Диференціально-операторні рівняння та включення II порядку з відображеннями псевдомонотонного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517.9

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Диференціально-операторні рівняння та включення II порядку з відображеннями -псевдомонотонного типу

Задоянчук Ніна Василівна

КИЇВ - 2009



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, доцент КАПУСТЯН Олексій Володимирович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, СЛЮСАРЧУК Василь Юхимович, Національний університет водного господарства та природокористування (м. Рівне), професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор БОЙЧУК Олександр Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань.

Захист відбудеться " 25 " травня 2009 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, Київ, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко - математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в Науковій бібліотеці ім. М.Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий " 03" квітня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідженням нелінійних процесів та полів з відповідною розробкою математичних моделей займається багато дослідників та колективів фізиків, механіків (переважно теоретиків) і математиків. В фізиці та механіці імпульс до вивчення нелінійних процесів дали прикладні проблеми, пов'язані з фазовими переходами і односторонньою провідністю границь рідин, розповсюдженням електромагнітних, акустичних, вібро-, гідро- та сейсмоакустичних хвиль, квантово-механічними ефектами та ін. В сучасній фізиці існують цілі розділи, присвячені вивченню нелінійних процесів, такі, як синергетика, фізична та квантова інформатика та ін. Такі процеси описуються, як правило, нелінійними граничними задачами для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Системні дослідження широкого кола нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними набули бурхливого розвитку після розробки Ф. Браудером і І.В. Скрипником топологічних методів нелінійного аналізу, що знайшли своє застосування в різних розділах математики.

Стало природнім зводити вивчення нелінійних граничних задач до операторних та диференціально-операторних рівнянь та включень в нескінченновимірних просторах. На цьому шляху результати для конкретних систем є наслідками операторних теорем. При застосуванні операторного підходу основна складність полягає в виборі відповідного функціонального класу та перевірці властивостей породженого оператора.

В останні десятиліття в фізиці, механіці, економіці, екології, теорії оптимального керування з'явився клас об'єктів, що описуються диференціальними рівняннями з розривною компонентою, еволюційними нерівностями тощо. Систематичне вивчення еволюційних варіаційних нерівностей розпочалося в монографії Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс. "Неравенства в механике и физике". При цьому виникало багато нових задач, які до сих пір не розв'язані. Відмітимо, зокрема, проблему регулярності розв'язків, існування сильних розв'язків для немонотонних операторів, обґрунтування методу Фаедо-Гальоркіна в загальній ситуації тощо.

При застосуванні операторного підходу до диференціальних рівнянь з розривною правою частиною, варіаційних нерівностей параболічного типу, об'єктів теорії оптимального керування нескінченновимірних систем виникає необхідність в дослідженні диференціально-операторних включень в банахових просторах і просторах Фреше. Це, в свою чергу, вимагає введення та класифікації класів багатозначних відображень, доведення нових теорем вкладення функціональних просторів з інтегральними обмеженнями, розробки теорії "базису", узагальнення теореми Fan Ky на клас багатозначних відображень тощо.

Для нелінійних еволюційних рівнянь першого порядку відомо, принаймні, чотири методи дослідження: метод Фаедо-Гальоркіна, еліптична регуляризація, теорія напівгруп, різницеві апроксимації. Слід зауважити, що диференціально-операторні рівняння та включеня першого порядку системно досліджені в монографії Згуровский М.З., Касьянов П.О., Мельник В.С. "Дифферениально-операторные включения и вариационные неравенства в бесконечномерных пространствах". Узагальнення цих методів на диференціально-операторні рівняння та включення ІІ порядку з нелінійними немонотонними некоерцитивними відображеннями в банахових просторах є безумовно актуальною задачею, дослідження якої вимагає суттєвих технічних модифікацій.

В роботі досліджується клас диференціально-операторних включень ІІ порядку в спеціальних класах нескінченновимірних просторів. Об'єктом дослідження є така задача:

де - нелінійний багатозначний оператор "демпфування", - рефлексивний банахів простір зі спряженим , - обмежений лінійний оператор, не обов'язково коерцитивний, - демізамкнений обмежений багатозначний оператор, зокрема, - субдиференціал Кларка локально ліпшицевого функціоналу

На даний момент диференціально-операторні рівняння та включення вивчаються досить інтенсивно багатьма авторами: Згуровським М.З., Мельником В.С., Касьяновим П.О., Ковалевським О.А., Когутом П.І., Слюсарчуком В.Ю., Солонухою О.М., Борисовичем Ю.Г., Gelman B.D., Каменським М.I., Мишкісом A.Д., Обуховським В.В., Городнім М.Ф., Nicolosi Fr., Ansari Q.H., Khan Z., Yao J.-C., Aubin J.-P., Frankowska H., E.P. Avgerinos, N.S. Papageorgiou, Barbu V., Benchohra M., Ntouyas S.K., S. Carl, D. Motreanu, Hu S. та іншими. Дослідження з данного напрямку охоплюють квазілінійні рівняння з однорідними крайовими умовами або лінеаризовані рівняння з нелінійними умовами на межі області, що зводяться до нелінійних диференціально-операторних рівнянь та включень. Проте лінеаризовані об'єкти не завжди адекватно описують досліджуваний процес. Тому виникає необхідність в дослідженні еволюційних включень та варіаційних нерівностей з принципово вужчим набором властивостей. Останні розробки з даної тематики стосуються диференціально-операторних рівнянь та включень з глобально обмеженою по фазовій змінній немонотонною нелінійністю. Таким чином, проблема конструктивної розв'язності диференціально-операторних включень другого порядку в нескінченновимірних просторах з некоерцитивними нілінійними немонотонними відображеннями -псевдомонотонного типу є актуальною.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема 06БФ038-01 "Якісні та аналітичні методи дослідження і моделювання нелiнiйних систем та фізико-механічних полів" (керівник М.О. Перестюк, номер державної реєстрації 0106U005863). Частково дисертаційні дослідження виконувалися в рамках науково-дослідної теми "Диференціально-операторні включення та еволюційні варіаційні нерівності в нескінченновимірних просторах" (грант Державного фонду фундаментальних досліджень №Ф25.1//029, керівник О.C. Макаренко, номер державної реєстрації 0108U005984).

Мета i задачі дослідження. Метою дисертації є:

- обґрунтування розв'язності класу диференціально-операторних рівнянь II порядку з некоерцитивними немонотонними відображеннями типу Вольтера; вольтер диференціальний операторний включення

- розробка некоерцитивної теорії для диференціально-операторних включень II порядку з -псевдомонотонними відображеннями;

- обґрунтування методу сингулярних збурень для класу еволюційних включень з нелінійними багатозначними відображеннями вольтерівського типу в нескінченновимірних просторах;

- доведення теореми про розв'язність для класу некоерцитивних диференціально-операторних включень з -псевдомонотонними відображеннями в спеціальних класах просторів розподілів за допомогою методу Фаедо-Гальоркіна.

Об'єкт досліджень - диференціально-операторні рівняння та включення.

Предмет досліджень - диференціально-операторні рівняння та включення другого порядку в нескінченновимірних просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано наступні теоретичні результати:

- доведено розв'язність для диференціально-операторних рівнянь II порядку з некоерцитивними немонотонними відображеннями вольтерівського типу;

- обґрунтовано метод сингулярних збурень для диференціально-операторних включень другого порядку з нелінійними багатозначними відображеннями типу Вольтера в нескінченновимірних просторах;

- за допомогою методу Фаедо-Гальоркіна доведено теорему про розв'язність для диференціально-операторних включень другого порядку з некоерцитивними відображеннями -псевдомонотонного типу в спеціальних класах просторів розподілів;

- розроблено некоерцитивну теорію для диференціально-операторних включень II порядку з -псевдомонотонними відображеннями.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в спеціальних курсах і в дослідженнях з нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1]-[6] П.О.Касьянову належить розробка загальної методології та критичний аналіз одержаних результатів. В роботі [1] М.О.Перестюку належить постановка задач та обговорення можливих шляхів їх розв'язання.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

- International Conference on Differential Equations Dedicated to 100th Anniversary of Ya.B. Lopatynsky (Lviv, September 12-17, 2006);

- дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (15-17 травня 2008 року, Київ);

- міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування" з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М.Самойленка (16-21 червня 2008 року, Мелітополь);

- міжнародній науковій конференції "Mathematical Analysis, Differential Equations and their Applications" (Famagusta, North Cyprus, September 12-15, 2008);

- науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2009 р.);

- науковому семінарі відділу нелінійного аналізу ННК ІПСА НАН України та МОН України (2004, 2005, 2006, 2007 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 10 наукових роботах [1]-[10]. З них 6 статей [1]-[6] у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та 4 тези доповідей [7]-[10] на міжнародних математичних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків і списку цитованої літератури, що містить 137 назв. Обсяг роботи складає 156 сторінок друкованого тексту.

Автор висловлює щиру подяку доценту кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Касьянову Павлу Олеговичу за постійну увагу, підтримку, консультації та корисне обговорення результатів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і наукову новизну проведених досліджень, визначено об'єкт, предмет, методи дослідження, висвітлено теоретичне та практичне значення одержаних результатів, особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації.

У першому розділі наведено огляд літератури, пов'язаної з темою дисертації. В ньому висвітлено сучасну точку зору на підходи до вивчення диференціально-операторних рівнянь та включень в банахових просторах, а також наведено приклади нелінійних математичних моделей деяких процесів, що зводяться до диференціально-операторних рівнянь та включень в нескінченновимірних просторах. Наведено основні ідеї і підходи до вирішення такого типу задач, які використовуються у роботі для доведення результатів.

Другий розділ носить допоміжний характер і містить основні означення та твердження, які будуть використовуватися в роботі. У підрозділі 2.1 наведено деякі відомості теорії банахових просторів. Розглядається поняття суми та перетину банахових просторів. У підрозділі 2.2 вводяться основні класи просторів інтегровних за Бохнером функцій. У підрозділі 2.3 розглядаються спеціальні простори розподілів з інтегровними похідними.

Нехай задані числа , , такі, що задовольняють умови , визначаються умовами - скінченний інтервал часу. Для еволюційних трійок ( ), таких, що множина щільна в просторах , та , розглядаються банахові простори з відповідними нормами, де похідна від розуміється в сенсі простору розподілів . Зокрема, у даному підрозділі вводиться клас підмножин з такою властивістю: , якщо для довільної вимірної множини та довільних виконується . Тут і надалі для для м.в. Доведено критерій належності множини до класу .

Основні результати даного розділу висвітлені у роботі [6].

Розділ 3 присвячений розв'язності диференціально-операторних рівнянь II порядку з відображеннями псевдомонотонного типу. У підрозділі 3.1 наведено постановку задачі. В цьому розділі вважається, що , , Нехай також, - ланцюжок дійсних гільбертових просторів, таких, що , причому вкладення неперервне та щільне. Нехай таке, що маємо такий ланцюжок неперервних та щільних вкладень

де , та - фіксовані елементи. Нехай - повна система лінійно незалежних елементів із для деякого , і нехай - лінійна оболонка множини , наділена скалярним добутком, індукованим із . Для довільного позначимо через оператор ортогонального проектування з в .

У підрозділі 3.2 вивчаються класи однозначних відображень, які використовуються для доведення розв'язності диференціально-операторних рівнянь II порядку.

Означення 3.2.1. Відображення називається -псевдо-монотонним на , якщо для довільної послідовності такої, що слабко в слабко в слабко в при iз нерівності випливає, що можна виділити таку підпослідовність що виконується нерівність

Означення 3.2.2. Будемо казати, що дійсна функція двох змінних належить класу , якщо є неперервною функцією при кожному , причому

Означення 3.2.5. Відображення називається демінеперервним, якщо з в випливає, що слабко збігається до в .

Означення 3.2.7. Відображення називається монотонним, якщо

Означення 3.2.9. Відображення називається відображенням типу Вольтера, якщо для довільних фіксованих із рівності для майже всіх випливає, що для майже всіх .

У підрозділі 3.3 обгрунтовується розв'язність класу диференціально-операторних рівнянь II порядку з некоерцитивними відображеннями -псевдомонотонного типу. Основним результатом даного підрозділу є така теорема.

Теорема 3.3.1. Нехай компактно вкладений в і для деякого виконується

Нехай також та такі, що з неперервним та щільним вкладенням. Нехай - -псевдо-монотонний на обмежений оператор Вольтера (в сенсі означення 3.2.9) такий, що - демінеперервний; - оператор з такою властивістю:

де - лінійний, обмежений, самоспряжений, монотонний оператор; - демінеперервний оператор Вольтера (в сенсі означення 3.2.9), що задовольняє таку умову:

де Тоді для довільних , та існує принаймні один розв'язок задачі (3.1) , причому

У підрозділі 3.4 розглядаються еволюційні рівняння II порядку з операторами типу Лере-Ліонса. Розглянемо обмежену область з достатньо гладкою межею. Нехай , (відповідно ) - число диференціювань по порядку (відповідно ) та - сім'я дійсних функцій, означених на . Нехай

- диференціювання по ,

- неперервна функція, що задовольняє умову росту:

для деяких

Нехай , означені в задовольняють умовам:

для майже всіх відображення неперервне на ;

для всіх відображення вимірне на

для майже всіх та обмежених ;

Покладемо

Для довільного розглянемо таку задачу:

Припустимо, що , тобто , . Тоді , , . За даних умов на параметри задачі дану проблему перепишемо, як:

Елемент - розв'язок (3.21), називається узагальненим розв'язком задачі (3.20).

Теорема 3.4.1. За перерахованих вище умов задача (3.20) має узагальнений розв'язок , такий що

Отримані результати є новими і охоплюють нові класи диференціально-операторних рівнянь II порядку з некоерцитивними відображеннями -псевдомонотонного типу. Основні результати даного розділу висвітлено у роботах [2, 3, 5].

Розділ 4 присвячений розв'язності еволюційних включень II порядку з багатозначними відображеннями псевдомонотонного типу.

У підрозділі 4.1 наведено постановку задачі. Нехай , простори , , - дійсні рефлексивні банахові простори, описані в підрозділах 2.2 та 2.3. Нехай - багатозначні, в загальному випадку, відображення. Ставиться задача Коші про розв'язність диференціально-операторного включення з некоерцитивними багатозначними відображеннями -псевдомонотонного типу:

У підрозділі 4.2 розглядаються класи багатозначних відображень вольтерівського типу. Нехай - деякий рефлексивний банахів простір, - його топологічно спряжений, - спарювання, - строге многозначне відображення, тобто Для нього визначимо верхню = і нижню = опорні функції, де і також верхню = і нижню норми. Надалі в буде означати, що збігається слабко до в

Позначимо через сім'ю всіх непорожніх замкнених опуклих обмежених підмножин з простору .

Означення 4.2.1 Багатозначне відображення називається монотонним, якщо

Означення 4.2.2 Відображення називається оператором типу Вольтера, якщо для довільних із рівності для майже всіх випливає, що таких, що для майже всіх

Означення 4.2.3 Строге багатозначне відображення називається:

o -коерцитивним, якщо існує дійсна функція , обмежена знизу на обмежених в множинах, така що при та

o обмеженим, якщо для кожного існує таке , що

Нехай тепер - деякий нормований простір з нормою . Припустимо, що вкладення неперервне. Нехай також - деяка (напів)норма на , компактна відносно на та неперервна відносно на

Означення 4.2.4 Строге багатозначне відображення називається:

o радіально напівнеперервним знизу (р.н.н.зн.), якщо ,

o демізамкненим, якщо з того, що в , в при , де , , випливає, що

o оператором з напівобмеженою варіацією на (з -н.о.в.), якщо (див. означення 3.2.2) таке, що , виконується нерівність:

o -псевдомонотонним на ( -псевдомонотонним), якщо для будь-якої послідовності такої, що в , в при , де , із нерівності випливає існування підпослідовностей з та з для яких виконується

У підрозділі 4.3 розглядаються багатозначні відображення для еволюційних включень в скінченновимірних просторах.

У підрозділі 4.4 для класу диференціально-операторних включень в нескінченновимірних просторах обгрунтовано метод сингулярних збурень. Основними результатами цього підрозділу є:

Теорема 4.4.1. Нехай - фіксоване, - тотожнє відобра-ження, , простір компактно вкладений в деякий банахів простір , а вкладення неперервне. Припустимо, що є +-коерцитивним, р.н.н.зн. багатозначним відоб-раженням Вольтера (в сенсі означення 4.2.2) з -н.о.в. з ; - багатозначне відображення Вольтера (в сенсі означення 4.2.2), яке задовольняє умову росту:

отриманий методом сингулярних збурень, причому .

Наслідок 4.4.1. Нехай . Нехай - фіксоване, - тотожнє відображення, , простір компактно вкладений в банахів простір і вкладення неперервне. Припустимо, що - +-коерцитивне, р.н.н.зн. багатозначне відображення Вольтера (в сенсі означення 4.2.2) з -н.о.в. з - багатозначне відображення Вольтера (в сенсі означення 4.2.2), яке задовольняє умову росту (4.13) та умову неперервності (4.14); - оператор з такою властивістю:

В даному підрозділі наведено також модельні приклади, що ілюструють одержані результати. Нехай із обмежена область з регулярною границею - така неперервна функція, що задовольняє умову росту

Теорема 4.2.2. За наведених вище умов задача (4.31) має розв'язок , , одержаний методом сингулярних збурень.

У підрозділі 4.5 обгрунтовано метод Фаедо-Гальоркіна для диференціально-операторних включень II порядку з операторами -псевдомонотонного типу. Нехай - ланцюжок дійсних гільбертових просторів таких, що причому вкладення неперервне та щільне. Нехай вкладення - компактне. Припустимо також, що таке, що неперервно та щільно. Тоді для всіх одержимо такий ланцюжок неперервних та щільних вкладень:

Зауважимо, що . Для багатозначних (в загальному випадку) відображень розглянемо таку задачу:

Апроксимаційна схема. Нехай - повна система лінійно незалежних елементів із для деякого , і нехай - лінійна оболонка множини , наділена скалярним добутком, індукованим із. Для довільного нехай - канонічне вкладення в , - спряжений оператор до . Нехай - оператор ортогонального проектування з в . Припустимо, що для деякого даний оператор задовольняє такі умови:

Зауважимо, що за повну систему векторів , яка задовольняє (4.33) можемо взяти так званий "спеціальний базис" для пари ( ). Розв'язки задачі (4.32) будемо "наближати" розв'язками таких задач:

Основним результатом даного підрозділу є:

Теорема 4.5.1. Нехай для деякого виконується (4.33), - -псевдомонотонне на обмежене відображення типу Вольтера (в сенсі означення 4.2.2); таке, що вкладення неперервне; - лінійний обмежений самоспряжений монотонний оператор; - однозначний оператор з такою властивістю:

- демізамкнене багатозначне відображення типу Вольтера (в сенсі означення 4.2.2), яке задовольняє умову "не більш ніж лінійного росту":

Припустимо також, що для деякого відображення є -коерцитивним. Тоді для довільних та існує принаймні один розв'язок задачі який можна одержати за допомогою методу Фаедо-Гальоркіна.

Також в даному підрозділі наведено приклад еволюційного включення II порядку. Нехай із обмежена область з регулярною границею , , Для розглянемо відображення: . Припустимо, що відображення - вимірне на . Нехай також для м.в. відображення - напівнеперервне знизу на , якщо , а якщо , то - напівнеперервне зверху на . Припустимо, що для деякого для кожного та для м.в.

Припустимо, що: Для довільних та розглянемо задачу:

За оператор візьмемо де для м.в. , - енергетичне розширення оператора За оператор візьмемо енергетичне розширення в За демізамкнений оператор візьмемо оператор .

За даних умов на параметри вихідної задачі дану проблему перепишемо, як:

Теорема 4.5.2. За перерахованих умов на відображення для довільних та існує принаймні один узагальнений розв'язок , задачі (4.64), який можна одержати за допомогою методу Фаедо-Гальоркіна.

Отримані у даному розділі результати є новими і вони суттєво узагальнюють теореми існування в порівнянні з відповідними результатами N.S. Papageorgiou, P. Panagiotopoulos та інших. Основні результати даного розділу опубліковані у роботах [1, 4, 5, 6].



ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

- доведено розв'язність для диференціально-операторних рівнянь другого порядку з некоерцитивними немонотонними відображеннями вольтерівського типу;

- обґрунтовано метод сингулярних збурень для диференціально-операторних включень другого порядку з нелінійними багатозначними відображеннями типу Вольтера в нескінченновимірних просторах;

- за допомогою методу Фаедо-Гальоркіна доведено теорему про розв'язність для диференціально-операторних включень другого порядку з некоерцитивними відображеннями -псевдомонотонного типу в спеціальних класах просторів розподілів;

- розроблено некоерцитивну теорію для диференціально-операторних включень другого порядку з -псевдомонотонними відображеннями.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Perestyuk M.O. On solvability for the second order evolution inclusions with the volterra type operators / M.O.Perestyuk, P.O. Kasyanov, N.V. Zadoyanchuk // Miskolc Math. Notes. - 2008. - Vol.9, No. 2. - P. 119 - 135.

2. Задоянчук Н. Метод Фаедо-Гальоркiна для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь II порядку з операторами Вольтера / Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Нелінійні коливання. - 2007. - №2. - С. 204-228.

3. Задоянчук Н. Про розв'язність диференціально-операторних рівнянь ІІ порядку з некоерцитивними операторами / Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Доповіді НАН України. - 2006. - №12.- С. 15-19.

4. Задоянчук Н. Про розв'язність диференціально-операторних включень ІІ порядку з некоерцитивними операторами -псевдомонотонного типу / Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Доповіді НАН України. - 2008. - №4. - С. 19-24.

5. Задоянчук Н. Про розв'язність нелiнiйних еволюційних рівнянь ІІ порядку з некоерцитивними -псевдомонотонними відображеннями /Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Наукові вісті НТУУ "КПІ" . - 2008. - №3. - С. 142-149.

6. Задоянчук Н. Метод Фаедо-Гальоркіна для еволюцiйних включень II порядку з -псевдомонотонними відображеннями /Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Укр. мат. журн. - 2009. - т. 61, №2. - С. 195-213.

7. Kasyanov P. Faedo-Galerkin method for the second order nonlinear evolution equations with the operators of the Volterra type / Pavlo Kasyanov, Nina Zadoyanchuk // International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B.Lopatynsky: Book of Abstracts (Lviv, September 12-17, 2006)/Ivan Franko National University of Lviv. - Lviv, Ivan Franko National University of Lviv, 2006. - P.104-105.

8. Задоянчук Н. Метод сингулярних збурень для нелінійних еволюційних включень II порядку з операторами вольтерівського типу/ Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Тези доп. дванадцятої міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука. - 15-17 травня 2008 року, Київ. - с.152.

9. Задоянчук Н. Метод Фаедо-Гальоркіна для еволюційних включень II порядку з -псевдомонотонними відображеннями/ Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Тези доп. міжнародної наукової конференції "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування". - 16-21 червня 2008 року, Мелітополь. - с.52-53.

10. Perestyuk M. On Solvability for the Second Order Evolution Inclusions with the Volterra type Operators / Mykola O. Perestyuk, Nina Zadoyanchuk // Mathematical Analysis, Differential Equations and their Applications. Abstracts. - Famagusta, North Cyprus, September 12-15, 2008. - P.63-64.



АНОТАЦІЯ

Задоянчук Н.В. Диференціально-операторні рівняння та включення ІІ порядку з відображеннями -псевдомонотонного типу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена методам розв'язання нелінійних граничних задач та теорії диференціально-операторних рівнянь та включень II порядку в нескінченновимірних просторах з некоерцитивними багатозначними відображеннями -псевдомонотонного типу.

Розглянуто диференціально-операторні рівняння та включення II порядку. Одержано нові результати про розв'язність диференціально-операторних рівнянь з некоерцитивними -псевдомонотонними відображеннями. Для диференціально-операторних включень розв'язність доведено методом Фаедо-Гальоркіна та методом сингулярних збурень. Розроблено некоерцитивну теорію для диференціально-операторних рівнянь та включень II порядку з некоерцитивними відображеннями -псевдомонотонного типу.

В ході доведення розв'язності для згаданих об'єктів одержано ряд проміжних тверджень, що мають самостійне значення.

Ключові слова: диференціально-операторне рівняння, диференціально-операторне включення, -псевдомонотонне відображення, некоерцитивний оператор.



АННОТАЦИЯ

Задоянчук Н.В. Дифференциально-оператоные уравнения и включения ІІ порядка с отображениями -псевдомонотонного типа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Диссертационная работа посвящена методам решения нелинейных краевых задач и теории дифференцально-операторных уравнений и включений II порядка в бесконечномерных пространствах c некоерцитивными многозначными отображениями -псевдомонотонного типа.

Рассмотрены дифференциально-операторные уравнения и включения II порядка. Разработана некоэрцитивная теория для дифференциально-операторных уравнений и включений II порядка с отображениями -псевдомонотонного типа.

Доказана разрешимость для дифференциально-операторных уравнений с некоэрцитивными -псевдомонотонными отображениями. Для дифференциально-операторных включений конструктивно обоснована разрешимость с помощью метода Фаэдо-Галеркина и метода сингулярных возмущений.

В ходе доказательства разрешимости получены промежуточные утверждения, которые представляют самостоятельный интерес. В частности, доказано, что сумма операторов с -полуограниченной вариацией является оператором с -полуограниченной вариацией; построены классы операторов вариационного исчисления на ; доказано, что сумма ограниченных -квазимонотонных на многозначных отображений является также ограниченным и -квазимонотонным на отображением. Получены новые результаты, касающиеся многозначных отображений в конечномерных пространствах.

В диссертации впервые получены следующие результаты:

- доказана разрешимость для диференциально-операторных уравнений II порядка с некоэрцитивными немонотонными отображениями типа Вольтерра;

- обоснован метод сингулярных возмущений для дифференциально-операторных включений II порядка с нелинейными многозначными отображениями типа Вольтерра в бесконечномерных пространствах;

- с помощью метода Фаэдо-Галеркина доказана теорема о разрешимости для дифференциально-операторных включений II порядка с некоэрцитивными отображениями -псевдомонотонного типа в специальных классах пространств распределений;

- разработана некоэрцитивная теория для дифференциально-операторных включений II порядка с -псевдомонотонными отображениями.

Полученные результаты могут использоваться при исследовании новых, более точных, математических моделей нелинеаризированной теории вязкоупругости и термовязкоупругости, в частности, для новых задач динамического контакта тела и основы с трением, с нелинейным, многозначным некоерцитивным демпфированием, при исследовании волновых процессов разной природы, нелинейных односторонних процессов, уравнений Кельвина-Фойгта, математических моделей геофизических процессов, которые описывают, например, эффекты, связанные с "островом тепла".

Ключевые слова: дифференциально-операторное уравнение, дифференциально-операторное включение, -псевдомонотонное отображение, некоэрцитивный оператор.



ABSTRACT

Zadoyanchuk N.V. The second order differential-operator equations and inclusions with maps of -pseudomonotone type. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on speciality 01.01.02 - Differential Equations. National Taras Shevchenko University of Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to the methods of solving of nonlinear boundary problems and theory of the second order differential-operator equations and inclusions in infinite-dimensional spaces with non-coercive multivalued maps of -pseudomonotone type.

The second order differential-operator equations and inclusions are considered. New results about solvability for differential-operator equations with non-coercive -pseudomonotone maps are obtained. The solvability for differential-operator inclusions is proved by the Faedo-Galerkin method and singular perturbations method. The non-coercive theory for the second order differential-operator equations and inclusions with non-coercive maps of -pseudomonotone type is developed.

New statements about some classes of maps and their properties are obtained.

Keywords: differential operator equation, differential-operator inclusion, -pseudomonotone map, non-coercive operator.

Размещено на Allbest.ru

...