяется таким образом, чтобы при следовании по поверхности вдоль линии в положительном направлении точки поверхности, инцидентные отсеку, находились слева, неинцидентные -- справа.

Из областей D_i и D_i с помощью теоретико-множественных операций можно образовать геометрические объекты.

Для некоторого количества т областей D_t составляется булева функция F (D_l ..., D_m), истинности которой соответствует принадлежность точки V (х, у, г) области Q.

Представление формы геометрических фигур. Для представления формы геометрического объекта, построенного путем структурного объединения базовых элементов, достаточно описать форму каждого из элементов.

Математические модели, отражающие формы базовых объектов, подразделяются на аналитические, кусочно-аналитические, каркасные [6; 10].

Аналитические модели (AM) описывают объекты с помощью уравнений; применяются они для объектов простой формы, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка.

Кусочно-аналитической моделью (КАМ) геометрического объекта называется совокупность параметров 5, характеризующих его систему координат, сведения о связях элементов поверхности объекта между собой и моделей всех граней G_t. В основе КАМ лежит теория R-функций [18].

В КАМ трехмерного объекта достаточно описать только его поверхность. Через свою ориентацию она однозначно определяет, по какую сторону от нее находится тело объекта. КАМ трехмерного объекта слагается из моделей его двумерных объектов -- граней, одномерных -- ребер, нульмерных -- вершин. Описание грани G_i состоит из описания ориентированного носителя Р_i этой грани и границы. Моделью носителя грани P_i э G_i, ребра L_iK = P_t (] P_K вершины V_i,j,k = P_t П P/ П Р_к называется совокупность параметров, позволяющих вычислить уравнение носителя или координаты вершины в системе координат объекта.

Такими параметрами могут быть коэффициенты уравнения поверхности, прямой или кривой линии, тройка координат точки.

Модель ребра может быть представлена в виде совокупности {S_i} -- параметров-указателей начальной и конечной точек ребра; Ми -- модели носителя ребра; моделей начальной mv и конечной Му точек; ОР -- кода ориентации ребра.

М_R = {{S}, М_RJ, М_V, М_V, ОР}. (4.4)

Моделью грани является множество характеристик

М_G={{S}, M_P ,M_R } i=1,2 (4.5)

где {S}^G -- параметры-указатели последовательности ребер Rs, образующих контур грани; М¹_Р -- модель носителя грани gc, M'_R -- модели ребер R'_s (/ = 1, 2, ...; S == 1, 2, ...).

Каркасные модели (КМ) применяются для представления сложных поверхностей, не поддающихся простому аналитическому описанию, или в тех случаях, когда такая форма представления удобна для реализации алгоритма решения конкретной задачи. Каркасная модель предполагает представление поверхности множеством точек или линий. Каркас может быть дискретным или непрерывным.

Точечным каркасом поверхности называется конечное множество точек, принадлежащих поверхности, а обобщенным дискретным каркасом называется конечное множество точек и линий, принадлежащих поверхности. Непрерывный линейный каркас поверхности -- это непрерывное семейство линий, описываемых функциями v = v (и); закон изменения линий каркаса может быть записан г = г (и, v («)).

Сетчатым каркасом называется два (или более) семейства линий, образующих два (или более) линейных каркаса. Каждая образующая одного семейства пересекает каждую образующую второго (других семейств) только один раз.

Поверхность задана, если задан ее непрерывный каркас. В этом случае всегда можно выделить все точки пространства, принадлежащие рассматриваемой поверхности. Поверхность может нести на себе множество различных каркасов, задание одного непрерывного каркаса поверхности обеспечивает задание любого другого ее каркаса.

При задании дискретного каркаса нельзя говорить об однозначном задании конкретной поверхности. В этом случае при решении задач дискретный каркас заменяется непрерывным каркасом, для чего сначала решается задача интерполяции дискретного каркаса [16].

4. Представление кривых линий

Параметризация кривых. При геометрическом моделировании фигуры, инцидентные кривым в пространстве, являются конечными отсеками этих кривых. Рассматриваемое множество точек кривой является образом непрерывного кусочно-обратимого отображения замкнутого отрезка числовой прямой. Отображаемый отрезок называется областью изменения параметра, а само отображение -- параметризацией. Одна и та же кривая может быть па-раметризирована бесчисленным множеством способов. Параметризация осуществляется заданием декартовых координат текущей точки кривой как функций некоторого параметра:

х = х (t), у = у (/), z = z (t), а < t < b. (4.6)

Конкретный вид этих функций отличает данную параметризацию от всех прочих. Известно, что если t = t (и) -- произвольная непрерывная и строго монотонная функция, то

x = x(t (и)) = х (и), у = у (t(u)) = у (и), z = z(t (и)) = z (и) (4.7)

-- другая параметризация той же кривой. И наоборот, если (4.6) и

х = х(и), у = у(и), г = z(и) (4.8)

-- две различные параметризации одной кривой, то существует единственная непрерывная и строго монотонная функция t = t (и), переводящая одну параметризацию в другую по формуле (4.7).

Заметим, что область значений такой функции -- тоже отрезок. Подобные функции реализуют непрерывное и взаимно однозначное отображение отрезка на отрезок. Ясно, что обратная функция и = и (t) переводит вторую параметризацию в первую.

Будем пользоваться параметрическим уравнением кривой в векторной форме

r = r(t) = х (t) е₁ + у(t)e₂ + z(t)e₃ (4.9)

где r = {х, у, г] -- радиус-вектор текущей точки на кривой; e_l, e₂, e₃ -- орты координатных осей.

Кривая называется m раз непрерывно дифференцируемой, если она допускает т раз непрерывно дифференцируемую параметризацию. Непрерывно дифференцируемые кривые (т = 1), допускающие параметризацию, первая производная которой всюду отлична от нуля (| r' | Ф 0), называются гладкими. Для них в каждой точка кривой определен касательный вектор. Если при некотором t выполняется равенство | r' (t) \ = 0, то точка может быть особой. Кусочно-гладкие кривые в инженерной геометрии обычно рассматриваются как составные, т. е. для каждого гладкого куска вводится своя параметризация.

Рассматриваемые кривые будем предполагать гладкими и обладающими кусочно-непрерывной ограниченной кривизной, г. с. допускающими такую параметризацию r = r(t), что вторая производная r" (f) кусочно-непрерывна и ограничена.

Сформулированные выше условия выделяют из всех кривых сравнительно узкий класс Q, который включает кривые, используемые в инженерной геометрии. Несмотря на довольно жесткие математические ограничения, этот класс оказывается вполне достаточным для практических целей.

Дискретно-точечным заданием кривой будем называть конечную совокупность {r_i i=1,2, ..., N} точек кривой, упорядоченных по ее длине. В некоторых из них могут быть заданы дополнительные сведения о свойствах кривой в окрестности соответствующей точки. Такой способ представления сложных кривых в инженерной практике является обычным. При его использовании предполагается наличие некоторого инструмента для интерполирования. Физической реализацией такого инструмента является, например, упругая рейка. В качестве математического «инструмента» используются различные функции, чаще всего полиномы Лагранжа, Ньютона, сплайны. Известно, что для конкретного дискретно-точечного задания кривой и любой возрастающей числовой последовательности t₁ < t₂ < ... < t_N можно найти (и притом не единственным образом) такую параметризацию r = r (t), t Ј [t_lt t_N] > этой кривой, что r (t₁) -- r_i для всех i. Следовательно, задача об интерполировании кривой по ее дискретно-точечному заданию может быть сведена к интерполированию какой-либо параметризации, т. е. некоторой вектор-функции.

Решению задач такого рода посвящены целые разделы вычислительной математики [5; 9; 16; 19; 23; 24]. Рассмотрим некоторые аспекты геометрического моделирования кривой по ее дискретно-точечному каркасу [24]. Ограничимся представлением кривых с помощью кубических параметризованных кривых вида

Почему рассматриваются именно кубические кривые? Потому что для сегментов кривой не существует представления более низкого порядка, которое обеспечивало бы в точке соединения кривых друг с другом непрерывность положения и наклона сегментов и в то же время гарантировало бы, что концевые точки сегмента кривой проходят через заданные точки. Отметим, что основная цель -- описать кривую с помощью последовательности сегментов кривой (рис. 10). В точке соединения сегменты кривой и их касательные векторы равны. Эта непрерывность имеет важное значение.

Для описания непрерывности используется следующее обозначение С. Предположим, что кривые С" непрерывны, если они не имеют разрывов. В общем случае С⁽ⁱ⁾-- непрерывность означает, что непрерывны функция и ее первые I производные.

Параметрический кубический многочлен с четырьмя коэффициентами является параметрической кривой наиболее низкой степени, которая при соответствующем выборе коэффициентов может удовлетворять четырем условиям (положению каждого из концов сегмента и касательным векторам в них). Можно использовать также параметрическое представление и более высокого уровня, однако в этом случае появляется волнистость и возникают осцилляции. Кубический многочлен является, кроме того, параметрической функцией наиболее низкой степени, с помощью которой можно представить неплоскую кривую, необходимую для описания пространственных кривых.

Ниже подробно рассмотрены три способа описания параметрических бикубических кривых: метод Эрмита, в котором задаются положения конечных точек кривой и касательные векторы в них; метод Безье, в котором задается положение конечных точек кривой) а для неявного задания касательных в этих точках используются две другие точки, обычно лежащие не на кривой; метод В-сплайнов, при котором конечные точки не лежат на кривой, в результате чего как первая, так и вторая производные оказываются непрерывными на концах сегмента. Каждая из этих трех форм описания кривой имеет свои достоинства и недостатки.

Форма Эрмита. Зададим точки Р₁ и Р₄ и касательные векторы r₁ и R₄ (точкам присваиваются индексы 1 и 4, а не 1 и 2 для совместимости с выражениями, которые используются при построении кривых методами Безье и В-сплайнов). Требуется найти коэффициенты а?, аг, аз и а* из выражения (4.10), удовлетворяющие условиям

x(0) = x_lt х(1)=х„ х'(0) = х,, *(!) = *;, (4.11)

где индекс х означает ссылку на ^ - компоненты точек и касательных векторов.

Переписывая выражение для х (t), получим

Чтобы записать выражение для ограничений на касательные векторы, продифференцируем сначала выражение (4.13) по t и получим, обращая матрицу размером 4x4, получим искомое выражение для С_x



Здесь через M_h обозначена эрмитова матрица, а через G_hx -- геометрический вектор Эрмита. Подставляя этот результат в выражение (4.13), получим

Рис. 10

Четыре функции переменной t в произведении (4.22) называют функциями сопряжения, так как с помощью первых двух функций сопрягаются точки r₁ и r₄, а посредством двух других -- векторы r₁ и r₄, в результате чего получается сглаженное объединение r (t).

Рис. 11

На рис. 10 приведен ряд эрмитовых кривых. Их геометрические матрицы отличаются друг от друга только длиной касательного вектора. Чем больше длина вектора, тем сильнее кривая вытягивается в направлении, задаваемом этим вектором до того, как он начнет перемещаться к противоположному концу сегмента. Во всех случаях касательные к кривым имеют в концевых точках одно и то же направление. На рис. 11 показан другой ряд эрмитовых кривых -- длина касательного вектора остается неизменной, а изменяется направление.

Форма Безье. Эта форма описания кубической кривой близка к эрмитовой форме, однако отличается от нее заданием касательных векторов в конечных точках. В форме Безье используются четыре точки (рис. 12). Касательные векторы в конечных точках задаются отрезками Р₁P₂ и P₄P₃ . В частности, касательные векторы r₁ и r₄ эрмитовой формы определяются так, чтобы соответствовать четырем точкам Безье P_l P₂, P₃ и P₄:

Поэтому соотношение между геометрической матрицей Эрмита и геометрической матрицей Безье G_b записывается

Подставляя (4.25) в выражение (4.23), найдем

Обозначив произведение Ф_hМ_hb через Ф_b, получим выражение r(t) = Ф_bС_b которое имеет форму Безье. Матрицу М_b, полученную на рис. 13 приведены две кривые Безье, имеющие общую конечную точку P₄ Непрерывность первого порядка в этой точке гарантируется в том случае, если Р₃Р₄ = k * P₄P₅.

Форма Безье благодаря двум своим свойствам используется в машинной графике чаще, чем эрмитова форма. Во-первых, потому, что геометрическая матрица (в случае четырех точек) интуитивно привлекательна в интерактивном режиме, так как, перемещая точки с помощью локатора, можно легко привести кривую к желаемой форме. В случае эрмитовой формы касательные векторы должны задаваться в явном виде; в режиме диалога их определять труднее, да и само понятие производной не знакомо некоторым пользователям. Однако, если касательный вектор известен, то привести кривую в соответствие с ним легче при использовании эрмитовой формы. Во-вторых, четыре управляющие точки определяют выпуклый многоугольник (выпуклую оболочку), внутри которого находится кривая Безье (см. рис. 12).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 12

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 13

Выпуклая оболочка точек на плоскости есть область, задаваемая резиновой нитью, которая натянута вокруг всех точек (или в случае трех измерений область, задаваемая резиновой мембраной, плотно облегающей все точки). Выпуклая оболочка оказывается полезной при отсечении кривой по окну или видимому объему. Вместо того, чтобы сразу проводить отсечение кривой, сначала проверяется ее выпуклая оболочка, и только в том случае, если она пересекает окно или видимый объем, возникает необходимость в проверке самой кривой.

Для того, чтобы лучше понять свойство выпуклой оболочки формы Безье, возьмем произведение (4.26):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследуя коэффициенты многочлена при четырех точках, находим, что каждый из них изменяется в диапазоне 0...1, а сумма их равна 1 для всех 0 ^ t ^ 1. Это выражение описывает взвешенное среднее значение для четырех управляющих точек. Можно показать, что взвешенное среднее для п точек попадает внутрь выпуклой оболочки п точек.

Форма В-сплайнов. Кривая, представленная в виде кубического В-сплайна, в общем случае может проходить через любые управляющие точки, однако она непрерывна и, кроме того, непрерывностью изменения обладают ее касательный вектор и кривизна (т. е. первая и вторая производные кривой непрерывны в конечных точках) в отличие от форм Эрмита и Безье, у которых в конечных точках непрерывны лишь первые производные, проходящие через управляющие точки. Таким образом, можно утверждать, что форма В-сплайнов более гладкая, чем другие формы. Термин сплайны происходит от длинных гибких металлических реек, с помощью которых чертежники размечают поверхности самолетов и кораблей. Металлические сплайны, если они не сильно напряжены, обладают непрерывностью второго порядка. В-сплайн описывается формулой

При аппроксимации управляющих точек r_ъ r₂, ..., r_п последовательностью В-сплайнов будем применять между парой соседних точек геометрические матрицы. Для аппроксимации в интервале,

Покажем теперь непрерывность первой и второй производных в точке r_i+i. Подставляя в выражение (4.29) G_s = G_si и t = 1, имеем

Аналогично, дифференцируя выражение (4.29) и подставляя t = = 1, получим

Дифференцируя и подставляя (4.29), получим

близком к точкам r_i и r_i+1, используем

Рис. 14

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выражения для [ж, у, з} - координат двух сегментов кривых и первых двух производных в месте соединения при условии r_t (1) = r_i+1 (0) совпадают.

Из приведенных выражений видно, что соединения точек и их производных являются взвешенными суммами трех ближайших соседних точек. На рис. 14 показана аппроксимация нескольких точек с помощью В-сплайнов. Поскольку точки 5, 6 и 7 имеют одинаковое значение координаты х, кривая проходит через точку, значение х которой совпадает со значением этой координаты точки 6, как следует из уравнения (4.32).

Свойство выпуклой оболочки кривых Безье справедливо и для кривых в форме В-сплайнов: выпуклая оболочка кривой в приближенном интервале {r_i, r_i+1} та же, что и для четырех управляющих точек, используемых для генерации кривой {r_i-1, r_i, r_i+1, r_i+2}.

Размещено на Allbest.ru

...