Умовні симетрії та точні розв'язки систем типу реакції-дифузії зі степеневими коефіцієнтами дифузії

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Плюхін Олексій Геннадійович

УДК 517.958

УМОВНІ СИМЕТРІЇ ТА ТОЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ СИСТЕМ ТИПУ РЕАКЦІЇ-ДИФУЗІЇ ЗІ СТЕПЕНЕВИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ ДИФУЗІЇ

01.01.03 - математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2009

ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук

Черніга Роман Михайлович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу прикладних досліджень

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Сєров Микола Іванович,

Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка,

завідувач кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Стогній Валерій Іванович,

Національний технічний університет України "КПІ",

доцент кафедри математичної фізики

Захист відбудеться “ 12 ” травня 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “8” квітня 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради А.C. РОМАНЮК

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Добре відомо, що більшість реальних процесів, які вивчаються у фізиці, біології, хімії тощо, мають суттєво нелінійну природу, а тому найбільш адекватно описуються нелінійними рівняннями, зокрема диференціальними рівняннями з частинними похідними (ДРЧП) та системами ДРЧП. Проте, сьогодні не існує загальних методів точного розв'язання таких рівнянь. Головна причина цього полягає в тому, що для нелінійних рівнянь не виконується лінійний принцип суперпозиції розв'язків, на якому базуються всі класичні методи інтегрування лінійних ДРЧП (метод Фур'є, метод інтегральних перетворень тощо). Це призвело до того, що розвиток методів для побудови точних частинних розв'язків нелінійних ДРЧП став актуальною проблематикою. Знаходження таких точних розв'язків, які мають чітку інтерпретацію, наприклад, фізичну чи біологічну, має фундаментальне значення для природничих наук.

Отже, розвиток нових підходів до розв'язання нелінійних ДРЧП та побудова широких класів точних частинних розв'язків нелінійних рівнянь, які зустрічаються в застосуваннях, є і буде актуальною проблемою сучасної математичної фізики.

До 60-х років XX століття фактично єдиним конструктивним методом для побудови точних частинних розв'язків нелінійних ДРЧП був метод Лі, названий на честь його фундатора - видатного норвезького математика Софуса Лі. Метод ґрунтується на знаходженні та застосуванні операторів алгебри інваріантності (симетрій Лі) розглядуваного нелінійного рівняння для знаходження його точних розв'язків. Хоч базові теореми цього методу були сформульовані понад 100 років тому, проте цей метод невпинно розвивається і регулярно з'являються роботи, в яких автори одержують нові результати для нелінійних рівнянь з нетривіальною симетрією Лі.

В 60-х роках XX століття відбулося два відкриття, які істотно розширили можливості побудови розв'язків нелінійних ДРЧП. З одного боку, в 1967 році в спільній роботі K. Ґарднера, Дж. Ґріна, M. Крускала і P. Міури¹Method for solving the Korteweg - de Vries equation / C. Gardner, J. Green, M. Kruskal, R. Miura // Phys. Rev. Lett. -- 1967. - V. 19. - P. 1095-1097. було запропоновано метод оберненої задачі розсіяння (МОЗР) на прикладі інтегрування нелінійного рівняння Кортевеґа - де Фріза. Наступні десятиліття були ознаменовані потужним розвитком засад сучасної теорії інтегровності динамічних систем і застосуванням МОЗР та споріднених з ним підходів до розв'язання низки нелінійних рівнянь математичної фізики, зокрема, нелінійного рівняння Шрьодінґера, Кортевеґа - де Фріза, -Ґордона. У розвиток МОЗР та створення на його основі нових методів великий внесок належить українським математикам, зокрема, Є.Д. Білоколосу, В.О. Марченку, Л.П. Нижнику.

З другого боку, в 1969 році опублікована робота Дж. Блумана і Дж. Коула²Bluman G. W. The general similarity solution of the heat equation / G. W. Bluman, J. D. Cole // J. Math. Mech. - 1969. - Vol. 18. - № 11. - P. 1025-42., в якій було запропоновано новий метод для пошуку анзаців і точних розв'язків ДРЧП: він базується на введенні нового типу симетрій, названих згодом умовними симетріями або некласичними симетріями. Застосування цього методу до розв'язання низки відомих нелінійних рівнянь другого порядку дозволило побудувати нові розв'язки, які неможливо знайти методами Лі та МОЗР. Значний внесок в розвиток методу умовних симетрій зробили українські математики В.І. Фущич, А.Г. Нікітін, М.І. Сєров, Р.М. Черніга, Р.О. Попович.

Актуальність пошуку умовних симетрій та їх застосування для побудови точних розв'язків особливо важлива у випадку нелінійних рівнянь, для яких завідомо непридатні метод Лі (рівняння має тривіальну симетрію) та МОЗР (рівняння не є інтегровним). Виявляється, що велика кількість таких рівнянь виникає в математичній біології, новому розділі математики, який порівняно недавно виник на стику математики, фізики та біології. Моделі математичної біології, як правило, будуються на основі відомих фізичних законів, але при цьому виникають нові типи нелінійних взаємодій, не характерні для явищ неживої природи, які призводять до нових нелінійних рівнянь та систем рівнянь, зокрема типу рівнянь реакції-дифузії-конвекції (РДК). Зазначимо, що формальна лінеаризація або інший спосіб спрощення таких систем, часто призводить до втрати важливих властивостей, притаманних початковій системі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано у відділі прикладних досліджень Інституту математики НАН України в рамках теми ``Симетрія та інтегровність нелінійних моделей'' (номер держреєстрації 0106U000436).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова -умовних cиметрій нелінійних скалярних рівнянь реакції-дифузії-конвекції та нелінійних систем рівнянь реакції-дифузії (РД) зі сталими та степеневими коефіцієнтами дифузії; побудова широких класів точних розв'язків цих рівнянь та систем; дослідження властивостей отриманих розв'язків, їх інтерпретація.

Об'єктом дослідження є нелінійні рівняння реакції-дифузії-конвекції зі степеневими коефіцієнтами дифузії і конвекції, та нелінійні системи рівнянь реакції-дифузії зі сталою та степеневою дифузією.

Предметом дослідження є знаходження -умовних симетрій і точних розв'язків таких рівнянь та систем рівнянь.

Методи дослідження. У роботі застосовується метод Блумана - Коула, метод Лі, класичні методи інтегрування лінійних ДРЧП та звичайних диференціальних рівнянь, для окремих громіздких викладок застосовувався сучасний пакет програм Mathematica 5.0.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

* Знайдено всі -умовні симетрії класу рівнянь РДК зі степеневими коефіцієнтами дифузії і конвекції.

* Знайдено -умовні симетрії одного класу систем рівнянь РД зі сталими коефіцієнтами дифузії.

* Описано структуру -умовних симетрій класу систем рівнянь РД зі степеневими коефіцієнтами дифузії та проведено аналіз відповідних визначальних рівнянь на предмет того, коли відповідні симетрії можна побудувати у явному вигляді.

* Побудовано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків у явному вигляді для низки нелінійних рівнянь РДК. У випадку узагальнень рівняння Маррі³Murray J. D. Nonlinear Differential Equation Models in Biology / J. D. Murray. - Oxford : Clarendon Press, 1977. - 370 p. та Фітжуг - Наґумо (ФН)⁴Fitzhugh R. Impulse and physiological states in models of nerve membrane / R. Fitzhugh // Biophys. J. - 1961. - Vol. 1. - P. 445-466. досліджено властивості розв'язків та наведена їх інтерпретація.

* Побудовано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків у явному вигляді для нелінійних систем рівнянь РД та встановлено їх основні властивості. Проаналізовано розв'язки, якими можна описувати процеси утворення просторово-неоднорідних структур в живих організмах.

Практичне значення одержаних результатів. Більшість результатів мають теоретичний характер. Проте точні розв'язки, отримані для окремих рівнянь, зокрема узагальнень рівняння Маррі та деяких систем рівнянь РД, можуть знайти практичне застосування при моделюванні відповідних біофізичних процесів, а також при розв'язуванні цих рівнянь та систем рівнянь числовими методами.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень і постановка задач належать науковому керівнику - Р.М. Чернізі. Р.М. Чернізі в роботах [1,4-6] належить постановка задач та біологічна інтерпретація окремих отриманих результатів.

Отримання та доведення всіх результатів дисертації, винесених на захист, проведено дисертантом самостійно.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (2006-2008, керівник семінару - професор Нікітін А.Г.), на Міжнародній конференції "From a Microscopic to a Macroscopic Description of Complex Systems" (Бедлєво, Польща, 2006), на конференції "Симетрія і інтегровність рівнянь математичної фізики" (Київ, 2006), на семінарі "Математичні методи у статистичній механіці", присвяченому пам'яті Д.Я. Петрини (Київ, 2007), на VI Міжнародному конгресі "6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics" (Цюріх, Швейцарія 2007), на VІІ Міжнародній конференції "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, 2007).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано у шести роботах [1-6]. З них дві роботи опубліковано без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, 3-х розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 104 найменування та додатку. Повний обсяг дисертації становить 154 сторінки, з них список використаних джерел займає 12 сторінок, а додаток - 8 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан розглянутих проблем, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати роботи.

Основна частина роботи складається з 3 розділів. На початку кожного розділу подається короткий зміст цього розділу за підрозділами.

Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертації. В огляд літератури включено роботи, що стосуються симетрій Лі рівнянь РДК і систем рівнянь РД, а також -умовних симетрій цих рівнянь і систем рівнянь. В першому розділі наведено основні понят-тя і означення, необхідні для пошуку -умовних симетрій.

Означення 1 Рівняння

(1)

Де

;

- сукупність всіх можливих похідних s-го порядку невідомої функції , а - відома гладка функція відносно змінних назвемо -умовно інваріантним відносно оператора

(2)

якщо воно інваріантне в сенсі Лі відносно цього оператора разом з додатковою умовою (тут - деякі гладкі функції)⁵Фущич В. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики / В. И. Фущич, В. М. Штелень, Н. И. Серов. - Киев : Наук. думка, 1989. - 336 с..

Оскільки для будь-якого оператора інваріантності рівняння (1) в сенсі Лі означення 1 також виконується, то важливо послідовно виділити саме ті оператори -умовної інваріантності, які не збігаються з операторами симетрій Лі. При цьому необхідно враховувати таку важливу властивість операторів -умовної симетрії, якою не володіють оператори класичних симетрій Лі, а саме: будь-який оператор -умовної симетрії, помножений на довільну гладку функцію, залишається оператором -умовної симетрії. Ця властивість випливає з означення 1. Отже, не втрачаючи загальності, оператор (2) при можна записати у вигляді

(3)

Другий розділ присвячено пошуку -умовних симетрій вигляду (3), що допускає рівняння

(4)

побудові розв'язків рівняння (4) та дослідженню властивостей отриманих розв'язків.

У підрозділі 2.1 знайдено всі можливі -умовні симетрії рівняння

(5)

яке інваріантне відносно оператора (3), результат наведено в теоремі.

Теорема 1 Рівняння (5) Q-умовно інваріантне відносно оператора вигляду (3) тоді і тільки тоді, коли воно та відповідний оператор набирають вигляду

де трійка функцій f, g, h є довільним розв'язком нелінійної системи диференціальних рівнянь

(6)

Всі інші випадки інваріантності рівнянь вигляду (4) відносно операторів вигляду (3) є випадками класичної інваріантності в сенсі Лі.

З теореми 1 випливає, що при маємо відомі результати для рівнянь РД зі степеневими коефіцієнтами дифузійArrigo D. J. Nonclassical symmetries for nonlinear diffusion and absorption / D. J. Arrigo, J. M. Hill // Stud. Appl.Math. - 1995. - Vol. 94.- P. 21-39..

Підрозділ 2.2 присвячено побудові точних розв'язків рівнянь РДК вигляду (5) за допомогою операторів, наведених у теоремі 1. Зокрема, встановлено, що розв'язком рівняння

(7)

яке отримується з рівняння випадку теореми 2 при

буде вираз

(8)

Рівняння (7) - це рівняння швидкої дифузії з логарифмічною нелінійністю в реактивному члені. Розв'язок (8) задовольняє нульові крайові умови Ноймана, наприклад, на відрізку Також розв'язок (8) на довільному скінченному відрізку є додатним, обмеженим і при прямує до одиниці. Біологічна інтерпретація цього розв'язку така: якщо рівняння описує процес еволюції певного біовиду на відрізку при умові, що вид не розповсюджується за межі цієї області, то розв'язок (8) описує його еволюцію в часі і просторі при відповідній початковій умові. Зауважимо, що еволюція в часі відбувається в напрямі стійкої стаціонарної точки рівняння (7).

У підрозділі 2.3 знайдено всі можливі -умовні симетрії одного класу узагальнень рівняння Маррі, а саме, рівняння

(9)

яке інваріантне відносно оператора (3), результат наведено в теоремі.

Теорема 2 Рівняння (9) -умовно інваріантне відносно оператора вигляду (3) тоді і тільки тоді, коли воно та відповідний оператор набирають вигляду

Всі інші випадки інваріантності рівнянь вигляду (9) відносно операторів вигляду (3) є випадками інваріантності в сенсі Лі.

Підрозділ 2.4 присвячено побудові точних розв'язків узагальнень рівнянь Маррі і ФН. Нагадаємо, що рівняння Маррі має вигляд

Зокрема, в цьому підрозділі побудовано та досліджено властивості розв'язків і наведена їх інтерпретація для узагальнення рівняння Маррі вигляду

(10)

Встановлено, що розв'язки рівняння ((10)) суттєво залежать від значень параметрів і . При рівняння ((10)) має розв'язок

(11)

а при має розв'язок

(12)

Важливо помітити, що розв'язки (11), (12) є додатними та обмеженими відповідно в областях

,

тобто вони задовольняють природні вимоги для біологічної інтерпретації. Більше того, розв'язок (11) задовольняє нульові крайові умови Діріхле, на піввісі , а розв'язок (12) задовольняє ці ж умови на відрізку . Зауважимо, що умови такого роду є альтернативними до умов Ноймана. Ці умови виникають, коли ареал популяції ссавців обмежений, наприклад, неподоланою водоймою.

Також в цьому підрозділі побудовано розв'язки узагальнення рівняння ФН зі швидкою дифузією. Подібні розв'язки має також класичне рівняння ФНKawahara T. Interactions of traveling fronts: an exact solution of a nonlinear diffusion equation / T. Kawahara, M. Tanaka // Phys. Lett. A. - 1983. - V. 97. - P. 311-314. та рівняння ФН з конвективним членомCherniha R. New -conditional Symmetries and Exact Solutions of Some Reaction-Diffusion-Convection Equations Arising in Mathematical Biology / R. Cherniha // J. Math. Anal. Appl. - 2007. - № 2. - P. - 783-799..

Всі отримані розв'язки перевірені за допомогою пакету програм Mathematica 5.0.

У підрозділі 2.5 доведено, що рівняння РДК

при є інваріантним лише відносно таких операторів -умовної симетрії вигляду (3), які еквівалентні операторам симетрії Лі.

Третій розділ присвячено пошуку -умовних симетрії вигляду

(13)

що допускає система рівнянь РД

умовний симетрія рівняння дифузія

(14)

та система рівнянь

(15)

а також побудові розв'язків системи ((14)).

У підрозділ 3.1 виведено систему визначальних рівнянь для знаходження коефіцієнтів -умовних операторів вигляду (13) та нелінійностей систем (14), (15).

У підрозділі 3.2 доведено теореми, які подають всі -умовні симетрії (13) системи РД зі сталими коефіцієнтами дифузії (15) при заданих обмеженнях на коефіцієнти та .

Теорема 3 У випадках

Або

з умовами

,

система визначальних рівнянь для знаходження операторів -умовної симетрії вигляду (13) для системи (15) збігається з системою визначальних рівнянь для знаходження операторів Лі.

Теорема 4 Система рівнянь РД (15) при

є -умовно інваріантною відносно оператора (13) при умовах

,

,

тоді і тільки тоді, коли вона та відповідний оператор набувають одного з семи виглядів

де і - довільні гладкі функції відповідних аргументів, - довільні сталі, причому скрізь

У підрозділі 3.3 доведено теореми, які дають нам опис -умовних симетрій вигляду (13) систем РД зі степеневими коефіцієнтами дифузії (14). При розв'язуванні системи визначальних рівнянь отримуємо уточнення вигляду оператора (13), а саме:

(16)

Теорема 5 Система рівнянь РД (14) не інваріантна відносно жодного оператора -умовної симетрії вигляду (16), якщо має вигляд

Пошук -умовних симетрій, відносно яких інваріантна система (14), можна розділити на три випадки в залежності від значень коефіцієнтів оператора (16):

Теорема 6 У випадку (a) всі оператори -умовної симетрії вигляду (13) еквівалентні операторам симетрії Лі, відносно яких інваріантна система рівнянь РД (14).

Теорема 7 Система рівнянь РД (14) -умовно інваріантна відносно оператора вигляду (13) у випадку (b) тоді і тільки тоді, коли нелінійності та відповідний оператор набувають одного з п'яти виглядів, наведених нижче (тут , довільні гладкі функції відповідних аргументів, довільні сталі).

Де у випадках 4 і 5: або

Або

Або

У випадку отримано 16 систем РД вигляду (14) інваріантних відносно операторів вигляду (13).

У підрозділі 3.4 знайдено анзаци для систем рівнянь РД зі зміними коефіцієнтами дифузії, побудовані за допомогою операторів -умовної симетрії, отриманих в підрозділі 3.3, а також отримано редуковані системи ЗДР для всіх випадків теореми 7. Нижче наводимо анзаци для систем РД з теореми 7:

1.

2.

3.

4.

5.

Відповідні редуковані системи ЗДР:

1.

2.

3.

4.

5.

Номери 1,,5 відповідають номерам систем РД, поданих в теоремі 7.

Також побудовано анзаци для систем, представлених у відповідних теоремах для випадку .

У підрозділі 3.5 побудовано точні розв'язки деяких систем РД вигляду (14). Зокрема, доведено, що нелінійна система рівнянь РД

(17)

в залежності від співвідношення між коефіцієнтами має дев'ять типів розв'язків, які знайдено в явному вигляді. Найпростіший з отриманих розв'язків системи (17) має вигляд

(18)

Якщо

Зауважимо, що розв'язок (18) при прямує до стаціонарної точки

системи (17), якщо .

У підрозділі 3.6 розглянуто розв'язки, що задовольняють нульові крайові умови Ноймана, та проведено їх аналіз з точки зору застосувань в математичній біології. Показано, що системи з коректно визначеними коефіцієнтами можуть вести до нестійкості ТюрінґаBritton N. F. Essential Mathematical Biology / N. F. Britton. - Berlin : Springer, 2003. - 335 p..

Теорема 8 Нелінійна система рівнянь РД (17) з коефіцієнтами, що задовольняють обмеження

допускає періодичні (в просторі) розв'язки

(19)

що задовольняють умови Ноймана

на інтервалі

;

(20)

що задовольняють ці умови на інтервалі

;

(21)

що задовольняють ці умови на інтервалі

У розв'язках ((19)) та ((20)), введено позначення

а у розв'зку ((21)):

Кожен розв'язок з теореми 8 прямує до стаціонарної точки

при та . Ця точка може бути стійкою або нестійкою в залежності від коефіцієнтів системи (17).

Детально розглянуто систему РД

(22)

яка є частинним випадком (17), як модель для опису взаємодії популяцій двох біовидів. Розв'язок (19) для системи (22) набере вигляду

(23)

Розв'язок (23) при описує такий тип взаємодії популяцій, при якому вони можуть як завгодно довго співіснувати. Такий тип взаємодії виникає також у випадку класичної дифузивної системи Лотки - Вольтерра при спеціальних обмеженнях на коефіцієнти.

Розглянемо розв'язок (23) системи РД (22) при для моделювання ефекту нестійкості Тюрінґа, який є умовою для виникнення просторово-неоднорідних структур. Розв'язок (23) при прямує до нескінченності при . З іншого боку, просторово-неоднорідні структури мають бути сформовані за обмежений проміжок часу (розвиток цих структур в організмі має бути закінчений на протязі життя організму). Врахувавши це, можна зробити висновок, що розв'язки вигляду (19)-(21) можуть описувати розвиток просторово-неоднорідних структур для скінченого часу .

З просторових графіків розв'язку (23) при , побудованих в дисертації, видно, що обидві компоненти та мають майже однорідний розподіл в просторі, якщо . Однак розподіл стає суттєво неоднорідним, якщо . Крім того, кожна з компонент та домінує в різних областях. Отже, ми можемо підсумувати, що цей розв'язок характеризує смугасту структуру. Цей тип просторово-неоднорідних структур є типовим для шерсті ссавців (тигри, зебри). Зауважимо, що аналогічними властивостями володіють всі інші розв'язки вигляду (19)-(21) при та .

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертації можна підсумувати таким чином.

* Знайдено всі -умовні симетрії класу рівнянь РДК зі степеневими коефіцієнтами дифузії і конвекції.

* Знайдено -умовні симетрії класу систем рівнянь РД зі сталими коефіцієнтами дифузії.

* Описано структуру -умовних симетрій класу систем рівнянь РД зі степеневими коефіцієнтами дифузії та проведено аналіз відповідних визначальних рівнянь на предмет того, коли відповідні симетрії можна побудувати у явному вигляді.

* Побудовано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків у явному вигляді для низки нелінійних рівнянь РДК. У випадку узагальнень рівняння Маррі та ФН досліджено властивості розв'язків та наведена їх інтерпретація.

* Побудовано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків у явному вигляді для нелінійних систем рівнянь РД та встановлено їх основні властивості. Проаналізовано розв'язки, якими можна описувати процеси утворення просторово-неоднорідних структур в живих організмах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Черніга Р. М. Нові -умовні симетрії та розв'язки рівнянь типу реакції-дифузії-конвекції зі степеневими нелінійностями / Р. М. Черніга, О. Г. Плюхін // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. - Т. 3, № 2. - 2006. - С. 316-330.

2. Плюхін О. Г. Умовні симетрії та точні розв'язки одного рівняння реакції-дифузії-конвекції / О. Г. Плюхін // Нелінійні коливання. - 2007. - Т. 10, № 3. - С. 378-390.

3. Плюхін О. Г. -умовні симетрії і точні розв'язки систем рівнянь реакції-дифузії / О. Г. Плюхін // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. - Т. 4, № 3. - 2007. - С. 159-170.

4. Cherniha R. New conditional symmetries and exact solutions of reaction-diffusion systems with power diffusivities / R.Cherniha, O. Pliukhin // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol. 41. - P. 185208-185222.

5. Cherniha R. New conditional symmetries and exact solutions of nonlinear reaction-difusion-convection equations. І / R. Cherniha, O. Pliukhin // arXiv:math-ph/0612078. - 2006. - 18 p.

6. Cherniha R. New conditional symmetries and exact solutions of nonlinear reaction-difusion-convection equations. II / R. Cherniha, O. Pliukhin // arXiv:0706.0814. - 2007. - 15 p.

АНОТАЦІЇ

Плюхін О.Г. Умовні симетрії та точні розв'язки систем типу реакції-дифузії зі степеневими коефіцієнтами дифузії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Дисертацію присвячено пошуку -умовних симетрій (1+1)-вимірних нелінійних рівнянь реакції-дифузії-конвекції зі степеневими нелінійностями та нелінійних систем (1+1)-вимірних рівнянь реакції-дифузії зі сталими і степеневими коефіцієнтами дифузії; побудові точних розв'язків рівнянь реакції-дифузії-конвекції та систем рівнянь реакції-дифузії.

Знайдено -умовні симетрії (1+1)-вимірного нелінійного рівняння реакції-дифузії-конвекції зі степеневими нелінійностями з довільним реактивним членом. Показано, що всі відомі результати для рівнянь реакції-дифузії зі степеневими коефіцієнтами дифузії є частиними випадками результатів, отриманих у дисертації. Побудовано точні розв'язки рівнянь реакції-дифузії-конвекції, зокрема, розв'язки узагальнень рівнянь Маррі та Фітжуг - Наґумо. Побудовано графіки розв'язків.

Знайдено -умовні симетрії (1+1)-вимірних систем рівняння реакції-дифузії зі сталими та степеневими коефіцієнтами дифузії з довільними реактивними членами. Побудовано анзаци і точні розв'язки систем рівнянь реакції-дифузії зі степеневими коефіцієнтами дифузії. Проаналізовано зв'язок отриманих розв'язків з розвитком просторово-неоднорідних структур в живих організмах.

Ключові слова: -умовні симетрії, симетрії Лі, рівняння реакції-дифузії-конвекції, системи рівнянь реакції-дифузії, точні розв'язки.

Плюхин А.Г. Условные симметрии и точные решения систем типа реакции-диффузии со степенными коэффициентами диффузии. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

Известно, что большинство реальных процессов, которые изучает физика, биология, химия и т.д., имеют существенно нелинейную природу. Поэтому они наиболее точно описываются нелинейными уравнениями, в частности дифференциальными уравнениями в частных производных и системами дифференциальных уравнений в частных производных со степенными нелинейностями. Однако, сегодня не существует общих методов построения точных решений таких уравнений. Главная причина этого состоит в том, что для нелинейных уравнений не выполняется линейный принцип суперпозиции решений, на котором основываются все классические методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Это привело к тому, что развитие методов для построения точных частных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало актуальной проблематикой. Построение таких точных решений, которые имеют четкую интерпретацию, например, физическую или биологическую, имеет фундаментальное значение для естественных наук.

Диссертация посвящена поиску -условных симметрий нелинейных уравнений и систем уравнений параболического типа размерности (1+1), а именно, уравнений реакции-диффузии-конвекции со степенными нелинейностями, систем уравнений реакции-диффузии с постоянными и степенными коэффициентами диффузии; построению точных решений уравнений реакции-диффузии-конвекции и систем уравнений реакции-диффузии; анализу полученных решений с точки зрения применения в математической биологии.

Найдены всевозможные -условные симметрии уравнения реакции-диффузии-конвекции размерности (1+1) со степенным коэффициентом диффузии и степенной конвекцией, тем самым показано, что, кроме приведенных в диссертации -условных симметрий, с ограничениями на вид оператора и уравнение, других не существует. Установлено, что полученные симметрии обобщают результаты, полученные раннее другими авторами. Построены новые точные решения нелинейных уравнений реакции-диффузии-конвекции. Некоторые решения проанализированы с точки зрения моделирования биологических процессов (динамики движения популяций). Проанализированы решения обобщений уравнений Марри и Фитжуг - Нагумо. Показано, что полученные решения обобщения уравнения Фитжуг - Нагумо имеют такие же свойства, как и классические решения уравнения Фитжуг - Нагумо. Построены трехмерные графики полученных решений.

Найдены -условные симметрии систем уравнений реакции-диффузии размерности (1+1) с постоянными коэффициентами диффузии, а также со степенными коэффициентами диффузии. Построены анзацы и новые точные решения нелинейных систем реакции-диффузии со степенными коэффициентами диффузии. Построены трехмерные графики полученных решений. Найдены решения при помощи которых можно моделировать эффект образования пространственно-неоднордных структур.

Ключевые слова: -условные симметрии, симметрии Ли, уравнение реакции-диффузии-конвекции, системы уравнений реакции-диффузии, точные решения.

Pliukhin O.G. Conditional symmetries and exact solutions of reaction-diffusion systems with power coefficients of diffusion. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 - Mathematical Physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to searching of -conditional symmetries of reaction-diffusion-convection nonlinear equations with power nonlinearities and nonlinear reaction-diffusion systems with constant and power coefficients diffusions; constructing exact solutions of reaction-diffusion-convection equations and reaction-diffusion systems.

A complete description of -conditional symmetries for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities is derived. It is shown that all the known results for reaction-diffusion equations with power diffusivities follow as particular cases from those obtained in the thesis but not vice versa. The symmetries obtained for constructing exact solutions of the relevant equations are successfully applied. In the particular case, new exact solutions of nonlinear reaction-diffusion-convection equations arising in application and their natural generalizations are found.

A wide range of new -conditional symmetries for reaction-diffusion systems with power diffusivities are constructed. The relevant non-Lie ansatze to reduce the reaction-diffusion systems to ODE systems and examples of exact solutions are obtained. The relation of the solutions obtained with the development of spatially inhomogeneous structures is discussed.

Key words: -conditional symmetries, Lie symmetries, reaction-convection-diffusion equations, reaction-diffusion systems, exact solutions.

Підписано до друку 1.04.2009. Формат 6084/16. Папір офс. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 1,3. Умов. друк. арк. 1,2.

Тираж 100 пр. Зам. 58. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України,

01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Размещено на Allbest.ru

...