Групи гомеоморфізмів канторових просторів

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.01.06 -- алгебра і теорія чисел

УДК 512.54

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ГРУПИ ГОМЕОМОРФІЗМІВ КАНТОРОВИХ ПРОСТОРІВ

Лавренюк Ярослав Васильович

Київ 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант:

доктор фіз.-мат. наук, професор, СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович, Сілезький Технічний Університет, професор звичайний Інституту Математики.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор АРТЕМОВИЧ Орест Дем'янович, Прикарпатський національний університет ім. Василя Стефаника, професор кафедри алгебри та геометрії;

доктор фіз.-мат. наук, професор, член-кореспондент НАН України САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу;

доктор фіз.-мат. наук, професор СКІБА Олександр Миколайович, Гомельський державний університет ім. Франціска Скорини, професор кафедри алгебри і геометрії.

Захист відбудеться 19.10. 2009 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 у Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: Київ , вул. Глушкова 2, корп.7.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Автореферат розісланий 17.09. 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фіз.-мат. наук ПЛАХОТНИК В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

локальний ізометрія канторовий

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена вивченню груп гомеоморфізмів канторових просторів. Група всіх гомеоморфізмів канторового простору є великою в сенсі А.М.Вершика. Вона містить групи ізометрій просторів цілих -адичних чисел для довільного натурального і кожна зліченна резидуально-скінченна група ізоморфна деякій її підгрупі. Серед окремих прикладів підгруп цієї групи відзначимо такі, як група ГригорчукаГригорчук, Р. И. К пpоблеме Беpнсайда о пеpиодических гpуппах / Р. И. Григорчук // Функциональный анализ и пpиложения. "-- 1980. "-- T. 14, n. 1. "-- C. 53-54. та група ТомпсонаCannon, J. W. Introductory notes on Richard Thompson groups / J. W. Cannon, W. I. Floyd, W. R. Parry // L'Enseignement Mathematique. "-- 1996. "-- Vol. 42, no. 2. "-- Pp. 215-256.. Великий клас локально скінченних груп також зображається гомеоморфізмами канторових просторів -- так званими “фінітарними” гомеоморфізмами. Зазначимо, що автоморфізми кореневого дерева задаються гомеоморфізмами границі цього дерева, яка в свою чергу є класичним прикладом канторового простору. Добуток групи ізометрій та групи “фінітарних” гомеоморфізмів канторового простору визначає групу локальних ізометрій -- природний і важливий об'єкт досліджень.

Групам ізометрій кореневого дерева протягом останніх двадцяти років було присвячено багато робіт різних авторів (див. оглядові роботи Григорчук, Р. И. Автоматы, динамические системы и группы / Р. И. Григорчук, В. В. Некрашевич, В. И. Сущанский // Труды мат. института им. Стеклова. "-- 2000. "-- T. 231. "-- C. 134-214.

Bartholdi, L. Branch groups / L. Bartholdi, R. I. Grigorchuk, Z. Љuni? // Handbook of Algebra, Vol. 3. "-- Amsterdam: North-Holland, 2003. "-- Pp. 989-1112. та списки цитованої літератури в них). Тут виділяють такі класи груп: групи гіллястого типу, самоподібні групи, групи скінченно-станових перетворень.

До класу груп гіллястого типу відносяться гіллясті та слабо гіллясті групи. Клас слабо гіллястих груп був виділений наприкінці 90-х років минулого сторіччя, як природне узагальнення класу гіллястих груп. Гіллясті групи було означено у 1997 році Р.Григорчуком. Важливість цих класів груп підтверджується тим, що багато цікавих і в певному сенсі “екстремальних” груп є (слабо) гіллястими (див. Grigorchuk, R. I. On a torsion-free weakly branch group defined by a three state automaton / R. I. Grigorchuk, A. Їuk // Internat. J. Algebra Comput. "-- 2002. "-- Vol. 12, no. 1. "-- Pp. 223-246.).

Підгрупова структура груп гіллястого типу схожа на структуру самого дерева. Тому природно постає питання (його поставив професор Р. І. Григорчук) про “жорсткість” автоморфізмів таких груп: чи типовою для слабо гіллястих груп є ситуація, коли всі автоморфізми групи індукуються ізометріями відповідного сферично однорідного кореневого дерева?

Автором дисертації та В.Некрашевичем у класі слабо гіллястих груп був виділений підклас насичених слабо гіллястих груп, для якого була дана позитивна відповідь на питання Григорчука. Цей клас досить широкий і містить, зокрема відомі групи Григорчука та Гупта-Сідкі, і групу всіх ізометрій та групу скінченно-станових автоморфізмів сферично однорідного кореневого дерева, групи ітерованих монодромій квадратичних поліномів, тощоNekrashevych, V. Iterated monodromy groups of quadratic polynomials, / V. Nekrashevych, L. Bartholdi // Groups, Geometry, and Dynamics. "-- 2008. "-- Vol. 2, no. 3. "-- Pp. 309-336.

Nekrashevych, V. Self-similar groups / V. Nekrashevych. "-- Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005. "-- Vol. 117 of Mathematical Surveys and Monographs. "-- xi+231 pp..

Згодом певна модифікація результату про “жорсткість” слабо гіллястих груп знайшла важливе застосування у голоморфній динаміці, а саме, у теорії груп ітерованих монодромій розробленій В.Некрашевичем.

Групи ізометрій кореневих дерев мають властивість універсальності щодо занурень в тому сенсі, що кожна зліченна резидуально скінченна група або проскінченна група зліченної ваги ізоморфно занурюється в групу ізометрій певного кореневого дереваСущанский, В. И. Универсальные относительно вложений проконечные группы счетного веса / В. И. Сущанский // Зап. Научн. Сем. Ленинград. Отдел. Мат. Инст. Стеклов. (ЛОМИ). "-- 1989. "-- T. 175. "-- C. 113-120.. У зв'язку із цим виникає проблема побудови занурень відомих груп у якийсь із класів груп, що діють ізометріями чи гомеоморфізмами на канторових просторахCannon, J. W. Introductory notes on Richard Thompson groups / J. W. Cannon, W. I. Floyd, W. R. Parry // L'Enseignement Mathematique. "-- 1996. "-- Vol. 42, no. 2. "-- Pp. 215-256.. Зокрема, тут ми відзначимо роботи про можливість занурення різних груп та групових конструкцій у групи скінченно-станових перетворень однорідного кореневого дерева Brunner, A. M. The generation of by finite state automata / A. M. Brunner, S. N. Sidki // Internat. J. Algebra Comput. "-- 1998. "-- Vol. 8, no. 1. "-- Pp. 127-139.

Brunner, A. M. Wreath operations in the group of automorphisms of the binary tree / A. M. Brunner, S. N. Sidki // J. Algebra. "-- 2002. "-- Vol. 257. "-- Pp. 51-64...

Останнім часом багато робіт, які присвячено різним групам гомеоморфізмів канторових просторів, або пов'язаних з ними об'єктів, виконанно на погранччі різних розділів математики, таких як теорія груп, динамічні системи Giordano, T. Full groups of Cantor minimal systems / T. Giordano, I. F. Putnam, C. F. Skau // Israel J. Math. "-- 1999. "-- Vol. 111. "-- Pp. 285-320., операторні алгебри Nekrashevych, V. V. Cuntz-Pimsner algebras of group actions / V. V. Nekrashevych // Journal of Operator Theory. "-- 2004. "-- Vol. 52, no. 2. "-- Pp. 223-249. ергодична теоріяBezuglyi, S. The Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor set. / S. Bezuglyi, A. Dooley, K. Medynets // Proc. Am. Math. Soc. "-- 2005. "-- Vol. 133, no. 10. "-- Pp. 2957-2964., теорія ймовірностейBartholdi, L. Amenability via random walks. / L. Bartholdi, B. Virбg // Duke Math. J. "-- 2005. "-- Vol. 130, no. 1. "-- Pp. 39-56. та інших. В цих роботах, як правило, використовуються не тільки методи теорії груп, а й методи з відповідних розділів математики. Так, зокрема, в розглянутій автором теорії груп локальних ізометрій границь кореневих дерев використовуються динамічні та ергодичні методи. Групи локальних ізометрій границь кореневих дерев природно виникають при вивченні однорідних симетричних та знакозмінних груп -- нефінітарних локально скінченних груп, які виникають в деяких розділах комбінаторики нескінченних множин і природно виникають при класифікації простих локально скінченних груп. Зазначимо, що поняття локальної ізометрії є природним узагальненням поняття ієрархоморфізму дереваNeretin, Y. A. Groups of hierarchomorphisms of trees and related Hilbert spaces / Y. A. Neretin // J. Funct. Anal. "-- 2003. "-- Vol. 200, no. 2. "-- Pp. 505-535. при переході до границь сферично однорідних дерев.

З 80-х років ХХ століття класифікація скінченних простих груп вважається закінченою, хоча повного доведення класифікаційної теореми досі не опубліковано Aschbacher, M. The status of the classification of the finite simple groups. / M. Aschbacher // Notices Am. Math. Soc. "-- 2004. "-- Vol. 51, no. 7. "-- Pp. 736-740.. З цього часу зусилля багатьох математиків були направлені на вирішення питання класифікації простих груп у класі, що є найближчим до класу скінченних груп, а саме, у класі зліченних локально скінченних груп. А тому в останні десятиліття однією з центральних задач теорії локально скінченних груп є проблема класифікації простих локально скінченних груп. В середині дев'яностих років завдяки зусиллям цілої когорти математиків вдалося класифікувати фінітарні прості локально скінченні групиHall, J. I. Locally finite simple groups of finitary linear transformations / J. I. Hall // Finite and locally finite groups (Istanbul, 1994). "-- Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1995. "-- Vol. 471 of NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. "-- Pp. 147-188.. Подальший прогрес в дослідженні проблеми класифікації пов'язаний з роботами У.Майерфранкенфельда та С.ДелкруаMeierfrankenfeld, U. Non-finitary locally finite simple groups / U. Meierfrankenfeld // Finite and Locally Finite Groups / Ed. by B. H. et al. "-- Kluwer Academic, Dordrecht, 1995. "-- Pp. 189-212. Delcroix, S. Locally finite simple groups of -type / S. Delcroix, U. Meierfrankenfeld // J. Algebra. "-- 2002. "-- Vol. 247, no. 2. "-- Pp. 728-746., в яких, зокрема встановлено, що кожна проста локально скінченна група належить до одного з чотирьох класів, які попарно не перетинаються. Один з них утворюють фінітарні групи, теорія яких є нині достатньо розвинутою. Три інші, значно менш досліджені класи, визначаються за властивостями так званих кегелівських покриттів локально скінченних груп. Це групи 1-типу, -типу ( -- довільне просте число) та -типу. Класичним прикладом нефінітарної простої локально скінченної групи може слугувати універсальна група Холла, яка є групою -типу.

Важливим класом груп 1-типу є індуктивні границі прямих добутків скінченних знакозмінних груп з блочно-діагональними зануреннями (які називаються LDA-групами, див. Leinen, F. Some results concerning simple locally finite groups of 1-type / F. Leinen, O. Puglisi // Journal of Algebra. "-- 2005. "-- Vol. 287. "-- Pp. 32-51.). Клас груп 1-типу не вичерпується LDA-групами, але всі групи 1-типу в певному сенсі схожі на LDA-групи (див.). Хоча клас LDA-груп формально визначений Ф.Лейненом та О.Пуглісі у 2002 вLeinen, F. Ideals in group algebras of simple locally finite groups of 1-type / F. Leinen, O. Puglisi // Pacific J. of Math. "-- 2002. "-- Vol. 207, no. 2. "-- Pp. 433-445., але результати про такі групи з'явилися вже у 1997 у роботі Б.Хартлі та О.Є.Залєського Hartley, B. Confined subgroups of simple locally finite groups and ideal of their group rings / B. Hartley, A. Zalesskii // J. Lond. Math. Soc. "-- 1997. "-- Vol. 55, no. 1. "-- Pp. 210-230.. А в іншій роботі О.Є.Залєського Залесский, А. Е. Групповые кольца индуктивных пределов знакопеременных групп / А. Е. Залесский // Алгебра и анализ. "-- 1990. "-- T. 2, n. 6. "-- C. 132-149. задача класифікації LA-груп (індуктивних границь скінченних знакозмінних груп з діагональними зануреннями -- підкласу в класі LDA-груп) оцінювалася як дуже важка.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводилися на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського Національного Університету імені Тараса Шевченка, в межах виконання п'ятирічних тем <<Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування>> (номер державної реєстрації 0197U003160) та <<Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження>> (номер державної реєстрації 0106U005862). Частково дисертаційні дослідження виконувалася в рамках науково-дослідної теми <<Матричні задачі, групи та напівгрупи матриць>> (номер державної реєстрації 0107U003258).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є побудова теорії груп локальних ізометрій канторових просторів та її застосування до класифікації локально скінченних груп 1-типу.

Об'єктом дослідження є локальні ізометрії канторових просторів, групи локальних ізометрій, локально скінченні групи, слабо гіллясті групи.

Предметом дослідження є властивості, будова та класифікація груп локальних ізометрій границь кореневих дерев, жорсткість слабо гіллястих груп, класифікаційні питання теорії простих нефінітарних локально скінченних груп.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи геометричної та комбінаторної теорії груп, теорії груп підстановок та теорії локально скінченних груп, ергодичної теорії та теорії операторних алгебр.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації автором отримано наступні нові результати.

1. Доведено, що група автоморфізмів насиченої слабо гіллястої групи ізоморфна нормалізатору цієї групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева. Зокрема, це справедливо для груп Григорчука, Гупта-Сідкі, Бранера-Сідкі-Вієра.

2. Встановлено, що кожен елемент нормалізатора групи скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева в групі ізометрій цього дерева має однорідну структуру.

3. Побудовано точну дію вільного добутку на бінарному кореневому дереві рекурсивно автоматними автоморфізмами.

4. Доведено, що якщо група всіх локальних ізометрій нескінченного компактного ультраметричного простору діє на ньому транзитивно, то вона досконала, тобто всі її автоморфізми внутрішні, а центр тривіальний.

5. Встановлено критерій ізоморфності повних груп локальних ізометрій границь сферично однорідних дерев.

6. Описано гратку нормальних дільників повної групи локальних ізометрій границі сферично однорідного дерева, а ця група є амбівалентною та досконалою.

7. Встановлено, що якщо підгрупа групи всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі, містить слабо гіллясту підгрупу, то кожен автоморфізм індукується якимось елементом з цієї групи.

8. Встановлено критерій ізоморфності груп всіх гомеоморфізмів границь кореневих дерев, які зберігають міру Бернуллі.

9. Встановлено критерій ізоморфності LDA-груп, які визначаються товстими діаграмами Браттелі.

10. Дано повну класифікацію простих LDA-груп.

Теоретична та практична цінність дисертації. Робота має теоретичний характер. Розроблені в дисертаційній роботі методи можуть використовуватися для подальшого дослідження слабо гіллястих груп та локальних ізометрій, теорії груп ітерованих монодромій та дослідженнях пов'язаних із простими локально скінченними групами.

Дисертація може бути використана для читання спецкурсів з теорії груп на механіко"=математичних факультетах університетів.

Особистий внесок автора. Основні результати дисертації отримані автором особисто. Перший розділ дисертації є оглядовим, а тому в ньому викладено відомі результати.

Підрозділ 2.2 оснований на спільній роботі з В. Некрашевичем. Підрозділ 2.4 оснований на спільній роботі із В. Мазорчуком, А. Олійником та В. Сущанським. Підрозділ 2.5 містить спільні результати із А. Олійником (пункт 2.5.1). Підрозділи 3.4 та 3.6 грунтуються на спільних роботах із В. Сущанським. Підрозділ 3.7, пункт 2, основано на спільній роботі з В. Некрашевичем. Підрозділи 4.4 оснований на спільній роботі із В. Сущанським. Підрозділ 4.6 оснований на спільній роботі з В. Некрашевичем. Решта результатів отримані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на:

1. Сьомій Міжнародній конференції <<Групи і групові кільця>> (1999, Білосток, Польща);

2. Третій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (2001, Суми);

3. Міжнародній математичній конференції присвяченій сторіччю від початку роботи Д.А. Граве (1863-1939) в Київському університеті (2002, м.Київ);

4. Міжнародній конференції <<Теорія груп: комбінаторні, геометричні та динамічні аспекти нескінченних груп>> (2003, Ґаета, Італія);

5. Десятій Міжнародній конференції <<Групи і групові кільця>> (2003, Устронь, Польща);

6. П'ятій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (2005, м.Одеса);

7. Шостій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (2007, м.Кам'янець"-Подільський);

8. Міжнародній конференції <<Класи груп, алгебр та їх застосування>> (2007, Гомель, Біларусь);

9. Міжнародній конференції <<Групи породжені автоматами>> (2008, Аскона, Швейцарія);

10. П'ятій міжнародній конференції з лінійної алгебри (2008, Кранська Гора, Словенія);

а також на семінарах та колоквіумах у Київському Національному університеті імені Тараса Шевченка, Інституті математики Національної Академії Наук України, Техаському A&M Університеті (2007, 2008, США), Люблянському Університеті (2007, Словенія).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 20 фахових публікаціях [1-20].

Автор щиро вдячний своєму науковому консультанту професору Віталію Івановичу Сущанському за постійну увагу і підтримку в роботі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі дисертації вводяться необхідні означення і зроблено огляд відомих результатів, які використовуються далі в дисертації. Він включає в себе необхідну термінологію з теорії графів, основні поняття теорії груп підстановок, вінцевих добутків та простих локально скінченних груп. Результати цього розділу не є новими.

В другому розділі <<Групи автоморфізмів сферично однорідних дерев>> вивчаються групи ізометрій (автоморфізмів) сферично однорідних кореневих дерев. У першому підрозділі визначаються основні класи груп ізометрій сферично однорідних кореневих дерев. Наведено необхідні відомості про властивості і будову груп ізометрій кореневого дерева. Нагадаємо, що група ізометрій кореневого дерева називається слабо гіллястою, якщо вона діє сферично транзитивно, і всі її вершинні підгрупи нетривіальні.

У другому підрозділі вивчаються автоморфізми слабо гіллястих груп. Зрозуміло, що кожен елемент нормалізатора слабо гіллястої групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева індукує автоморфізм цієї групи. Виникає природне питання (його поставив на засіданні алгебраїчного семінару Київського національного університету у 1998 році професор Р.І.Григорчук):

Чи типовою для слабо гіллястих груп є ситуація, коли всі автоморфізми групи індукуються ізометріями сферично однорідного кореневого дерева?

Основною теоремою цього підрозділу є теорема 2.28, в якій дається позитивна відповідь на питання Р.І.Григорчука для класу насичених слабо гіллястих груп. Група називається насиченою, якщо для довільного натурального існує підгрупа

яка є характеристичною в , і сферично транзитивною на кожному піддереві -го рівня.

Теорема 2.28. Нехай - насичена слабо гілляста група ізометрій кореневого дерева . Тоді група автоморфізмів групи ізоморфна нормалізатору групи в групі ізометрій дерева . Тобто,

Далі наводяться приклади насичених слабо гіллястих груп, тобто груп, до яких можна застосувати Теорему 2.28, і описати їхні групи автоморфізмів. Серед них такі відомі групи, як:

· група Григорчука;

· група Гупта-Сідкі;

· група Бранера-Сідкі-Вієра;

· вінцево-гіллясті групи.

Цікавим є і такий наслідок з теореми 2.28, за допомогою якого у багатьох випадках тривіалізується перевірка слабо гіллястої групи на насиченість.

Наслідок 2.34. Слабо гілляста група, яка містить сферично транзитивний елемент, є насиченою.

Важливим прикладом насиченої гіллястої групи є група скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева . У третьому підрозділі вивчаються автоморфізми групи . Кожен її автоморфізм індукується деякою ізометрією дерева . Встановлено, що кожен елемент нормалізатора цієї групи в групі ізометрій дерева у певному сенсі має однорідну структуру.

Теорема 2.36. Для довільного елемента існують , та такі, що

Питання, наскільки велика (і навіть чи нетривіальна) група зовнішніх автоморфізмів групи залишається відкритим.

Відомо, що неабелева вільна група занурюється в групу скінченно станових перетворень бінарного кореневого дерева. Чи занурюється вільний добуток в групу скінченно станових перетворень деякого однорідного кореневого дерева є відкритим питанням. Основним результатом четвертого підрозділу є побудова зображення вільного добутку вільних абелевих груп скінченних рангів рекурсивно автоматними автоморфізмами бінарного кореневого дерева, тобто автоморфізмами близькими до скінченно станових.

Теорема 2.44. Вільний добуток діє точно на дереві рекурсивно автоматними автоморфізмами.

У п'ятому підрозділі розглядаються вінцеві добутки тих множин груп підстановок, на яких введено структуру деревовидного порядку. Розглянуто випадок, коли множина груп складається із скінченних транзитивних груп підстановок, які не допускають нетривіального розкладу в прямий чи вінцевий добуток. У цьому випадку доведено, що кожен ізоморфізм відповідних вінцевих добутків за деревовидно впорядкованими множинами визначається ізоморфізмом цих деревовидно впорядкованих множин (Теорема 2.51).

Третій розділ <<Транзитивні групи локальних ізометрій границь дерев>> вивчає групи локальних ізометрій границь кореневих дерев. Досліджуються автоморфізми, нормальна будова, спряженість, класифікаційні питання.

У першому підрозділі дається визначення локальної ізометрії

Означення 3.6. Нехай та -- метричні простори. Бієктивне відображення

називається локальною ізометрією якщо для кожної точки існує окіл точки , такий що для кожних виконується рівність

Також у першому підрозділі нагадуються визначення діагональних занурень та однорідних симетричних груп і однорідних знакозмінних груп , де є сферичним індексом дерева. Групи є прикладами простих нефінітарних локально скінченних груп. Далі вводиться до розгляду група всіх локальних ізометрій границі кореневого дерева . Встановлюються її найпростіші властивості, зокрема для сферично однорідного дерева група розкладається у добуток своїх підгруп та .

У другому підрозділі продовжується вивчення і доводиться, що, група всіх локальних ізометрій границі сферично однорідного дерева є досконалою. Більше того це твердження має природне узагальнення.

Теорема 3.14. Якщо група всіх локальних ізометрій нескінченного компактного ультраметричного простору діє на ньому транзитивно, то вона досконала, тобто всі її автоморфізми внутрішні та її центр тривіальний.

У третьому підрозділі встановлюється критерій ізоморфності повних груп локальних ізометрій границь сферично однорідних дерев. Виявилося, що для ізоморфності таких груп необхідно і достатньо, щоб дерева були однаковими, починаючи з деякого рівня.

Теорема 3.35. Нехай () такі локально скінченні кореневі дерева, що повні групи локальних ізометрій діють на їхніх границях транзитивно. Повні групи локальних ізометрій і ізоморфні тоді і лише тоді, коли і локально ізометричні для певних метрик та , або іншими словами існують такі та , що для всіх натуральних виконується

З цієї теореми та теореми 3.14 одержуємо наслідок.

Наслідок 3.41. Нехай ультраметрики та на та відповідно, такі що ці простори локально ізометричні. Тоді будь-який гомеоморфізм з на , який індукує ізоморфізм груп

є локальною ізометрією.

В четвертому підрозділі описується нормальна будова . Спочатку встановлюється будова комутанта цієї групи.

Теорема 3.42. Для довільної допустимої послідовності комутант групи локальних ізометрій кореневого дерева визначається рівністю

Далі доводиться, що кожна неодинична нормальна підгрупа групи містить комутант (теорема 3.43).

На завершення підрозділу описується гратка нормальних дільників групи .

Теорема 3.46. Гратка нормальних дільників групи ізоморфна гратці підгруп прямого добутку континуальної кількості циклічних груп порядку 2.

П'ятий підрозділ вивчає питання спряженості в . Для цього вводяться поняття типу та орбітального типу локальних ізометрій, які є узагальненнями поняття орбітального типу автоморфізму дерева. Основними результатами тут є:

Твердження 3.50. Нехай та -- елементи з . Типи та будуть еквівалентними тоді і лише тоді, коли для деякого орбітальні типи та є еквівалентними.

Теорема 3.51. Елементи спряжені тоді і лише тоді коли їхні типи еквівалентні.

Як наслідок із одержаного опису класів спряженості одержується

Теорема 3.52. Група є амбівалентною.

В шостому підрозділі вивчаються однорідні симетричні і однорідні знакозмінні підгрупи та групи . Спочатку встановлюються різноманітні властивості груп автоморфізмів цих груп.

В шостому підрозділі вивчаються однорідні симетричні і однорідні знакозмінні підгрупи та групи . Спочатку встановлюються різноманітні властивості груп автоморфізмів цих груп.

Теорема 3.9. Група автоморфізмів групи , для дозволеної послідовності , має такі властивості

1. Кожен автоморфізм групи є локально внутрішнім.

2. Група містить зліченний декартів добуток скінченних симетричних груп як завгодно великого степеня.

3. Кожна резидуально-скінченна група вкладається в .

4. .

Після цього описується дія цих груп на границі дерева

Теорема 3.63. Група діє сильно транзитивно на .

Далі визначається зв'язок групи автоморфізмів однорідної симетричної групи з групою автоморфізмів групи фінітарних автоморфізмів кореневого дерева.

Теорема 3.69. Перетин підгруп і групи збігається з .

В сьомому підрозділі досліджується група всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева , які зберігають міру Бернуллі, та її підгрупи. Ця група є замиканням групи локальних ізометрій у проскінченній топології (теорема 3.71). Встановлено, що для цієї групи справедливе твердження, аналогічне теоремі 2.28.

Теорема 3.74. Якщо підгрупа групи містить слабо гіллясту підгрупу, тоді кожен автоморфізм індукується якимось елементом з , тобто

Звідси зразу отримуємо наслідок.

Наслідок 3.75. Група є досконалою.

Далі встановлюється критерій ізоморфності таких груп. Виявилося, що він цілком аналогічний випадку однорідних симетричних груп.

Теорема 3.76 . Нехай та сферично однорідні дерева. Тоді наступні умови еквівалентні:

1. ;

2. ;

3. Характеристики дерев та збігаються.

Як наслідок одержуємо твердження, за допомогою якого можна розрізняти групи, що діють на границях різних кореневих дерев.

Наслідок 3.77. Якщо ізоморфні підгрупи та груп та , відповідно, містять слабо гіллясті підгрупи, то характеристики дерев та збігаються.

Останньою, у цьому розділі, розглядається задача опису централізаторів елементів підгрупи в групі . Доведено, що має місце така теорема.

Теорема 3.81. Нехай -- сферично однорідне дерево, . Мають місце рівності:

де -- довільна вершина з , а розглядається як дискретний метричний простір для .

Основні результати четвертого розділу <<Групи, що визначаються за діаграмами Браттелі>> присвячені класифікації простих зліченних локально скінченних груп. У першому підрозділі нагадуються необхідні для подальшого викладу визначення. Зокрема, визначаються діаграми Браттелі, LDA-групи, -алгебри, -групи діаграм Браттелі, групи розмірностей та простори шляхів діаграм Браттелі.

У другому підрозділі розглядаються -групи (частковий випадок LDA-груп)-- індуктивні границі скінченних знакозмінних (симетричних) груп з діагональними зануреннями. Кожна така група визначається послідовністю впорядкованих пар цілих невід'ємних чисел. Вводиться відношення співвимірності двох таких послідовностей.

Означення. Ми називатимемо послідовності

співвимірними, якщо існують додатні цілі числа , такі що

1.

2. Характеристичні ряди

3. збіжні або розбіжні одночасно.

4. Якщо та збіжні, то

5. Послідовності та мають скінченну чи нескінченну кількість ненульових одночасно.

Це відношення буде відношенням еквівалентності на множині таких послідовностей.

Основною у цьому підрозділі є

Теорема 4.19. Нехай . Індуктивні границі скінченних симетричних (знакозмінних) груп, що відповідають послідовностям та ізоморфні тоді і лише тоді, коли послідовності і співвимірні.

Ця теорема дає повне розв'язання проблеми, поставленої О. Є. Залєським.

В доведенні цієї теореми використовуються властивості міри Бернуллі, топологічні властивості границь дерев та властивості дій -груп на границях дерев. І на наш погляд воно представляє самостійну цінність.

У третьому підрозділі досліджуються автоморфізми -груп та -- індуктивних границь симетричних та знакозмінних груп, відповідно. Результати цього розділу є узагальненням результатів підрозділу 2.6 на більш широкий клас груп; їх доведення використовує твердження з підрозділу 2.6.

Теорема 4.32. Для довільного кожен автоморфізм групи є локально внутрішнім.

Теорема 4.34. Нормалізатор підгрупи в збігається з нормалізатором групи в .

Теорема 4.35. Для довільного група автоморфізмів групи ізоморфна групі автоморфізмів групи .

У четвертому підрозділі вивчається нормальна будова -груп -- індуктивних границь прямих добутків скінченних знакозмінних груп з блочно-діагональними зануреннями, що визначаються за діаграмами Браттелі. Зауважимо, що ми розглядаємо лише діаграми Браттелі, у яких нема вершин з мітками меншими ніж 3, бо знакозмінні групи меншого степеня -- тривіальні.

Виявляється, що опис нормальних підгруп -групи схожий на опис ідеалів у -алгебрі, яка визначається за відповідною діаграмою Браттелі .

Теорема 4.40. Нехай діаграма Браттелі така, що її границя не містить - та -кінців. Тоді нормальні підгрупи групи знаходяться у однозначній відповідності з направленими спадковими підмножинами множини .

Також у цьому підрозділі для LDA-груп знайдено критерій простоти у термінах діаграм Браттелі.

Теорема 4.41. Такі умови є рівносильними:

· Діаграма Браттелі є простою.

· Група є простою або ізоморфною .

Прості LDA-групи більш детально вивчаються у п'ятому підрозділі. Основна мета цього підрозділу -- класифікація простих LDA-груп. Прості LDA-групи є важливим класом груп 1-типу -- одного із чотирьох типів, на які поділяються прості локально скінченні групи. Причому структура всіх груп 1-типу близька до структури LDA-груп. Центральною у цьому підрозділі є теорема 4.53. Зауважимо, що у цій теоремі розглядається фактично ширший клас груп, ніж прості LDA-групи. І формулювання стосується певного підкласу всіх діаграм Браттелі, які названо товстими.

Теорема 4.53. Нехай , -- товсті діаграми Браттелі. Тоді наступні умови є рівносильними:

· Групи та є ізоморфними.

· Динамічні системи та є топологічно спряженими.

· -алгебри та є ізоморфними.

· -алгебри та є ізоморфними.

· Групи розмірностей та є ізоморфними.

Те що в останній теоремі розглядаються не всі, а лише товсті діаграми Браттелі є технічним обмеженням, яке виключає деякі вироджені випадки. З іншого боку, це обмеження не є занадто жорстким. Зокрема, кожна проста нефінітарна LDA-група може бути визначена за допомогою товстої діаграми Браттелі.

Наступні твердження та теорема визначають зв'язок між простотою діаграми , групи , та простотою абстрактної LDA-групи.

Твердження 4.56. Наступні умови є еквівалентними:

1. Діаграма є простою.

2. -алгебра є простою.

3. -алгебра є простою.

4. Динамічна система є мінімальною.

Теорема 4.57 Кожна проста LDA-група, ізоморфна групі вигляду для деякої простої діаграми Браттелі .

Наступне твердження разом з теоремою 4.53 дають повну класифікацію простих LDA-груп.

Твердження 4.58. Нехай проста LDA-група. Тоді для неї є справедливим одне і лише одне із нижче наведених тверджень:

5. є ізоморфною , де .

6. є ізоморфною нескінченної знакозмінної групи .

7. є ізоморфною , де -- товста проста діаграма Браттелі.

ВИСНОВКИ

У дисертацiйнiй роботi закладено основи нових напрямкiв та розв'язано ряд актуальних проблем геометричної теорiї груп та теорiї локально скінченних груп.

Вивчено автоморфізми слабо гіллястих груп. Доведено, що група автоморфізмів насиченої слабо гіллястої групи ізоморфна нормалізатору цієї групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева. Зокрема, це справедливо для груп Григорчука, Гупта-Сідкі, Бранера-Сідкі-Вієра. Таким чином, дано відповідь на питання Р. І. Григорчука про “жорсткість” автоморфізмів гіллястих груп. Тут також отримано важливий наслідок, що слабо гілляста група, яка містить сферично транзитивний елемент, є насиченою.

Важливим прикладом насиченої гіллястої групи є група скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева. Встановлено, що кожен елемент нормалізатора групи скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева в групі ізометрій цього дерева має однорідну структуру.

Побудовано точну дію вільного добутку двох степенів нескінченної циклічної групи на бінарному кореневому дереві рекурсивно автоматними автоморфізмами.

Розвинено теорію груп локальних ізометрій границь кореневих дерев. Зазначимо, що поняття локальної ізометрії є природним узагальненням поняття ієрархоморфізму дерева при переході до границь сферично однорідних дерев. Доведено, що якщо група всіх локальних ізометрій нескінченного компактного ультраметричного простору діє на ньому транзитивно, то вона досконала, тобто всі її автоморфізми внутрішні та її центр тривіальний.

Встановлено критерій ізоморфності повних груп локальних ізометрій границь сферично однорідних дерев. Описано гратки нормальних дільників таких груп. Доведено, що ці групи є амбівалентними та досконалими. Вивчено однорідні симетричні і однорідні знакозмінні групи. Встановлено різноманітні властивості груп автоморфізмів цих груп.

Досліджено групу всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі. Виявилося, що ця група є замиканням групи локальних ізометрій у проскінченній топології. Встановлено критерій ізоморфності груп всіх гомеоморфізмів границь кореневих дерев, які зберігають міру Бернуллі.

Встановлено, що якщо якась група гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі, містить слабо гіллясту підгрупу, то кожен автоморфізм цієї групи індукується якимось елементом з групи всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі.

Однією з центральних задач теорії локально скінченних груп є проблема класифікації простих локально скінченних груп. В роботі розглянуто питання класифікації простих зліченних локально скінченних груп. Розв'язана проблема О.Є.Залєського про класифікацію LA-груп -- індуктивних границь скінченних знакозмінних груп із діагональними зануреннями. Ці групи є простими зліченними локально скінченними групами. В доведенні критерія ізоморфності LA-груп використовуються властивості міри Бернуллі, топологічні властивості границь дерев та властивості дій LA-груп на границях дерев.

Встановлено нормальну будову LDA-груп -- індуктивних границь прямих добутків скінченних знакозмінних груп з блочно-діагональними зануреннями, що визначаються за діаграмами Браттелі.

Доведено критерій ізоморфності LDA-груп, які визначаються товстими діаграмами Браттелі.

Дано повну класифікацію простих LDA-груп, які складають важливий клас нефінітарних простих локально скінченних груп.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лавренюк, Я. В. Тpанзитивнi -гpупи, пiдстановки в яких мають не бiльше неpухомих точок / Я. В. Лавренюк // Вісник Київського Університету. "-- 1995. "-- n. 1. "-- C. 20-27.

2. Лавренюк, Я. В. Автоморфiзми шарово-транзитивних груп автоморфізмів кореневого дерева / Я. В. Лавренюк // Доповіді НАН України. "-- 2000. "-- n. 11. "-- C. 12-16.

3. Lavreniuk, Y. V. Rigidity of branch groups acting on rooted trees / Y. V. Lavreniuk, V. V. Nekrashevych // Geom. Dedicata. "-- 2002. "-- Vol. 89, no. 1. "-- Pp. 155-175.

(особистий внесок -- розділи 5-8 (за винятком Теореми 7.1, Твердження 7.2 та формулювання Теореми 7.3 у термінах гомеоморфізмів границі дерева.))

4. Lavrenyuk, Y. On the finite state automorphism group of a rooted tree / Y. Lavrenyuk // Algebra and Discrete Mathematics. "-- 2002. "-- Vol. 1, no. 1. "-- Pp. 79-89.

5. Lavrenyuk, Y. V. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomorphisms of rooted trees / Y. V. Lavrenyuk, V. I. Sushchansky // Algebra and Discrete Mathematics. "-- 2003. "-- no. 4. "-- Pp. 33-49.

(внесок співавтора -- постановка задачі, решта -- особистий внесок)

6. Lavrenyuk, Y. On automorphisms of local isometry group of compact ultrametric spaces / Y. Lavrenyuk // International Journal of Algebra and Computation. "-- 2005. "-- Vol. 15, no. 5-6. "-- Pp. 1013-1024.

7. Лавренюк, Я. В. Класифікація індуктивних границь з діагональними зануреннями симетричних та знакозмінних груп / Я. В. Лавренюк // Доповіді НАН України. "-- 2005. "-- n. 9. "-- C. 24-27.

8. Lavrenyuk, Y. V. Notes to “automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomorphisms of rooted trees” / Y. V. Lavrenyuk, V. I. Sushchansky // Algebra and Discrete Mathematics. "-- 2005. "-- Vol. 4, no. 2. "-- Pp. 70-72.

(внесок співавтора -- постановка задачі, решта -- особистий внесок)

9. Lavrenyuk, Y. Classification of the local isometry groups of rooted tree boundaries / Y. Lavrenyuk // Algebra and Discrete Mathematics. "-- 2007. "-- no. 2. "-- Pp. 104-110.

10. Лавренюк, Я. В. Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически-однородного дерева / Я. В. Лавренюк, В. И. Сущанский // Доповіді НАН України. "-- 2007. "-- n. 3. "-- C. 20-24.

(внесок співавтора -- постановка задачі, решта -- особистий внесок)

11. Лавренюк, Я. В. Спряженість в групі локальних ізометрій границі локально скінченного кореневого сферично однорідного дерева / Я. В. Лавренюк // Науковий вісник Чернівецького університету. "-- 2007. "-- T. 336-337. "-- C. 92-94.

12. Lavrenyuk, Y. On classification of inductive limits of direct products of alternating groups / Y. Lavrenyuk, V. Nekrashevych // Journal of the London Mathematical Society. "-- 2007. "-- Vol. 75, no. 1. "-- Pp. 146-162.

(результати розділів 2, 3.1-3.3, 4, 5 отримано особисто.)

13. Faithful group actions on rooted trees induced by actions of quotients / Y. Lavrenyuk, V. Mazorchuk, A. Oliynyk, V. Sushchansky // Communications in Algebra. "-- 2007. "-- Vol. 35, no. 11. "-- Pp. 3759-3775.

(особистий внесок -- результати підрозділу 2.3.)

14. Лавренюк, Я. В. Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп / Я. В. Лавренюк // Доповіді НАН України. "-- 2007. "-- n. 4. "-- C. 22-25.

15. Лавренюк, Я. В. Про вінцеві добутки за деревовидно впорядкованими множинами / Я. В. Лавренюк, А. С. Олійник // Вісник Київського Університету. Серія фіз.-мат. науки. "-- 2007. "-- n. 3. "-- C. 24-27.

(особистий внесок -- результати пункту 4.)

16. Лавренюк, Я. В. Централізатори елементів в групі зберігаючих міру гомеоморфізмів множини кантора / Я. В. Лавренюк // Вісник Київського Університету. Серія фіз.-мат. науки. "-- 2007. "-- n. 4. "-- C. 48-51.

17. Лавренюк, Я. В. Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически-однородного дерева / Я. В. Лавренюк, В. И. Сущанский // Український Математичний Журнал. "-- 2008. "-- T. 60, n. 10. "-- C. 1350-1356.

(внесок співавтора -- постановка задачі, решта -- особистий внесок)

18. Лавренюк, Я. В. Групи зберігаючих міру гомеоморфізмів множини кантора / Я. В. Лавренюк, В. В. Некрашевич // Доповіді НАН України. "-- 2008. "-- n. 6. "-- C. 28-31.

(внесок співавтора -- постановка задачі, решта -- особистий внесок)

19. Лавренюк, Я. В. Локально скінченні групи асоційовані з діаграмами браттелі / Я. В. Лавренюк, В. І. Сущанський // Прикладні проблеми механіки і математики. "-- 2008. "-- n. 6. "-- C. 17-26.

(внесок співавтора -- постановка задачі, решта -- особистий внесок)

20. Лавренюк, Я. В. Нерозкладність скінченної знакозмінної групи у пряму суму підгруп при нестандартній примітивній дії / Я. В. Лавренюк // Вісник Київського Університету. Серія фіз.-мат. науки. "-- 2008. "-- n. 3. "-- C. 27-29.

АНОТАЦІЯ

Лавренюк Я.В. Групи гомеоморфізмів канторових просторів. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

У дисертацiйнiй роботi закладено основи нових напрямкiв та розв'язано ряд актуальних проблем геометричної теорiї груп та теорiї локально скінченних груп.

Доведено, що група автоморфізмів насиченої слабо гіллястої групи ізоморфна нормалізатору цієї групи в групі ізометрій відповідного кореневого дерева, і, таким чином, дано відповідь на питання Р. І. Григорчука про будову груп автоморфізмів гіллястих груп. Побудовано точну дію вільного добутку двох степенів нескінченної циклічної групи на бінарному кореневому дереві рекурсивно автоматними автоморфізмами.

Доведено, що якщо група всіх локальних ізометрій нескінченного компактного ультраметричного простору діє на ньому транзитивно, то вона досконала, тобто всі її автоморфізми внутрішні та її центр тривіальний. Встановлено критерій ізоморфності повних груп локальних ізометрій границь сферично однорідних дерев. Описано гратки нормальних дільників таких груп. Доведено, що ці групи є амбівалентними та досконалими.

Встановлено, що якщо якась група гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі, містить слабо гіллясту підгрупу, то кожен автоморфізм цієї групи індукується якимось елементом з групи всіх гомеоморфізмів границі кореневого дерева, які зберігають міру Бернуллі. Встановлено критерій ізоморфності груп всіх гомеоморфізмів границь кореневих дерев, які зберігають міру Бернуллі.

Розв'язана проблема О.Є.Залєського про класифікацію індуктивних границь скінченних знакозмінних груп із діагональними зануреннями.

Встановлено нормальну будову LDA-груп -- індуктивних границь прямих добутків скінченних знакозмінних груп з блочно-діагональними зануреннями, що визначаються за діаграмами Браттелі. Доведено критерій ізоморфності LDA-груп, які визначаються товстими діаграмами Браттелі. Дано повну класифікацію простих LDA-груп, які складають важливий клас нефінітарних простих локально скінченних груп.

Ключові слова: групи гомеоморфізмів; групи, що діють на кореневому дереві; групи локальних ізометрій; діаграми Браттелі; локально скінченні групи; ізомофізми; автоморфізми; канторові простори.

АННОТАЦИЯ

Лавренюк Я.В. Группы гомеоморфизмов канторовых пространств. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

В диссертационной работе заложено основы новых направлений и решено ряд актуальных проблем геометрической теории групп и теории локально конечных групп .

Изучено автоморфизмы слабо ветвящихся групп. Доказано, что группа автоморфизмов насыщенной слабо ветвящейся группы изоморфная нормализатору этой группы в группе изометрий соответствующего корневого дерева. В частности, это справедливо для групп Григорчука, Гупта-Сидки, Бранера-Сидки-Виера. Таким образом, дан ответ на вопрос Р. И. Григорчука о строении групп автоморфизмов ветвящихся групп. Здесь также получено важное следствие, что слабо ветвящаяся группа, которая содержит сферически транзитивный элемент, есть насыщенной.

Важным примером насыщенной ветвящейся группы есть группа конечно секционных преобразований однородного корневого дерева. Установлено, что каждый элемент нормализатора группы конечно секционных преобразований однородного корневого дерева в группе изометрий этого дерева имеет однородную структуру.

Построено точное действие свободного произведения двух степеней бесконечной циклической группы на бинарном корневом дереве рекурсивно автоматными автоморфизмами.

Развита теория групп локальных изометрий границ корневых деревьев. Заметим, что понятие локальной изометрии есть естественным обобщением понятия иерархоморфизма дерева при переходе к границам сферически однородных деревьев. Доказано, что если группа всех локальных изометрий бесконечного компактного ультраметрического пространства действует на нем транзитивно, то она совершенная, т.е. все ее автоморфизмы внутренние и ее центр тривиальный.

Установлен критерий изоморфности полных групп локальных изометрий границ сферически однородных деревьев. Описано решетки нормальных делителей таких групп. Доказано, что эти группы являются амбивалентными и совершенными. Изучено однородные симметричесские и однородные знакопеременные группы. Установлено различные свойства групп автоморфизмов этих групп.

Исследовано группу всех гомеоморфизмов границы корневого дерева, которые сохраняют меру Бернулли. Оказалось, что эта группа является замыканием группы локальных изометрий в проконечной топологии. Установлен критерий изоморфности групп всех гомеоморфизмов границ корневых деревьев, которые сохраняют меру Бернулли.

Установлено, что если какая-то группа гомеоморфизмов границы корневого дерева, которые сохраняют меру Бернулли, содержит слабо ветвящуюся подгруппу, то каждый автоморфизм этой группы индуцируется каким-то элементом из группы всех гомеоморфизмов границы корневого дерева, которые сохраняют меру Бернулли.

Одной из центральных задач теории локально конечных групп является проблема классификации простых локально конеченых групп. В работе рассмотрен вопрос классификации простых счетных локально конеченых групп. Решена проблема А.Е.Залесского о классификации LA-групп -- индуктивных границ конечных знакопеременных групп с диагональными погружениями. Эти группы есть простыми счетными локально конеченымих группами. В доказательстве критерия изоморфности LA-групп используются свойства меры Бернулли, топологические свойства границ деревьев и свойства действий LA-групп на границах деревьев.

...