Вища математика для студентів І курсу лікувального факультету
Загальна характеристика використання методів математичного аналізу в медико-біологічній практиці. Розгляд функції та її похідних. Застосування диференціалу для наближених розрахунків. Основи інтегрального числення. Поняття про диференціальні рівняння.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 17.11.2015 |
| Размер файла | 388,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Тернопільська державна медична академія
Кафедра медичної інформатики з курсом фізики та спецобладнання
Посібник
Вища математика для студентів І курсу лікувального факультету
Д.М. Москаль,
В.Д. Дідух,
Р.Б. Ладика
Тернопіль 2000
Зміст
Вступ
1. Функція. Похідна функції
1.1 Сталі і змінні величини
1.2 Основні елементарні функції
1.3 Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини
1.4 Складна функція
1.5 Похідна функції
1.6 Похідна складних функцій
1.7 Частинна похідна
1.8 Фізичний зміст похідної
2. Диференціал функції. Застосування диференціала для наближених розрахунків
2.1 Диференціал функції
2.2 Геометричний зміст похідної і диференціала
2.3 Застосування диференціалу для наближених обрахунків
2.4 Похідні і диференціали різних порядків функції від однієї незалежної змінної
2.5 Механічний зміст другої похідної
2.6 Повний диференціал функції багатьох змінних
2.7 Застосування повного диференціалу для наближених обрахунків
2.8 Визначення граничної похибки посередніх вимірювань
3. Основи інтегрального числення
3.1 Поняття про інтеграл
3.2 Первісна функція і невизначений інтеграл
3.3 Властивості невизначеного інтегралу. Основні формули інтегрування
3.4 Методи інтегрування
3.5 Визначений інтеграл
3.6 Основні властивості визначеного інтеграла
3.7 Методи обчислення визначеного інтеграла
3.8 Теорема про середнє значення
3.9 Невласні інтеграли
3.10 Приклади застосування означеного інтеграла для розв'язку фізичних і хімічних задач
4. Диференціальні рівняння
4.1 Поняття про диференціальні рівняння
4.2 Диференціальні рівняння першого порядку,що розв'язуються безпосереднім інтегруванням
4.3 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
4.4 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
4.5 Диференціальні рівняння другого порядку
4.6 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
4.7 Приклади застосування диференціальних рівнянь для розв'язку задач з фізики, хімії, біології і медицини
5. Елементи теорії ймовірності
5.1 Основні поняття теорій ймовірності
5.2 Основні теореми ймовірності
5.3 Випадкова величина
5.4 Числові характеристики випадкових величин
5.5 Закони розподілу випадкових величин
5.5.1 Біномний розподіл (Бернуллі)
5.5.2 Формула повної ймовірності
5.5.3 Формула Байєса
5.5.4 Нормальний розподіл (Гауса)
6. Елементи математичної статистики
6.1 Генеральна та вибіркова сукупності
6.2 Дискретні та інтервальні ряди розподілу
6.3 Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу
6.3.1 Точкове оцінювання
6.3.2 Інтервальні оцінки
6.4 Розподіл Стьюдента
Вступ
В медико-біологічній практиці широко використовуються методи математичного аналізу при дослідженні різноманітних процесів, що відбуваються у клітинах і тканинах людського організму. Хоча елементарний функціональний підхід з певною ступінню наближення описує залежність чутливості біосистем до різних видів біологічних подразнень, проте для опису поведінки біосистем, для дослідження динаміки їх розвитку, для опису фізичних процесів у клітині потрібно застосовувати широкий спектр арсеналу засобів математичного аналізу. Серед потужних інструментів аналізу медико-біологічної інформації важливе місце займають методи диференціювання і інтегрування, теорія імовірності і математична статистика.
Особливу роль у дослідженні життєдіяльності організму і його звязків з зовнішнім середовищем відіграють математичні моделі, які мають цілий ряд переваг над багатьма існуючими методами дослідження медико-біологічних систем.
1. Функція. Похідна функції
1.1 Сталі і змінні величини
В процесі дослідження зовнішнього світу доводиться зустрічатися з величинами найрізноманітнішої природи. Щоб піддати їх математичному аналізу вибирають за одиницю вимірювання довільну величину тієї ж природи: наприклад, за одиницю вимірювання довжини приймають метр, за одиницю маси - кілограм і т.д. Тоді відношення даної конкретної величини до одиниці вимірювання буде показувати скільки разів одиниця вимірювання міститься у даній конкретній величині. Число, яке отримуємо в результаті вимірювання, називається значенням даної конкретної величини.
Класифікуємо величини на два великі класи: величини сталі і змінні. Величина називається сталою, якщо вона має цілком визначене числове значення. У протилежність цьому величину називають змінною, якщо вона набуває різних числових значень при умовах даної задачі.
Змінна величина y називається функцією незалежної змінної величини (аргументу) х на множині М, якщо кожному значенню х з множини М відповідає певне значення у.
Якщо у являється функцією від х, то пишуть y=f(x) або y=y(x).
Множина М називається областю означення функції.
На практиці часто змінна величина залежить від декількох змінних х1,х2,х3, … хn. Тоді у називають функцією від n змінних х1,х2,х3, … хn і і записують її так:
y=f(x1x2,x3, …xn); y=y(x1x2,x3, …xn) і т.п.
Способи задання функції.
Задати функцію означає встановити закон, за допомогою якого по даним значенням аргументу можна знайти відповідні значення функції. Нижче приведені найбільш поширені способи завдання функції.
Розрізняють три основні способи задання функції:
- Табличний;
- Аналітичний (за допомогою формул);
- Графічний.
Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що для кожного значення аргументу х поруч виписується відповідне значення функції у - будується таблиця.
Наприклад:
|
Х |
1,2 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
|
|
У |
2,6 |
3,8 |
4,1 |
5,2 |
6,2 |
Із наведеної таблиці видно як веде себе функція. Проте недоліком табличного представлення функції являється те, що невідома її поведінка в певних точках.
Рис. 1.1
Наприклад, невідомо чи вона означена при х=1,3. Аналітичний спосіб задання функції полягає в тому, що відповідність між х та у задається формулою. Наприклад,
;
Аналітичний спосіб. При вказаному способі функція задається за допомогою формул. Наприклад, пройдений шлях S як функція часу t при рівномірному русі задається формулою
,
де v - швидкість руху.
Кількість атомів радіоактивної речовини змінюється з часом за законом:
,
де N - кількість атомів радіоактивної речовини в даний момент часу, N0 - початкова їх щільність, Т - період піврозпаду(час, за який розпадається половина вихідної кількості радіоактивної речовини), е - основа натурального логарифма.
При аналітичному способі задання функції її область значення і точні значення її можна знайти. Проте, при аналітичному способі задання функції, інколи важко уявити її поведінку при зміні аргументу.
Графічний спосіб. Задати функцію графічно - значить намалювати її графік.
Графіком функції y=f(x) називається множина точок на площині з координатами (x, f(x)), де "х" - довільне число з області означення функції. Переваги цього способу - наглядність, недоцільним являється невелика точність знаходження числового значення функції.
Задати функцію графічно - значить намалювати її графік. Графіком функції у=f(х) називається множина точок на площині з координатами (х; f(х)), де х - довільне число з області означення функції.
Однією з важливих особливостей експотенціальної функції, графіком якої є крива приведена на мал.1.1 являється можливість перетворення її в лінійну функцію:
Отриману залежність можна розглядати як лінійну функцію (мал.1.2, б), де Х - незалежна змінна, ln y - значення функції, ln yo - початкова координата, к - кутовий коефіцієнт лінійної функції, який показує швидкість зміни значень функції при зміні незалежної змінної Х.
Рис. 1.2
1.2 Основні елементарні функції
Основними елементарними функціями є такі функції:
xn - степенева;
ах - показникова;
logax - логарифмічна;
тригонометричні : sin x, cos x, tg x, ctg x;
обернені тригонометричні : arcsin x, arccso x, arctg x, arcctgx.
Відзначимо деякі характерні особливості і властивості цих функцій.
Степенева функція xn означена для всіх додатніх х і при n<0 вона не означена при х=0. на мал.1.1 - 1.7 наведені її графіки.
Показникові функція y=ax означена для всіх х і додатня. При а>1 вона монотонно зростає, при 0<a<1 - монотонно спадає (мал.1.2).
Логарифмічна функція y=logax означена для всіх Х>0. При a>1 вона монотонно зростає, при 0<a<1 - монотонно спадає (мал. 1.3).
Тригонометричні функції sin x, cos x означені для всіх х, Х - це кут, вимірюваний у радіанах, tg x - означений для всіх , ctg x означений для всіх
Графіки функцій тригонометричні : arcsin x, arccsos x, arctg x, arcctgx наведені на мал.1.7 - 1.9.
Всі вони приведені на рис. 1.1.
Функція називається парною, якщо для довільних х з області означення f(-x)= f(x), то функція називається парною.
Приклад. Функція y=x4 - парна так, як при довільних х (-х)4 =(х)4.
Графік парної функції симетричний відносно осі координат.
Якщо ж для довільних значень х з області існування f(-x)= -f(x), функція f(x) називається непарною.
Приклад. Функція y=x5 - непарна, так як (-х)5= - х5.Існують функції, які не являються парними чи непарними.
Приклади:
, , .
Функція у= f(x) називається періодичною, якщо існує не рівне нулю число Т таке, що при всіх значеннях х з області її означення, f(x+T)= f(x). Число Т називається періодом функції.
Приклад.
.
Період функції .
Дуже часто при заданні функції аналітичним виразом y=f(x) область означення цієї функції не вказується. В такому випадку під областю означення функції розуміють область існування аналітичного виразу y=f(x), тобто множину значень аргументу х, для яких аналітичний вираз має означене конкретне значення.
Таблиця 1 - Області означення основних елементарних функцій.
|
Елементарна функція |
Область означення |
|
|
xn |
(-?;+?) |
|
|
[0;+?) |
||
|
(-?;+?) |
||
|
lg x |
(0;+?) |
|
|
ax |
(-?;+?) |
|
|
sin x |
(-?;+?) |
|
|
cos x |
(-?;+?) |
|
|
tg x |
||
|
ctg x |
(n: (n+1)) де n - 0;1;2;… |
|
|
Arcsin x |
[-1;1] |
|
|
arccos x |
[-1;1] |
|
|
Arctg x |
(-?;+?) |
|
|
arcctg x |
(-?;+?) |
Дуже часто при заданні функції аналітичним виразом y=f(x) область означення цієї функції не вказується. В такому випадку під областю означення функції розуміють існування аналітичного виразу y=f(x), тобто множину значень аргумента х, для яких аналітичний вираз y=f(x) має певне, кінцеве значення.
Приклад. Знайти область означення функції:
.
Розв'язок. Очевидно повинна мати місце нерівність , чи нерівність . Остання нерівність виконується якщо
Або
З першої системи нерівностей слідують
звідки .
З другої системи нерівностей слідують
несумісні нерівності.
Таким чином, область означення даної функції буде відрізок .
Вкажемо наступне :
інтервалом (а;b) називається множина чисел х, для яких a<x<b
Закритим інтервалом [a;b] називається множина чисел х, для яких axb;
Напіввідкритим інтервалом (a;b], чи [a;b) називається множина чисел х, для яких a<x b, чи ax<b;
Нескінченним інтервалом (-?;a), (-?;a], (b;+?), [b;+?), (-?;+?) називається множина чисел х, що задовільняють нерівності -?<x<a, -?<xa, b<x<+?, bx<+?, -?<x<+?.
Рис. 1.2
2. Основні особливості поведінки функції.
Функція y=f(x) (рис.1.2,а) монотонно зростає на інтервалі (a;b), якщо f(x2)>f(x1) для довільних х1 і х2, причому (x2>x21) із (a;b).
Функція y=f(x) (рис.1.2,б) монотонно спадає на інтервалі (a;b), якщо f(x2)<f(x1) для довільних х1 і х2, причому (x2>x1) із (a;b).
Якщо для точки х0 можна знайти такий інтервал (a;b) a<x0b що:
f(x0)>f(x) для довільного хх0 із (a;b), то точка х0 називається точкою максимума (max) функції y=f(x) (рис.1.3,а).
f(x0)<f(x) для довільного хх0 із (a;b), то точка х0 називається точкою мінімума (min) для функції y=f(x) (рис.1.3,б).
1.3 Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини
Рис. 1.3
Розглянемо випадок коли границя змінної величини дорівнює нулю. Таку змінну величину, яка має своєю границею нуль, називають нескінченно малою величиною. Згідно з означенням границі, у є величина нескінченно мала, якщо в процесі своєї зміни вона за абсолютним значенням стає і лишається меншою від будь-якого насамперед заданого числа .
Тісний звязок з поняттям про нескінченно малу величину має поняття про нескінченно велику величину. Додатною нескінченною величиною називаємо таку змінну величину, яка має такий характер зміни : яке б число N ми не взяли, то змінна величина у в процесі своєї зміни стає і лишається більшою від N.
Якщо змінна величина у в процесі своєї зміни стає і лишається меншою від будь-якого наперед заданого відємного числа - N, то у цьому випадку величину у ми називаємо відємною нескінченно великою величиною.
Другий випадок, що часто зустрічається, буде той, коли змінна у, границю якої ми шукаємо, є функція f(x) від другої незалежної змінної х. Кажуть, що число А називається границею функції y=f(x) при х прямуючому до а, якщо для довільного >0 існує число ()>0 таке, що при 0<x-a<() виконується нерівність f(x)-A<. У цьому випадку пишуть:
(1.1)
При х прямуючому до ?, число А називаєтьсія границею функції y=f(x), якщо для довільного >0 існує число M()>0 таке, що при x>M() виконується нерівність f(x)-A<.
Символічний запис виглядає так:
(1.2)
Доказати, виходячи з означення границі, що
Розв'язок. Нехай - довільне додатне число, треба доказати, що можна підібрати таке >0, що для всіх х, що задовольняє нерівність , буде використовуватися нерівність . Якщо , то ; . Для виконання нерівності достатньо вимагати, щоб , тобто , звідки корінь відкидаємо, так як за умовою .
Таким чином для довільного знайдемо таке , що з нерівності , слідує , тобто .
Основні теореми про границі функції.
Якщо існують і , то
1. ;
2. (k - постійна);
3. ;
4. якщо ;
5.
Знайти .
Розв'язок.
Використаємо формули (1), (3), (4):
;
Знайти .
Функція не означена в точці х0=1. Розкладаючи чисельник і знаменник на добуток відповідній функції, одна з яких не означена в точці х0=-1 отримаємо:
Дві чудові границі.
При знаходженні границь трансцендентних функцій часто використовуються формули:
(1)
(2)
(3)
Знайти ,
Розв'язок. При х1, 3х також прагне до нуля, тому, помножуючи чисельник і знаменник на 3і застосовуючи формулу (1), отримуємо
.
Знайти .
Розв'зок.
.
Заміняючи на х,отримаємо:
Зрайти
Познаючи , знаходимо:
Знайти границі
1..Відповідь: 1.
2..Відповідь: .
3..Відповідь: 1.
4..Відповідь: -1.
5..Відповідь: 1.
6..Відповідь: .
7..Відповідь: 1.
8..Відповідь: 1.
9..Відповідь: .
10..Відповідь:
Нескінченно малі і нескінченно великі функції.а, якщо для довільного >0 існує число ()>0 таке, що при 0<x-a<(N) виконується нерівність (x)</
Функція f(x) називається нескінченно великою при х прямуючому до а, якщо для довільного N існує число (N) таке, що при 0<x-a<(N) виконується нерівність f(x)>N.
Аналогічно визначаються нескінченно малі і нескінченно великі функції при х?. Нескінченно великі функції знаходяться у тісному звязку з нескінченно малими величинами.
Якщо при даному граничному переході функція (х) являється нескінченно малою, то функція обернена їй являється нескінченно великою.
Нескінченно малі функції мають такі властивості:
алгебраїчна сума довільного обмеженого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно малою.
добуток обмеженого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно малою.
Якщо при деякому граничному переході функція (х) є функція нескінченно малою, то
sin (x) (x)
tg (x) (x)
e(x)-1 (x)
ln [1+(x)] (x)
1.4 Складна функція
Якщо кожному значенню змінної х відповідає певне значення змінної u і кожному значенню u - певне значення змінної у, тобто якщо u=(x) і y=f(x) то очевидно, у буде функцією від х, і залежність у від х можна подати у вигляді y=f((x)). У таких випадках у називається функцією від функції. Або складною функцією. Наприклад. Якщо y=eu, u=sin x, то y=esin x.
Іноді (при диференціюванні функцій) важливо дану функцію, задану формулою, розглядати як складну функцію від функції. Наприклад, якщо y=sin2x3, то можемо записати y=u2, u=sin , =x3.
1.5 Похідна функція
Похідною функції y=f(x) по аргументу х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля.
Похідна функції y=f(x) позначається через : у, у(х), f, f(x), . Таким чином, за означенням,
(1.3)
Похідна від похідної називається похідною другого порядку, або другою похідною. Позначається таким чином : y, y2, f(x), f2(x), .
Подібним чином вводиться поняття похідної n-ного порядку.
Приведено таблицю формул диференціювання елементарних функцій.
|
(xn) = nxn-1 |
(1) |
|
|
(2) |
||
|
(3) |
||
|
(ax) = axln a |
(4) |
|
|
(ex) = eх |
(5) |
|
|
(sin x) = cos x |
(6) |
|
|
(cos x) = -sin x |
(7) |
|
|
(8) |
||
|
(9) |
||
|
(10) |
||
|
(11) |
||
|
(12) |
||
|
(13) |
Мають місце такі основні правила диференціювання (тут С - постійна, а u і v - функції від х, що мають похідні):
(C) = 0 (14)
(uv) = uv (15)
(Cu) = Cu (16)
(uv) = uv + vu (17)
(18)
Якщо похідна функції f(x)>0 в кожній точці проміжку [xi;xi+1], то функція зростає на цьому проміжку. При f(x)<0 вона спадає. Мінімум і максимум функції називають екстремумами функції. Якщо функція y=f(x) має екстремум в критичній точці хі і в ній існує похідна, то ця похідна дорівнює нулю: f(x)=0.
Достатня умова наявності екстремуму функції в околі точки хі формулюється так:
Якщо функція неперервна в точці хі і при переході через цю точку знак похідної змінюється, то в точці хі функція має екстремум;
Якщо знак похідної змінюється з додатнього на відємний, то функція має максимум;
Якщо знак похідної змінюється з відємного на додатній - мінімум.
Дослідження на екстремум функції використовується при розвязуванні задач оптимізації.
Приклади:
1. Знайти похідну від функції у=5х3-2х2+3х-4
Розвязок. Спираючись на формулу (15), маємо у=(5х3)-(2х2)+(3х)-(4). Застосовуючи формули (16) і (14) отримуємо : у=5(х3)-2(х2)+3(х). На кінець, використовуючи формулу (1) приходимо до кінцевого результату у=53х2-2 2х+3 1, або у=15х2-4х+3.
2.Знайти у, якщо у=х4-6х2+8
Розвязок
у=4х3-12х.
3.Знайти у, якщо
Розвязок. Переписуємо заданий вираз, використовуючи дробові і від'ємні показники Застосовуючи попередні формули знаходимо . Провівши відповідні перетворення отримуємо
4.Знайти у, якщо у=х3sin x.
Розвязок. За правилом диференціювання добутку функцій отримуємо у=3х2 sin x+x3cos x.
5.Газова суміш складається з оксиду азоту (NO) та кисню (О2). При якій концентрації кисню реакція окиснення відбувається з найбільшою швидкістю.
Розвязок. Відбувається хімічна реакція 2NO+O22NO2. Швидкість реакції визначають за формулою
v=kx(100-x)2,
де х - концентрація кисню в довільний момент часу в обємних процентах;
(100-х) - концентрація оксиду азоту;
k - константа реакції.
Знаходимо похідну v=k(100-x)2-2kx(100-x). Прирівнявши v до нуля, знаходимо критичні точки k(100-x)(100-3x)=0; х1=33,3%, х2=100%. Друга критична точка не має змісту.
Отже концентрація кисню має становити 33,3%.
1.6 Похідні складних функцій
Нехай у є функція відu: y=f(u), де u є функція від аргументу х : u=(x); тоді ми можемо записати y=f((x)).
Якщо для відповідних значень х і u існують похідні, то існує і похідна від у по х. причому має місце рівність : y=f(u)u=f[((x)](x).
Приведемо таблицю основних формул диференціювання :
|
(un) = nun-1u |
(1) |
|
|
(2) |
||
|
(3) |
||
|
(au) = auln au |
(4) |
|
|
(eu) = euu |
(5) |
|
|
(sin u) = cos uu |
(6) |
|
|
(cos u) = -sin uu |
(7) |
|
|
(8) |
||
|
(9) |
||
|
(10) |
||
|
(11) |
||
|
(12) |
||
|
(13) |
Приклади:
1.Знайти похідну від функції
Розвязок. Вводимо допоміжну функцію u вважаючи u=x3+x2+x тоді, можемо записати і враховуючи формулу (2) отримуємо :
2.Знайти у, якщо у=(х4+4х3+1)3
Розвязок. Вважаючи u=x4+4x3+1 маємо y=u3. З формули (1) слідує y=3u2u=3(x4+4x3+1)(4x3+12x2). Відзначимо, що в подальшому допоміжну функцію будемо вводити подумки.
3.Знайти у, якщо
Розвязок. Приймаючи у даному випадку за u подумки вираз х2+х і скориставшись формулою (3) отримуємо
4.Знайти у, якщо у=ln(sin x)
Розвязок. Аналогічно попередньому прикладу знаходимо :
Часто приходиться знаходити похідні від функцій складнішого типу. Нехай y=f(((x))). Тоді похідні такого типу функцій знаходяться як добуток похідної зовнішньої функції на відповідні похiднi від внутрішніх функцій
y=f(((x)))((x))(x).
Приклади:
1.Знайти у, якщо у=ln(sin 5x).
Розвязок.
2.Знайти у, якщо
Розвязок.
1.7 Частинна похідна
Нехай D - область означення функції u=f(x,y). Величини хu=f(x0+x,y0) - f(x0,y0) i yu=f(x0,y+y) - f(x0,y0) називаються приростами функції по аргументах х та у відповідно.
Частинною похідною функції u=f(x,y) по аргументу х в точці (х0,у0) називається границя відношення частинної приросту функції по аргументу х до приросту аргументу х, коли він прямує до нуля
Аналогічно знаходиться частинна похідна по другому аргументу :
Частинна похідна від частинної похідної n-ного порядку є частинна похідна n+1 порядку.
Розрізняються частинні похідні за одним з параметрів:
і за декількома:
Приклади:
1. Знайти частинні похідні функцій
1.
Розвязок. Знаходимо частинні похідні:
2.v=ln(x3+y3).
Розвязок. Частинні похідні мають такий вигляд:
3.Обрахувати частинні похідні другого порядку у точці (1;2) для функції
g=x5+xy2.
Розвязок
Обчислюємо частинні похідні в точці (1;2). yxx=20; yyy=2; yxy=4.
4.Знайти похідні наступних функцій: Відповіді:
a) y=5x3-3x2+6 y=15x2-6x
б)
в)
г)
д) y=sin 2x y=2cos2x
е)
є)
ж) y=sin2t3 y=cos2t3
з) y=lnsin x y=ctg x
и) y=(3+2x2)3 y=12x(3+2x2)2
і) y=tsin(1-t2) y=sin(1-t2)-2t2cos(1-t2)
ї) y=sin5(1+x3) y=15x2sin4(1+x3)cos(1+x3)
й)
Задачі.
1.Зміна кількості деяких бактерій з часом описується законом N=t2+2t. Знайти швидкість їх розмноження в момент часу t=2c.
Відповідь: v=6 бак/c.
2.Дві точки почали рухатись по прямій згідно законів :
S1=t3-5t2+17t-4,
S2=t3-3t.
У який момент часу їх швидкості зрівняються?
Відповідь: t=2c.
3.Знайти точки екстремуму для функції
Відповідь: x1=1; x2=3.
1.8 Фізичний зміст похідної
З фізичної точки зору похідна являє собою швидкість зміни функції f(x). Так швидкість є похідна від шляху по часу, а похідна від швидкості по часу є прискорення. Нехай точка М рухається по прямій. Шлях S, який проходитьця точка, залежить від часу t, тобто шлях S є функція від часу t : S=S(t). Для знаходження швидкості v точки, потрібно знайти два її положення А і В. (рис. 1.4) Тоді , причому v буде обраховано тим точніше, чим меншим буде проміжок t. При t0 отримуємо:. Щоб обрахувати прискорення а, треба підрахувати зміну швидкості v за одиницю часу. Сама швидкість v є функція часу: v=v(t). За проміжок часу t швидкість змінилася на величину v=v(t+t)-v(t) і тому . Перейшовши до границі при t0, маємо
Рис. 1.4 Радіоциклограма мозку
Нехай нас цікавить швидкість зміни функції, зображені на мал. а, в точці (х1;у1) Позначимо проміжок значень аргумента від х1 до х2 через ?х і дослідимо, як змінюється у цьому проміжку значення функції у(х)
а - функціональна залежність, яка показує зміну активності в ділянці мозку при проходженні на його судинах РФП;
б - графік похідної цієї функції.
Величина зміни функції у цьому проміжку називається приростом функції і позначається через ?у(?у=у2-у1).відношення приросту функції до приросту аргумента () характеризує середню швидкість зміни функції в досліджуваному проміжку ?х на границі (мал.) величина швидкості відповідає (рівна) тангенсу кута . Границя буде являтися швидкістю зміни функції в точці (х1; у1,)
2. Диференціал функції. Застосування диференціала для наближених обрахунків
2.1 Диференціал функції
З означення похідної:
Виходить, що
де - нескінченно мала величина при нескінченно малому х
зауважуючи, що f(x) взагалі кажучи не дорівнює нулеві, ми бачимо, що приріст функції взагалі буде нескінченно малий одного порядку з х; головний його член, тобто добуток f(x)x називають диференціалом функції f(x) і позначають символом df(x) або dy, якщо y=f(x), то df(x)=f(x)x.
В окремому випадку, коли f(x)=x, f(x)=1 попереднє означення дає dx=x, а тому можна записати : df(x)=f(x)dx i dy=ydx.
Отже, диференціал функції є добуток похідної на довільний приріст незалежної змінної, який можна позначити символом dx і називати диференціалом незалежної змінної.
Таблиця 2.1 - Головніших формул диференціювання.
|
dun=nun-1du |
(1) |
|
|
deu=eudu |
(2) |
|
|
dau=aulna du |
(3) |
|
|
(4) |
||
|
dsin u=cos udu |
(5) |
|
|
dcos u=-sin udu |
(6) |
|
|
(7) |
||
|
(8) |
||
|
(9) |
||
|
(10) |
||
|
(11) |
||
|
(12) |
||
|
d(uv)=uv-1vdu+uln udu |
(13) |
|
|
duu=uu(ln u+1)du |
(14) |
|
|
d(uv)=dudv |
(15) |
|
|
d(uv)=udv+vdu |
(16) |
|
|
(17) |
Приклади:
1.Знайти диференціал функції y=(1+ln x)8
Розвязок. Спосіб 1. Знаходимо похідну від даної функції
Звідси, виходячи з означення диференціала,
Спосіб 2. Знаходимо безпосередньо диференціал, використовуючи формули (1) і (4)
2.Знайти диференціал функції y=arcsin (x2)
розв'язок:
2.2 Геометричний зміст похідної і диференціала
Візьмемо на кривій дві точки М і М1(рис.2.1); координати їх будуть x=OP, y=f(x)=PM1, x1=x+x=OP1, y1=f(x+x)=P1M1, де x=PP1.
Провівши січну M1MS і пряму MQ||OX, бачимо, що
Припустимо, що з наближенням до нуля дане відношення (1) прямує до певної границі, тобто має певну похідну при заданому х.
Тоді, якщо точка М1 буде наближатися до точки М, лишаючмсь на даній кривій, січна М1S, обертаючись навколо М прямуватиме до збігу з деякою прямою МТ, яка називається дотичною до даної кривої в точці М. Положення цієї дотичної визначається кутом , утворюваним прямою МТ з ОХ, тангенс якого знаходиться на основі
(2.1)
таким чином похідна f(x) при заданому значенні х є тангенсом кута, утворюваного з віссю х дотичною до даної кривої в точці М, абсциса якої є це дане значення х.
Якщо М є точка на дотичній, що має абсцису ОР1=х+х, то QM=P1M-PM=xtg=xf(x)=df(x), a QM1=P1M1-PM=f(x+x)-f(x)=f(x). Отже диференціал функції можна розглядати як приріст, який дістає ордината точки М при переміщенні цієї точки по дотичній МТ до точки, яка має абсцису х+х, а f(x) є приріст ординати при переміщенні точки М по кривій до точки М1, що має ту саму абсцису х+х. Величина відрізка M1M=QM-QM1=df(x)-f(x) значно менша від х і нею можна знехтувати.
2.3 Застосування диференціалу для наближених обрахунків
1.Часто доводиться обчислювати значення окремих виразів, як, наприклад (1+x)n, для малих значень аргументу. Щоб дістати наближену формулу для (1+x)n при даних значеннях х зробимо так. Розглядаючи степеневу функцію xn, утворимо її приріст, який відповідає зміні х від 1 до 1+х : (1+x)n-1.
Рис. 2.1
Вважаючи х малою величиною, можемо замінити цей приріст диференціалом (xn)x=1x=nx. Таким чином знаходимо : (1+х)n-1nx, звідки (1+x)n1+nx. Аналогічно можемо прийняти sin x=x для малих значень х. Справді sin x=sin x-sin 0(sin x)x=0x=x.
Як третій приклад виведемо наближену формулу для ln(1+) при малих значеннях . Для цього розглянемо логарифмічну функцію ln х і утворимо її приріст, який відповідає зміні х від 1 до 1+ : ln(1+)-ln 1.
Вважаючи малою величиною ми можемо змінити цей приріст відповідним диференціалом (ln x)x=1= і, таким чином, знаходимо : ln(1+).
2.Диференціал dy функції y=f(x) являє собою головну частину приросту цієї функції, лінійну відносно х. Іншими словами, приріст y повязаний з диференціалом співвілношенням y=yx+x, чи y=dy+x, де >0 при х0.
Звідси слідує, що при малих х мають місце наближені рівності :
ydy (1)
f(x+x)-f(x)f(x)x (2)
f(x+x)f(x)+f(x)x (3)
Приклади:
1.Вивести наближену формулу
.
Розвязок. У даному випадку , тому
Підставляючи отримані вирази у формулу (3) отримаємо шукану наближену формулу
2.Знайти наближене значення .
Розвязок. У даному випадку
Вважаючи х=27, х=-0,81 і застосовуючи формулу (3) отримуємо
3.Обчислити sin 290.
Найближчим значенням аргументу, для якого легко визначити значення функції х=300, . Тому згідно формули (3) маємо
.
4.Знайти приріст функції при зміні х від 1 до 1,01.
Розв'язок. Згідно (2) приріст функції наближено рівний
;
Підставивши числові значення знаходимо
2.4 Похідні і диференціали різних порядків функції від однієї незалежної змінної
Нехай у є деяка функція від аргумента х, у=f(x). Похідна є нова функція від х ; похідну від називають другою похідною або похiдною 2-го порядку функції у і позначають знаком або ; похідна 3-го порядку є похідна від і позначається і т.д.
Таким чином, можна визначити послідовно похідні до будь-якого порядку n.
Наприклад, для у=х4 маємо
Диференціалом n порядку даної функції називають добуток похідної n-го порядку на n-ний степінь диференціала незалежної змінної позначають знаком dny.
2.5 Механічний змiст другої похідної
Розглядаючи незалежну змінну як час, а залежну як шлях, пройдений за цей час, ми бачили, що похідна шляху від часу являє собою швидкість цього руху. Утворивши тепер другу похідну від шляху по часу, ми її можемо розглядати як першу похідну від швидкості. Отже, друга похідна від шляху до часу вирішає швидкість зміни швидкості руху або прискорення руху. Взагалі кажучи друга похідна від функції по аргументу, визначає прискорення, з яким змінюється функція залежно від аргумента.
2.6 Повний диференціал функції багатьох змінних
Повний диференціал функції багатьох змінних визначається як сума частинних диференціалів по кожній із змінних. Повний диференціал для функції двох незалежних змінних має вигляд:
Аналогічно можна записати повний диференціал і для n змінних.
Приклад: записати вираз для повного диференціалу для функції
.
Розв'язок: змінними величинами є t i x
знаходимо; підставивши частинні похідні у вираз для повного диференціалу отримуємо
2.7 Застосування повного диференціалу для наближених обрахунків
Формула для наближених обчислень функції двох змінних в заданих точках має вигляд
тут
Приклад: За допомогою повного диференціалу наближено обчислити функцію u=xey в точці (х=3,02;у=0,03) приймемо х0=3,у0=0.
Запишемо вираз для повного диференціалу
du=eydx+xeydy.
Замінивши dx i dy на х і у знаходимо: підставивши результат в формулу для наближених обрахунків отримуємо:
2.8 Визначення граничної похибки посередніх вимірювань
Нехай величина u визначається через безпосереднє вимірювання величин х та у u=f(x;y) і значення прямого вимірювання величини х становить х0 при граничній абсолютній похибці вимірювання х, а значення прямого вимірювання величини у рівне у0 при граничній абсолютній похибці у. Тоді шукана величина u буде рівна u=f(x0;y0)
При граничній абсолютній похибці
Приклад: Оцінити яка потужність сушильної шафи, якщо амперметр показує силу струму 0,5А при граничній похибці прилада 10ма, а вольтметр показує напругу в 215В при граничній похибці в 2В.
Розв'язок: потужність визначається за формулою Р=IU. Згідно вихідних даних і0=0,5A;i=0,01A;u0=215B;u=2B
Тоді Р0=і0*u0=107,5Вт при граничній похибці
таким чином
Приклади
Знайти диференціали слідуючих функцій
Відповіді:
Обрахувати наближено
1., відповідь 0,94
2., відповідь 0,997
3., відповідь 1,025
4., відповідь 0,515
Задачі.
1.Знайти наближено приріст функції при переході від значення х=1 до х=0,1. Відповідь: у=0,3
2.Знайти наближене значення дробу при х=4,2 Відповідь 0,8144
3.Знайти наближене значення шляху при t=1,02с. Відповідь s=0,92
4.Знайти наближене значення функції в точці (1,01;2,03) Відповідь f(x,y)=5,36
5.Знайти повний диференціал функції f(x,y)=sin(xy)
Відповідь:
3. Основи інтегрального числення
3.1 Поняття про інтеграл
Інтегральне числення виникло з потреби створити загальний метод обчислення площ, об'ємів і центрів тяжіння різноманітних тіл. В 1659р. англійський математик Ісаак Барроу встановив зв'язок між задачею про знаходження площі і задачею про знаходження дотичної, і тим самим встановив зв'язок між диференціальним та інтегральним численням. Нехай лінія MN (рис.3.1) задана рівнянням і треба знайти площу S "криволінійної трапеції" аАВв.
Поділимо відрізок аb на n частин ax1, x1x2... xN-1b (рівних або нерівних) і побудуємо з прямокутників фігуру, показану на малюнку штриховою. Її площа рівна:
(3.1)
Якщо ввести позначення ,то формула (3.1) матиме вигляд:
(3.2)
Шукана площа є границею суми (3.2) при нескінченно великому n. Лейбніц ввів для цієї границі позначення
,(3.3)
в якому ? (курсивне S) перша буква слова сума (summa), а виразвиражає типову форму окремих доданків.
Вираз (3.3) Лейбніц назвав інтегралом - від латинського слова integralis - цілісний. Фур'є вдосконалив позначення Лейбніца, надавши йому вигляд
,(3.4)
де враховано початкове і кінцеве значення x. Будемо вважати а постійною, а b - змінною величиною, змінивши позначення b на . Тоді інтеграл
,(3.5)
буде функцією від . Виявляється, що диференціал цієї функції рівний
,(3.6)
Таким чином, обчислення інтеграла (3.5) зводиться до знаходження функції по заданому виразу її диференціала. Знаходження такої функції є основним завданням інтегрального числення.
3.2 Первісна функція і невизначений інтеграл
Якщо функція є похідною від функції тобто є диференціалом функції то функція називається первісною для функції
Приклад 1. Функція 2х є похідна від х2, тобто є диференціалом функції х2: За означенням функція х2 є первісною для функції 2х.
Приклад 2. Вираз є диференціалом функції Отже функція (як і функція х2) - первісна для функції 2х, тобто функція 2х має багато первісних, але всі вони відрізняються тільки сталим доданком.
Будь-яка неперервна функція має нескінченну множину первісних функцій. Якщо - одна з них, то будь-яка інша задається виразом де С стала величина.
Невизначеним інтегралом заданого виразу ,або заданої функції називається сукупність первісних F(x)+c для функції або для даного диференціала .
Невизначений інтеграл заданого виразу позначається
(3.7)
де - підінтегральна функція, підінтегральний вираз, х - змінна інтегрування, С - стала інтегрування. Слово "невизначений" підкреслює, що в загальний вираз первісної функції входить сталий доданок, який можна вибрати довільно. Знаходження невизначеного інтеграла заданої функції називається інтегруванням.
Приклад 3. Найбільш загальний вигляд первісної функції для виразу є . Ця функція за означенням і буде невизначеним інтегралом виразу 2xdx:
?2xdx=x2+c.
Можна також записати
?2xdx=x2·+5+c1, де c1=c-5.
Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл функції y=6x2.
Функція 6x2 є похідною від функції 2x3: (2x3)'=6x2 Сукупність первісних для виразу 6x2 dx є 2x3+c, тому
?6x2 dx=2x3+c.
Отже, для того щоб знайти невизначений інтеграл від заданої функції f(x) необхідно виконати такі дії:
Написати підінтегральний вираз f(x) dx;
Знайти первісну функцію F(x) і додати до неї постійну інтегрування C.
3.3 Властивості невизначеного інтеграла. Основні формули інтегрування
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:
[?f(x)dx]'=f(x).(3.8)
2. Диференціала від невизначеного інтеграла дорівнює під інтегральному виразу:
d [?f(x)dx]=f(x)dx(3.9)
3 Інтеграл від диференціала первісної дорівнює цій первісній:
?d[F(x)+c]=Fx)+c(3.10)
4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
?kf(x)dx=k?f(x)dx.(3.11)
5. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку зокрема:
?[f1(x)±f2(x)]dx=?f1(x)dx±?f2(x)dx(3.12)
Використовуючи властивість (3.10) невизначеного інтегралу, можна отримати формули інтегрування елементарних функцій. Наприклад :
?d(-Cosx+c)=?Sinxdx=-Cosx+c.
Основні формули інтегрування :
1.
2. =lnx +c.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
3.4 Методи інтегрування
Розрізняють три найпростіших методи інтегрування: безпосереднє інтегрування, інтегрування методом заміни змінної та інтегрування частинами.
Безпосереднім - називається інтегрування при якому шляхом алгебраїчних перетворень і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводять підінтегральні вирази до основних формул інтегрування, тобто до табличного вигляду.
Приклад 1. Знайти інтеграл
Використовуючи формули (3.11) - (3.12) знаходимо
Приклад 2. Знайти інтеграл:
Скориставшись формулою , зводимо під інтегральний вираз до табличного:
Суть інтегрування методом заміни змінної полягає в переході від заданої змінної інтегрування до іншої змінної, для того, щоб звести під інтегральний вираз до одного з табличних.
Приклад 3. Знайти інтеграл:
Інтеграл не зводиться до табличного раціональними алгебраїчними перетвореннями, але він подібний до табличного інтеграла:
Тому доцільно зробити заміну:
Диференціюючи отримаємо:
Підінтегральний вираз зводиться до табличного:
Повертаючись до змінної , знаходимо:
Приклад 4. Знайти інтеграл:
Підінтегральний вираз є добутком двох співмножників,
і
Співмножник 2xdx є диференціалом функції .
Тому заміна зводить підінтегральний вираз до табличного. Диференціюючи заміну, отримаємо:
Приклад 5. Знайти інтеграл:
Підінтегральний вираз є добутком співмножників: і Заміна перетворює у функцію , яку ми вміємо інтегрувати:
Вибір заміни змінної в кожному конкретному випадку залежить від підінтегрального виразу. Загального правила її вибору не існує. Проте, якщо підінтегральна функція має вигляд , то може бути корисною заміна (приклад3). Якщо підінтегральний вираз є добутком двох співмножників, в одному з яких можна розпізнати диференціал деякої функції, то корисною буде заміна , (приклади 4 і 5).
Інтегруванням частинами називається зведення заданого інтеграладо інтегралаза допомогою формули
(3.13)
Ця формула отримується в результаті інтегрування диференціалу добутку функцій u=u(x) і v=v(x). Даний метод доцільний, коли знаходиться простіше, аніж .В якості u вибирається функція, що спрощується диференціюванням, а в якості dv - решта підінтегральрого виразу, що містить dx, і з якого можна визначити v шляхом інтегрування.
Приклад 6. Знайти інтеграл:
.
Позначимо x=u, тоді . Знаходимо du=dx, , . За формулою (3.13):
.
Приклад 7. Знайти інтеграл:
Позначимо Тоді
Знаходимо , , . За формулою (3.13)
.
Приклад 8. Знайти інтеграл
.
Підінтегральний вираз можна подати у вигляді . Тут,.
Маємо:
.
3.5 Визначений інтеграл
Як зазначалося в 3.1 історично першою задачею, яка привела до поняття визначеного інтеграла, була задача про знаходження площі криволінійної трапеції. Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена лініями ; ;; (рис. 3.1). Згодом з'ясувалося, що задачі про знаходження шляху матеріальної точки, роботи змінної сили, моменту інерції, об'єму та інші приводяться до однакової послідовності дій над відомими функціями та їх аргументами, тобто мають спільний алгоритм розв'язку. Якщо абстрагуватися від фізичного змісту змінних та їх позначень, то цей алгоритм такий:
Відрізок , в якому задана неперервна функція, розбивається на частин точками , .
В кожному відрізку береться довільна точка і обчислюється відповідне значення функції при
Складається сума:
,(3.14)
яка називається інтегральною сумою для функції на відрізку
Знаходиться границя інтегральної суми при умові, що .
Границю інтегральної суми називають визначеним інтегралом від функції на відрізку .
(3.15)
де - нижня межа інтегрування, - верхня межа інтегрування, - підінтегральна функція, - змінна інтегрування.
Визначений інтеграл виражає собою число. Його значення залежить від підінтегральної функції і від значення верхньої і нижньої меж інтегрування. За допомогою визначеного інтеграла можуть бути розв'язаними всі задачі з будь-якої сфери науки і техніки, якщо їх розв'язок зводиться до знаходження існуючої границі інтегральної суми (3.14).
Так площа криволінійної трапеції утвореної лінією графіка функції у =f (x) віссю О Х і двома ординатами х =а і х = в чисельно дорівнює визначеному інтегралу від функції у =f(x) в межах від х =а до х = в:
S=(3.16)
Робота виконана змінною силою, чисельно рівна визначеному інтегралу від сили, взятому на шляху S:
A =(3.17)
Рівності ( 3.16 ) і (3.17 ) виражають геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла.
3.6 Основні властивості визначеного інтеграла
1. Якщо верхню і нижню межу інтегрування поміняти місцями, визначений інтеграл зберігає абсолютну величину, але змінює свій знак на протилежний:
(3.18)
2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від кожного доданку зокрема в заданих межах інтегрування :
±(3.19)
3. Адитивна властивість, Якщо відрізок , який визначає межі інтегрування, розбити на дві частини і , то:
.(3.20)
4. Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла:
(3.21)
5. Якщо підінтегральна функція в межах інтегрування зберігає постійний знак, то визначений інтеграл виражає собою число того ж знаку, тобто якщо , то:
.(3.22)
3.7 Методи обчислення визначеного інтеграла
Між визначеним і невизначеним інтегралами існує тісний зв'язок, який встановлює Формула Ньютона--Лейбніца:
, де (3.23)
Значення визначеного інтеграла дорівнює різниці значень будь-якої первісної від підінтегральної функції, взятої при верхній і нижній межі інтегрування.
На основі формули Ньютона-Лейбніца можна дати таке означення визначеного інтеграла. Визначеним інтегралом в межах від до від неперервної на проміжку функції є приріст первісної відносно меж інтегрування.
Згідно з формулою Ньютона-Лейбніца (3.23), визначений інтеграл обчислюється при допомозі невизначеного інтеграла:
(3.24)
з використанням властивостей визначеного інтеграла.
Приклад 1. Обчислити .
Приклад 2. Обчислити .
.
Визначений інтеграл може бути обчислений за допомогою нової змінної , яка пов'язана з певною функціональною залежністю. При цьому підінтегральний вираз перетворюється до вигляду , аналогічно як при невизначеному інтегруванні (п.3.4). Крім цього треба замінити межі інтегрування а=х1 і в=х2 новими межами а1=t1 і b1=t2 у відповідності з функціональною залежністю між x і t з таким розрахунком щоб значенням змінної t (t1 і t2) відповідали задані значення х1 і х2 змінної х. Якщо це можливо, то маємо:
(3.25)
Приклад 3. Обчислити. Зробимо заміну змінних: 1+х=t, d(1+x)=dt, dx=dt. Підінтегральний вираз .
Межі x1=0 і x2=1 треба замінити новими t1 і t2 згідно формули 1+х=t: t1=1+x1=1+0=1; t2=1+x2=1+1=2. Згідно (3.25) маємо:
;
Приклад 4. Обчислити .
Зробимо заміну змінних: sinx=t, d(sinx)=dt, cosx ·dx·dt. Підінтегральний вираз sinx·cosx dx=t ·dt. Межі x1=0 і x2= заміняємо новими t1 і t2 згідно формули sinx=t: t1=sinx1=sin0=0, t2=sinx2=sin=1. Згідно (3.25) маємо
.
Інтегрування частинами можна застосовувати безпосередньо до визначеного інтеграла,використовуючи формулу:
(3.26)
Приклад 5. Обчислити
.
3.8 Теорема про середнє значення
Визначений інтеграл дорівнює добутку довжини відрізка інтегрування на значення підінтегральної функції в деякій точці відрізка :
(3.27)
Значення функції f(c) називається середнім на проміжку (а, в). Згідно (3.27) маємо:
(3.28)
Поняття середнього значення функції використовується в різноманітних сферах науки і техніки, позаяк багато величин часто характеризуються своїми середніми значеннями. Наприклад, середня швидкість хімічної реакції, середня потужність змінного струму, середній тиск та інші.
Приклад 1. Знайти середнє значення функції y=sin2x в інтервалі (0,).
3.9 Невласні інтеграли
Ми ввели поняття означеного інтеграла (3.5.), вважаючи, що межі інтегрування скінчені, а підінтегральна функція y=f(x) на проміжку інтегрування [а; b] неперервна. Якщо ж проміжок інтегрування нескінченний, або підінтегральна функція розривна, то такі інтеграли називаються невласними.
Якщо інтеграл
(3.29)
при хІ+ має скінчену границю, то ця границя називається інтегралом функції f(x) від а до нескінченності і позначається
(3.30)
Якщо інтеграл (3.29) при хІ має нескінчену границю, або взагалі не має границі, то кажуть, що невласний інтеграл (3.29) розбіжний. При наявності скінченої границі інтеграла (3.29) кажуть, що невлісний інтеграл (3.30) збіжний.
Приклад 1. На горизонтальній поверхні закріпили дві позитивно заряджені кульки із зарядами q1і q2. Відстань між центрами кульок R. Кульку із зарядом q2 звільняють і вона віддаляється від кульки із зарядом q1 під дією кулонівської сили відштовхування (r--змінна відстань між кульками, k--сталий коефіцієнт ).
Робота сили F на ділянці (R, rI) виражається інтегралом
Невласний інтеграл
виражає повний запас роботи даної системи. В фізиці ця величина називається потенціалом.
Приклад 2. Проінтегрувати .
Позаяк , то,
Аналогічно визначають невласний інтеграл
(3.31)
Інтегралом функції f(x) від - до :
(3.32)
називається сума
(3.33)
Вона не залежить від вибору с.
Невласний інтеграл (3.32) збіжний, якщо обидва невласні інтеграли (3.33) є збіжними.
Приклад 3. Проінтегрувати
Нехай функція y=f(x) має розрив в точці х=b, a в інших точках проміжку [a;b] неперервна.
Якщо інтеграл
(3.34)
математичний диференціал інтегральний рівняння
має скінченну границю, коли хІb( залишаючись менше b), то ця границя називається невласним інтегралом від амдо b від функціїf(x) і позначається
(3.35)
Аналогічно визначають невласний інтеграл, коли f(x) має розрив тільки на кінці х=а проміжку[a; b].
Якщо функція y=f(x)має розрив тільки у внутрішній точці с проміжку [a; b], то в
(3.36)
Приклад 4. Проінтегрувати .
Функція має розрив точці х=0.
За означенням
3.10 Приклади застосування означеного інтеграла для розв'язку фізичних і хімічних задач
Приклад 1. Кутова швидкість обертання тіла виражається формулою рад/с. Знайти кут повороту тіла за перші 10 с від початку руху.
Відомо, що, отже . За умовою .
Тому
рад.
Приклад 2. Знайти силу, з якою кільце з тонкого дроту радіусом r, притягає матеріальну точку масою m, що знаходиться на осі кільця на відстані L від його центра. Радіус кільця R, густина матеріалу дроту g.
Рис. 3.2
Візьмемо елемент кільця dl (мал. 3.2).
Притягання між цим елементом і масою m в точці А буде:
.
Сила напрямлена по лінії х, яка з'єднує dl і m. Для знаходження сили притягання всього кільця треба геометрично додати всі сили . Силу розкладаємо на нормальну складову і тангенціальну складову . Складові від кожних двох діаметрально протилежних елементів взаємно знищуються. Тому ,
Але і
.
Поза як , остаточно
.
Приклад 3. Знайти момент інерції тонкого однорідного стержня довжиною l і масою m відносно осі, що проходить через середину стержня перпендикулярно до нього.
Рис. 3.3
Вибираємо достатньо малу ділянку стержня довжиною dx і масою dm на відстані х від осі ОО, і приймаємо її за матеріальну точку. Момент інерції матеріальної точки dx дорівнює
.
Поза як
Щоб знайти момент інерції всього стержня про інтегруємо останній вираз по всьому стержню від до :
.
Приклад 4. Мідний диск, радіусом r, розташований в площині, перпендикулярній до напряму вектора індукції магнітного поля . По радіусу диска проходить струм, силою І. Знайти момент сили, який діє на диск.
На елемент радіуса диска dx діє сила Ампера dF, рівна
Обертовий момент dM, який діє на елемент dx, за означенням дорівнює:
Щоб знайти обертовий момент сили М, який діє на весь диск треба проінтегрувати останній вираз по всьому радіусу від 0 до r:
Приклад 5. Знайти роботу, затрачену на подолання сил взаємодії між молекулами одного моля деякого газу при його розширенні від об'єму 1 до об'єму 2.
Сили взаємодії між молекулами одного моля зумовлюють тиск
,
де - стеля Ван-дер-Ваальса.
Робота на кожній стадії розширення dA=PdV. Повна робота розширення газу від початкового об'єму V1 до кінцевого об'єму V2 дорівнює:
.
Приклад 6. В резервуарі міститься л розчину, який містить кг солі. Розчин збіднюсться рівномірним доливанням в резервуар дистильованої води зі швидкістю л/хв, а також рівномірним виливанням розчину зі швидкістю л/хв. Скільки чистої солі залишиться через час після початку процесу ?
Через t хв після початку процесу в розчин попаде t л дистильованої води і виллється з t л розчину. Об'єм розчину в резервуарі в момент часу t дорівнює t, а кількість солі в ньому рівна кг. Концентрація розчину . За проміжок часу dt кількість солі зменшиться на dx=-=cdt. Підставивши сюди значення c, отримаємо:
,
Звідки
Інтегруючи в межах від Х0 до Х і від 0 до отримаємо:
,
.
Звідки
.
Приклад 7. Знайти енергію зв'язку між іонами К+ і Cl- в молекулі KCl, якщо стала кристалічної гратки KCl r=2,79 A0 і зв'язок між атомами в молекулі KCl електростатистичний.
Енергія зв'язку дорівнює роботі по переміщенню іона з нескінченності до відстані рівної сталій кристалічної гратки. Сила взаємодії між іонами визначається законом Кулона і для будь-якої відстані x дорівнює:
,
де =1,6*10-19 Кл- заряд іона.
Елементарна робота dA на ділянці dx дорівнює dA=F(x)dx. Повна робота, рівна енергії зв'язку дорівнює означеному інтегралу
Дж
Задачі
1. Знайти інтеграли
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) ;
31) ;
32) ;
33) ;
34) ;
35) ;
36) ;
37) ;
38) ;
39) ;
40) ;
41) ;
42) ;
43) ;
44) ;
45) ;
46) ;
47) ;
48) ;
49) ;
50) ;
51) ;
52) ;
53) ;
54) ;
55) ;
56) ;
57. Знайти середнє значення функцій:
а) на відрізку
б) на відрізку
в) на відрізку
г) на відрізку
д) на відрізку
58.Обчислити площі фігур, обмежені лініями:
а) ;
б) ;
в) ; ;
г) ;
д) ; ; ;
е) ;
59. Визначити масу стержня довжиною 0,50 см, якщо лінійна густина змінюється за законом кг/м, де - відстань від одного з кінців стержня.
60. Знайти момент інерції однорідного диска радіусом і масою відносно осі обертання , що проходить через центр диска перпендикулярно до його площини.
61. На відстані знаходиться два тіла масами і , які взаємодіють між собою зі силою . Визначити роботу, яку виконає сила при переміщенні тіла в нескінченність з положення .
62. Обчислити роботу струму за час до , якщо сила струму , де -максимальне значення струму; -циклічна частота; -час.
4. Диференціальні рівняння
4.1 Поняття про диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння широко використовую...
Подобные документы
Визначення основних понять і вивчення методів аналізу безкінечно малих величин. Техніка диференціального і інтегрального числення і вирішення прикладних завдань. Визначення меж числової послідовності і функції аргументу. Обчислення інтегралів.
курс лекций [570,1 K], добавлен 14.03.2011Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.
курсовая работа [515,3 K], добавлен 29.06.2011Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Деякі відомості математичного аналізу. Виховне значення самостійної навчальної роботи. Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп'ютерної математики. Відомості про систему Wolfram Mathematica. Обчислення границь функції, похідних та інтегралів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 10.05.2011Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Комічні вибірки з конспектів студентів механічно-математичного факультету. Особливості доведення теорем Зільберта-Штольца та Штрассермана. Принцип локалізації в’язів до (n-8) порядку включно. Аналіз та характеристика N-кутників у просторі Зільберта.
учебное пособие [315,9 K], добавлен 28.03.2010Варіаційне числення. Обчислення варіації інтегрального функціонала. Варіаційна задача з рухливими границями. Розв’язання диференційних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу. Варіації розв’язків диференціального рівняння із розривною початковою умовою.
курсовая работа [7,8 M], добавлен 21.11.2011Діяльнісний підхід до організації навчального процесу в педагогічному університеті. Змістове наповнення та методика використання історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу. Історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях.
курсовая работа [195,5 K], добавлен 21.04.2015Стандартні ірраціональні рівняння й методи їхнього рішення. Застосування основних властивостей функції: області визначення рівняння, значень, монотонності та обмеженості функції. Застосування похідної. Методи рішення змішаних ірраціональних рівнянь.
курсовая работа [406,7 K], добавлен 14.01.2011Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Модель Еванса встановлення рівноважної ціни. Побудова моделі зростання для постійного темпу приросту. Аналіз моделі росту в умовах конкуренції. Використання математичного апарату для побудови динамічної моделі Кейнса і неокласичної моделі росту.
реферат [81,8 K], добавлен 25.05.2023Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Характеристика алгебри логіки. Система числення як спосіб подання довільного числа за допомогою алфавіту символів, які називають цифрами. Представлення чисел зі знаком: прямий, обернений і доповняльний код. Аналіз булевої функції та методів Квайна, Вейча.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 05.09.2011Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
реферат [713,9 K], добавлен 14.05.2011Теорія межі послідовності й межі функції як один з розділів математичного аналізу. Поняття межі послідовності, огляд характерних прикладів обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, специфіка теореми Штольца й приклади її застосування.
курсовая работа [118,6 K], добавлен 17.01.2011Застосування російськомовного програмно-графічного калькулятора Microsoft Mathemаtics 4. Система задач із параметрами, що містять знак модуля, як засіб розвитку дослідницьких умінь учнів. Застосування графічних методів повороту та паралельного переносу.
контрольная работа [2,5 M], добавлен 03.07.2015
