Неперервні відображення на банахових просторах. Апроксимація та зв'язок з алгебрами аналітичних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

"Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника'

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 -- Математичний аналіз

Неперервні відображення на банахових просторах. Апроксимація та зв'язок з алгебрами аналітичних функцій

Митрофанов Михайло Аркадійович

Івано-Франківськ 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у відділі функціонального аналізу Інституту прикла-дних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної академії наук України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Загороднюк Андрій Васильович, завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Банах Тарас Онуфрійович, професор кафедри геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка

доктор фізико-математичних наук, професор Боднар Дмитро Ількович, професор кафедри економічної кібернетики та інформатики

Тернопільського національного економічного університету

Захист відбудеться ” 3 ” 05 2011 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 20.051.09 у Прикарпатському національному університеті імені Василя Стефаника за адресою: 76025, м. Івано-Франківськ, вул. Шевченка, 57, ауд. 310.

3 дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника (76025, м. Івано-Франківськ, вул. Шевченка, 57).

Автореферат розісланий ” 31 ” 03 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С. В. Шарин

1. Загальна характеристика роботи

банаховий просторовий куб апроксимація

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена дослідженню апроксимаційних властивостей аналітичних та -аналітичних відображень на банахових просторах і, більш загально, на просторах Фреше та суміжним питанням. Згідно з добре відомою теоремою Стоуна-Вейєрштрасса, кожна неперервна функція на замкненій обмеженій підмножині простору може бути рівномірно наближена функціями з алгебри, що містить усі поліноми в і комплексно спряжені до поліномів функції. В нескінченновимірному банаховому просторі замкнута та обмежена підмножина, у загальному випадку, не є компактною; тому питання апроксимації неперервних функцій на такому просторі є достатньо складним. Більш того, для будь-якого нескінченно-вимірного дійсного банахового простору існує така неперервна функція на замкненій одиничній кулі, яка не може бути наближена поліномами в топології рівномірної збіжності на кулі. Однак, у 1954 році Я. Курцвейл (Kurzweil) довів, що якщо дійсний сепарабельний банахів простір допускає розділяючий поліном, то кожне неперервне відображення з банахового простору у банахів простір може бути наближене аналітичними відображеннями рівномірно на Ці дослідження продовжувалися багатьма авторами. Зокрема, в 2001 році М. Буісо і П. Гаєк довели, що якщо дійсний сепарабельний банахів простір допускає розділяючу аналітичну функцію (даний клас просторів включає у себе всі простори, що допускають розділяючий поліном), то кожне рівномірно неперервне відображення з банахового простору у банахів простір може бути наближене аналітичними відображеннями рівномірно на Більш того, у 2010 році Д. Азгара, Р. Фрай та Л. Кінер у препринті показали, що якщо дійсний сепарабельний банахів простір допускає розділяючий поліном, то ліпшицеві неперервні функції на можна апроксимувати ліпшицевими аналітичними функціями рівномірно на При дослідженні питання апроксимації виникає потреба у вивченні так званих розділяючих поліномів та розділяючих аналітичних функцій. Ця тематика активно розроблялася авторами М. Фабіаном, Д. Преіссом, Дж. Вайтфіелдом та В. Зізлером які, використовуючи техніку геометричної теорії банахових просторів та нескінченновимірного комплексного аналізу, дослідили розділяючі поліноми на рівномірно опуклих банахових просторах. Ґрунтовний огляд з цієї тематики зроблено у 1997 році Р. Гонзало та Х. Хараміло.

В дисертації розглянуто комплексні аналоги апроксимаційних результатів Курцвейла, Буісо і Гаєка та отримано нові теореми про апроксимацію аналітичних відображень у просторах Фреше зі зліченною системою норм. Зауважимо, що у комплексному випадку аналітичних функцій не достатньо для апроксимації неперервних. Необхідно розглянути ширший клас функцій -аналітичних функцій), який, зокрема, містить комплексно спряжені до аналітичних функції. У роботі досліджено властивості розділяючих поліномів (-поліномів) та аналітичних (-аналітичних) функцій.

Важливим напрямком в теорії аналітичних відображень на банахових просторах є дослідження алгебр аналітичних функцій на підмножинах банахового простору. Аналогічно до скінченновимірного випадку, з алгебрами аналітичних функцій пов'язані простори Харді, які будуються за допомогою зображуючої міри деякого характера з носієм на множині точок піка . У 1986 році Б. Коул та Т. Гамелін (B. Cole, T.W. Gamelin) розглянули аналог просторів Харді на нескінченновимірному диску.

У роботі вивчаються простори та алгебри -аналітичних функцій та наведено приклад застосування таких функцій для побудови комплексних узагальнених функцій на гільбертовому кубі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконувалась в рамках науково-дослідних тем ``Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень'' (номер державної реєстрації 0198U002533) та ``Розробка спектральної теорії полілінійних і лінійних операторів та операторних алгебр над банаховими просторами і застосування до задач статистичної механіки та майже-комплексного аналізу'' (державний реєстраційний номер 0103U000129) відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є: вивчення можливості апроксимації неперервних функції на комплексних банахових просторах; встановлення критерію апроксимації неперервних функції на дійсних опуклих просторах (в термінах просторів); дослідження алгебр аналітичних і -аналітичних функцій на нескінченновимірному полідиску гільбертового простору, та пов'язаних з ними просторів узагальнених функцій.

Об'єктом дослідження є: поліноми, неперервні і аналітичні функції на банахових просторах; аналітичні та узагальнені функції на одиничному диску гільбертового простору; опуклі простори; -поліноми, а також деякі алгебри поліномів та -поліномів.

Предметом дослідження є умови апроксимовності неперервних функцій на банахових просторах та просторах Фреше зі зліченною системою норм, умови існування та властивості розділяючих поліномів та розділяючих рівномірно аналітичних функцій, -поліноми та їх основні властивості, аналітичні та узагальнені функції на одиничному диску гільбертового простору, алгебри типу Вінера від нескінченної кількості змінних.

Методи досліджень. Дослідження використовують методи метричних і топологічних просторів, нескінченновимірного комплексного аналізу, теорії лінійних операторів, тензорних добутків, теорії банахових алгебр, комплексифікації та декомплексифікації.

Наукова новизна одержаних результатів.

Всі отримані в дисертації наукові результати є новими. У роботі вперше:

· отримано критерій апроксимації неперервних функцій аналітичними на сепарабельних дійсних рівномірно опуклих банахових просторах із субсиметричним базисом;

· досліджено слабко поліноміальну топологію на дійсних банахових просторах, встановлено нові властивості розділяючих поліномів і розділяючих рівномірно аналітичних функцій;

· введено -поліноми та -аналітичні функції та розглянуто основні їх властивості;

· доведено теореми про апроксимацію неперервних функцій -аналітичними функціями на сепарабельних комплексних банахових просторах та просторах Фреше;

· доведено аналог теореми Вінера у нескінченовимірному просторі над полем

· досліджено гільбертові простори (типу Харді) аналітичних і -аналітичних функцій на одиничному полідиску гільбертового простору;

· застосовано -поліноми для побудови і дослідження комплексних узагальнених функцій на гільбертовому кубі.

Практичне значення одержаних результатів.

Отримані у дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування у дослідженнях з теорії операторів над банаховими просторами, в математичній фізиці, при дослідженні геометрії банахових просторів. Ці результати можуть бути використані в наукових дослідженнях, які проводяться в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Інституті математики НАН України, Львівському національному університеті імені Івана Франка, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Харківському національному університеті, Прикарпатському національному університеті імені Василя Стефаника та інших наукових установах та ВУЗах України.

Особистий внесок здобувача.

Всі основні результати, що викладені у дисертації, отримані самостійно. У спільних роботах з науковим керівником, керівнику належить постановка задач та обговорення отриманих результатів. У випадку, коли результати, отримані співавтором, використовуються в дисертації, їхнє доведення викладено у додатку.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

- 16-тій відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, 16-18 травня 2001 року);

- 17-тій відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, 15-17 травня 2002 року);

- наукових читаннях, присвячених пам'яті академіка Я.С. Підстригача (Львів, 23-24 травня 2002 року);

- міжнародній конференції ``Functional Analysis and its Applications'', присвяченій 110-річчю з дня народження Стефана Банаха (Львів, 28-31 травня 2002 року);

- 18-тій відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, 8-10 жовтня 2003 року);

- конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004 року);

- міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 27 червня - 3 липня 2004 року);

- конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005 року);

- 19-тій відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, 21-23 вересня 2005 року);

- наукових читаннях, присвячених пам'яті академіка Я.С. Підстригача (Львів, 25 травня 2006 року);

- 4-ій літній школі ``Algebra, Topology Functional and Stochastic Analysis'' (Львів - Козьова, 17-29 серпня 2006 року);

- міжнародній науковій конференції ``Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування'' (Ужгород 18-23 вересня 2006 року);

- наукових читаннях, присвячених пам'яті академіка Я.С. Підстригача (Львів, 29 травня 2007 року);

- міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 року);

- дванадцятій міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 15-17 травня 2008р);

- другій міжнародній науковій конференції ``Сучасні проблеми механіки і математики'' (Львів, 25-29 травня 2008 року);

- міжнародній конференції ``Аналіз і топологія'' (Львів, 26 травня - 7 червня 2008 року);

- четвертій всеукраїнській науковій конференції ``Нелінійні проблеми аналізу'' (Івано-Франківськ, 10-12 вересня 2008 року);

- конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (25-27 травня 2009 року);

- The International Conference "Infinite Dimensional Analysis and Topology" (Ukraine, Ivano-Frankivsk, May 27 - June 1, 2009);

- 7-ій літній школі ``Algebra, Topology and Analysis'' (Верховина, 5-16 липня 2010 року);

- міському семінарі з функціонального аналізу Львівського національного університету (керівники В.Е. Лянце і О.Г. Сторож, м. Львів);

- міському семінарі з теорії аналітичних фунції (керівники О.Б. Скасків, А.А. Кондратюк м. Львів);

- семінарах секції математики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів);

- семінарах відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 23 наукових працях, 5 з яких у фахових виданнях з переліку ВАК України (1-5), 8 у матеріалах міжнародних наукових математичних конференцій, 1 у матеріалах всеукраїнської наукової математичної конференції та 7 у матеріалах молодіжних наукових математичних конференцій; 1 у тезах літньої школи та 1 препринт.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається з переліку основних умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків, одного додатку та списку використаних джерел і викладена на 132 сторінках машинописного тексту. Один додаток займає 4 сторінки. Список літератури містить 107 найменувань і займає 13 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність тематики дисертації, показано зв'язок роботи з науковими темами відділу, в якому вона виконана, сформульовано мету і задачі дослідження, наведено основні результати дисертації, відзначено їх новизну, апробацію та практичне значення.

У першому розділі подано короткий огляд праць, які стосуються тематики дисертації.

У другому розділі доведено критерій апроксимації неперервних функцій на сепарабельних дійсних рівномірно опуклих банахових просторах із субсиметричним базисом.

Досліджено слабко поліноміальну топологію банахового простору в залежності від існування розділяючого полінома на цьому просторі і порівняно її зі слабкою та сильною топологіями.

Доведено теорему про поліноміальний автоморфізм для розділяючого полінома з додатньо визначеними однорідними компонентами.

Досліджено теоретико-множинні властивості розділяючих поліномів. Показано, що множина розділяючих поліномів утворює конус у просторі всіх поліномів.

Доведено теорему про композицію рівномірно аналітичної і розділяючої функції обмеженого типу з поліноміальним відображенням та показано її застосування.

Теорема 2.1 Нехай є рівномірно опуклим дійсним сепарабельним банаховим простором із субсиметричним базисом. Нехай є непорожньою відкритою підмножиною в Неперервні функції на апроксимуються аналітичними рівномірно на всьому тоді і лише тоді, коли простір є ізоморфним до для деякого

На сторінках 42-43 наведено приклад 2.2, який показує що існує банахів простір з безумовним, але не симетричним базисом, який допускає неоднорідний розділяючий поліном, однорідні компоненти якого не є розділяючими.

Теорема 2.2 Слабко поліноміальна топологія на дійсному просторі збігається з топологією норми тоді і тільки тоді, коли на існує розділяючий поліном.

Теорема 2.4 Якщо - поліноміальний автоморфізм (поліноміальне бієктивне відображення таке, що - поліном), - розділяючий поліном, всі однорідні компоненти якого додатньо визначені, то буде розділяючим поліномом.

Теорема 2.5 Нехай та банахові простори, є рівномірно аналітичною і розділяючою функцією обмеженого типу (тобто обмежена на обмежених множинах), - однорідне поліноміальне відображення, яке має наступну властивість:

(1)

Тоді композиція є рівномірно аналітичною і розділяючою функцією обмеженого типу.

Наслідок 2.4 Рівномірно неперервні функції апроксимуються аналітичними рівномірно на довільній відкритій підмножині простору з нормою вигляду

(2)

для парних або з -нормою вигляду

(3)

У третьому розділі отримано основні результати дисертаційної роботи. Зокрема, у цьому розділі розв'язано задачу про апроксимацію неперервних відображень у комплексному банаховому просторі. Також, отримано нові теореми про апроксимацію неперервних функцій на дійсних і комплексних просторах Фреше зі зліченною системою норм. Для цього було введено у розгляд -поліноми і -аналітичні функції та розглянуто їх основні властивості. Встановлено існування -поліномів, які не наближаються алгебраїчною оболонкою поліномів та комплексно спряжених до них функцій. Показано, що розділяючий -поліном у нескінченовимірному просторі не є апроксимовним. Доведено повноту простору однорідних -поліномів використовуючи техніку тензорних добутків.

Таким чином, отримано теореми про апроксимацію на випадок комплексних банахових просторів та для комплексних і для дійсних просторів Фреше зі зліченною системою норм.

У підрозділі 3.1 обговорено деякі питання комплексифікації, що природно виникають; деякі аспекти проблеми декомплексифікації та отримано допоміжні технічні результати.

У підрозділі 3.2 наводяться необхідні нам у подальшому означення та отримано кілька важливливих результатів, зокрема твердження 3.7.

Відображення з простору в будемо називати відображенням типу якщо є ненульовим -лінійним відносно і -антилінійним відносно

Означення 3.1 Відображення називається --лінійним, якщо подається у вигляді:

де - відображення типу приймає значення або але принаймні одне значення відмінне від нуля, та

У твердженні 3.4 на сторінці 65 показано, що для довільного -лінійного і -антилінійного відображення існує -лінійне відображення таке, що відповідність є ізометричним ізоморфізмом.

Означення 3.3 Відображення називається -однорідним -поліномом, якщо існує таке --лінійне відображення що для всіх У випадку, коли є тотожною константою в

Визначимо як нормований простір всіх неперервних -однорідних -поліномів з нормою супремум на одиничній кулі.

Означення 3.4 Відображення з в називається -поліномом степеня якщо де та

Визначимо як нормований простір всіх неперервних -поліномів на одиничній кулі з нормою супремум. Скорочено простір ми будемо позначати через

В дисертації у прикладі 3.4 на сторінці 68 показано, що існує -поліном, який не наближається об'єктами з алгебри поліномів і комплексно спряжених до поліномів функцій.

Означення 3.7 -Поліном називається розділяючим -поліномом, якщо:

Твердження 3.7 Розділяючий -поліном нескінченновимірного простору не є апроксимовним.

У підрозділі 3.3 та - комплексні банахові простори та за винятком означень 3.8 і 3.9 простір є сепарабельним.

Означення 3.8 Відображення називається -аналітичним, якщо для кожної точки існує такий окіл що

де є -однорідними неперервними -поліномами і ряд збігається рівномірно в околі за нормою простору

Теорема 3.2 Нехай на просторі існує розділяючий -поліном Тоді простір -аналітичних функцій з у всюди щільний у просторі неперервних функцій з в за нормою простору в тому сенсі, що для будь-якого і для будь-якого існує таке що

Наслідок 3.6 Нехай - неперервна функція, обмежена на кулі Тоді рівномірно наближається послідовністю обмежених на -аналітичних функцій, якщо на просторі існує розділяючий -поліном

Означення 3.9 Будемо казати, що функція вигляду для всіх де - -однорідні -поліноми, є рівномірно -аналітичною та розділяючою, якщо вона задовольняє наступні умови:

1. Існує таке число що ряд збігається рівномірно в кулі радіуса з центром у довільній точці

2. Існує таке що множина таких що є непорожньою і лежить у відкритій одиничній кулі

Теорема 3.3 Простір -аналітичних функцій з простору у простір є всюди щільним у просторі рівномірно неперервних функцій з в за нормою простору якщо на просторі існує розділяюча рівномірно -аналітична функція

У підрозділі 3.4 розглянуто апроксимацію на просторах Фреше та отримано такі основні результати:

Теорема 3.4 Нехай простір є сепарабельним комплексним простором Фреше зі зліченною системою норм а - банаховим простором. Нехай для довільного допускає розділяючий -поліном. Тоді кожна функція така, що існує таке що для довільної фундаментальної послідовності точок в послідовність є збіжною, наближається -аналітичними рівномірно на всьому

Теорема 3.6 Нехай простір є сепарабельним комплексним простором Фреше зі зліченною системою норм а - банаховим простором. Нехай для довільного допускає рівномірно -аналітичну та розділяючу функцію. Тоді кожна рівномірно неперервна функція наближається -аналітичними рівномірно на всьому якщо існує таке що є рівномірно неперервною на

У четвертому розділі досліджуються простори та алгебри функцій в області комплексного банахового простору, які є поповненням алгебри -поліномів відносно деякої (не рівномірної) норми. Зокрема, побудовано банахову алгебру на просторі над полем Доведено нескінченовимірний аналог теореми Вінера для даної алгебри. Досліджено множину максимальних ідеалів цієї алгебри.

Крім того, досліджено гільбертів простір функцій на полідиску гільбертового простору який збігається з поповненням підпростору поліномів скінченого типу відносно деякої природної гільбертової норми. Описано глобальну лінеаризацію підпростору аналітичних функцій у використовуючи -суми гільбертових тензорних добутків.

Використовуючи поповнення простору -поліномів у відповідній метриці в якості простору основних функцій, побудовано простір комплекснозначних узагальнених функцій на кубі дійсного гільбертового простору. Введено та досліджено основні операції над узагальненими функціями: множення на основну функцію та диференціювання.

Розглянемо всеможливі відображення вигляду:

(4)

де - мультиіндекс, у якому скінчена кількість координат відмінна від нуля, - цілі числа, а - уявна одиниця. При цьому та під позначенням розумітимемо дію елементу на елемент

Коефіцієнти взяті з простору тобто

(5)

Лема 4.1 Елементи вигляду (4), при умові (5) утворюють банахову алгебру, яку ми будемо позначати

У скінченновимірному випадку алгебра збігається з класичною алгеброю Вінера. Наступна теорема показує, що для алгебри виконується аналог теореми Вінера.

Теорема 4.1 Нехай Якщо для кожного тоді

Нехай - сепарабельний комплексний гільбертiв простiр з ортонормованим базисом i скалярним добутком Позначимо через пiдмножину в визначену наступним чином:



Позначимо

Позначимо через -тий тензорний степінь простору поповнений у нормi Гiльберта-Шмiдта.

Нехай

де - група підстановок на множині

Позначимо через -суму просторiв

Визначимо вiдображення наступним чином: для кожного покладемо

де - координати вектора

Теорема 4.3 Вiдображення є аналітичним відображенням з в

Розглянемо на простiр функцiй визначених таким чином:



Наслідок 4.2 Простiр є гiльбертовим простором аналiтичних функцiй на вiдносно норми

Наслідок 4.3 Якщо то збiгається з класичним простором Хардi на полiдиску

Наслідок 4.4 Простiр є замкненим пiдростором в

Теорема 4.6 Міра на є представляючою мірою характера на визначеного, як

Дійсні узагальнені функції від нескінченної кількості змінних зручно будувати використовуючи гільбертові поліноми для апроксимації простору основних функцій. Під комплексними узагальненими функціями (у скінченновимірному випадку) зазвичай розуміють лінійні неперервні функціонали на просторі комплекснозначних основних функцій від однієї або кількох дійсних змінних. Щоб отримати комплексний аналог узагальнених функцій від нескінченної кількості змінних необхідно мати аналог комплекснозначних гільбертових поліномів визначених на дійсному гільбертовому просторі. У підрозділі 4.3 побудовано такий аналог використовуючи -поліноми і показано приклад його використання для побудови узагальнених функцій. Використовуючи поповнення простору -поліномів у відповідній метриці, в якості простору основних функцій побудовано простір комплекснозначних узагальнених функцій на кубі дійсного гільбертового простору. Введено та досліджено основні операції над узагальненими функціями: множення на основну функцію та диференціювання.

Висновки

У дисертаційній роботі розв'язано задачу про апроксимацію неперервних відображень на комплексному банаховому просторі відображеннями, які, у певному сенсі, є близькими до аналітичних. З цією метою в дисертації введено поняття -полінома і -аналітичної функції та досліджено властивості цих об'єктів. Крім того, знайдено достатні умови для -аналітичної апроксимації неперервних функцій на просторі Фреше. Цей результат є новим і для дійсних просторів. Таким чином, узагальнено відповідні результати Я. Курцвейла та М. Буісо і П. Гаєка для випадку комплексних банахових просторів та просторів Фреше зі зліченою системою норм.

Існування розділяючого полінома або рівномірно аналітичної і розділяючої функції є важливою умовою у теоремах про рівномірну апроксимацію неперервних функцій у банахових просторах. У роботі досліджено властивості розділяючих поліномів і розділяючих рівномірно аналітичних функцій та умови їх існування. Також розглянуто слабко поліноміальну топологію банахового простору і порівняно її зі слабкою топологією та топологією норми.

Простори -поліномів можна поповнювати, також, відносно норм, які не є рівномірними. В роботі розглянуто природну норму та гільбертову норму. У першому випадку ми отримуємо нескінченновимірний аналог алгебри Вінера (функцій з абсолютно збіжним рядом Фур'є). Вдалось описати спектр (множину максимальних ідеалів) цієї алгебри і, як наслідок, довести аналог теореми Вінера про оборотність елементів у цій алгебрі. Поповнивши простір -поліномів скінченного типу у гільбертовій нормі, ми отримали -простір на полідиску гільбертового простору. У цих обидвох випадках досліджено, також, підпростори аналітичних функцій.

При побудові узагальнених функцій на нескінченновимірному просторі в літературі часто використовують у якості основного простору поповнення простору поліномів у деякій метриці. В дисертації розглянуто приклад побудови комплексного простору узагальнених функцій, використовуючи -поліноми для простору основних функцій. Досліджено властивості цих узагальнених функцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1 Загороднюк А. В. Аналітичні функції на одиничному диску гільбертового простору / А. В. Загороднюк, М. А. Митрофанов // Вісник Львів. ун-ту, серія мех.-мат. - 2004. - Вип. 63. - С. 80-87.

2 Митрофанов М. А. Аппроксимация непрерывных функций на комплексных банаховых пространствах / М. А. Митрофанов // Математические заметки - 2009. - Том 86 - Вып. 4. - С. 557-570.

3 Митрофанов М. А. Апроксимація неперервних функцій на дійсних банахових просторах / М. А. Митрофанов // Прикл. проблеми мех. і мат. - 2007. - Вип. 5. - С. 48-51.

4 Митрофанов М. А. Узагальнені функції на кубі гільбертового простору / М. А. Митрофанов // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, №2. - С. 73-77.

5 Mytrofanov M. A. Approximations of continuous functions on complex Banach spaces / M. A. Mytrofanov // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45, №1. - С. 76-81.

6 Митрофанов М. А. Апроксимація неперервних функцій на просторах Фреше / М. А. Митрофанов, О. В. Равський - Matharhive Електронний ресурс (http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1005/1005.1814v1.pdf) - 2010. - 9 с.

7 Загороднюк А. В. Аналітичні функції на одиничному диску гільбертового простору / А. В. Загороднюк, М. А. Митрофанов // 18-та відкрита наук.-техн. конфер. молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України. Тези доповідей. Львів, 8-10 жовтня 2003 р. - С. 274-275.

8 Загороднюк А. В. Простір Гарді аналітичних функцій на одиничному диску в гільбертовому просторі / А. В. Загороднюк , М. А. Митрофанов // Міжнар. наук. конф., присв. 125 річниці від дня народж. Г. Гана. Тези доповідей. Чернівці, 27 червня - 3 липня 2004 р. - С. 34-35.

9 Митрофанов М. А. Аналог теореми Вінера для деяких функції з / М. А. Митрофанов // Четверта Всеукраїнська наук. конф. ``Нелінійні проблеми аналізу''. Тези доповідей. Івано-Франківськ, 10-12 вересня 2008 р. - С. 68.

10 Митрофанов М. А. Апроксимація неперервних функцій на рівномірно опуклих банахових просторах / М. А. Митрофанов // Дванадцята міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. Київ, 15-17 травня 2008 р. - Том 1. С. 734.

11 Митрофанов М. А. Апроксимація рівномірно неперервних функцій в комплексних банахових просторах / М. А. Митрофанов // Міжнар. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей. Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р. - С. 192.

12 Митрофанов М. А. Властивості -поліномів на банахових просторах / М. А. Митрофанов // Друга міжнар. наук. конф. ``Сучасні проблеми механіки і математики''. Тези доповідей. Львів, 25-29 травня 2008 року - Том 3. - С. 76-77.

13 Митрофанов М. А. Деякі властивості рівномірно аналітичних і розділяючих функцій / М. А. Митрофанов // Конфер. молодих учених із суч. проблем мех. і матем. ім. акад. Я. С. Підстригача. Тези доповідей. Львів, 25-27 травня 2009 р. - С. 162-164.

14 Митрофанов М. А. Зв'язок між алгебрами -поліномів та поліномів на просторі / М. А. Митрофанов // Міжнар. конф. ``Аналіз і топологія''. Тези доповідей. Львів, 26 травня - 7 червня 2008 року - С. 90-91.

15 Митрофанов М. А. Квазіполіноми на комплексних банахових просторах / М. А. Митрофанов // 16-та відкрита наук.-техн. конфер. молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України. Матеріали конференції. Львів, 16-18 травня 2001 р. - С. 236-239.

16 Митрофанов М. А. Квазіполіноми та комплексний аналог теореми Куржвеля / М. А. Митрофанов // 19-та відкрита наук.-техн. конфер. молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України. Матеріали конференції. Львів, 21-23 вересня 2005 р. - С. 307-308.

17 Митрофанов М. А. Про деякі класи замкнених відносно операції комплексного спяження функції на банахових просторах / М. А. Митрофанов // Міжнар. наук. конф. ``Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування''. Тези доповідей. Ужгород, 18-23 вересня 2006 року - С. 73-74.

18 Митрофанов М. А. Узагальнені функції на одиничному диску гільбертового простору / М. А. Митрофанов // Конфер. молодих учених із суч. проблем мех. і матем. ім. акад. Я. С. Підстригача. Тези доповідей. Львів, 24-26 травня 2004 р. - С. 108-110.

19 Митрофанов М. А. Узагальнення теореми Куржвеля для комплексного випадку / М. А. Митрофанов // Конфер. молодих учених із суч. проблем мех. і матем. ім. акад. Я. С. Підстригача. Тези доповідей. Львів, 24-27 травня 2005 р. - С. 210-211.

20 Mytrofanov M. A. Analytic approximations on Banach spaces / M. A. Mytrofanov // Міжнародна конференція ``International conference on Funktional Analysis and its Applications. Dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach'' Львів, Україна, 28-31 травня 2002 року - С. 145.

21 Mytrofanov M. A. Approximations of continuous functions on Frйchet spaces / M. A. Mytrofanov A. V. Ravsky // 7-ма літня школа ``Алгебра, топологія і аналіз'' Тези доповідей Верховина, 5-16 липня 2010 року. - С. 27-28.

22 Mytrofanov M. A. Quasianalytic approximations in complex Banach spaces / M. A. Mytrofanov // 17-та відкрита наук.-техн. конфер. молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г. В. Карпенка НАН України. Матеріали конференції. Львів, 15-17 травня 2002 р. - С. 145-148.

23 Mytrofanov M. A. Wiener Algebras of infinite number of variables / M. A. Mytrofanov // The International Conference ``Infinite Dimensional Analysis and Topology''. Abstract. Ukraine, Ivano-Frankivsk, May 27 - June 1, 2009 - P. 106-107.

Анотація

Митрофанов М.А. Неперервні відображення на банахових просторах. Апроксимація та зв'язок з алгебрами аналітичних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, Івано-Франківськ, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню проблеми апроксимації неперервних відображень на банахових просторах та просторах Фреше в класі аналітичних відображень (для дійсних просторів) та -аналітичних (для комплексних просторів). Також у дисертації досліджено -аналітичні відображення на комплексних банахових просторах та розглянуто їх застосування у нескінченновимірному комплексному аналізі.

У дисертації встановлено умови апроксимації неперервних відображень -аналітичними відображеннями на сепарабельних комплексних банахових просторах та просторах Фреше; доведено аналог теореми Вінера у нескінчено-вимірному просторі; досліджено гільбертові простори (типу Харді) аналітичних і -аналітичних функцій на одиничному полідиску гільбертового простору; застосовано -поліноми для побудови і дослідження комплексних узагальнених функцій на гільбертовому кубі.

Ключові слова: аналітичні функції на банаховому просторі, поліноми на банаховому просторі, апроксимація неперервних відображень на банаховому просторі, слабко поліноміальна топологія.

Анотация

Митрофанов М.А. Непрерывные отображения на банаховых пространствах. Аппроксимация и связь с алгебрами аналитических функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Прикарпатский национальный университет имени Василя Стефаника Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины, Ивано-Франковск, 2010.

В диссертации найден критерий существования аппроксимации непрерывных функций на сепарабельных действительных равномерно выпуклых банаховых пространствах с субсиметрическим базисом. Приведен пример разделяющего полинома, с неразделяющими однородными компонентами. Найдена связь между слабой полиномиальной топологией банахового пространства и существованием разделяющего полинома на данном пространстве. Исследованы условия существования и новые свойства разделяющих полиномов и разделяющих равномерно аналитических функций (доказано сохранение разделяющего полинома при полиномиальном автоморфизме исследованы некоторые теоретико-множественные свойства пространства разделяющих полиномов; доказано сохранение равномерно аналитических функций при несжимающем линейном отображении).

В диссертации решена задача об аппроксимации непрерывных отображений на комплексном банаховом пространстве отображениями, которые в определенном смысле являются близкими к аналитическим. Для этого в диссертации введены понятия -полинома, -аналитической функции, исследованы свойства этих объектов и рассмотрено их применение в бесконечномерном комплексном анализе. Показана нетривиальность этих объектов по отношению к полиномам и комплексно сопряженным к полиномам функциям. Также найдены достаточные условия для -аналитической аппроксимации непрерывных функций на пространствах Фреше. Показано, что разделяющий -полином в бесконечномерном пространстве не является аппроксимируемым. Доказана полнота пространства однородных -полиномов используя технику тензорных произведений.

В работе рассмотрены пополнения пространства -полиномов относительно естественной нормы и гильбертовой нормы. В первом случае мы получим бесконечномерный аналог алгебры Винера (функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье). Удалось описать спектр (множество максимальных идеалов) этой алгебры и, как следствие, доказать аналог теоремы Винера об обратимости элементов в этой алгебре. Пополнив пространство -полиномов конечного типа в гильбертовой норме, мы получили -пространство на полидиске гильбертового пространства. В обоих этих случаях исследованы, также, подпространства аналитических функций.

В диссертации рассмотрен пример построения комплексного пространства обобщенных функций используя -полиномы для пространства основных функций на гильбертовом кубе. Исследованы свойства таких обобщенных функций. В частности, показано, что построенные обобщенные функции обладают естественными свойствами (бесконечной дифференцируемости, замкнутости относительно умножения на бесконечно дифференцируемою функцию).

Ключевые слова: аналитические функции на банаховом пространстве, полиномы на банаховом пространстве, аппроксимация непрерывных отображений на банаховом пространстве, слабая полиномиальная топология.

Abstract

Mytrofanov M.A. Continuous mappings on Banach spaces. Approximations and relations to algebras of analytic functions. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Vasyl Stefanyk Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, 2010.

The thesis is devoted to investigation of the problem of approximation of continuous mappings on Banach and Frйchet spaces by analytic mappings for real spaces and -analytic mappings for complex spaces. Also, -analytic mappings on complex spaces are investigated in the thesis and applied in infinite dimensional complex analysis.

The following results are obtained in the thesis: it is established conditions of approximation of continuous maps by -analytic mappings on separable Banach and Frйchet spaces; an analogue of the Wiener theorem for infinite dimensional spaces is proved; Hardy-type Hilbert spaces of analytic and -analytic functions on a polydisk of the Hilbert space are investigated; some applications of -polynomials for construction and investigation of complex generalized functions are proposed.

Key words: analytic functions on Banach spaces, polynomials on Banach spaces, approximation of continuous mappings on Banach spaces, the weak-polynomial topology.

Размещено на Allbest.ru

...