Функції на тривимірних многовидах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.04 - геометрія та топологія

УДК 515.164.13, 517.91

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ФУНКЦІЇ НА ТРИВИМІРНИХ МНОГОВИДАХ

Лукова Наталія Вікторівна

Київ 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Пришляк Олександр Олегович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ЛЕЙКО Святослав Григорович, Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова, завідувач кафедри геометрії і топології;

кандидат фізико-математичних наук ЮРЧУК Ірина Аркадіївна, Національний авіаційний університет, викладач кафедри прикладної математики.

Захист відбудеться “23“ “лютого“ 2010 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенкiвська, 3

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “14“ “січня“ 2010 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

тривимірний многовид еквівалентність

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена дослідженню топологічних властивостей гладких функцій на гладких компактних многовидах. Важливими є питання топологічної та пошарової класифікації деяких класів таких функцій. Для такої класифікації будується повний топлогічний інваріант функції та досліджується можливість реалізації інваріанта функцією. Схожі конструкції виникають при топологічній класифікації гладких динамічних систем на многовидах.

Основною задачею топологічних досліджень деяких об'єктів є їх повна топологічна класифікація. Якщо цими об'єктами є функції, то вони розбивають многовид на шари і тоді питання топологічної класифікації функцій тісно пов'язане з таким питанням: коли два прошарування з особливостями, що задані на многовидах, є топологічно еквівалентними, тобто коли існує гомеоморфізм многовидів, що відображає шари на шари? Під прошаруванням з особливостями розуміється представлення многовида у вигляді об'єднання шарів, що є підмноговидами меншої, фіксованої, вимірності і точок, які називаються особливостями. Класичними роботами по дослідженню топологічних властивостей функцій є роботи М. Морса, Г. Ріба та А.С. Кронрода.

Є багато робіт, присвячених топологічній класифікації функцій Морса на поверхнях. Серед перших з них відмітимо роботи В.В. Шарка Sharko V.V., On topological equivalence Morse functions on surfaces / V.V. Sharko // Int. conf. at Chelyabinsk State Univ.: Low-dimensional Topology and Combinatorial Group Theory., Chelyabinsk, abstracts - Chelyabinsk,.-1996. - P. 19-23. (1996 р.) та А.А. Ошемкова Ошемков А.А., Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей / А.А. Ошемков // Труды Матем. ин-та. им. В.Г.Стеклова. - 1994. - Т.205. - С. 131-140. (1994 р). У 1999 р. C.І. Максименко Максименко C.И., Классификация m-функций на поверхностях / C.И. Максименко // Укр. мат. журн.. - 1999.- Т.51, №8. - С. 1129-1135. та в 2003 р. О.О. Пришляк Пришляк А.О., Топологическая классификация m-полей на двух- и трехмерных многообразиях с краем / А.О. Пришляк // Укр. мат. журн.,. - 2003. - Т.55, №6. - С. 799-805., узагальнивши ці результати, отримали топологічну класифікацію -функцій на поверхнях та на поверхнях з краєм відповідно.

Якщо при локальній класифікації функцій Морса використовується теорема Морса, то для гладких функцій з ізольованими критичними точками локальну топологічну класифікацію в вимірностях 2 і 3 було отримано О.О. Пришляком Prishlyak A.O., Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a cloused surface / A.O. Prishlyak // Topology and its Aplications.- 2002. №119. - P. 257-267..

В роботі О.В.Болсинова та А.Т.Фоменко Болсинов А.В., Фоменко А.Т., Интегрируемые гамильтоновые системы. Геометрия, топология, классификация. Том. 1. Ижевск: Изд. Дом «Удмурский университет». - 1999. - 444 с. для дослідження пошарової еквівалентності функцій Морса на поверхні було введено поняття атомів та молекул. Показано, що пошарова еквівалентність функцій використовується в гамільтоновій механіці.

Для отримання топологічної класифікації функцій Морса О.О.Пришляк Пришляк А.О., Сопряженность функций Морса // Некоторые вопросы совр. мат. Т.25. К.: Ин-т математики НАН Украины. - 1998. - С.319-325 застосовував розклади многовидів на ручки. В вимірності 3 вони задаються діаграмами Хегора, а для однозв'язних чотиривимірних многовидів - діаграмами Кірбі.

Важливою проблемою залишалося отримання пошарової класифікації функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах.

Для компактних тривимірних многовидів з межею, прикладами яких є всі тіла в тривимірному просторі, важливим є отримання пошарової класифікації m-функцій, що є узагальненням функцій Морса на цей випадок.

Нерозв'язною залишалась проблема отримання топологічної та пошарової класифікацій функцій без внутрішніх критичних точок та p-функцій на тривимірних многовидах з межею.

Все викладене вище дозволяє зробити висновок про актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (номер державної реєстрації 0106U005862). Роботу виконано у відповідності до завдань держбюджетної дослідницької теми №06БФ038-02 «Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів».

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є отримання критеріїв топологічної та геометричної еквівалентності функцій Морса, заданих на замкнених тривимірних многовидах та на компактних тривимірних многовидах з краєм; доведення теореми реалізації для побудованих інваріантів.

Об'єктом дослідження є функції та векторні поля на компактних тривимірних многовидах.

Предметом дослідження є:

- геометрична класифікація функцій Морса-Смейла на тривимірних многовидах;

- пошарова класифікація функцій Морса на тривимірних многовидах;

- топологічна класифікація функцій з чотирма критичними точками на межі тривимірних многовидів.

Основні задачі дослідження:

· побудова повних топологічних інваріантів функцій Морса, заданих на замкнених тривимірних многовидах та на компактних тривимірних многовидах з краєм по відношенню до геометричної та пошарової еквівалентностей;

· дослідження топологічних властивостей функцій без внутришніх критичних точок та з чотирма критичними точками на межі тривимірного многовида.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі для розв'язання сформульованих задач використовуються результати і методи топології та теорії динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

· доведено критерій геометричної еквівалентності функцій Морса-Смейла на замкнених тривимірних многовидах;

· доведено теорему реалізації для функцій Морса-Смейла та обчислено число нееквівалентних функцій на поверхні Хегора роду один, де є не більше ніж шість точок перетину між меридіанами;

· отримано геометричну та топологічну пошарову класифікацію функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах;

· встановлено критерії геометричної та топологічної пошарової еквівалентності функцій загального положення на тривимірних многовидах з межею;

· досліджено топологічні властивості р-функцій, зроблено опис їх топологічної класифікації.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи в основному мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані як при роботі з многовидами малих вимірностей, так і в тих областях науки, де виникають функції чи динамічні системи в малих вимірностях. Зокрема, функції Морса, m-функції, поля Морса-Смейла та m-поля в вимірності 3 виникають при математичному моделюванні тих чи інших природних явищ, наприклад функції температури, щільності тощо, рух в повітряних масах чи рідині, силові поля та ін. Відображення Уітні поверхні на площину є типовими відображеннями контурів предметів на сітчатку ока (тобто те, що бачить кожна людина). Повні топологічні інваріанти, що будуються в дисертації для полів, функцій та відображень фактично описують такі властивості цих об'єктів, які не змінюються при топологічних перетвореннях, наприклад, при виборі нової системи координат або способу вимірювання.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Основні результати дисертаційної роботи отримано дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на:

· семінарах відділу топології Інституту математики НАН України; керівник семінару - член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор, зав. відділом топології Інституту математики НАН України В.В. Шарко;

· семінарах кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка; керівник семінару - доктор фізико-математичних наук, професор О.О. Пришляк;

· семінарі кафедри геометрії і топології механіко-математичного факультету Одеського національного університету імені І.І. Мечникова; керівник семінару - доктор фізико-математичних наук, професор С.Г. Лейко;

· V Міжнародній конференції “Геометрія в Одесі - 2008” (м. Одеса, травень 2008);

· VI Міжнародній конференції “Геометрія в Одесі - 2009” (м. Одеса, травень 2009);

· Геометрия «в целом», топология и их приложения (м. Харків, червень 2009);

· Українському математичному конгресі (м. Київ, серпень 2009).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 7 робіт, з них три статті [1-3] - в наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України, та тези [4-7] - у збірниках тез доповідей на Міжнародних наукових конференціях. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-3].

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 54 найменувань (на 6 сторінках). Повний обсяг роботи становить 112 сторінок.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові Олександру Олеговичу ПРИШЛЯКУ за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі. Особливу подяку висловлюю співробітникам відділу топології Інституту математики НАН України

В.В. Шарку, Є.О. Полуляху, С.І. Максименку та іншим науковцям, які брали участь у роботі семінару відділу топології, висловили низку важливих зауважень і порад під час моїх доповідей.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлюється загальна картина досліджень, споріднених з проведеними в дисертації, обґрунтовується актуальність роботи, формулюється мета досліджень та дається перелік основних результатів.

У першому розділі проводиться попередній огляд літератури, наводяться необхідні відомості про об'єкти, топологічні властивості яких досліджуються у дисертаційній роботі. А також викладаються основні результати та ідеї, на яких ґрунтуються отримані результати.

Перший підрозділ присвячений властивостям функцій Морса.

Наведемо деякі необхідні відомості.

Означення 1.1.2. Функцією Морса називається гладка функція, всі критичні точки якої невироджені.

Теорема 1.1.1 (Морс). Точка pM є невиродженою критичною точкою індексу функції f тоді та тільки тоді, коли існує локальна система координат x₁,…, x_n в точці р, в якій

Означення 1.1.3. Індексом критичної точки р називається число від'ємних елементів в останній формулі.

В другому підрозділі розглядаються поля Морса-Смейла.

Означення 1.2.7. Векторне поле називається векторним полем Морса-Смейла, якщо виконуються такі умови: 1) воно має скінченне число критичних елементів і всі вони є гіперболічними; 2) множина неблукаючих точок співпадає з множиною критичних елементів; 3) стійкі та нестійкі многовиди критичних елементів перетинаються між собою трансверсально.

В третьому підрозділі наводяться означення та властивості топологічної еквівалентності векторних полів.

Означення 1.3.1. Нехай М - гладкий класу С^r многовид, X^r(M) - простір C^r-векторних полів, який наділений C^r-топологією ( r1). Два векторні поля X, YX^r(M) називаються топологічно (С^k-гладко, 1kr) еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм (С^k-дифеоморфізм) h: MM, який відображає траєкторії поля X в траєкторії поля Y, зберігаючи їх орієнтацію.

У четвертому підрозділі розглядаються розклади на ручки.

Означення 1.4.1. n-вимірний диск H називається ручкою індексу (або -ручкою), якщо існує гомеоморфізм : DD^n_H такий, що (DD^n_)=HMM.

Означення 1.4.2. Розкладом замкнутого многовида М на ручки називається послідовність вкладень М₀М₁М₂ М_m =M таких, що М₀ є n-вимірним диском, а М_i+1 одержуємо з М_i за допомогою приклейки ручки.

У п'ятому підрозділі розглядаються діаграми Хегора. У шостому - топологічна, пошарова та гомотопічна еквівалентність функцій. У сьомому підрозділі розглядаються властивості вкладенних в поверхню графів.

У другому розділі розглядаються геометрична та геометрично-пошарова еквівалентності таких функцій Морса на тривимірних ріманових многовидах, для яких векторне поле градієнта є полем Морса-Смейла (функції Морса-Смейла). Для отримання критерію еквівалентності використовуються узагальнені діаграми Хегора.

У першому підрозділі за функцією Морса-Смейла будується узагальнена упорядкована діаграма Хегора (УУДХ).

Нехай НН=М -- розбиття Хегора тривимірного многовида М, F=Н= =Н -- загальна поверхня кренделів Н і Н.

Означення 2.1.1. Набір u={u₁, u₂,..., u_n} замкнутих кривих, які не перетинаються, на поверхні F називається узагальненою системою меридіанів кренделя Н, якщо вони обмежують диски D_i H, і після розрізування кренделя за якими вийде незв'язне об'єднання тривимірних дисків.

Нехай v={v₁, v₂,..., v_m} -- певна узагальнена система меридіанів кренделя Н.

Означення 2.1.2. Трійка (F, u, v), що складається зі замкненої поверхні і двох узагальнених систем меридіанів, називається узагальненою діаграмою Хегора (УДХ) многовида М.

Означення 2.1.3. Діаграми (F, u, v) і (F, u, v ) називаються гомеоморфними, якщо існує такий гомеоморфізм h: FF, що h(u)=u, h(v)=v.

Означення 2.1.4. Діаграми (F, u, v) і (F, u, v ) називаються напівізотопними, якщо існують ізотопії _t, _t : FF, t[0,1], що ₀=₀ =1, ₁(u)=u, ₁(v)=v.

Означення 2.1.5. Визначимо операцію додавання меридіанів: сумою u₁ u₂ двох меридіанів u₁ і u₂ уздовж простої кривої ,? що з'єднує u₁ і u₂ , називається та компонента краю околу об'єднання U(u₁ u₂)?, яка не ізотопна ні u₁, ні u₂ в U.

Позначимо через U₁, U₂,..., U_k ті області, на які меридіани u₁, u₂,..., u_n розбивають поверхню F, а через v₁, v₂,..., v_l -- відповідні області для меридіанів v₁, v₂,..., v_m.

Означення 2.1.6. Діаграма називається меридіанно впорядкованою, якщо задано таке відображення (порядок) меридіанів : {u₁, u₂,..., u_n, v₁, v₂,..., v_m} {1, 2,..., N}, що є відображенням на. Тобто кожному меридіану приписане ціле число.

Означення 2.1.7. Діаграма називається упорядкованою, якщо задано таке відображення : {U₁,U₂,..., U_k, u₁, u₂,..., u_n, v₁, v₂,..., v_m, v₁, v₂,..., v_l} {1, 2,..., N}, що є відображенням на.

Означення 2.1.8. Меридіанно впорядковані узагальнені діаграми Хегора (МУУДХ) називаються гомеоморфними, якщо існує їх гомеоморфізм як діаграм Хегора, який зберігає порядок меридіанів.

Означення 2.1.9. Упорядковані узагальнені діаграми Хегора (УУДХ) називаються гомеоморфними, якщо існує їх гомеоморфізм як діаграм Хегора, який зберігає упорядкування.

За функцією Морса побудовано розбиття многовида на ручки (неоднозначно). Як і для звичайних діаграм Хегора поверхня F є межею об'єднання ручок індексу 0 і 1. Меридіанами будуть косередні сфери 1-ручок та середні сфери 2-ручок. Функція порядку на множині областей та меридіанів задається за допомогою порівняння значень функції Морса у відповідних критичних точках.

Другий підрозділ присвячено дослідженню геометричної еквівалентності.

Теорема 2.2.1 Дві функції Морса-Смейла f i g на тривимірному многовиді М будуть геометрично еквівалентними тоді і тільки тоді, коли їх УУДХ гомеоморфні.

У третьому підрозділі розглядається питання реалізації діаграми функцією. Описано властивості функції порядку:

1) якщо u_iU_j, то (u_i)>(U_j);

2) якщо v_iV_j, то (v_i)<(V_j);

3) якщо u_iv_j, то (u_i)<(v_j);

4) якщо U_iv_j, то (U_i)<(v_j);

5) якщо u_iV_j, то (u_i)<(V_j);

6) якщо U_iV_j, то (U_i)<(V_j).

Означення 2.3.6. Функцію , яка задовольняє властивості 1)- 6) будемо називати допустимою.

Порядок кожного меридіана першого типу менший порядку будь-якого меридіана другого типу.

Теорема 2.3.1. Для кожної допустимої УУДХ існує функція Морса-Смейла, яка породжує цю УУДХ.

У четвертому підрозділі обчислено число нееквівалентних МС-функцій на поверхні Хегора роду один де є не більше ніж шість точок перетину між меридіанами. Обчислено також число узагальнених діаграм Хегора, що їм відповідають.

У третьому розділі досліджена пошарова еквівалентність функцій Морса на тривимірних многовидах. У першому підрозділі для цього використовуються розклади на ручки. Частковий порядок на множині ручок задається за допомогою графа Ріба. Позначимо через М^k об'єднання ручок, індекс яких не перевищує k і L^k = М^k.

Теорема 3.1.1. Дві функції Морса будуть пошарово еквівалентні тоді і тільки тоді, коли з упорядкованого простого розкладу на ручки першої функції можна одержати такий розклад на ручки, який ізоморфний упорядкованому простому розкладу на ручки другої функції, за допомогою таких операцій:

ізотопій у L^k вкладень середніх сфер з носієм у границі об'єднання ручок з меншими номерами;

заміни ручки H_i на суму Н_iH_j, якщо ручка H_i більше H_j (тут ручки мають однаковий індекс). При цьому нова ручка Н_iH_j має той самий порядок, що і ручка H_i.

У другому підрозділі спочатку наводяться основні поняття про узагальнені діаграми Хегора, які потім використовуються для пошарової класифікації функцій Морса на тривимірних многовидах.

Теорема 3.2.1. Дві функції Морса-Смейла на тривимірних многовидах геометрично пошарово еквівалентні тоді і тільки тоді, коли побудовані за ними упорядковані узагальнені діаграми Хегора гомеоморфні.

Дві функції f, g: M R називаються (топологічно) пошарово еквівалентними, якщо існує гомеоморфізми h: MM, який відображає компоненти рівнів функції f в компоненти рівнів функції g.

Теорема. 3.2.2. Дві функції Морса на тривимірних многовидах будуть топологічно пошарово еквівалентними тоді і тільки тоді, коли побудовані за ними упорядковані узагальнені діаграми Хегора будуть еквівалентні.

Доведено також теорему про реалізацію та на прикладах проведено обчислення числа нееквівалентних функцій.

У четвертому розділі досліджуються гладкі функції на гладких компактних тривимірних многовидах з межею.

У першому підрозділі розглядаються m-функції та побудовані за ними розклади на m-ручки. У другому підрозділі досліджуються m-функції загального положення на тривимірних многовидах на предмет їх пошарової еквівалентності. Побудовано m-діаграму Хегора та доведено теорему про пошарову еквівалентність.

Нехай НН=М -- розбиття многовиду М таке, що H=M¹ - об'єднання ручок, індекси яких дорівнюють 0, 1, (0, -1), (0, +1), (1, -1), F=L¹=Н =Н -- загальна поверхня з краєм многовидів Н и Н. Набір u={u₁, u₂,..., u_n, u₁^m, u₂^m,..., u_s^m } правильно вкладених кривих, що не перетинаються, на поверхні F таких, що кожне u_i -- косередня сфера ручки індексу 1, а u_j^m -- перетин косередньої сфери ручки індексу (1, -1) з F, називається узагальненою системою меридіан кренделя Н. Набір v={v₁, v₂,..., v_m, v₁^m, v₂^m,..., v_k^m}, що складається із середніх сфер ручок індексу 2 і перетинів середніх сфер індексу (1,+1) з F, називається узагальненою системою меридіан кренделя Н.

Означення 4.2.2. Трійка (F, u, v) називається m-діаграмою Хегора многовиду М, а поверхня F -- поверхнею Хегора

Теорема 4.2.1. Дві функції загального положення на тривимірних ріманових многовидах з межею геометрично пошарово еквівалентні тоді і тільки тоді, коли існує гомеоморфізм між їх m-діаграмами Хегора, що зберігає упорядкування.

Означення 4.2.5. Упорядковані m-діаграми Хегора (УmДХ) називаються еквівалентними, якщо одну з іншої можна одержати за допомогою послідовності гомеоморфізмів, напівізотопій діаграм (пальчикових рухів, трюків Уітні між u і v меридіанами, скорочень або введень трикутників, сторони яких складаються з дуг u_i^m, v_j^m, F), а також таких замін меридіанів: 1) u_i на u_i u_j при (u_i) < (u_j); 2) u_i^m на u_i^m u_j при (u_i^m) < (u_j); 3) u_i^m на u_i^m u_j^m при (u_i^m) < (u_j^m); 4) v_i на v_i v_j при (v_i) > >(v_j); 5) v_i^m на v_i^m v_j при (v_i^m) > (v_j); 6) v_i^m на v_i^m v_j^m при (v_i^m) > (v_j^m);

7) u_i^m на u_i^m v_j^m при (u_i^m) > (v_j^m).

Теорема 4.2.2. Дві функції загального положення на тривимірних многовидах з межею будуть топологічно пошарово еквівалентними тоді і тільки тоді, коли побудовані за ними упорядковані m-діаграми Хегора будуть еквівалентними..

Функція порядку має такі властивості:

1) порядок (w_i) кожного меридіану w_i є цілим числом і 0<(w_i)<N+1;

2) якщо u_iv_j, то (u_i)<(v_j);

3) якщо порядок (w_i)>1, то існує меридіан w_j такий, що (w_i) = (w_j)+1, і меридіани w_i та w_j можна з'єднати шляхом, який не перетинає інші меридіани u_k, порядок яких (u_k) > (w_j), і меридіани v_k, порядок яких (v_k) < (w_j). Тут w_i та w_j можуть бути меридіанами як одного типу, так і різних типів.

Означення 4.2.6. Функцію порядку , яка задовольняє властивості 1) -3), будемо називати допустимою, а УmДХ з допустимою функцією порядку - допустимою УmДХ.

Теорема 4.2.3. Для кожної допустимої УmДХ існує функція загального положення, яка породжує цю УmДХ

Доведено теорема про реалізацію та наведено приклади обчислення числа нееквівалентних функцій.

У третьому підрозділі розглядаються функції на компактних тривимірних многовидах з межею, що не мають критичних точок і є такі, що їх обмеження на межу має не більше ніж 4 критичні точки.

Означення 4.3.1. Нехай M -- компактний зв'язний тривимірний многовид зі зв'язною межею, f:MR -- гладка функція на ньому. Функція f називається p-функцією, якщо вона не має критичних точок і обмеження її на межу має не більше ніж 4 критичні точки, які за умови зростанням значення функції мають такий вигляд:1) точка мінімуму індексу (0, -1); 2) (вироджена) точка з = -1; 3) (вироджена) точка з = +1; 4) точка максимуму індексу (2,+1).

Означення 4.3.2. Набір u={ u₁, u₂,..., u_k } правильно вкладених кривих, що не перетинаються, на поверхні F таких, що після розрізання за ними отримуємо два диски, і таких, що кожне u_i належить межі, тоді кожен з цих дисків називається системою розрізів поверхні F.

Означення 4.3.3. Трійку (F, u, v), що складається з поверхні та двох систем розрізів на ній, будемо називати p-діаграмою. p-Діаграми (F, u, v) і (F, u, v ) називаються гомеоморфними, якщо існує такий гомеоморфізм

h: FF, що h(u)=u, h(v)=v. При цьому, якщо гомеоморфізм зберігає (змінює) орієнтацію поверхні, то він зберігає (змінює) і орієнтації розрізів. У випадку неорієнтованої поверхні, гомеоморфізм зберігає або одночасно змінює орієнтації всіх u-розрізів і, аналогічно, v-розрізів.

Означення 4.3.4. p-Діаграми (F, u, v) і (F, u, v ) називаються напівізотопними, якщо існують такі ізотопії _t, _t: FF, що ₀=₀ =id, ₁(u)=u, ₁(v)=v.

Означення 4.3.5. Діаграму, у якої немає криволінійних двокутників та трикутників, а ізотопні криві з різних систем збіжні, будемо називати нормалізованою.

За функцією побудовано р-діаграму, яка за допомогою напівізотопії зводиться до нормалізованої.

Теорема 4.3.1. p-Функції f: MR, g: NR топологічно еквівалентні тоді та тільки тоді, коли побудовані за ними нормалізовані p-діаграми гомеоморфні.

Після стягнень компонент краю в точки, з р-діаграми побудовано р-граф функції, що вкладений в замкнену поверхню Ф, та доведено наступну теорему.

Теорема 4.3.2. p-Функції f: MR, g: NR топологічно еквівалентні тоді та тільки тоді, коли існує гомеоморфізм відповідних поверхонь Ф, який задає ізоморфізм р-графів , зберігає тип ребер та зберігає або одночасно змінює орієнтації ребер, як для розрізів.

Описано властивості р-графа:

1) число ребер типу u дорівнює числу ребер типу v;

2) u-підграф, що складений з ребер типу u та подвійних ребер розбиває поверхню на дві однозв'язні області і кожне ребро цього підграфа входить в межу кожної з двох областей;

3) аналогічна властивість для v-підграфа, складеного з ребер типу v та подвійних ребер.

Доведено теорему про реалізацію:

Теорема 4.3.3. Вкладений в замкнену поверхню граф, ребра якого розбиті на три типи так, що виконуються властивості 1) - 3), є р-графом деякої р-функції.

Наведено приклади обчислень числа нееквівалентних р-функцій.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі отримано такі основні результати:

за допомогою розкладів на ручки з комірами встановлено критерій геометричної еквівалентності функцій Морса-Смейла;

отримано пошарову класифікацію функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах;

встановлено критерій пошарової еквівалентності m-функцій на тривимірних многовидах з межею;

дана топологічна класифікація p-функцій на тривимірних многовидах.

Отримані в дисертації результати повністю розв'язують проблему пошарової класифікації функцій загального положення на компактних тривимірних многовидах. Ефективність побудованих класифікацій продемонстровано на прикладах підрахування числа геометрично та пошарово нееквівалентних функцій із заданими властивостями.

Результати, в основному, носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані в фізиці та теоретичній механіці. Побудовані повні топологічні інваріанти фактично описують ті властивості функцій у тривимірному просторі, які не змінюються при топологічних перетвореннях (наприклад, заміні системи координат), не залежать від способу вимірювання чи опису, тощо.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лукова Н.В. Геометричні властивості МС - функцій на тривимірних многовидах / Н.В. Лукова, О.О. Пришляк // Проблеми аналізу і алгебри: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2005. - Т.2, №3. - С. 225-232

2. Лукова Н.В. Пошарова еквівалентність функцій Морса на тривимірних многовидах / Н.В. Лукова, О.О. Пришляк // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2008. - №2. - С.16-18.

3. Лукова Н.В. Функції без критичних точок на тривимірних многовидах з межею / Н.В. Лукова // Геометрія, топологія та їх застосування: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2009. - Т.6, №2. - С. 417-425.

4. Lukova N.V. Morse - Smale functions on 3-manifolds / N.V. Lukova // Int. conf.''Geometry in Odessa - 2008'': V International conference, Odessa, 19.05-24. 05.2009: abstracts - Odessa, 2008.

5. Лукова Н. Функції без критичних точок на тривимірних многовидах з межею / Н. Лукова // Геометрія в Одесі - 2009: VI Міжнародна конференція., Одеса, 25-30 травня 2009 - Одеса, 2009 - С. 37

6. Лукова Н.В. Эквивелентность функций без критических точек на трехмерных многообразиях с краем / Н.В.Лукова // Геометрия «в целом», топология и их приложения, Харьков, 22-27 июня 2009 - Харьков,2009- С. 54

7. Лукова Н.В. Топологическая эквивалентность функций без критических точек на полном кренделе [Електронний ресурс] / Н.В.Лукова // Український математичний конгрес - 2009, Київ, 27-29 серпня 2009. - Режим доступу:

www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Lukova.pdf

АНОТАЦІЯ

Лукова Н.В. Функції на тривимірних многовидах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія та топологія. Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена вивченню топологічних властивостей функцій на тривимірних многовидах.

Доведено критерій геометричної еквівалентності функцій Морса -Смейла на замкнених тривимірних многовидах в термінах узагальнених упорядкованих діаграм Хегора. Доведено теорему реалізації для таких діаграм та обчислено число нееквівалентних функцій на поверхні Хегора роду один на якій не більше ніж шість точок перетину між меридіанами.

Отримано геометричну та топологічну пошарові класифікації функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах. Наведено приклади її застосування для конкретних функцій.

Встановлено критерії геометричної та топологічної пошарової еквівалентності функцій загального положення на тривимірних многовидах з межею у термінах упорядкованих m-діаграм Хегора.

Досліджено топологічні властивості р-функцій. Побудовано їх повні топологічні інваріанти, р-діаграма та р-граф. Описано властивості р-графа та доведено теорему про реалізацію. Наведено приклади обчислень числа нееквівалентних функцій.

Ключові слова: функція Морса, тривимірний многовид, діаграма Хегора, класифікація.

АННОТАЦИЯ

Лукова Н.В. Функции на трехмерных многообразиях. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Диссертационная работа посвящена изучению топологических свойств функций на трехмерных многообразиях.

Рассматриваются геометрические эквивалентности функций на трехмерных римановых многообразиях. Это такие гомеоморфизмы, которые отображают уровни функций в уровни, а траектории поля градиента в траектории. Доказаны критерии геометрической эквивалентности функций Морса-Смейла (т.е. функций Морса, у которых поле градиента есть полем Морса-Смейла) на замкнутых трехмерных многообразиях в условиях обобщенных упорядоченных диаграмм Хегора. Под обобщенной диаграммой Хегора здесь понимается замкнутая поверхность с двумя наборами замкнутых кривых (меридианов) таких, что кривые одного набора не имеют точек самопересечений и пересечений между собой и разбивают поверхность на области роду 0. Диаграмма упорядочена, если задан частичный порядок на множестве меридианов и областей.

Доказана теорема со реализации для таких диаграмм и подсчитано число неэквивалентных функций на поверхности рода один, у которых не более, чем 6 точек пересечения меридианов.

Рассматривается топологическая пошаровая эквивалентность функций. Это такой гомеоморфизм многообразия, который отображает компоненты уровня функции в компоненты уровня. Также исследуется геометрическая пошаровая эквивалентность. Это гомеоморфизм, который кроме компонент сохраняет и траектории поля градиента.

Для функций Морса на многообразиях произвольной размерности получен критерий топологической пошаровой еквивалентности с использованием упорядоченных простых разложений на ручки. Здесь разложения на ручки простые, если они и их средние и косредние диски находятся в общем положении.

Получены геометрическая и топологическая послойные классификации функций Морса на замкнутых трехмерных многообразиях. В первом случае используется гомеоморфизм, а во втором случае еквивалентность обобщенных упорядоченных диаграмм Хегора. При этом порядок задается с помощью графа Риба. Приведены примеры для конкретных функций.

Установлены критерии геометрической и топологической послойной эквивалентности функций общего положения на трехмерных многообразиях с краем в условиях упорядоченных m-диаграмм Хегора. Такие диаграммы представляют собой компактную поверхность с краем, на которой задано две системы меридианов. При этом под меридианами здесь понимаются правильно вложенные окружности (замкнутые кривые, лежащие во внутренности поверхности) и дуги (кривые, имеющие с краем две точки - их концы и трансверсальные в этих точках краю).

Исследованы топологические свойства р-функции. Это функции на трехмерных многообразиях с краем, которые не имеют критических точек и ограничений ее на границу имеет не более, чем 4 критические точки, которые при увеличении значения функции имеют такой вид: 1) точка минимума индекса (0, -1); 2) вырожденная точка с = -1; 3) вырожденная точка с = +1; 4) точка максимуму индекса (2,+1). Построены их полные топологические инварианты, р-диаграмма и р-граф. Описаны свойства р-графа и доказана теорема о реализации. Приведены примеры расчетов числа неэквивалентных функций.

Ключевые слова: функция Морса, трехмерное многообразие, диаграмма Хегора, классификация.

ANNOTATION

N. Lukova Functions on 3-manifolds. - Manuscript.

Thesis for receiving the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specialty 01.01.04 - geometry and topology. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

This thesis is devoted to the study of topological properties of functions on 3-manifolds.

The criterion of geometric equivalence of Morse-Smale functions on closed 3-manifolds was proved using generalized ordered Heegaard diagrams. The realization theorem for the diagrams was proved and the number of nonequivalent functions on Heegaard surface of genus 1 with no more than 6 meridian intersections was calculated.

Geometric and topological fiber classification of Morse functions on 3-manifolds was obtained. The examples of its using were demonstrated.

The criteria of geometric and topological fiber equivalence of function in the general position on 3-manifolds with boundaries using ordered Heegaard m-diagrams.

The topological properties of p-functions were investigated. Its complete topological invariants (p-diagram and p-graph) were constructed. The properties of p-graph were described and realization theorem was proved. The examples of calculation of nonequivalent function number were done.

Key words: Morse function, 3-manifolds, Heegaard diagram, classification.

Размещено на Allbest.ru

...