Формула Тейлора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Загальні відомості

1.1 Обчислення меж за допомогою формули Тейлора

1.2 Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа

1.3 Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано

1.4 Тейлорова формула для многочлена

2. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора

2.5 Умови розвинення функції в ряд Тейлора

2.6 Розвинення основних елементарних функцій в ряд Маклорена

2.7 Методи розвинення функцій в ряд Тейлора

3. Застосування формули Тейлора для обчислення границь

Висновки

Список літератури



Вступ

Часто ми стикаємося з необхідністю обчислення значень складних функцій, але навчитися цьому можливо тільки у вищих навчальних закладах. Дана робота буде корисна тим, хто хоче вивчити теорію наближення функцій і обчислювати значення складних функцій. Найчастіше виникає необхідність обчислення значень складних функцій, але без допоміжних формул та теорем, їх виконати важко.

Мета: розглянути можливість обчислення границі функції однієї змінної за допомогою формули Тейлора. Для досягнення мети було поставлено такі завдання:

1) Проаналізувати математичну літератури з теми дослідження.

2) Розглянути поняття, пов'язані з формулою Тейлора та розклад елементарних функцій за формулою Тейлора

3) Проілюструвати використання локальної формули Тейлора до обчислень границь функцій..

Застосування формули Тейлора для розв'язування границі широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення границь деяких функцій може бути пов'язане зі значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання.

Біографія Тейлора

Дитинство. Брук Тейлор народився в селі Едмонтон в графстві Міддлсекс, у восьми милях від Лондона. Хлопчик отримав прекрасне виховання, загальне, а також художнє і музичне. Зберіглася картина, на якій зображено сімейне свято: 13-річний Брук отримує корону, прикрашену емблемою гармонії, з рук старших.

Кембридж та наукова діяльність

У 1701 році, коли Тейлору виповнилося 15 років, він вступив до Кембриджського університету, в коледж Сент-Джон. Як раз в цей час Ньютон остаточно попрощався з Кембриджем, але, звичайно, залишався кумиром молодих математиків. До них приєднався з самої своєї появи в Кембриджі і молодий Брук Тейлор.

У 1709 році Тейлор отримав ступінь бакалавра, а в 1714 році ступінь доктора права. Незалежно від цього він вивчав математику.

До 1712 року в його активі значиться вже два мемуара: «Про центр коливань» та «Про підйоми води між двома площинами». Статті Тейлора були визнані настільки цінними, що в тому ж році його обрали членом Королівського товариства.

У 1714 році Тейлор представив Товариству рукопис своєї книги «Методи збільшень пряма і зворотна». У цій праці Тейлор виводить формулу і розглядає ряд, які досі носять його ім'я.

Крім виведення його знаменитої формули, в книзі знаходиться теорія коливання струн, в якій він приходить до тих же самих результатів, до яких згодом прийшли Даламбер і Лагранж. Він же перший займався теоретичним питанням про астрономічну рефракцію в атмосфері. Тейлор показав, що середній перетин вільної поверхні рідини між двома вертикальними пластинками, нахиленими під малим кутом одна до іншої, є гіперболою.

Супротивники

У 1712 році Тейлор увійшов до складу Комітету з розгляду наукового пріоритету між Ісааком Ньютоном і Готфрідом Лейбніцем. З 13 січня 1714 по 21 жовтня 1718 виступав в якості секретаря цього Комітету. Причетність Тейлора до даного розгляду призвела до менш відомого, але не менш непримиренного протистояння в науковому світі XVIII століття.

Противники -- англієць Брук Тейлор і швейцарець Йоганн Бернуллі -- навряд чи могли стати друзями. Вони були по різні сторони барикад, що розділяли наукову громадськість XVIII століття і виникли в результаті суперечок з приводу того, хто першим винайшов диференціальне та інтегральне числення: Ісаак Ньютон, земляк і кумир Тейлора, або Герман Готфрід Вільгельм Лейбніц, якого підтримував Бернуллі. Однак антагонізм між Тейлором і Бернуллі, одним з найбільших математиків свого часу, був значно глибше. Обидва вони належали до числа математиків, які намагалися розширити початкові формулювання диференціального обчислення і застосувати теорію на практиці. І тут Тейлор, що називається, наступив на болючу мозоль Бернуллі.

У своїй основній роботі «Метод збільшень …» Тейлор торкнувся багатьох питань, над якими вже працювали Бернуллі та інші вчені. Однак Тейлор не зробив посилань ні на кого, крім Ньютона. Бернуллі особливо гостро відреагував на таке зневажливе ставлення і відповів публікацією анонімного есе, в якому Тейлор звинувачувався в плагіаті.

Тейлор розпізнав Бернуллі як автора есе та в свою чергу -- також анонімно -- опублікував твір, в якому виправдовував себе. Але на цьому він не зупинився, дозволивши собі образливі зауваження на адресу Бернуллі з приводу математичної помилки, допущеної останнім за кілька років до цього. Війна почалася, і протягом кількох наступних років Тейлор і Бернуллі продовжували обмінюватися ударами. Суперечки поступово вщухли лише після 1719, коли Тейлор опублікував полемічне есе, спрямоване проти Бернуллі, і потім по суті припинив відповідати на триваючі нападки з боку супротивника.

Увага Тейлора переключилася на інші проблеми, але гнів Бернуллі не вщухав. Коли Тейлор помер у віці 46 років, переживши смерть двох своїх дружин, Бернуллі зауважив:

Тейлор мертвий. Долі розпорядилася так, щоб мої противники померли раніше за мене, хоча вони всі були молодше. Він був шостим з числа тих, що померли за останні 35 років… Всі вони нападали на мене, хоча я не зробив їм нічого поганого. Здається, самі небеса мстять їм за мене.

Дивно, але конфлікт Тейлор -- Бернуллі був вичерпаний лише 7 липня 1990, коли Чалмерс Тренч з Слейн (Ірландія), нащадок Тейлора, і Рене Бернуллі з Базеля (Швейцарія) обмінялися рукостисканнями, тостами, випивши по келиху шампанського і символічними пальмовими гілками, поставивши остаточну крапку в майже 300-річній історії.

Смерть

Брук Тейлор помер 29 грудня 1731 і був похований в Лондоні біля своєї першої дружини, на кладовищі Святої Анни.



1. Загальні відомості

1.1 Обчислення меж за допомогою формули Тейлора

Рядом Тейлора для функції f(x) при умові, що вона визначена в околі точки a, а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду

(1.1)

Коефіцієнти цього ряду називають коефіцієнтами Тейлора.

Нехай часткова сума функціонального ряду та його залишок задано формулами

(1.2)

тоді формула Тейлора має вигляд , де

R_n(x) називають залишковим членом формули Тейлора.

Якщо в інтервалі функція f(x) розвинена в степеневий ряд , то цей ряд є рядом Тейлора.

Нескінченно диференційована функція f(x) на інтервалі розкладається в ряд Тейлора лише у випадках, коли на цьому інтервалі виконується умова - границя залишкового члену прямує до нуля

(1.3)

При x₀=0 формула Тейлора перетворюється в ряд Маклорена:

(1.4)

1.2 Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа

Існують різні форми запису залишкового члена Тейлорової формули. У наближених обчисленнях зручною є Лагранжова форма залишкового члену.

Теорема 2.

Нехай існує > 0 таке, що функція f (x) має в -околі точки х₀ похідні до (n + 1) -го порядку включно. Тоді для будь-якого знайдеться точка належить інтервалу з кінцями x і х₀ така, що:

, (1.5)

де --залишковий член у Лагранжовій формі.

Приклад 1.1. (9.293) Розвинути в ряд Тейлора функцію f(x)=ln(x) за степенями (x-1).

Розв'язок. Розклад функції за степенями (x-1) слід розуміти, як розклад в точці x=1. Обчислимо значення функції та її похідних в цій точці

Підставляємо отримані значення в формулу Тейлора

Спрощено ряд можна записати у вигляді суми

Дослідимо збіжність одержаного ряду за ознакою Деламбера

Знаходимо границю наступного члена ряду до попереднього

.

З умови R<1 знаходимо область збіжності

Дослідимо на збіжність краї інтервалу. При x=0 ряд перетворюється на гармонічний зі знаком мінус. Цей ряд розбіжний. При x=2 отримаємо знакозмінний ряд вигляду який збігається. Таким чином, областю збіжності ряду є проміжок (0; 2].

Досліджуючи залишковий член ряду формули Тейлора для заданої функції, переконуємося, що в заданому інтервалі ряд збігається і залишковий член ряду суттєвого вкладу при великих n не вносить.

1.3 Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано

Формулювання:

Якщо існує , то записана в наступному вигляді:

(1.6)

Цей вираз називається формулою Тейлора з залишковим членом у формі Пеано (чи локальною формулою Тейлора)

Доведення:

Для початку доведемо Лему.

Нехай функції визначенні в околі точки та задовольняє наступним умовам:

1.

2.

3.

Тоді існує точка , яка належить інтервалу з кінцями и така, що

Доведення

Нехай, наприклад . Тоді застосовуючи до функцій и на відрізку теорему Коші та враховуючи, що за умовою, отримуємо

Аналогічно, застосовуючи до функцій і на відрізку теорему Коші, знаходимо,

З цих двох рівностей випливає, що

,

Застосовуючи теорему Коші послідовно до функцій на відповідних відрізках отримуємо

,

де

Рівність доведено для випадку, коли , аналогічно розглядається випадок, коли .

Тепер, коли лема доведена, приступимо до доказу самої теореми:

З існування випливає, що функція визначена і має похідні до порядку включно в околиці точки

Позначимо , де .

Функції і задовольняють умовам леми, якщо поміняти номер n+1 на n-1.

Використовуючи раніше доведену лему і враховуючи, що отримуємо

Размещено на http://www.allbest.ru/

де або .

Нехай , тоді з нерівностей випливає, що , і в силу існування існує

Так як виконуються рівності

Таким чином, права частина формули (1.7) має при межу, рівну нулю, а тому існує межа лівої частини цієї формули, так само рівної нулю. Це означає, що , тобто , що й потрібно було довести.

Приклад1.2:

Розкласти функцію в околі точки по Тейлору із залишком у формі Пеано.

Розв'язання

Табличний розклад косинуса має наступний вигляд:

Уявімо функцію у вигляді:

Замінимо в табличному розкладі на і підставимо уявлення косінуса. Отримуємо

1.4 Тейлорова формула для многочлена

Є функція і многочлен ступеня n:

(1.8)

Перетворимо цей многочлен в багаточлен ступеня n щодо різниці , де - будь-яке число, тобто представимо як:

Для визначення коефіцієнтів диференціюємо n раз рівність (1):

,

,

,

.

Підставляємо в рівності, які ми отримали і рівність (1.9), отримуємо:

т.е.

т.е.

т.е.

т.е.

т.е.

Підставляємо певні значення в рівність одержуємо розкладання многочлена n-го ступеня за ступенями

(1.10)

Ця формула є формулою Тейлора для многочлена Р_n(х) ступеня n.



2. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора

Вживання формули Тейлора для розкладання функцій в степеневий ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути зв'язане із значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.

Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумною мірою точності (передбачається, що точність, яка перевищує 10 - 20 знаків після десяткової коми, необхідна дуже рідко) достатньо 4-10 члени розкладання в ряд.

Якщо x₀ = 0 й існує, то

(2.1)

Знайдемо розкладання функції за формулою Тейлора в околиці точки . Знаходячи послідовно похідні від цієї функції, отримаємо:

,

,

,

.

Знаходимо значення

Підставимо отримані значення у формулу Тейлора:

, де R_n(x)=.

Якщо дана похибка, то підберемо n таким чином, щоб .

,

Таким чином, .

Знайдемо розклад функції в околі точки x₀=0 за формулою Тейлора:

,

,

,

,

Таким чином, всі похідні парного порядку у точці ч₀=0 дорівнюють нулю, а похідні не парного порядку дорівнюють 1 або -1. Отже розклад прийме вигляд: , де залишковий член Лагранжа дорівнює

Використовуючи отриманий розклад, приблизно вичислімо . При розв'язанні обмежуємся першими двома членами розкладу:

,

Приведемо розклад за формулою Тейлора в околі точки х₀=0 деяких елементарних функцій:

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Формула Тейлора х₀=0 також називають формулою Маклорена.

2.1 Умови розвинення функції в ряд Тейлора

Встановимо умови, за яких сума ряду Тейлора функції в деякому околі точки х₀ збігається з функцією , тобто коли символ в формулі можна замінити на (=).

Теорема 2.1: Для того щоб ряд Тейлора збігався в інтервалі до функції , необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член її формули Тейлора прямував до нуля при для всіх x з цього інтервалу: .

Доведення. Для функції , що має похідні всіх порядків, справедлива формула Тейлора

(2.7)

де - залишковий член формули Тейлора у формі Лагранжа.

З вигляду ряду Тейлора випливає, що його -a часткова сума збігається з многочленом Тейлора формули (2.7):

(2.8)

Отже,

. (2.9)

Слідує, що - збіжний в інтервалі ряд, тому існує .

На підставі формули (2.9) маємо:

.

Функція в інтервалі має похідні всіх порядків і

.

З формули (2.9) випливає, що існує . Таким чином, ряд збігається і його сума дорівнює .

Зауваження 2.1. Залишок ряду Тейлора дорівнює залишковому члену формули Тейлора за умови (). На практиці зручно застосовувати наступну достатню умову розвинення функції в ряд Тейлора.

Теорема 2.2. Якщо похідні довільного порядку функції обмежені в околі точки , тобто

,

тоді ряд Тейлора, побудований для функції, збігається до неї.

Доведення: За умовою теореми в околі точки . Тоді для залишкового члену формули Тейлора у формі Лагранжа маємо

). (2.10)

Ряд збігається за ознакою Д'Аламбера. Отже, за необхідною умовою збіжності ряду виконується умова .

2.2 Розвинення функцій в ряд Тейлора

Розвинення основних елементарних функцій в ряд Маклорена

Наведемо розвинення основних елементарних функцій в ряд Тейлора (Маклорена) за степенями : .

1. За формулою Маклорена для

,

,

Оскільки для довільного , то ряд Збігається для всіх

При дістанемо числовий ряд для

(2.11)

2. Оскільки то за

3. теоремою 2.2 функцію можна розвинути в ряд Маклорена (8.9) на всій дійсній осі. Застосовуючи формулу Маклорена для , дістанемо ряд

(2.12)

який збігається на всій дійсній осі.

4. Міркуючи аналогічно Маклорена для , дістанемо ряд

(2.13)

який збігається на всій дійсній осі. (2.13)

Приклад 2.1.

Доведемо:

(2.14)

(2.15)

.

Замінюємо в формулі (8.10) на , дістанемо

.

Оскільки

,

.

Областю збіжності цих рядів є вся дійсна вісь.

5. Для функції ряд Маклорена має вигляд

де

Запишемо формулу Тейлора для функції :

,

де

Побудуємо ряд

(2.16)

та знайдемо його інтервал збіжності. За ознакою Д'Аламбера маємо

.

Отже, ряд (2.16) збігається при . Покажемо, що сумою даного ряду

є .

Функція , яка задається рядом (2.17), є розв'язком наступної задачі Коші:

,

Але розв'язком цієї ж задачі є функція . В силу єдиності розв'язку

задачі Коші одержимо тобто біноміальний ряд збігається абсолютно в інтервалі до функції

.

Якщо - ціле додатне число або нуль, тоді ряд (2.16) є біномом Ньютона.

Зауваження 2.2.

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу залежить від числа :

при ряд (2.16) збігається, якщо

при , якщо ;

при , якщо .

Ряд (2.16) називають біноміальним, а його коефіцієнти -- біноміальними коефіцієнтами.

Зауваження 2.3. Корисно виділити наступні часткові випадки біноміального ряду:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

де

2.3 Методи розвинення функцій в ряд Тейлора

Наведемо деякі прийоми розвинення функцій в ряд Тейлора (Маклорена ).

Безпосередньо розвинення в ряд Тейлора проводять за такою схемою:

а) формально складають ряд Тейлора для функції , тобто обчислюють похідні всіх порядків в точці та підставляють в ряд;

б) знаходять область збіжності записаного ряду;

в) з'ясовують, для яких значень з області збіжності ряд Тейлора збігається до функції .

Приклад 2.4.

Розвинемо функцію в ряд Маклорена:

а) обчислюємо похідні в точці :

;

;

;

.

б) знаходимо область збіжності ряду. Оскільки

,

то ряд збігається

в) з'ясовуємо, для яких значень записаний ряд збігається до . Оскільки

,

то за теоремою 8.3 ряд збігається до , для всіх , тобто

.

Застосування розвинень основних елементарних функцій в ряд Маклорена.

При застосуванні даного методу відпадає необхідність перевіряти виконання умов теореми 2.2 або 2.3.

Приклад 2.5. Розвинемо функцію в ряд Маклорена. Для цього в розклад (8.10) замість підставимо

,

Застосування правил додавання (віднімання) рядів, множення ряду на число

Іноді розвинути функцію в ряд Тейлора можна, записуючи її у вигляді лінійної комбінації більш простих функцій.

Приклад 2.6. Розвинемо функцію в ряд Маклорена.

Маємо

(застосували розвинення (2.12)).

Застосування почленного диференціювання та інтегрування рядів.

Приклад 2.7.

Знайдемо розвинення функцій та в ряд Маклорена. Ряд (2.18) в інтервалі (1;1) збігається рівномірно, отже, його можна почлено інтегрувати в цьому інтервалі:

.

.

Замінимо в формулі (2.23) на , одержимо

.

.

Метод заміни змінної.

Іноді при розвиненні функції в ряд Тейлора в

околі точки доцільно зробити заміну і розвинути функцію в ряд Маклорена в околі точки .

Приклад 2.8. Розвинемо в ряд Тейлора за степенями функцію

;

і знайдемо область збіжності ряду.

Внаслідок заміни змінної дістанемо:

.

Ряд збігається, якщо , тобто .

3. Застосування формули Тейлора для обчислення границь

Формула Тейлора дає просте і загальне правило для виділення головної частини функції. У результаті цього метод обчислення границь функцій за допомогою виділення головної частини функції набуває закінченого алгоритмічного характеру. Розглянемо спочатку випадок невизначеності . Нехай потрібно знайти границю , де

В цьому випадку рекомендовано розкласти за формулою Тейлора функції та в околі точки ( якщо, це можливо), обмежуючись в цьому розкладі лише першими, не рівними нулю, членами, тобто взяти розклад у вигляді

(3.1)

(3.2)

Тоді

(3.3).

Якщо в нас є невизначеність у вигляді тобто потрібно знайти то її можно легко привести до розглянутого випадку перетворенням

Приклад 3.1.

.

Розглянемо невизначеність вигляду

.

Приклад 3.2.

Розрахуємо границю тобто розкриємо невизначеність вигляду Згідно загальному правилу, досліджуємо границю логарифма виразу, який стоїть під знаком границі:

.

За допомогою формули Тейлора розрахувати границю:

.

Розглянемо приклад:

. Так як в знаменнику стоїть , то при представленні функцій, які стоять в чисельнику, по формулі Тейлора, ми повинні брати многочлени не нижче п'ятої степені:

,

.

Приклад 3.5.

. Так як в знаменнику стоїть , то при представленні функцій, які стоять в чисельнику, по формулі Тейлора, ми повинні брати многочлени не нижче четвертої степені:

;

,

Звідси:

Приклад 3.6.

Розрахувати границю використовуючи формулу Тейлора:

,

Представимо наступні функції формули Маклорена:

,

,

,

,

Під знаком границі, які обмежуються при цьому членами зі ступенями не вище, ніж Тоді цей вираз можна перетворити так, щоб границя легко обчислювався. тейлор лагранж многочлен формула

,

Приклад 3.7.

;

За формулою Маклорена:

;

;

Підставляючи вираз для функції у формулу Маклорена для , отримуємо

;

Тепер розв'язуємо границю:

;



Висновок

В ході дослідження: У літературних джерелах було вивчено виведення формули Тейлора та її практичне застосування;

Були розглянуті приклади розкладання елементарних функцій за формулою Тейлора;

Були розглянуті приклади розв'язування границь за допомогою формули Тейлора.

У даній роботі розглянуто формулу Тейлора. За допомогою різних функцій вивели формулу Тейлора, як потужного математичного інструменту дослідження функцій, обчислення границь и наближеного значення функції. А також всі її залишкові члени, за допомогою яких ми можемо розкладати елементарні функції, наприклад, . Для чого нам не потрібно знаходити 10-20 знаків після коми, а достатньо лише 4-10 членів розкладання в ряд. Також підтверджено, що такими формулами можливо і зручно користуватись практично (для учнів шкіл та вищих навчальних закладів) у розрахунку, що НЕ вимагають дуже високої точності.

А також в цій роботі наведенні приклади, які розв'язуються за допомогою елементарних функцій.



Список літератури

1. Бугров Я. С. , Никольский С. М.; Высшая математика: Учеб. для вузов: / под ред. В. А. Садовничего. -- 6-е изд., стереотип. -- М.: Дрофа, 2004. -- Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. -- 512 c.

2. О.І.Соколенко. Вища математика: підручник -- Київ: Видавничий центр «Академія», 2003.--430с.

3. Шкіль М.І. Математичний аналіз: В 2ч.--К.:Вища шк. Головне вид-во, 1981.--Ч.2--455с.

4. Основы математического анализа: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов: в 2-х т. Т.1 / Г. М. Фихтенгольц. - 6-е изд., стер. - М.: Наука, 1968. - 105 с.

5. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах / И. А. Марон изд.: Наука, 1970. - с.129

6. Математический анализ [том 1] / Кудрявцев Л. Д. - Высшая математика, 1988-1989 - 181с.

7. Лекции по математическому анализу / Архипов Садовничий Чубариков - 132с.

8. Електронний ресурс: Біографія Тейлора: http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/tteilor.htm

9. Електронний ресурс: «Формула Тейлора»: http://matica.org.ua/kratkiy-kurs-lektsiy-po-differentsialnomu-ischisleniiu/5-3-formula-teylora

10. Електронний ресурс: «Остаток в формуле Тейлора и его оценка»: http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/node58.htm

Размещено на Allbest.ru

...