Періодична задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь нескінченного порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

Періодична задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь нескінченного порядку

Мироник Вадим Ілліч

Чернівці - 2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Городецький Василь Васильович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича завідувач кафедри алгебри та інформатики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Іванчов Микола Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь;

доктор фізико-математичних наук, професор Конет Іван Михайлович, Кам'янець-Подільський національний університет Імені Івана Огієнка, професор кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

Анотація

коші псевдодиференціальний згортка

Мироник В.І. Періодична задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь нескінченного порядку. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Чернівецький нацiональний унiверситет iменi Юрія Федьковича, Чернівці, 2009.

Дисертація присвячена розвитку теорії періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку та двоточкової задачі для еволюційних рівняння з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку з початковими та крайовими даними, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів та розподілів. Знайдено умови, за яких вказані оператори визначені і є неперервними у відповідних просторах основних функцій. Дається зображення розв'язків, досліджується структура та властивості фундаментальних розв'язків.

Ключові слова: еволюційне рівняння, періодична задача Коші, двоточкова задача, псевдодиференціальний оператор, псевдо-Бесселевий оператор, узагальнена функція.

Abstract

Myronyk V.I. The periodic Cauchy problem and two-points problem for evolutional equations of the infinite order. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.02 - differential equations. Yurii Fed'kovych Ghernivtsi National University, Chernivtsi, 2009.

The thesis is devoted to the development of the periodic Cauchy problem for evolutional equations with pseudo-differential operators of the infinite order and two-points problem for evolutional equations with pseudo-Bessel operators of the infinite order with initial and boundary conditions which are the generalized functions of distribution type and ultra-distribution type. We obtain the conditions under which these operators are defined and continuous in the spaces of basic functions. The representation of solutions is given. The properties of fundamental solutions are investigated.

Key words: evolutional equation, periodic Cauchy problem, two-points problem, pseudo-differential operator, pseudo-Bessel operator, generalized function.

Аннотация

Мироник В.И. Периодическая задача Коши и двухточечная задача для эволюционных уравнений бесконечного порядка. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02- дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2009.

Диссертация посвящена развитию теории периодической задачи Коши для эволюционных уравнений с псевдодифференциальными операторами бесконечного порядка и двухточечной задачи для эволюционных уравнений с псевдо-Бесселевыми операторами бесконечного порядка с начальными и граничными данными, являющимися обобщенными функциями типа ультрараспределений и распределений. В работе найдены необходимые и достаточные условия, характеризирующие клас аналитических периодических функций, который содержит известный клас Жевре ультрадиференцируемых функций. Установлен критерий выполнения свойства локализации для сверток обобщенных периодических функций из пространства с основными. Введено и обосновано понятие "аналитический периодический функционал равен нулю на открытом множестве". Найдены условия на функцию , при выполнении которых в пространстве определен и непрерывен оператор , где - псевдодиференциальный оператор. Установлена корректная разрешимость периодической задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором с начальными условиями из пространства обобщенных функций ; доказано свойство локализации решения периодической задачи Коши для вышеуказанного уравнения с оператором дробного дифференцирования бесконечного порядка. Исследована структура и свойства фундаментального решения двухточечной задачи для эволюционного уравнения с псевдо-Бесселевым оператором бесконечного порядка, установлена корректная разрешимость этой задачи в случае, когда граничная функция - обобщенная функция типа распределений.

Ключевые слова: эволюционное уравнение, периодическая задача Коши, двухточечная задача, псевдодиференциальный оператор, псевдо-Бесселевый оператор, обобщенная функция.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачі математичної фізики, які описують коливання різних систем (наприклад, дослідження поздовжних коливань стержнів, вібрації кораблів, розрахунок стійкості валів, що обертаються, опис електромагнітних хвиль у прямокутних хвилеводах та ін.) призводять до вивчення періодичних розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Розв'язання таких задач вимагає використання різних класів гладких періодичних функцій, а також узагальнених періодичних функцій (розподілів, ультрарозподілів, гіперфункцій тощо). Усі ці класи вкладаються в простір формальних тригонометричних рядів і, як показано В.І. Горбачук та М.Л. Горбачуком, повністю описуються поведінкою коефіцієнтів Фур'є своїх елементів. Простори нескінченно диференційовних періодичних функцій будуються за допомогою накладання певних обмежень на оцінки похідних таких функцій. Ці умови задаються за допомогою нерівностей , де сталі залежать лише від функції , - деяка послідовність додатних чисел. У залежності від умов, які накладаються на послідовність , отримуємо ті чи інші простори основних періодичних функцій, які позначатимемо символом . Загальна теорія таких просторів, а також просторів , топологічно спряжених до них, розвинена в працях В.І. Горбачук та М.Л. Горбачука. Прикладами послідовностей є послідовності Жевре , Відповідні простори основних та узагальнених періодичних функцій позначаються символами та .

На теперішній час залишаються невирішеними наступні питання: 1) обгрунтування поняття ''аналітичний періодичний функціонал дорівнює нулеві на відкритій множині'' у випадку, коли клас основних функцій є квазіаналітичним; у цьому випадку складається з аналітичних періодичних функцій і класичне означення рівності нулю узагальненої функції на відкритій множині місця не має (тут і надалі під аналітичною періодичною функцією розумітимемо нескінченно диференційовну на функцію, яка допускає продовження в комплексну площину ); 2) характеристика загальних класів періодичних функцій, для яких виконується аналог принципу локалізації Рімана для класичних тригонометричних рядів. Щодо першого питання, то І.Г. Ізвєкову вдалося обгрунтувати відповідне поняття у випадку, коли , використовуючи аналітичне зображення гіперфункції - лінійного неперервного функціоналу над простором аналітичних періодичних функцій . Відповідь на друге питання у частковому випадку , також отримав І.Г. Ізвєков; ним знайдено необхідні й достатні умови, які повинна задовольняти сім'я основних функцій з простору , щоб згортка при , рівномірно на ( - компакт, - відкрита множина) для довільної узагальненої функції , яка дорівнює нулеві на . Отже, розв'язання вказаних проблем у випадку загальних класів періодичних функцій представляє науковий інтерес і є актуальним.

У працях В.І. Горбачук, М.Л. Горбачука, В.В. Городецького, Я.М. Дріня, В.А. Літовченка та ін. знайдено загальний вигляд гладких розв'язків еволюційних рівнянь

(1)

де - псевдодиференціальний оператор (зокрема, оператор Поста та оператор дробового диференціювання Вейля), - поліном змінної при фіксованому , розвинено теорію граничних значень таких розв'язків у просторах типу ультрарозподілів Жевре , встановлено коректну розв'язність задачі Коші для вказаних рівнянь з початковими функціями з таких просторів, доведено, що простори типу ультрарозподілів Жевре є максимальними просторами початкових даних задачі Коші, при яких розв'язки є елементами відповідного основного простору при кожному . Отже, природним є питання про одержання аналогічних результатів для більш широких класів еволюційних рівнянь, а саме для рівнянь вигляду

(2)

де - ціла функція, що задовольняє певні умови, - псевдодиференціальний оператор, який діє у просторі періодичних функцій .

Еволюційні рівняння вигляду (1) з оператором , де - однорідний негладкий у точці символ, - пряме та обернене перетворення Бесселя, є природним узагальненням сингулярних параболічних рівнянь з оператором Бесселя (-параболічні рівняння), який вироджується за просторовою змінною, оскільки оператор Бесселя , , можна визначити за допомогою співвідношення , де -- елемент простору, в якому визначене перетворення Бесселя. Оператор надалі називатимемо псевдо-Бесселевим оператором.

Класична теорія задачі Коші для сингулярних параболічних рівнянь побудована в працях М.І. Матійчука, В.В. Крехівського, С.Д. Івасишена, В.П. Лавренчука, І.І. Веренич та ін. Задача Коші для - параболічних рівнянь у класах розподілів та у класах ультрарозподілів типу та вивчалась Я.І. Житомирським, В.В. Городецьким, І.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В. Мартинюк, В.А. Літовченком та ін. В.В. Городецьким та О.М. Ленюком встановлено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором у класі початкових даних, які є узагальненими функціями типу розподілів. Задача Коші для рівняння вигляду (2) з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку з початковими функціями з просторів типу розподілів досліджена Н.М. Шевчук. Двоточкова задача для еволюційного рівняння , де - псевдо-Бесселевий оператор, досліджена В.В. Городецьким та О.М. Ленюком; при цьому встановлено коректну розв'язність задачі в класі крайових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів, знайдено зображення розв'язку двоточкової задачі у вигляді згортки фундаментального розв'язку з граничною функцією. Для еволюційного рівняння (2) з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку багатоточкова задача не вивчена. Отже, актуальним є питання дослідження такої задачі для рівняння (2) у класах узагальнених крайових даних. Дисертаційна робота присвячена розв'язанню вказаних вище питань.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи ''Дослідження коректності крайових задач для рівнянь параболічного та еліптичного типу і їх застосування'' (номер держреєстрації 0108U001434) кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розвиток теорії періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь вигляду (2) з псевдодиференціальним оператором нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями з просторів типу ; дослідження двоточкової задачі для рівняння (2) з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку в класах узагальнених функцій типу розподілів; одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для рівномірно параболічних та -параболічних рівнянь у класах узагальнених функцій типу розподілів та ультрарозподілів.

Безпосередніми завданнями дослідження є:

- встановлення необхідних і достатніх умов виконання властивості локалізації для згорток узагальнених періодичних функцій з простору з основними, введення і обгрунтування поняття локальної рівності аналітичних періодичних функціоналів з простору (зокрема, з класів ультрарозподілів Жевре , де );

- відшукання умов на функцію , за яких у відповідних просторах основних функцій визначений і є неперервним оператор , де - псевдодиференціальний оператор або псевдо-Бесселевий оператор;

- знаходження формул, що зображують гладкі розв'язки еволюційного рівняння (2) з псевдодиференціальним оператором нескінченного порядку та характеристика множин початкових значень цих розв'язків; встановлення коректної розв'язності періодичної задачі Коші для таких рівнянь з початковими даними з просторів періодичних узагальнених функцій типу ;

- встановлення коректної розв'язності двоточкової задачі для еволюційного рівняння вигляду (2) з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку з крайовими функціями, які є узагальненими функціями типу розподілів.

Об'єкт дослідження: еволюційні рівняння з псевдодиференціальними та псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку.

Предмет дослідження: періодична задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку та двоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку в класах узагальнених функцій типу ультрарозподілів та розподілів.

Методи дослідження: методи теорії рівномірно параболічних та -параболічних рівнянь, теорії формальних тригонометричних рядів та теорії узагальнених функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі основні результати:

- знайдено необхідні й достатні умови, які характеризують клас аналітичних періодичних функцій, що містить відомі класи Жевре , , ультрадиференційовних функцій; доведено теорему про регуляризацію у просторі узагальнених періодичних функцій функцій, які мають у точці 0 неінтегровну особливість експоненціального порядку;

- встановлено критерій виконання властивості локалізації для згорток узагальнених періодичних функцій з простору з основними;

- введене і обгрунтоване поняття ''аналітичний періодичний функціонал дорівнює нулеві на відкритій множині'', зокрема, ''ультрарозподіл Жевре , дорівнює нулеві на відкритій множині'' (до цього таке поняття було обгрунтоване для гіперфункції );

- знайдено: а) умови на функцію , за яких у просторі визначений і є неперервним оператор , де - псевдодиференціальний оператор; б) зображення гладких розв'язків рівняння (2) з таким оператором; встановлено існування граничних значень гладких розв'язків при у просторах узагальнених періодичних функцій типу ;

- встановлено коректну розв'язність періодичної задачі Коші для рівняння (2) з псевдодиференціальним оператором нескінченного порядку з початковими умовами з простору узагальнених функцій ; доведено властивість локалізації розв'язку періодичної задачі Коші для рівняння (2) з оператором дробового диференціювання нескінченного порядку;

- обгрунтовано зображення псевдо-Бесселевого оператора нескінченного порядку , у вигляді , де - однорідна негладка в точці функція;

- досліджена структура та властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачі для рівняння (2) з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку, встановлено коректну розв'язність цієї задачі у випадку, коли гранична функція є узагальненою функцією типу розподілів.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення і можуть знайти застосування у теорії параболічних псевдодиференціальних рівнянь, сингулярних параболічних рівнянь, теорії формальних тригонометричних рядів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях [1, 2, 5, 8, 9] В.В. Городецькому належить постановка задач і аналіз отриманих здобувачем результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідались на: XI Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006 р.); Міжнародній науковій конференції ''Диференціальні рівняння та їх застосування'' (Чернівці, 2006 р.); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.); XII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2008 р.); IV всеукраїнській науковій конференції ''Нелінійні проблеми аналізу'' (Івано-Франківськ, 2008 р.); наукових семінарах факультету прикладної математики та кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2008-2009 рр.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 9 працях, з них 1 - у науковому журналі, 3 - у збірниках наукових праць і 5 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України від 9.06.1999 р.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 111 найменувань. Повний обсяг роботи становить 147 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Городецькому В.В. за постановку задач, конструктивні поради і цікаві ідеї.

2. Зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми дослідження, ставляться мета і завдання дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковою темою кафедри, де вона виконувалася, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення і апробація.

У першому розділі зроблено огляд праць, в яких досліджуються питання, пов'язані з теорією формальних тригонометричних рядів та їх застосуваннями; наведено основні результати, одержані на теперішній час стосовно задачі Коші та крайових задач для сингулярних параболічних рівнянь; дається також огляд праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацією, результати яких поширюються на загальніші об'єкти.

Перейдемо до викладу матеріалу другого розділу. У підрозділі 2.1, який складається з чотирьох пунктів, розглядаються простори основних та узагальнених періодичних функцій, дається характеристика одного класу аналітичних періодичних функцій, досліджуються властивості згортки періодичних ультрарозподілів. Тут ми обмежуємось випадком, коли основні функції визначені на .

У п.п. 2.1.1, 2.1.2 підрозділу 2.1 наведено означення основних класів нескінченно диференційовних періодичних на функцій та просторів, топологічно спряжених до них, які вкладаються у простір формальних тригонометричних рядів (рядів Фур'є). Такі ряди ототожнюються із узагальненими -періодичними функціями як лінійними неперервними функціоналами, заданими на просторі тригонометричних поліномів.

Символом позначимо сукупність всіх -періодичних і нескінченно диференційовних на функцій , які задовольняють умову: існують сталі (залежні, можливо, лише від ) такі, що Елементи простору називаються ультрадиференційовними функціями класу . є повним локально опуклим простором, замкненим відносно операцій диференціювання, множення функцій та згортки, які є неперервними в .

Символом позначатимемо простір всіх лінійних неперервних функціоналів на зі слабкою збіжністю. Елементи цього простору називаються періодичними ультрарозподілами класу (нагадаємо, що елементи простору називаються гіперфункціями або аналітичними періодичними функціоналами).

Виявляється, що елементами відповідного класу є цілі періодичні функції, які, як функції комплексної змінної, задовольняють певну умову. Точніше, правильним є наступне твердження.

Теорема 2.1. Нескінченно диференційовна -періодична функція належить до класу тоді і лише тоді, коли вона аналітично продовжується в комплексну площину до цілої функції , , і це продовження задовольняє умову: існують сталі (залежні, можливо, лише від ) такі, що

Лема 2.2. Для довільних та згортка є елементом простору .

У підрозділі 2.2, який складається з чотирьох пунктів, досліджується властивість локалізації згорток узагальнених періодичних функцій та обгрунтовується поняття ''аналітичний періодичний функціонал з класу дорівнює нулеві на відкритій множині''.

У п.п. 2.2.1 та 2.2.2 розглядається клас періодичних функцій у припущенні, що послідовність , крім умов 1)-4), задовольняє ще умову неквазіаналітичності . У цьому випадку містить фінітні функції, тобто, у даній ситуації можна говорити про локальну рівність ультрарозподілів класу .

Із результатів отриманих І.Г. Ізвєковим у випадку довільного локально опуклого лінійного топологічного простору числових функцій, замкненого відносно операцій зсуву та дзеркального відбиття, який містить фінітні функції, випливає, що якщо сім'я основних функцій така, що

(3)

у просторі для довільного мультиплікатора з носієм, який не містить точку 0, то ця сім'я належить до класу . У п. 2.2.2 доведено, що умова (3) у просторі допускає формулювання, не залежне від мультиплікаторів і ця умова є не лише достатньою, але і необхідною для належності сім'ї основних функцій до класу .

За умови неквазіаналітичності класу неквазіаналітичним є також і клас . Наявність фінітних функцій у просторі дозволяє зупинитись на важливому у теорії узагальнених функцій питанні про регуляризацію періодичних локально інтегровних на функцій, які мають у точці неінтегровну особливість. Правильним є наступне твердження.

Теорема 2.3. Нехай - - періодична на функція, яка на відрізку задовольняє нерівність ,

Означення 2.2. Узагальнена функція дорівнює нулеві на , якщо існує продовження функціоналу на , яке дорівнює нулеві на . Узагальнені функції збігаються на інтервалі , якщо їхня різниця дорівнює нулеві на цій множині.

Теорема 2.5. Якщо , де - неквазіаналітичний клас функцій, то на за означенням 2.1 тоді і лише тоді, коли на за означенням 2.2.

У підрозділі 2.3 розвивається теорія періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку. Описуються множини початкових значень гладких розв'язків таких рівнянь, встановлюється властивість локалізації розв'язків еволюційних рівнянь з оператором дробового диференціювання нескінченного порядку. Основним засобом досліджень є методи теорії формальних рядів Фур'є. Підрозділ складається з трьох пунктів.

У п. 2.3.1 будуються псевдодиференціальні оператори нескінченного порядку, що діють у просторах періодичних функцій. Знайдено умови, за яких вказані оператори є неперервними у просторі .

Нехай - неперервна парна функція, - нескінченно диференційовна додатна на функція, та - оператори, що діють у просторі лінійних неперервних функціоналів (-періодичних узагальнених функцій), заданих на просторі тригонометричних поліномів і які ототожнюються зі своїми формальними рядами Фур'є:

(тут - коефіцієнти Фур'є узагальненої функції , символ позначає дію функціоналу на основну функцію). Нехай - звуження оператора на простір .

За певних умов на функцію оператор буде неперервним у просторі (вважаємо, що послідовність задовольняє умови 1)-5)). Для того, щоб сформулювати відповідне твердження, розглянемо елемент з простору , побудований за функцією :

Теорема 2.8. Якщо , то оператор неперервний у просторі .

Зауважимо, що умова еквівалентна такій умові на функцію :

У п. 2.3.2 описуються множини початкових значень гладких розв'язків еволюційних рівнянь з оператором , встановлюється коректна розв'язність задачі Коші для таких рівнянь з початковими даними, які є узагальненими періодичними функціями з простору .

Розглянемо функцію

Лема 2.6. Функція володіє наступними властивостями: a) при кожному ; б) , як абстрактна функція параметра із значеннями у просторі , диференційовна по ; в) при у просторі (тут - дельта-функція Дірака).

Розглянемо еволюційне рівняння

(4)

де - оператор, побудований за функцією , який діє у просторі . Під розв'язком рівняння (4) розуміємо функцію , яка задовольняє рівняння (4).

Теорема 2.9. Для довільного функція

(5)

є розв'язком рівняння (4).

Наслідок 2.2. Граничне значення при існує в просторі , тобто

Задача Коші для рівняння (4) полягає у відшуканні розв'язку цього рівняння, який задовольняє початкову умову , де границя береться у просторі .

Теорема 2.10. Задача Коші для рівняння (4) коректно розв'язна (у вказаному розумінні) у просторі початкових даних . Її розв'язок зображається формулою (5).

У п. 2.3.3 досліджується властивість локалізації розв'язку задачі Коші для рівняння (4) з оператором дробового диференціювання нескінченного порядку, побудованого за функціями та .

Оскільки розв'язок задачі Коші для рівняння (4) подається у вигляді згортки , то властивість локалізації для вказаної згортки зводиться до властивості локалізації розв'язку задачі Коші , яка полягає в тому, що якщо початкова умова - узагальнена функція - на деякому інтервалі збігається з неперервною функцією , то при рівномірно на довільному відрізку . Властивість локалізації розв'язку задачі Коші для рівняння (4) є вірною у випадку, коли початкова умова - гіперфункція (тобто ).

Теорема 2.11. Якщо -періодична гіперфункція дорівнює нулеві на інтервалі , то розв'язок задачі Коші для рівняння (4) з початковою умовою збігається до нуля при рівномірно на довільному відрізку .

Як наслідок з теореми 2.11 дістаємо наступне твердження: нехай -неквазіаналітичний клас функцій, i на інтервалі збігається з неперервною -періодичною функцією ; тоді розв'язок задачі Коші для рівняння (4) з початковою умовою збігається до при рівномірно на довільному відрізку .

У розділі 3, який складається з трьох підрозділів, досліджуються властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачі для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку. Встановлюється коректна розв'язність двоточкової задачі в класі крайових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів.

Підрозділи 3.1 та 3.2 мають допоміжний характер. У підрозділі 3.1 наведено означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів основних функцій та перетворення Бесселя.

Нехай -- фіксоване число з множини , - фіксоване число з множини , , , , . Символом позначатимемо простір, елементами якого, за означенням, є нескінченно диференційовні на функції .У вводиться структура зліченно-нормованого простору, при цьому є повним досконалим простором. У просторі визначені і неперервні операції зсуву аргументу та диференціювання.

Символом позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору . Цей простір називатимемо основним, а його елементи - основними функціями. На функціях з простору визначене перетворення Бесселя , при цьому - парна, обмежена, неперервна на і нескінченно диференційовна на функція; у функції , , , існують скінченні односторонні границі , функція , , , у точці має усувний розрив; перетворення Бесселя взаємнооднозначно і неперервно відображає на простір .

У підрозділі 3.2 розглядається простір узагальнених функцій та перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору .

Символом позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.

Оскільки в просторі визначена операція узагальненого зсуву аргументу , то згортку узагальненої функції з основною функцією задамо формулою , при цьому є нескінченно диференційовною на функцією. Якщо i , , то функціонал називається згортувачем у просторі .

Перетворення Бесселя узагальненої функції визначається за допомогою співвідношення при цьому . Якщо узагальнена функція - згортувач у просторі , то для довільної функції правильною є формула .

Основні результати, що стосуються двоточкової задачі, наведені у підрозділі 3.3, в якому вивчаються властивості оператора , , , побудованого за функцією , , де - псевдо-Бесселевий оператор із символом , встановлюється коректна розв'язність двоточкової задачі для еволюційного рівняння

(6)

з крайовою умовою з простору ( -- сукупність усіх узагальнених функцій з простору , які є згортувачами у просторі ; при цьому, попередньо досліджуються структура та властивості фундаментального розв'язку такої задачі. Властивості оператора (псевдо-Бесселевого оператора нескінченного порядку) визначаються властивостями перетворення Бесселя (прямого та оберненого), а також властивостями функцій та . Припускаємо, що - неперервна, парна на функція, однорідна порядку , яка: 1) нескінченно диференційовна при ; 2) похідні функції задовольняють умову причому 3) існують сталі такі, що . Щодо обмежень, які накладаються на функцію , то вважаємо, що функція допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину і задовольняє умови.

Для рівняння (6) задамо крайову умову

(7)

де - фіксовані параметри, .

Основний результат підрозділу 3.3 (а також і розділу 3) складає наступне твердження.

Теорема 3.1. Задача (6), (7) коректно розв'язна (у вказаному вище розумінні) в класі узагальнених функцій . Розв'язок подається у вигляді згортки

де - ФРДЗ рівняння (6).

Висновки

Дисертація присвячена розвитку теорії періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку та двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку з початковими і крайовими даними, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів та розподілів; такі рівняння є природними узагальненнями рівномірно параболічних та сингулярних параболічних рівнянь.

У дисертаційній роботі вперше одержано такі результати:

* знайдено необхідні й достатні умови, які характеризують клас аналітичних періодичних функцій, що містить відомі класи Жевре ультрадиференційовних функцій; доведено теорему про регуляризацію у просторі узагальнених періодичних функцій функцій, які мають у точці 0 неінтегровну особливість експоненціального порядку;

* встановлено критерій виконання властивості локалізації для згорток узагальнених періодичних функцій з простору з основними; введене й обгрунтоване поняття ''аналітичний періодичний функціонал дорівнює нулеві на відкритій множині'', зокрема, ''ультрарозподіл Жевре дорівнює нулеві на відкритій множині'' (до цього таке поняття було обгрунтоване для гіперфункції);

* знайдено: а) умови на функцію , за яких у просторі основних функцій визначений і є неперервним оператор , де - псевдодиференціальний оператор; б) зображення гладких розв'язків еволюційних рівнянь з таким оператором;

* встановлено: а) існування граничних значень гладких розв'язків при у просторах узагальнених періодичних функцій типу ; б) коректну розв'язність періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальним оператором нескінченного порядку в класі початкових умов, які є узагальненими функціями з простору ; доведено властивість локалізації розв'язку періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором дробового диференціювання нескінченного порядку;

* обгрунтовано зображення псевдо-Бесселевого оператора нескінченного порядку , у вигляді , де - однорідна негладка в точці функція, - ціла функція, що задовольняє певні умови;

* досліджено структуру та властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачі для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку; встановлено коректну розв'язність цієї задачі у випадку, коли гранична функція є узагальненою функцією типу розподілів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Городецький В.В. Двоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами /Василь Васильович Городецький, Вадим Ілліч Мироник// Доп. НАН України. - 2008. - № 6. - С. 7-13.

2. Мироник В.І. Нульові множини одного класу аналітичних функціоналів /Вадим Ілліч Мироник, Василь Васильович Городецький// Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. праць. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 80-89.

3. Мироник В.І. Періодична задача Коші для одного класу еволюційних рівнянь /В.І. Мироник//Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. праць. Вип. 314-315. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 134-142.

4. Мироник В.І. Властивість локалізації розв'язків задачі Коші одного класу псевдодиференціальних рівнянь / Вадим Ілліч Мироник, Руслана Степанівна Колісник // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. праць. Вип. 336-337. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С.125-132.

5. Мироник В.І. Нульові множини аналітичних періодичних функціоналів/Вадим Ілліч Мироник, Василь Васильович Городецький // Матеріали XI Міжнародної конф. ім. акад. М. Кравчука (13-15 травня 2006 р., м. Київ). - К.: НТУУ "КПІ". - 2006. - С. 520.

6. Мироник В.І. Псевдодиференціальні рівняння у просторах періодичних функцій / В.І. Мироник// Тези доповідей міжнародної конф. "Диференціальні рівняння та їх застосування". - Чернівці: Рута, 2006. - С. 107.

7. Мироник В.І. Про локальну рівність аналітичних функціоналів / В.І. Мироник// Тези доповідей міжнародної математичної конф. ім. В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня 2007 р., м. Дрогобич). - Львів: Національний університет "Львівська політехніка", 2007. - С. 191.

8. Мироник В.І. Двоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами / Вадим Ілліч Мироник, Василь Васильович Городецький// Матеріали XIІ Міжнародної конф. ім. акад. М. Кравчука (15-17 травня 2008 р., м. Київ), Т. 1. - К.: НТУУ "КПІ". - 2008. - С. 274.

9. Городецький В.В. Двоточкова задача для одного класу еволюційних сингулярних рівнянь/Василь Васильович Городецький, Вадим Ілліч Мироник//Тези доповідей IV всеукр. наук. конф. "Нелінійні проблеми аналізу" (10-12 вересня 2008 р., м. Івано-Франківськ). - Івано-Франківськ: Плай, 2008. - С. 23.

Размещено на Allbest.ru

...