Нерівності типу Колмогорова для функцій однієї змінної та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

АВТОРЕФЕРАТ

НЕРІВНОСТІ ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор БАБЕНКО Владислав Федорович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, завідувач кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор ВАКАРЧУК Сергій Борисович, Дніпропетровський університет економіки та права, проректор з науково-педагогічної роботи та удосконалення системи якості освіти, професор кафедри економічної кібернетики та математичних методів в економіці.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник РОМАНЮК Анатолій Сергійович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу теорії функцій.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий "3" вересня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вакарчук М. Б.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Нерівності, що оцінюють норму проміжної похідної функції через норму самої функції та норму її похідної вищого порядку, називаються нерівностями типу Колмогорова та відіграють важливу роль у багатьох галузях математики, серед яких теорія наближення, функціональний аналіз, диференціальні рівняння, теореми вкладення, некоректно поставлені задачі, тощо. Особливо цікавими є непокращувані нерівності такого роду, оскільки вони мають найбільш важливі застосування.

Вивчення задачі про нерівності для похідних функцій однієї змінної з різними областями визначення (вісь, напіввісь, одиничне коло, відрізок) розпочалося в роботах А. Кнезера, Ж. Адамара, Г.Г. Харді та Дж.І. Літлвуда, Е. Ландау. Пізніше, дослідженням цієї задачі займалися багато відомих математиків. Один з найбільш важливих та яскравих результатів в цьому напрямку належить А.М. Колмогорову.

Для функцій, заданих на осі або напівосі, точні нерівності типу Колмогорова були отримані в роботах Г.Г. Харді, Дж.І. Літлвуда і Г. Поліа, Б. Надя, І.М. Стейна, Ю.І. Любіча, С.Б. Стєчкіна, М.П. Купцова, В.М. Тихомирова, Л.В. Тайкова, В.М. Габушина, А.П. Маторіна, І.Дж. Шонберга, А. Каварети, В.В. Арестова, Г.Г. Магаріл-Ільяєва, А.П. Буслаєва та інших.

Для функцій, заданих на одиничному колі, важливі нерівності для похідних були отримані А.О. Лігуном, В.Ф. Бабенком, В.О. Кофановим, С.О. Пічуговим, О.Ю. Шадріним, а для функцій, заданих на відрізку, - С. Карліном, А. Пінкусом, А.І. Звягінцевим, М. Сато, В.І. Бурєнковим, О.Ю. Шадріним, Б. Бояновим, Н. Найденовим.

На напівосі та відрізку, окрім класичних ситуацій, досліджувалися також функції, які задовольняють певним обмеженням, наприклад, невід'ємність деякої кількості похідних, наявність певних крайових умов, тощо. Дослідження нерівностей типу Колмогорова в цьому напрямку, крім вищезгаданих математиків, проводили В.М. Олов'янішніков, А.М. Фінк, М.К. Квонг, А. Зетл, Ю.М. Суботін, М.І. Черних, Ю.В. Бабенко, та інші.

З задачею знаходження непокращуваних нерівностей типу Колмогорова тісно пов'язана задача про існування функції з заданими нормами похідних. Постановка цієї задачі та перші результати її розв'язку належать А.М. Колмогорову. В цьому напрямку працювали також А.М. Родов, В.М. Олов'янішніков, В.К. Дзядик, В.А. Дубовик, М.К. Квонг, А. Зетл, В.Ф. Бабенко, Ю.Є. Бритвін, Ю.В. Бабенко, В.І. Бурєнков, В.А. Гусаков.

Незважаючи на те, що в кожному з зазначених напрямків отримана велика кількість важливих результатів, широке коло питань, які мають як теоретичний, так і практичний інтерес, залишається відкритим. Так, відкритим є питання про непокращувані нерівності для похідних кратно монотонних та абсолютно монотонних функцій, заданих на відрізку. Нерівності типу Колмогорова для похідних кратно монотонних на напівосі функцій відомі лише для рівномірної норми похідної вищого порядку. Важливою є також задача про знаходження точних нерівностей для дробових похідних абсолютно монотонних на напівосі функцій.

Що стосується задачі Колмогорова про існування функції з заданими нормами похідних, то тут відсутні досить загальні необхідні та достатні умови. Більше того, її розв'язки відомі тільки в ряді конкретних ситуацій. З огляду на сказане вище, тема дисертації є актуальною.

Зв'язок роботи з програмами, планами, темами. Робота виконувалась згідно з загальним планом досліджень кафедри математичного аналізу Дніпропетровського національного університету, згідно з держбюджетними темами №1-147-07 "Оптимізація методів відновлення математичних об'єктів за неповною інформацією" (НДР 0107U000523) та №1-221-10 "Оптимальне відновлення операторів на класах функцій однієї та багатьох змінних" (НДР 0110U001282).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження непокращуваних нерівностей для похідних функцій зі спеціальних функціональних класів, розв'язок задачі про наближення необмежених операторів лінійними операторами, обмеженими на цих функціональних класах, а також розв'язок задачі Колмогорова про існування елемента нормованого простору з заданими нормами його самого та його образів при двох фіксованих лінійних відображеннях.

Об'єктом дослідження є лінійні оператори і, зокрема, диференціальні оператори, що діють на лінійних нормованих просторах, спеціальні функціональні класи, серед яких класи кратно монотонних та абсолютно монотонних функцій, заданих на напівосі та на відрізку, клас .

Предметом дослідження є непокращувані константи в нерівностях типу Колмогорова для функцій з названих класів та модулі неперервності операторів диференціювання на них; лінійні оператори, обмежені на названих класах функцій, які є операторами найкращого наближення для операторів диференціювання; необхідні та достатні умови, яким задовольняють три задані додатні числа, що забезпечують існування елемента нормованого простору, норма якого та норми його образів при двох фіксованих лінійних відображеннях є заданими числами.

Задачами дослідження є отримання непокращуваних нерівностей для похідних на названих класах функцій; розв'язок задачі про знаходження величини найкращого наближення операторів диференціювання лінійними операторами, обмеженими на названих класах функцій; знаходження необхідних та достатніх умов в задачі Колмогорова для трьох чисел.

Методи дослідження. В роботі використовуються загальні методи розв'язування екстремальних задач теорії наближення, методи доведення нерівностей типу Колмогорова, методи оцінювання найкращого наближення необмежених операторів лінійними обмеженими операторами, а також загальні факти функціонального аналізу, теорії функцій та теорії векторних полів на площині.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими і полягають в наступному:

1. знайдено нові непокращувані мультиплікативні нерівності для похідних кратно монотонних на напівосі функцій та для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля абсолютно монотонних на напівосі функцій, а також функцій з класу ;

2. для деяких значень параметрів, що означають розглядувані класи, розв'язана задача про найкраще наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання лінійними операторами, обмеженими на названих функціональних класах;

3. знайдено модуль неперервності оператора диференціювання на класі абсолютно монотонних на відрізку функцій, а також знайдені точні адитивні нерівності для похідних функцій з названого класу;

4. на основі одержаних нерівностей розв'язана задача Колмогорова для трьох чисел на класах кратно монотонних та абсолютно монотонних на напівосі функцій, на класі функцій , а також на класі абсолютно монотонних на відрізку функцій;

5. показано, що узагальнена задача Колмогорова про існування елемента нормованого простору, для якого норма його самого та норми його образів при двох фіксованих лінійних відображеннях є заданими числами, в певному сенсі еквівалентна встановленню абстрактних версій точних нерівностей типу Колмогорова для цих відображень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати дисертації можна використати для вивчення властивостей операторів диференціювання на спеціальних класах функцій, заданих на напівосі та на відрізку, розв'язку задачі Колмогорова про існування функції, норми похідних якої є заданими числами, а також для наближеного обчислення похідних функцій з деяких спеціальних функціональних класів.

Отримані результати представляють самостійний науковий інтерес і можуть бути використані для подальших досліджень з теорії наближення, які проводяться у Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Донецькому, Львівському, Одеському національних університетах.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку досліджень і постановки всіх задач, розглядуваних у дисертації, належать науковому керівникові професору В.Ф. Бабенку.

Результати, викладені у підрозділах 2.5, 2.6, 2.7, 3.1, 3.2, 3.4 та 3.5 отримані здобувачем одноосібно.

Для результатів, викладених у підрозділах 2.2, 2.3 та 2.4 ідея доведення належить професору В.Ф. Бабенку. Докладні доведення належать здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані у дисертації, були представлені на конференціях:

- Міжнародній науковій конференції "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, Росія, 2005 р.);

- 13-й Саратовській зимовій школі "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, Росія, 2006 р.);

- Міждержавній науково-методичній конференції "Проблеми математичного моделювання" (Дніпродзержинськ, 2006 р.);

- Українському математичному конгресі, присвяченому 100-річчю М.М. Боголюбова (Київ, 2009 р.);

- Міжнародній конференції "Теория приближений и ее приложения" (Дніпропетровськ, 2010 р.);

- підсумкових конференціях кафедри математичного аналізу ДНУ 2006-2009 рр.;

та наукових семінарах з математичного аналізу та теорії функції:

- на механіко-математичному факультеті Дніпропетровського національного університета імені Олеся Гончара (лютий та травень 2010 р., керівники - член-кор. НАН України, проф. В.П. Моторний, проф. В.Ф. Бабенко);

- на механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (червень 2010 р., керівник - проф. І.О. Шевчук).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в наукових роботах [1-4] і тезах доповідей наукових конференцій [5-9].

Структура і обсяг роботи. Дисертація загальним обсягом 149 сторінок машинописного тексту складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів основної частини, висновків і списку використаних джерел, який містить 108 найменувань. Кожний з її розділів розбитий на підрозділи, що нумеруються в межах розділу. Нумерація лем та теорем здійснюється у межах розділів, причому леми та теореми нумеруються незалежно.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено об'єкт та предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні досліджень, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх практичне значення, подано інформацію про апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи.

Перший розділ дисертаційної роботи присвячено постановкам основних задач дослідження та короткому огляду відомих результатів їх вирішення.

Другий розділ присвячено дослідженню задачі про знаходження непокращуваних констант в мультиплікативних нерівностях типу Колмогорова на класах кратно монотонних і абсолютно монотонних на напівосі функцій, а також на класі . Також, в цьому розділі вивчається задача про знаходження величини найкращого наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля лінійними операторами, обмеженими на названих класах функцій.

В першому підрозділі наводяться означення розглядуваних функціональних класів, їх відомі інтегральні зображення, а також дається означення операторів дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля. Оператором , , дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля називається оператор, що діє за правилом:

де - ціла частина числа . Через , та , позначимо клас функцій , для яких , існує дробова похідна , та .

В підрозділі 2.2 вивчається задача про непокращувані нерівності для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля абсолютно монотонних на напівосі функцій. Через позначимо множину дійснозначних невід'ємних функцій, заданих на напівосі , які мають невід'ємні похідні всіх цілих порядків. Основним результатом цього підрозділу є наступна

Теорема 2.2.1. Нехай числа та є такими, що

.

Тоді для довільної функції має місце непокращувана нерівність

.(1)

Нерівність (1) обертається в рівність для функцій , та .

Підрозділ 2.3 присвячено отриманню нерівностей типу Колмогорова для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля функцій з класу . Через позначимо множину всіх функцій , які можна аналітично продовжити на комплексну площину з розрізом вздовж осі додатних чисел так, що для всіх , .

Для та через позначимо клас функцій , для яких існують дробові похідні та , причому , а . Основним результатом даного підрозділу є наступна

Теорема 2.3.1. Нехай числа та задовольняють умови:

,

.

Тоді, для довільної функції виконується непокращувана нерівність

, (2)

де , та

.

Нерівність (2) обертається в рівність для функцій , та .

В підрозділі 2.4 вивчається питання про існування нерівностей типу Колмогорова для абсолютно монотонних на напівосі функцій, коли замість похідних розглядаються результати застосування операторів, які є композиціями різницевих операторів та операторів дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля.

В підрозділі 2.5 знайдено непокращувані нерівності для похідних кратно монотонних на напівосі функцій. Для через позначимо множину всіх дійснозначних невід'ємних функцій, заданих на напівосі , які є неспадними на разом з своїми похідними до порядку включно.

Теорема 2.4.1. Нехай , , та . Тоді для довільної функції має місце непокращувана нерівність

,

де .

Підрозділ 2.6 присвячено обговоренню задачі Стєчкіна про найкраще наближення необмеженого оператора лінійними обмеженими операторами. Для та позначимо

.

Нехай також , , - множина лінійних операторів , норма яких не перевищує числа . В даному підрозділі отримано наступне твердження.

Теорема 2.6.1. Для кожного має місце рівність

Нехай , а , , - множина лінійних операторів , для яких для всіх . В підрозділі 2.7 сформульовано та обговорено аналог задачі Стєчкіна - задачу про найкраще наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля множиною операторів . Поставлена задача розв'язана на класах кратно монотонних і абсолютно монотонних на напівосі функцій, а також на класі при певних додаткових співвідношеннях між параметрами, що означають розглядувані класи.

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню задачі Колмогорова про існування функції, норми проміжних похідних якої є заданими числами. Даний розділ складається з п'яти підрозділів.

В першому підрозділі розв'язується задача Колмогорова про існування функції зі спеціальних класів функцій, заданих на напівосі, норми якої та її двох похідних є заданими числами. Зокрема, отримано наступний результат.

Теорема 3.1.1. Нехай параметри та задовольняють умови теореми 2.2.1, та

.

Тоді для трьох додатних чисел , та існує , для якої

,

тоді і тільки тоді, коли

.

Аналогічні результати отримано також для класу кратно монотонних на функцій та класу .

В підрозділі 3.2 знайдено модуль неперервності оператора диференціювання порядку , , на класі абсолютно монотонних на відрізку функцій, а також розв'язана задача Колмогорова для трьох чисел на цьому ж функціональному класі. Класом називається множина всіх неперервних на відрізку дійснозначних функцій, які мають невід'ємні на похідні всіх цілих порядків. Доведено наступні твердження.

Теорема 3.2.2. Нехай , , та . Тоді для кожного існує функція , для якої виконується рівність

причому , , а параметри , , і однозначно обираються з умов: та .

Теорема 3.2.3. Нехай , , та . Тоді для трьох додатних чисел , та існує абсолютно монотонна на функція , для якої

,

в тому і лише тому випадку, коли

.

Подальша частина третього розділу присвячена дослідженню абстрактної задачі Колмогорова для трьох чисел. Нехай , , - нормовані простори, , - лінійні оператори з областями визначення та відповідно, причому . Нехай також - довільний опуклий конус. Для будь-якого модуль неперервності оператора відносно оператора задається рівністю

.

Також, для довільного за означенням покладемо

.

Підрозділ 3.3 носить допоміжний характер та складається з двох підпунктів. В першому підпункті вводяться означення деяких характеристик оператора відносно оператора , зокрема, величини та , обговорюються їх властивості та співвідношення між ними. В другому підпункті наводяться означення та властивості неперервних полів та їх обертань на межах областей.

В підрозділі 3.4 доводяться наступні твердження.

Теорема 3.4.1. Нехай та - лінійні оператори з областями визначення та відповідно, ; - деякий опуклий конус. Нехай також та . Тоді для довільних , , існує такий елемент , що

.(3)

Для зручності, введемо наступне допоміжне позначення:

Теорема 3.4.2. Нехай та - лінійні оператори з областями визначення та відповідно, ; - деякий опуклий конус. Нехай також оператори та є такими, що , , функція є необмеженою на , та . Припустимо, що для довільних елемента та числа існують елементи , для яких:

1) ;

2) ;

3) .

Тоді для довільних додатних чисел , , існує , для якого виконуються рівності (3).

Ці твердження показують, що задача Колмогорова для трьох чисел, за умови виконання певних обмежень на нормовані простори , , та лінійні оператори , , зводиться до обчислення величини та до вирішення питання, для яких значень досягається точна нижня межа в означенні величини .

В підрозділі 3.5 отримано деякі наслідки з теорем 3.4.1 та 3.4.2 для операторів диференціювання, дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля та операторів домноження на числові функції в просторах функцій, означених на осі, напівосі та відрізку.

Висновки

В дисертаційній роботі досліджуються задача про знаходження непокращуваних констант в нерівностях типу Колмогорова для похідних функцій, що належать спеціальним класам, задача про найкраще наближення операторів диференціювання лінійними операторами, обмеженими на спеціальних класах функцій, та задача про існування функції з заданими нормами похідних. Головні наукові результати роботи викладено в таких пунктах. нерівність необмежений оператор задача

1. Знайдено нові непокращувані нерівності для похідних кратно монотонних на напівосі функцій та для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля абсолютно монотонних на напівосі функцій та функцій з класу .

2. Розв'язана задача про найкраще наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля лінійними операторами, обмеженими на класах кратно монотонних і абсолютно монотонних на напівосі функцій, а також на класі .

3. Знайдено модуль неперервності оператора диференціювання на класі абсолютно монотонних на відрізку функцій.

4. Знайдено необхідні та достатні умови в задачі Колмогорова про існування функції з вказаних вище функціональних класів, норми якої та її двох похідних є заданими числами.

5. Показано, що узагальнена задача Колмогорова про існування елемента нормованого простору, для якого норма його самого та норми його образів при двох фіксованих лінійних відображеннях є заданими числами, в певному сенсі еквівалентна встановленню непокращуваних нерівностей типу Колмогорова для цих відображень.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові професору Владиславу Федоровичу Бабенку за корисні поради та увагу і інтерес, який він приділив даній роботі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бабенко В.Ф. Неравенства типа Колмогорова для норм разностей абсолютно монотонных функций / В.Ф. Бабенко, Д.С. Скороходов // Вісник Дніпропетровського ун-ту, серія Математика. 2006. № 11. С. 1420.

2. Babenko V. Inequalities of Kolmogorov type for absolutely monotone functions defined on a half-line / V. Babenko, D. Skorokhodov // East Journ. on Approx. 2007. V. 13, № 2. P. 185198.

3. Бабенко В.Ф. О наилучших несимметричных приближениях классов функций, задаваемых дифференциальными операторами, обобщенными сплайнами / В.Ф. Бабенко, Д.С. Скороходов // Укр. матем. журн. 2007. - Т. 59, № 10. С. 12991312.

4. Скороходов Д.С. О задаче Ландау-Колмогорова на отрезке для абсолютно монотонных функций / Д.С. Скороходов // Вісник Дніпропетровського ун-ту, серія Математика. 2009. № 14. С. 120128.

5. Бабенко В.Ф. Неравенства типа Колмогорова для некоторых классов функций, заданных на полуоси / В.Ф. Бабенко, Д.С. Скороходов // Современные проблемы математики, механики, информатики : международная научная конференция, 22-26 ноября 2005 г. : тезисы докладов. - Тула, Россия, 2005. - С. 37-38.

6. Бабенко В.Ф. О задаче Колмогорова для некоторых специальных классов функций, заданных на полуоси / В.Ф. Бабенко, Д.С. Скороходов // Современные проблемы теории функций и их приложения : 13-я Саратовская зимняя школа, 27 января - 3 февраля 2006 г. : тезисы докладов. - Саратов, Россия, 2006. С. 2122.

7. Бабенко В.Ф. О некоторых неравенствах типа Колмогорова для норм разностей абсолютно-монотонных функций / В.Ф. Бабенко, Д.С. Скороходов // Проблеми математичного моделювання : міждержавна науково-методична конференція, 24-26 травня 2006 р. : тези допов. Дніпродзержинськ. - 2006. С. 1112.

8. Скороходов Д.С. О задаче Ландау-Колмогорова для классов абсолютно монотонных на отрезке функций / Д.С. Скороходов // Український математичний конгрес 2009 : міжнар. конф., 27-29 серп. 2009 р. : тези допов. - Київ. - [Електронний ресурс] - http://www.imath.kiev.ua/~congress2009.

9. Бабенко В.Ф. Задача Колмогорова для трех чисел в нормированных пространствах / В.Ф. Бабенко, С.А. Пичугов, Д.С. Скороходов // Теория приближений и ее приложения : міжнар. конф., 14-17 червня 2010 р. : тези допов. - Дніпропетровськ. - 2010. - С. 16.

Скороходов Д.С. Нерівності типу Колмогорова для функцій однієї змінної та їх застосування. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2010.

Робота присвячена дослідженню задачі про знаходження непокращуваних нерівностей для похідних, задачі про найкраще наближення необмежених операторів лінійними обмеженими операторами та задачі про існування функції, норми похідних якої є заданими числами.

Знайдено непокращувані константи в нерівностях для похідних кратно монотонних на напівосі функцій у випадку -норми старшої похідної. Також знайдені точні мультиплікативні нерівності для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля абсолютно монотонних на напівосі функцій та функцій з класу . В деяких випадках знайдено величину найкращого наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля лінійними операторами, обмеженими на названих функціональних класах.

За деяких обмежень на параметри, що визначають розглядувані класи, знайдено модуль неперервності оператора диференціювання на класі абсолютно монотонних на скінченному відрізку функцій.

Розв'язана задача Колмогорова для трьох чисел про існування функції, що належить одному з розглянутих вище функціональних класів, норми якої та її двох похідних є заданими числами.

Скороходов Д.С. Неравенства типа Колмогорова для функций одной переменной и их применения. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, Днепропетровск, 2010.

Работа посвящена исследованию задачи про нахождение неулучшаемых неравенств для производных, задачи о наилучшем приближении неограниченных операторов линейными ограниченными и задачи про существование функции, нормы производных которой являются заданными числами.

Найдены неулучшаемые постоянные в неравенствах для производных кратно монотонных на полуоси функций в случае -нормы старшей производной. Ранее, в работах В.М. Оловянишникова, В.Ф. Бабенко и Ю.В. Бабенко, Ю.Н. Субботина и Н.И. Черныха точные неравенства для кратно монотонных на полуоси функций изучались для - и -норм старшей производной. Также, найдены точные мультипликативные неравенства типа Колмогорова для дробных производных в смысле Римана-Лиувилля абсолютно монотонных на полуоси функий и функций из класса . Ранее, в работах А.М. Финка, В.Ф. Бабенко и Ю.В. Бабенко аналогичные неравенства были получены для операторов дифференцирования целых порядков.

В некоторых ситуациях вычислена величина наилучшего приближения операторов дифференцирования и дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля линейными операторами, ограниченными на указанных функциональных классах. Установлено, что полученные величины отличаются от величин наилучшего приближения операторов дифференцирования линейными ограниченными операторами.

При выполнении некоторых соотношений между параметрами, определяющими рассматриваемые классы, найден модуль непрерывности оператора дифференцирования на классе абсолютно монотонных на конечном отрезке функций. Дополнительно получены неулучшаемые аддитивные неравенства для производных абсолютно монотонных на отрезке функций.

Используя полученные неравенства, решена задача Колмогорова для трёх чисел на классах кратно монотонных и абсолютно монотонных на полуоси функций, на классе функций , а также на классе абсолютно монотонных на отрезке функций. Показано, що обобщенная задача Колмогорова о существовании элемента нормированного пространства, для которого норма его самого и нормы его образов при двух фиксированных линейных отображениях являются заданными числами, в некотором смысле эквивалентна установлению неулучшаемых неравенств типа Колмогорова для этих отображений.

Skorokhodov D.S. Inequalities of Kolmogorov type for functions in one variable and their applications. Manuscript.

Thesis for the candidate degree in Physical and Mathematical Sciences on speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Dnepropetrovsk National University named after Oles Honchar, Dnepropetrovsk, 2010.

The thesis concerns the study of the problem of finding the best possible constants in the inequalities for derivatives, the problem of the best approximation of unbounded operators by linear bounded ones, and the problem of existence of a function with given norms of derivatives.

We determine the best possible constants in inequalities for derivatives of functions, which are multiply monotone on a negative half-line. In addition, we provide the sharp multiplicative inequalities for the Riemann-Liouville fractional derivatives of functions, which are absolutely monotone on a negative half-line or belong to the class . In certain cases we find the quantity of the best approximation of differential operator and the Riemann-Liouville fractional differential operator by linear operators which are bounded on aforementioned classes.

The modulus of continuity of differential operator on the class of functions which are absolutely monotonic on a finite interval is also found.

We solve the Kolmogorov problem on existence of a function from aforementioned classes which satisfies the following property: the norm of the function itself and the norms of its two derivatives are given positive numbers.

Размещено на Allbest.ru

...