Операторне перетворення Фур’є-Лапласа в класах узагальнених функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

ОПЕРАТОРНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є-ЛАПЛАСА В КЛАСАХ УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Соломко Андрій Васильович

Львів - 2009

Анотація

Соломко А.В. Операторне перетворення Фур'є-Лапласа в класах узагальнених функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2009.

Дисертацію присвячено побудові операторного перетворення Фур'є-Лапласа в класах узагальнених функцій. У роботі описано властивості просторів основних та узагальнених функцій з носіями в довільному конусі, властивості просторів ультрадиференційовних функцій та ультрарозподілів класу Жевре в додатному n-вимірному конусі. Досліджено згорткові алгебри розподілів Шварца з носіями в довільному конусі та ультрарозподілів типу Жевре. Описано зображення цих згорткових алгебр у вигляді комутанта n-параметричної (С₀)-напівгрупи операторів. Запропоновано новий метод побудови функціонального числення в згорткових алгебрах у формі операторного перетворення Фур'є-Лапласа. На основі побудованої теорії розглянуто ряд прикладів.

Ключові слова: сильно неперервна напівгрупа, узагальнена функція, ультрарозподіл, функціональне числення, операторне перетворення Фур'є-Лапласа.

Аннотация

Соломко А.В. Операторное преобразование Фурье-Лапласа в классах обобщенных функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2009.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников.

В первом разделе “Обзор литературы, основные понятия и результаты исследований” проводится краткий обзор этапов развития научной мысли по тематике диссертации, изложена общая методика исследований, приведены некоторые вспомогательные сведения и утверждения, которые используются в следующих разделах.

В разделе 2 “Свойства сверточных алгебр распределений с носителями в конусе” доказана теорема о топологическом изоморфизме алгебры распределений Шварца с носителями на конусе коммутанту n-параметрической полугруппы сдвигов. Также установлена теорема об операторном представлении элементов Фурье-образа алгебры распределений Шварца.

Раздел 3 “Операторное преобразование Фурье-Лапласа сверточных алгебр с носителями в конусе” посвящен построению операторного исчисления для генераторов n-параметрических (С0)-полугрупп операторов в алгебре Фурье-образов сверточных алгебр обобщенных функций с носителями в конусе. В качестве примеров рассмотрены обобщенные производные и мультипликативные степени дельта-функции Дирака от генераторов тензорного произведения однопараметрических сильно непрерывных полугрупп операторов дробного интегрирования.

В разделе 4 “Операторное преобразование Фурье-Лапласа сверточных алгебр ультрараспределений Жевре” построено функциональное исчисление для генераторов сильно непрерывных n-параметрических полугрупп операторов в алгебре Фурье-образов сверточной алгебры ультрараспределений типа Жевре с носителями в положительном n-измеримом конусе. Доказана теорема об изображении сверточной алгебры ультрараспределений типа Жевре в виде коммутанта полугруппы сдвигов в алгебре линейных непрерывных отображений над пространством ультрадифференцируемых функций с носителями в положительном n-измеримом конусе.

Ключевые слова: сильно непрерывная полугруппа, генератор, обобщенная функция, ультрараспределение, операторное исчисление, операторное преобразование Фурье-Лапласа.

Abstract

Solomko A.V. Fourier-Laplace operator transformation in the classes of generalized functions - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of Physical and Mathematical Sciences by speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis. - Ivan Franko National University, Lviv, 2009.

The dissertation is devoted to construction of the Fourier-Laplace transformation in the some classes of generalized functions. The properties of spaces of the test functions and distribution spaces with supports on cone and properties of spaces of ultradifferential functions and Gevrey ultradistributions on positive n-dimension cone is described in the work. The convolution algebras of linear and continuous functionals with supports on cone and Gevrey ultradistributions are considered. The representation of convolution algebras as commutant of the n-parametric (C0)-semigroup of operators is proved. New method of construction of the functional calculus in the convolution algebras for generators of the strongly continuous semigroups of operators is presented. On the base of the constructed theory some examples is considered.

Key words: strongly continuous semigroup, generalized function, ultradistribution, operator calculus, operator Fourier-Laplace transformation.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена побудові функціонального числення від генераторів -параметричних сильно неперервних напівгруп операторів в алгебрах Фур'є-образів узагальнених функцій з носіями в довільному -вимірному конусі та ультрарозподілів класу Жевре в додатному -вимірному конусі. Побудоване функціональне числення можна розглядати як узагальнення відомого операторного перетворення Фур'є-Лапласа, розвинутого Е. Хіллом, Р. Філіпсом і В. Балакрішнаном для згорткових алгебр мір на випадок згорткових алгебр узагальнених функцій та ультрарозподілів. Відзначимо, що для випадку самоспряжених операторів, опираючись на спектральну теорію, функціональне числення в просторах узагальнених функцій розвинено у роботах М.Л. Горбачука та В.І. Горбачук, Ю.М. Березанського, Ю.C. Самойленка та ін.

Операторне перетворення Фур'є-Лапласа в згорткових алгебрах узагальнених функцій Шварца та ультрарозподілів типу Жевре, яке розвивається в дисертаційній роботі, безпосередньо пов'язано з актуальними проблемами теорії узагальнених функцій і ультрарозподілів, а саме, існуванням згорток та узагальнених граничних значень, а також з проблемами їх ділення і множення. Класичний аспект цих проблем для просторів узагальнених функцій представлено у роботах В. Владімірова, Г. Кете, Х.-Г. Тільмана, К. Чевалі, П. Дєрольфа, Д. Фоігта та ін. Випадок векторнозначних узагальнених функцій вивчався, зокрема, Г. Бенгелем. В просторах ультрарозподілів згортки і узагальнені граничні значення вивчалися в працях Х. Коматси, Д. Кіма, С. Чунга, Д. Фоігта, Р. Меісе, Х. Піча, Л. Родіно, Т. Грамчева, Р. Кармайкла, А. Каміньскі, С. Піліповіча, Д. Мітровича та ін.

Операторне перетворення Фур'є-Лапласа дає ефективний метод для дослідження операторних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними в просторах узагальнених функцій. Шляхом ділення Фур'є-образів, як відомо, зокрема, з робіт Л. Хермандера, С. Лоясевича, встановлюють існування фундаментальних розв'язків лінійних диференціальних рівнянь. Проблема множення викликана потребами квантової теорії протрактувати, наприклад, мультиплікативні степені -функції Дірака. Цьому присвячено роботи О.С. Парасюка, а в рамках секвенціального підходу - роботи А. Мікусінського, П. Антосика та Р. Сікорського.

Як приклад, в дисертаційній роботі проаналізовано, зокрема, деякі операторні рівняння, мультиплікативні степені та узагальнені похідні -функції Дірака від генераторів тензорного добутку однопараметричних сильно неперервних напівгруп дробового інтегрування.

Отже, коло проблем, пов'язаних з тематикою даної роботи, охоплює значну частину теорії операторів в банахових просторах, тензорних добутків локально опуклих топологічних просторів, а також теорію розподілів Шварца та ультрарозподілів класу Жевре, теорію абстрактних диференціальних рівнянь, що говорить про актуальність теми дисертаційного дослідження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проведене в рамках наукового плану кафедри математичного аналізу і прикладної математики Прикарпатського національного університету ім. В. Стефаника за напрямком “Побудова функціонального числення в класах узагальнених функцій”, та виконувалось за держбюджетними темами відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України “Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень”, номер державної реєстрації 0198U002533 і “Дослідження аналітичних функцій і ультрагладких векторів в банахових просторах та їх застосування в спектральній теорії операторів”, номер державної реєстрації 0107U000363.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження операторного перетворення Фур'є-Лапласа в згорткових алгебрах узагальнених функцій Шварца та ультрарозподілів типу Жевре з носіями в -вимірних конусах та побудова функціонального числення, для якого класами символів є ці згорткові алгебри.

Задачі дослідження:

- опис згорткової алгебри узагальнених функцій типу Шварца з носіями в довільному -вимірному конусі;

- опис згорткової алгебри ультрарозподілів класу Жевре з носіями в додатному -вимірному конусі;

- функціональне числення для генераторів -параметричних -напівгруп над банаховими просторами в Фур'є-образах таких згорткових алгебр;

- застосування побудованого функціонального числення.

Об'єктом дослідження є простори узагальнених функцій типу Шварца та ультрарозподілів типу Жевре з носіями в -вимірних конусах.

Предметом дослідження є опис властивостей операторного перетворення Фур'є-Лапласа згорткових алгебр узагальнених функцій типу Шварца з носіями в довільному конусі та ультрарозподілів типу Жевре з носіями в додатному -вимірному куті.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач використовується теорія двоїстості локально опуклих топологічних просторів, теорія узагальнених функцій та теорія ультрарозподілів, елементи теорії топологічних тензорних добутків локально опуклих просторів, а також методи теорії сильно неперервних багатопараметричних напівгруп операторів на банахових просторах.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати дисертації є новими. У роботі вперше побудовано операторне перетворення Фур'є-Лапласа в згорткових алгебрах узагальнених функцій Шварца та ультрарозподілів типу Жевре з носіями в -вимірних конусах; доведено теореми про зображення таких згорткових алгебр у вигляді комутанта -параметричної напівгрупи зсувів над простором нескінченно диференційовних фінітних функцій з носіями в -вимірному конусі та ультрадиференційовних функцій класу Жевре в додатному -вимірному куті; описано функціональне числення в Фур'є-образах таких згорткових алгебр для генераторів -параметричних сильно неперервних операторних напівгруп; наведено ряд прикладів застосування побудованого функціонального числення, зокрема, до зображення мультиплікативних степенів та узагальнених похідних дельта-функції Дірака від генераторів тензорного добутку однопараметричних напівгруп операторів дробового інтегрування.

Практичне значення отриманих результатів. Одержані в дисертаційному дослідженні результати мають теоретичний характер і можуть бути застосовані у дослідженнях з теорії операторів на банахових просторах, в теорії абстрактних диференціальних рівнянь, в квантовій теорії поля, а також в математичній фізиці.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації основні результати отримані автором самостійно. У спільних роботах [2, 7] науковому керівнику Лопушанському О.В. належать постановка задач, передбачення та аналіз отриманих результатів. Також співавтору статей, к. ф.-м. н. Шарину С.В. у роботі [1] належить теорема 2; твердження 2, 3, які опубліковані в спільній роботі [2]; теорема 1 в роботі [3] та ідея узагальнення операції крос-кореляції на векторний випадок у роботі [6].

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та були надруковані в тезах доповідей на Міжнародній науковій конференції “Functional analysis and its Applications”, присвяченій 110-ій річниці з дня народження Ст. Банаха (Львів, 28-31 травня 2002 р.); на І-ій Літній школі з топологічної алгебри та функціонального аналізу (Львів-Козева, 22-31 липня 2003 р.); на ІІІ Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 9-12 вересня 2003 р.); на Конференції молодих вчених із сучасних проблем механіки та математики ім. Я. С. Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004 р., 24-27 травня 2005 р.); на Міжнародній конференції, присвяченій 125-ій річниці з дня народження Ганса Гана (Чернівці, 27 червня-3 липня 2004 р.); на ХІХ Відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, 21-23 вересня 2005 р.); на Міжнародній науковій конференції “Analysis and Related Topics” (Львів, 17-20 листопада 2005 р.); на IV Літній школі “Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis” (Львів-Козева, 17-29 липня 2006 р.); на Міжнародній науковій конференції “Mathematical Analysis, Differential Equations and Their Applications” (Ужгород, 18-23 вересня 2006 р.); на V Міжнародній конференції з прикладної математики ім. проф. І.А. Руса (Байа-Маре, Румунія, 21-24 вересня 2006 р.), Міжнародній математичній конференції ім. Я.В. Скоробогатька (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р.), на виїзному засіданні секції математики та математичного моделювання Західного наукового центру НАН України і МОН України (Івано-Франківськ, 15-16 листопада 2007 р.); звітних науково-практичних конференціях в Прикарпатському національному університеті ім. В. Стефаника (15-16 квітня 2003 р., 6-8 квітня 2004 р., 29-31 березня 2005 р., 20-22 березня 2006 р., 26-30 березня 2007 р., 24-28 березня 2008 р.); семінарі відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів); засіданнях наукових семінарів кафедри математичного і функціонального аналізу Прикарпатського національного університету ім. В. Стефаника (м. Івано-Франківськ).

2. Основний зміст роботи

У вступі роботи розкрито сутність і стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено методи дослідження.

У першому розділі проводиться короткий огляд етапів розвитку наукової тематики дисертації, викладено загальну методику досліджень, наведено деякі допоміжні відомості та твердження, які використовуються в наступних розділах.

Другий розділ дисертації присвячений дослідженню ряду властивостей локально опуклих просторів дуальної пари , що використовуються при побудові функціонального числення.

Розглядаємо класичну двоїстість , породжену білінійною формою , де належить простору - нескінченно дифе-ренційовних функцій з компактними носіями , а - спряженому до простору узагальнених функцій Шварца . Локально опуклий простір може бути описаний у вигляді індуктивної границі послідовності просторів Фреше із компактними вкладеннями , де і - замкнена одинична куля в ,

Позначимо через - довільний замкнений опуклий гострий тілесний конус в Далі - підпростір в тих розподілів , носії яких містяться в . Зауважимо, що простір є згортковою алгеброю. Поляра відносно має вигляд

Білінійна форма , , , визначена на фактор-просторі породжує двоїстість . На просторі задаємо сильну топологію відносно . Фактор-відображення може бути реалізоване за допомогою відображення де - характеристична функція конуса . Образ простору при відображенні з індукованою топологією позначаємо Ізоморфізм на реалізується відображенням , тому можемо ототожнювати . В результаті , де , і складається із звужень функцій на . В підрозділі 2.1 досліджується двоїстість , породжена . Зокрема, встановлено, що простір є типу (LF), бочковим і монтелевим. Простір інваріантний відносно узагальненого диференціювання і спряжений оператор відносно двоїстості на внутрішності конуса співпадає із звичайним диференціюванням, а на границі визначений як внутрішня похідна.

В підрозділі 2.2 наведено узагальнення операції крос-кореляції для випадку довільного конуса і описуються її основні властивості. Встановлено теорему про топологічний ізоморфізм згорткової алгебри комутанту -напівгрупи зсувів в алгебрі лінійних неперервних операторів над простором основних функцій . Детальніше, -параметрична напівгрупа зсувів вздовж конуса над визначає оператор за допомогою рівності , де , , - фактор-відображення на , - топологічний ізоморфізм просторів і . Сім'я операторів утворює напівгрупу класу , яка є одностайно неперервною над простором . Для довільного розподілу та функції визначаємо операцію для довільних Лема 2.2.2 стверджує, що оператор крос-кореляції , визначений рівністю , є неперервним над простором .

Розглянемо алгебру лінійних неперервних відображень над простором з топологією рівномірної збіжності на компактах. Множину операторів в , які комутують з напівгрупою , називаємо комутантом.

Теорема 2.2.1. Відображення здійснює топологічний ізоморфізм згорткової алгебри розподілів на комутант напівгрупи операторів в алгебрі . Для будь-яких розподілів маємо , де - функція Дірака, I - одиничний оператор в , - згортка, до того ж операція в неперервна.

В підрозділі 2.3 користуючись двоїстістю описано розширення перетворення Фур'є з простору функцій на згорткову алгебру і асоційовану з ним двоїстість . Доводиться теорема про операторне зображення згорткової алгебри , що є скалярним випадком функціонального числення.

Розглянемо перетворення Фур'є і на його образі задаємо індуковану топологію. Породжене ним відображення є перетворенням Фур'є функцій з на Фур'є-образ

,

який також оснащуємо індукованою топологією. Тоді є монтелевим, бочковим і борнологічним (LF)-простором. Обернене відображення володіє властивістю де обернене перетворення Фур'є визначається за формулою , . Справедлива рівність , де позначає сильно спряжений простір до . Перетворення називаємо узагальненим перетворенням Фур'є розподілів з простору , оскільки воно задовольняє співвідношенню



Розглянемо алгебру лінійних неперервних операторів над простором з топологією рівномірної збіжності на компактах. Визначимо оператор вигляду і задамо відображення , де оператор діє на функцію за формулою

Теорема 2.3.1. Відображення здійснює топологічний ізоморфізм згорткової алгебри на підалгебру алгебри тих операторів, які комутують з напівгрупою операторів . Крім цього, для всіх виконується рівність , і операція композиції в підалгебрі є неперервною.

Зауважимо, що простір в сильній топології є алгеброю відносно множення , яка топологічно ізоморфна згортковій алгебрі . Якщо через позначити комутант в напівгрупи , то алгебра також топологічно ізоморфна підалгебрі операторів .

В підрозділі 2.4 даємо іншу інтерпретацію алгебри . Нехай - спряжений конус до . На Фур'є-образі розглянемо напівгрупу зсуву . Cім'я операторів є одностайно неперервною -напівгрупою операторів над . Розширимо на згорткову алгебру напівгрупу згідно із співвідношенням . Перетворення Фур'є-Лапласа розподілів з визначається співвідношенням , де Його образ наділяємо топологією, індукованою оберненим перетворенням Фур'є-Лапласа.

Теорема 2.4.1. Простір є мультиплікативною алгеброю -значних аналітичних функцій в комплексній області , де - внутрішність і узагальнене перетворення Фур'є-Лапласа здійснює алгебраїчний ізоморфізм згорткової алгебри на . Зокрема, і є одиничною функцією алгебри .

Теорема 2.4.2. Для кожної функції існує єдиний розподіл такий, що в сильній топології простору , тобто елементи можна трактувати як узагальнені граничні значення функцій з алгебри .

В третьому розділі дисертації побудовано функціональне числення для генераторів -параметричних -напівгруп лінійних операторів над деяким банаховим простором у випадках, коли за клас символів беруться Фур'є-образи згорткових алгебр узагальнених функцій з носіями в конусі. Як приклади застосування такого числення, зокрема, розглянуто значення узагальнених похідних та степенів дельта-функції Дірака від генераторів тензорного добутку напівгруп дробового інтегрування.

В підрозділі 3.1 ряд властивостей дуальної пари просторів узагальнено на випадок функцій та розподілів із значеннями в деякому банаховому просторі. Розглядаємо комплексний банаховий простір . З огляду на ядерність простору , простір - фінітних нескінченно гладких -значних функцій може бути визначений за допомогою ізоморфізму , де - поповнення тензорного добутку просторів в проективній топології. Подібно визначається простір , який складається з -значних функцій з компактними носіями в конусі , що є нескінченно гладкими у внутрішності конуса і мають внутрішні похідні на межі.

Теорема 3.1.1. Справедливі наступні топологічні ізоморфізми:

.

Як наслідок, для будь-якого елемента з , знайдеться таке число , що і можна подати у вигляді абсолютно збіжного ряду в просторі вигляду , де , а послідовності та прямують до нуля відповідно в просторах та .

В підрозділі 3.2 визначається та досліджується операція крос-кореляції , векторнозначної функції із скалярним розподілом , де - одиничний оператор над .

Теорема 3.2.2. Для кожного розподілу оператор крос-кореляції ядерний та комутує з операторами зсуву . Навпаки, для довільного оператора такого, що оператор комутує з , існує єдиний розподіл такий, що і для всіх

У підрозділі 3.3 для набору операторів , , які генерують в деякому банаховому просторі -параметричну -напівгрупу, побудовано неперервний гомоморфізм із алгебри аналітичних функцій в алгебру операторів . Цей гомоморфізм можна трактувати, як функціональне числення для набору операторів в алгебрі символів .

Нехай - -параметрична напівгрупа класу над банаховим простором . Генератори напівгрупи визначаємо співвідношеннями , де кожен лінійний оператор , є замкненим і має щільну область визначення . Розглянемо відображення вигляду

і на задаємо топологію, індукованою відображенням .

Теорема 3.3.1. Якщо - -параметрична -напівгрупа, то підпростір щільний в банаховому просторі .

Нехай - простір лінійних неперервних відображень над з топологією рівномірної збіжності на обмежених множинах.

Теорема 3.3.2. Відображення , де лінійний оператор визначається формулою

,

є неперервним гомоморфізмом алгебри аналітичних функцій на замкнену підалгебру в тих операторів, які комутують з -параметричною напівгрупою операторів . Зокрема, , а оператор розширюється до одиничного оператора простору .

В підрозділах 3.4-3.5 розглянуто окремий випадок операторного числення, побудованого в попередній теоремі, і розглянуто ряд прикладів застосування такого числення.

В розділі IV побудовано операторне числення для генераторів сильно неперервних -параметричних напівгруп операторів над деяким банаховим простором у випадках, коли за клас символів беруться Фур'є-образи згорткової алгебри ультрарозподілів класу Жевре з носіями в додатному -вимірному конусі.

Розглядаємо додатний -вимірний конус . Для фіксованого і довільних векторів , , і , визначимо простір нескінченно диференційовних функцій

, ,

де , . Розглянемо індуктивну границю просторів

Для функцій однієї змінної відображення , де - функція Хевісайда півосі , визначає фактор-простір . Тоді називається простором ультрадифе-ренційовних функцій класу Жевре в додатному -вимірному конусі. Далі елементи трактуємо як функції змінної , де . Алгебру наділяємо топологією рівномірної збіжності на компактах. Наступні дві теореми наведені в підрозділі 4.1.

Теорема 4.1.1. Для будь-якого сім'я операторів

, , ,

є одностайно неперервною -напівгрупою в алгебрі . Генератором цієї напівгрупи є оператор правосторонньої частинної похідної по змінній . Генератор належить алгебрі .

Теорема 4.1.2. Для будь-якого сім'я операторів

,

є одностайно неперервною -напівгрупою в алгебрі з генератором множення на незалежну змінну .

Тензорний добуток -напівгруп операторів зсуву з генераторами надалі ми будемо позначати через .

В підрозділі 4.2 розглядається сильно спряжений простір до , який позначаємо через . Його елементи називають ультрарозподілами типу Жевре з носіями в конусі . Значення на функції позначаємо . Простір є згортковою алгеброю. Виконується вкладення і білінійна форма породжує двоїстість .

Теорема 4.2.1. Відображення , визначене співвідношенням , здійснює лінійний топологічний ізоморфізм на комутант -напівгрупи операторів в алгебрі . Навпаки, обернене відображення однозначно визначає згортку ультрарозподілів

,

відносно якої є алгеброю з одиницею . При цьому одиничному оператору при відображенні відповідає -функція.

В 4.3 досліджується підпростір , який є векторно-значним аналогом простору і далі використовується в функціональному численні. Введемо допоміжні банахові простори

.

Через позначимо підпростір в банаховому просторі вигляду

.

На просторі вводимо топологію індуктивної границі

відносно неперервних вкладень для всіх . В підрозділі 4.4 показано, що щільний в банаховому просторі .

Аналогічно, як в підрозділі 2.3, для згорткової алгебри визначається перетворення Фур'є, і його образ з відповідною індуктивною топологією позначаємо через . В результаті в сильній топології відносно двоїстості є топологічною алгеброю.

Теорема 4.4.1. Відображення , де лінійний оператор визначається формулою

,

є неперервним гомоморфізмом Фур'є-образу алгебри ультрарозподілів класу Жевре в алгебру операторів , при цьому оператор розширюється до одиничного . Зокрема, .

згортковийх алгебра фур'є конус

Висновки

У дисертації описано топологічні властивості просторів дуальних пар та розподілів Шварца з носіями в довільному конусі та ультрарозподілів типу Жевре в додатному -вимірному конусі. Знайдено їх опис у вигляді комутанта -параметричної -напівгрупи зсувів відповідно у просторі нескінченно диференційовних фінітних функцій з носіями в конусі та ультрадиференційовних функцій типу Жевре.

У роботі описано операторне перетворення Фур'є-Лапласа у формі функціонального числення для генераторів -параметричних напівгруп класу (С0) над деяким банаховим простором в Фур'є-образах згорткових алгебр розподілів Шварца та ультрарозподілів типу Жевре. Таке числення базується на формулі, яка одержана шляхом модифікації операторного перетворення Фур'є на основі узагальнення операції крос-кореляції на векторнозначні функції. Досліджено властивості такого числення, зокрема, встановлено, що його образ може бути описаний у вигляді Фур'є-образу комутанта оператора зсуву.

Результати дисертації проілюстровано на прикладах. Зокрема, в згортковій алгебрі розподілів Шварца з носіями в конусі досліджено мультиплікативні степені та узагальнені похідні дельта-функції Дірака від генераторів тензорного добутку напівгруп дробового інтегрування.

Список опублікованих праць

1. Соломко А.В. Побудова (С0)-напівгруп операторів, що генеруються квадратними матрицями / А.В. Соломко, С.В. Шарин // Вісник Прикарп. ун-ту. - 2001. - Вип. 2. - С. 27-34.

2. Соломко А.В. Про топологічний ізоморфізм алгебри розподілів з носіями в конусі комутанту напівгрупи зсувів / О.В. Лопушанський, А.В. Соломко, С.В. Шарин // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, № 2. - С. 95-99.

3. Соломко А.В. Функціональне числення над банаховими просторами в конусі / А.В. Соломко, С.В. Шарин // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, № 4. - С. 51-56.

4. Соломко А.В. Операторне зображення Фур'є-образу згорткової алгебри розподілів на конусі / А.В. Соломко // Вісник Львівського університету. Серія мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 266-272.

5. Соломко А.В. Операторне числення для одного класу узагальнених функцій / А.В. Соломко // Науковий вісник Чернівецького ун-ту. - 2005. - Вип. 269. - С. 115-118.

6. Соломко А.В. Векторна операція крос-кореляції в довільному конусі / А.В. Соломко, С.В. Шарин // Вісник Прик. ун-ту. - 2007. - Вип. 3. - С. 29-36.

7. Соломко А.В. Операторне числення для генераторів сильно неперервних операторних напівгруп в алгебрі ультрарозподілів класу Жевре / Лопушанський О.В., Соломко А.В. - Львів, 2007. - 22 с. - (Препринт / НАН України, Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача).

8. Construction of the (C0)-semigroups, which are generated by square matrix: Book of Abstracts, May 28-31, 2002, Lviv / responsible for the issue A.V. Zagorodnuyk, R.O. Hryniv - Lviv: Ivan Franko National University of Lviv, 2002. - P. 181-182.

9. Функціональне числення в конусі для генераторів (С0)-напівгруп операторів: тези доповідей, 9-12 вересня 2003 р., Івано-Франківськ / ІІІ Всеукраїнська наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу” - Івано-Франківськ: Плай, 2003. - С. 61.

10. Fourier-image of convolution algebra of distributions on cone: тези доповідей, 24-26 травня, 2004 р., Львів / відп. ред. Г.С. Кіт. - Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача, 2004. - С. 184-186.

11. Functional calculus for distributions with compact supports: Book of abstracts, June 27-July 3, 2004, Chernivtsi / International conference dedicated to 125-th anniversary of Hans Hahn. - Chernivtsi: Chernivtsi Yuri Fed'kovych National University, 2004. - P. 161-162.

12. Ультрарозподіли класу Жевре в додатному -вимірному конусі: тези доповідей, 24-27 травня, 2005 р., Львів / відп. ред. Г.С. Кіт. - Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача, 2005. - С. 215-217.

13. Операторне числення для ультрарозподілів класу Жевре в додатному n-вимірному конусі: тези доповідей, 21-23 вересня 2005 р., Львів / ХІХ відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України. - Львів, 2005.

14. One method of construction of the functional calculus for a convolution algebra of distributions in Banach space: Abstracts, November 17-20, 2005, Lviv / responsible for the issue І.Е. Chygykov. - Lviv: Ivan Franko National University of Lviv, 2005. - P. 99-100.

15. Some properties of the functional calculus for generators of the (C0)-semigroup of operators on cone: Abstracts, July 17-29, 2006, Lviv-Kozyova / IV-th Summer School “Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis” - Lviv-Kozyova, 2006. - P. 68-70.

16. The limit representation of the distribution space on cone: Abstracts, September 18-23, 2006, Uzhgorod / International Scientific Conference “Mathematical Analysis, Differential Equations and Their Applications”. - Uzhgorod: Uzhgorod National University, 2006. - P. 172-173.

17. Tensor structure of Gewrey ultradistribution spaces: Abstracts, September 21-24, 2006, Baia Mare, Romania / 5th International Conference on Applied Mathematics in honor of prof. I.A. Rus. - Baia Mare, Romania, 2006. - P. 43.

18. Векторнозначне функціональне числення для ультрарозподілів класу Жевре: тези доповідей, 24-28 вересня, 2007 р., Дрогобич / відп. ред. А. Самойленко. - Дрогобич: ІППММ ім. Я.С. Підстригача, 2007. - С. 258.

Размещено на Allbest.ru

...