Про розв'язність деяких нелокальних крайових задач для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.02 --- Диференціальні рівняння

диференціальний рівняння крайовий задача

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Про розв'язність деяких нелокальних крайових задач для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь

Пилипенко Віта Анатоліївна

Київ --- 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України ``Київський політехнічний інститут''.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович,

Кам'янець-Подільський національний університет

імені Івана Огієнка,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

БІГУН Ярослав Йосипович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри прикладної математики.

Захист дисертації відбудеться ``22'' вересня 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий `` 15'' серпня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ПЕЛЮХ Г. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Побудова адекватних математичних моделей реальних процесів часто приводить до тих чи інших крайових задач для функціонально-диференціальних рівнянь, які є узагальненням рівнянь звичайних диференціальних, інтегро-диференціальних та рівнянь з відхиленням аргументу. Зокрема, багато модельних задач фізики, економіки, імунології описуються функціонально-диференціальними рівняннями з розривними коефіцієнтами, які часто є неінтегровними на заданому часовому проміжку.

Основи сучасної теорії крайових задач для широких класів функціонально-диференціальних рівнянь, яка використовує новий підхід до поняття розв'язку такого рівняння, було побудовано, в основному, в працях М. В. Азбелева, І. Т. Кігурадзе, В. П. Максимова, Л. Ф. Рахматуліної та їх учнів і колег. Зокрема, в працях М. В. Азбелева, І. Т. Кігурадзе, Р. Конті, М. Г. Крейна, З. Опяля, Б. Л. Шехтера та інших спеціалістів з теорії крайових задач у достатньо загальній постановці детально вивчаються питання, пов'язані з розв'язністю крайових задач, єдиністю та просторовою локалізацією розв'язку, характером залежності розв'язку від збурень рівняння та крайової умови тощо. З точки зору узагальнених диференціальних рівнянь різні якісні питання згаданої теорії досліджували Я. Курцвайль та С. Швабік. Ефективні умови, достатні для розв'язності та однозначної розв'язності задачі Коші та інших типів крайових задач для систем функціонально-диференціальних рівнянь, були встановлені у роботах Є. Бравого, А. Домошницького, М. Драхліна, А. Г. Ломтатідзе, Б. Пужі, А. М. Ронто, З. Сохадзе, Р. Хакла, Й. Шремра та інших авторів. Питанням конструктивної побудови розв'язків різних класів багатоточкових та нелокальних крайових задач присвячено, зокрема, роботи В. М. Лаптинського, А. Ю. Лучки, М. Й. Ронто, А. М. Самойленка.

Менш вивченими на сьогодні є крайові задачі з нелокальними крайовими умовами і, зокрема, крайові задачі для функціонально-диференціальних рівнянь із сингулярними коефіцієнтами. У даній дисертаційній роботі отримано нові твердження про розв'язність таких задач, які узагальнюють та доповнюють відомі результати.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано в рамках наукової тематики кафедри диференціальних рівнянь фізико-математичного факультету Національного технічного університету України ``КПІ'' і пов'язано з держбюджетною темою ``Асимптотичні та якісні методи дослідження еволюційних систем'' (номер державної реєстрації 0107U010797).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розвиток методів дослідження нелокальних крайових задач та сингулярних задач для деяких класів функціонально-диференціальних рівнянь.

Об'єктом дослідження є крайові задачі для систем функціонально-диференціальних рівнянь.

Предметом дослідження є умови розв'язності нелокальних крайових задач для регулярних та сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь.

Завдання дослідження:

дослідити загальні умови існування та єдиності розв'язку нелокальної крайової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду;

встановити умови розв'язності лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь, визначити локалізацію розв'язків у множині функцій з обмеженим ростом та дослідити питання про їх єдиність;

дослідити сингулярну задачу Коші для достатньо широкого класу нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використано результати теорії звичайних диференціальних та функціонально-диференціальних рівнянь, методи функціонального аналізу та теорії операторних рівнянь у банахових просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні наукові результати, що виносяться на захист, є новими і полягають у наступному:

знайдено ефективні умови існування та єдиності розв'язку нелокальної крайової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду, які, зокрема, включають системи нейтрального типу, та доведено оптимальність знайдених умов;

встановлено умови існування розв'язків з обмеженим ростом для лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь та знайдено умови, достатні для однозначної розв'язності систем лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами;

отримано умови розв'язності сингулярної задачі Коші для нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії крайових задач для регулярних та сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь. Вони можуть бути використані при дослідженні математичних моделей реальних фізичних процесів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень і постановка задач належать академіку НАН України А. М. Самойленку та доктору фізико-математичних наук А. М. Ронто. Основні результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 15--17 травня 2008р.); Third International Students and Post-graduates Conference ``To High Technologies on the Base of Advanced Physical Materials Science Research and Computer Modeling'', devoted to anniversary birthday of Academician V. N. Grydnev (Kyiv, 30 September -- 5 October 2008); Міжуніверситетській науковій конференції з математики та фізики для студентів та молодих вчених (Київ, 21--22 травня 2009р.); Міжнародній конференції до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди (Чернівці, 8-13 червня 2009р.); семінарі з диференціальних рівнянь факультету природничих наук Університету імені Т. Г. Масарика (Чеська республіка, м. Брно, 23 березня 2009 р.); семінарі з диференціальних рівнянь факультету природничих наук Університету імені Ф. Палацького (Чеська республіка, м. Оломоуц, 24 березня 2009 р.); семінарі з диференціальних рівнянь і теорії інтегрування в Інституті математики АН Чеської республіки (Чеська республіка, м. Прага, 26 березня 2009 р.); семінарі кафедри диференціальних рівнянь фізико-математичного факультету Національного технічного університету України ``КПІ'' (Київ, 8 квітня 2009р.); науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (Київ, 2009р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 3 статтях у фахових журналах [1 -- 3], 2 препринтах [4, 5] та тезах доповідей здобувачки на міжнародних та міжуніверситетських наукових конференціях [6 -- 9].

Cтруктура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, який нараховує 80 найменувань. Повний обсяг роботи складає 119 сторінок друкованого тексту.

Автор висловлює глибоку подяку науковому керівнику академіку НАН України А. М. Самойленку та доктору фізико-математичних наук А. М. Ронто за допомогу у роботі над дисертацією.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання дослідження, висвітлено наукову новизну одержаних результатів, наведено дані про публікацію результатів та їх апробацію, коротко викладено зміст роботи за розділами.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць за тематикою дисертації.

Другий розділ дисертації присвячено дослідженню умов існування та єдиності розв'язку нелокальної крайової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду.

Розглядається система функціонально-диференціальних рівнянь

(1) (2)

де , , , , --- лінійні оператори, --- задані функції, а , , --- задані неперервні лінійні функціонали. Варто зазначити, що запис системи (1) охоплює, зокрема, системи нейтрального типу, оскільки права частина в (1), взагалі кажучи, може містити члени з похідними.

Під розв'язком задачі (1), (2) розуміємо абсолютно неперервну вектор-функцію , яка майже скрізь на відрізку задовольняє рівняння (1) і має властивість (2).

Означення 2.1. Будемо говорити, що лінійний оператор належить множині , якщо крайова задача (1), (2) має єдиний розв'язок для довільних функцій та, крім того, для невід'ємних майже скрізь на відрізку функцій , , розв'язок задачі (1), (2) має властивість , .

Наступна теорема вказує достатні умови для існування та єдиності розв'язку задачі (1), (2) за припущення, що лінійні оператори , , у рівняннях (1), можна оцінити деякими іншими лінійними операторами, якими породжуються однозначно розв'язні початкові задачі.

Теорема 2.1. Припустимо, що існують лінійні оператори , , для яких мають місце включення

і, крім того, для довільної невід'ємної абсолютно неперервної вектор-функції , яка задовольняє нелокальні крайові умови (2), виконуються нерівності

Тоді нелокальна крайова задача (1), (2) є однозначно розв'язною для довільних функцій

Означення 2.2. Будемо говорити, що вектор-функція належить множині , якщо для неї виконуються рівності , , де , , --- деякі вектор-функціонали.

Означення 2.3. Вектор-функція належить множині , якщо для всіх вона задовольняє нерівність .

Означення 2.4. Лінійний оператор назвемо таким, що має додатне звуження на множину , якщо для всіх вектор-функцій з множини виконуються нерівності , .

Наступна теорема узагальнює теорему 2.2 з праці R. Hakl, A. Lomtatidze, B. Pua Hakl R. On a boundary value problem for first-order scalar functional differential equations / R. Hakl, A. Lomtatidze, B. Puza // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. -- 2003. -- Vol. 53, № 3-4. -- P. 391-405..

Теорема 2.2. Нехай існують деякі лінійні оператори , , які мають додатне звуження на множину і при деякому задовольняють включення

(3)

Крім того, нехай для довільної вектор-функції з множини виконуються нерівності

Тоді нелокальна крайова задача (1), (2) має єдиний розв'язок для довільних функцій

Зауваження. Припущення (3) у теоремі 2.2 не можна замінити жодною з пар умов

яким би малим не було додатне число .

У третьому розділі дисертації досліджуються загальні умови, достатні для існування розв'язків з обмеженим ростом для лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами.

Розглядається функціонально-диференціальне рівняння

(4)

з додатковою умовою

(5)

де , --- деякий лінійний оператор, --- локально інтегровна за Лебегом функція, --- деяка фіксована функція, яка має такі властивості:

Функція є додатною, неспадною і задовольняє умову .(6)

Означення 3.1. Під розв'язком рівняння (4) розуміємо локально абсолютно неперервну функцію , яка майже скрізь на інтервалі задовольняє рівняння (4) і є такою, що . Розв'язком задачі (4), (5) з обмеженим ростом будемо називати розв'язок рівняння (4), який задовольняє додаткову умову (5).

Слід відмітити, що розв'язки рівняння (4) можуть мати неінтегровні сингулярності в околі точки .

Означення 3.2. Будемо говорити, що локально абсолютно неперервна функція належить множині , якщо і

Означення 3.3. Оператор називатимемо негативним, якщо для довільної невід'ємної функції нерівність виконується майже скрізь на інтервалі .

Для рівняння (4) з негативним оператором має місце наступна теорема.

Теорема 3.1. Нехай функція у додатковій умові (5) має властивості (6), а оператор у рівнянні (4) є негативним і задовольняє умову

Крім того, нехай існує невід'ємна абсолютно неперервна функція , для якої

і майже скрізь на інтервалі виконується нерівність

Тоді для довільних функцій і таких, що і

задача (4), (5) має принаймні один розв'язок , який допускає оцінку

 (7)

Варто зазначити, що крім (7), цей розв'язок допускає оцінку

Наступна теорема гарантує існування розв'язку задачі (5) для диференціального рівняння з відхиленням аргументів

(8)

де , , а відхилення аргументів , , є довільними вимірними за Лебегом функціями, які перетворюють інтервал в себе.

Теорема 3.2. Нехай функція у додатковій умові (5) має властивості (6), а функції , у рівнянні (8) є недодатними майже скрізь на інтервалі і задовольняють умову

Крім того, нехай існує невід'ємна функція , для якої виконується нерівність

Тоді для довільних функцій і таких, що і

задача (8), (5) має принаймні один розв'язок , який допускає оцінку

Для конкретних класів вагових функцій з теореми 3.2 випливає низка наслідків, які стосуються питань існування, локалізації і наближеної побудови розв'язків рівняння (8), які задовольняють умову (5). Наприклад, для рівняння (8) з додатковою умовою

(9)

де --- задана додатна константа, доведено наступне твердження.

Наслідок 3.2. Нехай функції , , у рівнянні (8) є недодатними майже скрізь на інтервалі і задовольняють умову

(10)

Тоді для довільного числа та довільних функцій і таких, що і

задача (8), (9) має принаймні один розв'язок , який допускає оцінку

Зауваження. З умови (10) випливає, що коефіцієнти , , можуть мати неінтегровні сингулярності в околі точки , якщо відповідні відхилення аргументів , задовольняють умову

Остання умова виконується, зокрема, коли

Четвертий розділ присвячено дослідженню сингулярної задачі Коші для широкого класу функціонально-диференціальних рівнянь з незростаючими нелінійностями.

Розглядається задача

(11)

(12)

де , --- деякий, взагалі кажучи, нелінійний оператор, а функція має властивості (6).

Означення 4.1. Під розв'язком рівняння (11) розуміємо локально абсолютно неперервну функцію , яка майже скрізь на інтервалі задовольняє рівняння (11) і є такою, що . Розв'язком задачі (11), (12) будемо називати розв'язок рівняння (11), який задовольняє додаткову умову (12).

Основним результатом даного розділу є теорема 4.1, яка гарантує існування розв'язків сингулярної задачі Коші (11), (12) за умови, що нелінійний оператор є незростаючим в сенсі наступного означення.

Означення 4.2. Оператор будемо називати незростаючим , якщо для довільної пари функцій таких, що виконується нерівність

Теорема 4.1. Нехай функція у додатковій умові (12) має властивості (6), а оператор у рівнянні (11) є незростаючим, і для довільного задовольняє умови

(13)

Крім того, нехай існують функції і з простору такі, що



і виконуються нерівності

Тоді задача (11), (12) має принаймні один розв'язок , який допускає оцінки

Зауважимо, що з огляду на властивості (6), функція є неперервною в кожній точці з інтервалу , а тому величини, які фігурують в (13), визначені коректно.

Наслідки для лінійного випадку, які випливають з теореми 4.1, доводяться у підрозділі 4.2.2.

У п'ятому розділі дисертації знаходяться умови єдиності розв'язку з точністю до його значення в кінці інтервалу для систем лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами.

Розглядається система функціонально-диференціальних рівнянь

(14)

з додатковими умовами

(15)

де , , --- локально інтегровні за Лебегом функції, , , --- деякі лінійні оператори негативні в сенсі означення 3.3, а функції , , задовольняють властивості (6).

Означення 5.1. Під розв'язком системи (14) розуміємо локально абсолютно неперервну вектор-функцію , яка майже скрізь на інтервалі задовольняє рівняння (14) і є такою, що . Розв'язком задачі (14), (15) будемо називати розв'язок системи (14), який задовольняє додаткову умову (15).

Наступна теорема встановлює умови єдиності розв'язку задачі (14), (15) з точністю до його значення в точці .

Теорема 5.1. Нехай функції , у додаткових умовах (15) мають властивості (6), оператори , , у рівняннях (14) є негативними і задовольняють умови

Крім того, нехай існує таке число , що майже для всіх і всіх , виконується нерівність

Тоді задача (14), (15) має -параметричну сім'ю розв'язків для довільних локально інтегровних функцій , , таких, що

(16)

і для довільних констант лише один із цих розв'язків задовольняє умови

(17)

Більше того, якщо для функцій , , і констант , , майже скрізь на інтервалі виконуються нерівності

(18)

то єдиний розв'язок задачі (14), (15), (17) має невід'ємні компоненти.

Символ в нерівності (18) означає результат застосування оператора до функції, тотожно рівної одиниці.

Зауваження. З огляду на негативність операторів , , умови (18) виконуються, зокрема, у випадку, коли константи , а функції , , є недодатними майже скрізь на інтервалі .

У пі дрозділі 5.3 доводяться наслідки для систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументів. Розглядається задача (15), (17) для системи диференціальних рівнянь

(19)

де , . Відхилення аргументів , , у рівняннях (19) є довільними вимірними за Лебегом функціями, які перетворюють інтервал в себе.

Має місце наступне твердження.

Наслідок 5.2. Нехай функції , мають властивості (6), а функції , , у рівяннях (19) є недодатними майже скрізь на інтервалі і задовольняють умови

і

(20)

Тоді для довільних локально інтегровних функцій , , які задовольняють властивості (16), і довільних дійсних констант , задача (19), (15), (17) має єдиний розв'язок. Більше того, якщо для функцій , і констант , , майже скрізь на інтервалі виконуються нерівності

то єдиний розв'язок задачі (19), (15), (17) має невід'ємні компоненти.

Зауваження. На прикладі простого скалярного функціонально-диференціального рівняння доводиться, що умова (20) наслідку 5.2 є оптимальною в тому сенсі, що її не можна замінити відповідною нестрогою нерівністю

Цікавий наслідок отримано для скалярного диференціального рівняння вигляду

(21)

з додатковою умовою

(22)

де , .

Наслідок 5.4. Нехай виконуються нерівності

(23)

і

де .

Тоді для довільної функції , інтегровної з ваговою функцією на інтервалі , і довільної дійсної константи задача (21), (22) має єдиний розв'язок, який задовольняє додаткову умову

(24)

Більше того, якщо функція і константа майже скрізь на інтервалі задовольняють нерівність , то розв'язок задачі (21), (22),(24) є невід'ємним.

Зауваження. З нерівності (23) випливає, що коефіцієнт у рівнянні (21) може мати неінтегровну сингулярність в околі точки у випадку, коли , тобто коли має місце випередження аргументу.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню нелокальних крайових задач для регулярних та сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь. У роботі отримано такі основні результати:

знайдено умови існування та єдиності розв'язку нелокальної крайової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду, які, зокрема, включають рівняння нейтрального типу; доведено оптимальність отриманих умов; одержано наслідки, які узагальнюють результати праць R. Hakl, A. Lomtatidze, B. Pua Hakl R. On a boundary value problem for first-order scalar functional differential equations / R. Hakl, A. Lomtatidze, B. Puza // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. -- 2003. -- Vol. 53, № 3-4. -- P. 391-405. та J. remr Sremr J. On the Cauchy type problem for systems of functional differential equations / J. Sremr // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. -- 2007. -- Vol. 67, № 12. -- P. 3240-3260.;

одержано деякі загальні умови, достатні для існування розв'язків з обмеженим ростом для лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами; досліджено локалізацію розв'язків такого типу; отримано наслідки для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументів, коефіцієнти яких є недодатними функціями і можуть мати неінтегровні сингулярності;

доведено теорему про існування і локалізацію розв'язків сингулярної задачі Коші для нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з незростаючими операторами; одержано наслідки для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь;

знайдено достатні умови існування та єдиності (з точністю до значення в кінці інтервалу) розв'язків з обмеженим ростом для систем лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами; доведено оптимальність знайдених умов; отримано низку наслідків для систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументів.

Результати роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані при дослідженні різних математичних моделей реальних фізичних процесів, зокрема, у прикладних задачах економіки, імунології тощо.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1 Ronto A. On the unique solvability of a non-lo cal boundary value problem for linear functional differential equations / A. Ronto, V. Pylypenko, N. Dilna // Mathematical Modelling and Analysis. -- 2008. -- Vol. 13, № 2. -- P. 241--250.

2 Дільна Н. З. Деякі умови однозначної розв'язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь / Н. З. Дільна, В. А. Пилипенко, А. М. Ронто // Доповіді НАН України. -- 2008. -- № 6. -- С. 18--22.

3 Pylypenko V. On singular solutions of linear functional differential equations with negative coefficients / V. Pylypenko, A. Ronto // Journal of Inequalities and Applications.-- 2008. -- Vol. 2008. -- P. 1--16.

4 Pylypenko V. On a singular Cauchy problem for functional differential equations with non-increasing non-linearities / Pylypenko V., Ronto A. -- Prague: Institute of Mathematics, AS CR, 2009. -- 14 p. -- (Preprint / AS CR, Institute of Mathematics; 2009-6-15).

5 Pylypenko V. Slowly growing solutions of linear functional differential systems / Pylypenko V., Ronto A. -- Prague: Institute of Mathematics, AS CR, 2009. -- 20 p. -- (Preprint / AS CR, Institute of Mathematics; 2009-8-6).

6 Ронто А. М. Деякі умови однозначної розв'язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь / А. М. Ронто, В. А. Пилипенко, Н. З. Дільна // Дванадцята міжнародна конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р.: матеріали конф. -- Київ, 2008. -- С. 341.

7 Pylypenko V. A. On singular solutions of linear functional differential equations with negative coefficients / V. A. Pylypenko // Third International Students and Post-graduates Conference ``To High Technologies on the Base of Advanced Physical Materials Science Research and Computer Modeling'', 30 September -- 5 October 2008: Programme and Abstracts. -- Kyiv, 2008. -- P. 62.

8 Пилипенко В. А. Існування та єдиність розв'язків систем лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами / В. А. Пилипенко // Міжуніверситетська наукова конференція з математики та фізики для студентів та молодих вчених, 21-22 травня 2009 р.: тези доп. -- Київ, 2009. -- С. 44.

9 Пилипенко В. А. Сингулярная задача Коши для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений / В. А. Пилипенко, А. Н. Ронто // Міжнародна конференція до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди, 8-13 червня 2009р.: тези доп. -- Чернівці, 2009. -- С. 214.

АНОТАЦІЯ

Пилипенко В.А. Про розв'язність деяких нелокальних крайових задач для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь. --- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 --- диференціальні рівняння. --- Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

У дисертаційній роботі знайдено умови існування та єдиності розв'язку нелокальної крайової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду, які, зокрема, включають рівняння нейтрального типу. Одержано деякі загальні умови, достатні для існування розв'язків з обмеженим ростом для лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами та отримано наслідки для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументів. Доведено теорему про існування і локалізацію розв'язків сингулярної задачі Коші для нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з незростаючими операторами. Знайдено загальні умови, достатні для існування та єдиності (з точністю до значення в кінці інтервалу) розв'язків з обмеженим ростом для систем лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами, доведено оптимальність отриманих умов та деякі наслідки для систем рівнянь з відхиленням аргументів.

Ключові слова: крайова задача, сингулярна задача Коші, функціонально-диференціальне рівняння, нелокальна умова, однозначна розв'язність, сингулярний розв'язок.

АННОТАЦИЯ

Пилипенко В. А. О разрешимости некоторых нелокальных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. --- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 --- дифференциальные уравнения. --- Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

В диссертации исследуются условия разрешимости нелокальных краевых задач для регулярных и сингулярных функционально-дифференциальных уравнений.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и библиографии.

В введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задания исследования, даётся краткая аннотация полученных результатов и их практическое значение.

В первом разделе даётся обзор литературы по теме диссертации.

Второй раздел диссертации посвящен исследованию нелокальной краевой задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений общего вида. Получены условия существования и единственности решения изучаемой задачи и доказана их оптимальность. Следует отметить, что эти результаты можно применять и к системам уравнений нейтрального типа.

В третьем разделе исследуется функционально-дифференциальное уравнение вида

с дополнительным условием

где , --- линейный оператор, , а --- неубывающая функция, которая удовлетворяет условию . Решения уравнения отыскиваются в классе локально абсолютно непрерывных функций на интервале , производные которых являются интегрируемыми с весовой функцией . В данном разделе найдены условия, достаточные для существования решений ограниченного роста для линейных сингулярных функционально-дифференциальных уравнений с негативными операторами и исследована локализация их решений. Также получены следствия для дифференциальных уравнений с отклонениями аргументов, коэффициенты которых являются неположительными функциями и могут иметь неинтегрируемые сингулярности в окрестности точки .

Четвёртый раздел посвящен сингулярной задаче Коши для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с невозрастающими операторами. Получены условия, достаточные для её разрешимости. Кроме того, доказаны следствия для линейного случая.

В пятом разделе найдены условия, достаточные для однозначной разрешимости с точностью до значения решения в правом конце интервала систем линейных сингулярных функционально-дифференциальных уравнений с отрицательными коэффициентами.

Ключевые слова: краевая задача, сингулярная задача Коши, функционально-дифференциальное уравнение, нелокальное условие, однозначная разрешимость, сингулярное решение.

ABSTRACT

Pylypenko V. A. On the solvability of some non-local boundary value problems for linear functional differential equations. --- Manuscript. The thesis for the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 --- differential equations. --- Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

General conditions are obtained for the unique solvability of a non-local boundary value problem of linear functional differential equations. The results presented are applicable, in particular, to neutral type linear functional differential equations. New theorems on the existence and localization of solutions of singular linear functional differential equations with negative operators are established. Some corollaries for differential equations with argument deviations are proved. Sufficient conditions for the solvability of a singular Cauchy problem for functional differential equations with non-increasing non-linearities are obtained and corollaries for linear case are proved. New conditions sufficient for the existence and uniqueness (under an additional condition) of a solution of a system of singular functional differential equations with non-increasing operators are established and unimprovability of these conditions is proved.

Key words: boundary value problems, singular Cauchy problem, functional differential equation, non-local condition, unique solvability, singular solution.

Размещено на Allbest.ru

...