Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ»

КАЗАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСАЯ СТАТИСТИКА

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

для студентов, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 «Экономика»

А.Н. Козар

Казань 2011

Козар А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Задания для организации самостоятельной работы. - Казань: Казанский кооперативный институт, 2011. - 37 с.

Задания для организации самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 «Экономика» разработаны в соответствии с учебными планами, утверждёнными учёным советом Российского университета кооперации от 22 марта 2011 г., протокол № 4, и рабочей программой от 29.08.2011, протокол №1

Рецензент: к.э.н., доцент Гатина Э.А.

Одобрено и рекомендовано к изданию решением кафедры инженерно - технических дисциплин и сервиса от __.09.2011, протокол № 2.

©Казанский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации, 2011

©А.Н. Козар , 2011

Введение

Данная разработка составлена в соответствии с рабочей программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» и включает вопросы для самостоятельного изучения, контрольные вопросы и практические задания для самостоятельной работы, выполнение которых является обязательным для допуска студента к сессии.

Задания для самостоятельной работы, не требующие использования компьютера, оформляются письменно в виде конспектов, который студент сдаёт до начала сессии. Результаты выполнения заданий, предполагающих использование персональных компьютеров, распечатываются на принтере и оформляются в виде отчёта. Компьютерная версия отчётов направляется на кафедру инженерно - технических дисциплин и сервиса по электронной почте на проверку до сессии. Студент может выполнить задания в компьютерной аудитории института во внеурочное время.

Теория вероятностей

Тема 1. Случайные события. Частота и вероятность

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Введение. Предмет и задачи теории вероятностей.

2. Основные понятия теории вероятностей. События и соотношения между ними. Классификация событий.

3. Частота и вероятность события. Способы определения вероятности.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение теории вероятностей.

2. Что называется испытанием?

3. Что называется событием?

4. Что называется случайным событием?

5. Что называется комбинацией событий?

6. Что называется суммой двух событий?

7. Что называется пересечением (произведением) событий?

8. Что называется совместными событиями?

9. Когда наступает полная группа событий?

10. Что называется единственно-возможным событием?

11. Что называется противоположными событиями?

12. Какие события называются равносильными?

13. Что называется частотой случайного события?

14. На чём основан статистический способ определения вероятности?

15. Что называется вероятностью случайного события?

16. Чему равна вероятность события?

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема 2 Основные формулы для вычисления вероятностей

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Пример 1. Мишень состоит из трех зон. Для данного стрелка вероятность попасть в первую зону равна 0,18, во вторую зону - 0,24, в третью зону - 0,33. Определить вероятность поражения мишени при одном выстреле.

Решение. Мишень будет поражена, если стрелок попадет или в первую (событие) или во вторую (событие A) или в третью (событие A) зону, т.е. надо вычислить

P (++)= P () + P () + P () = 0,18+ 0,24+0,33=0,75.

Рекомендуемая литература

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема 3. Основные теоремы теории вероятностей: сложение, умножение, формула полной вероятности

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Пример 1 . В двух ящиках содержится по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 9 деталей высшего качества. Из каждого ящика на удачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали высшего качества.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута деталь высшего качества (событие А): P (А) = 8/10.

Вероятность того, что из второго ящика вынута деталь высшего качества (событие В): P (А) = 9/10.

Т.к. событие и независимые, то искомая вероятность определяется по теореме умножения вероятностей:

P (А В) = P (А) P(В) = = 0,72.

Пример 2. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течении часа потребует внимания рабочего, равна 0,4, для второго - 0,3, для третьего - 0,2. Определить вероятность того, что в течение часа только один станок потребует внимания рабочего.

Решение. По условию задачи имеем P () = 0,4; P () = 0,5; P () = 0,3; P() = 0,7; P () = 0,2; P () = 0,8.

Событие В - потребует внимания рабочего первый станок, равносильно появлению события (появилось первое и не появилось второе и третье события) - В= , аналогично В= , В= .

Таким образом, чтобы найти вероятность того, что только один станок потребует внимания рабочего, будем искать вероятность:

P (В+ В + В) = P ( + + ) =P (А) P () x P() + () P (А) P () +

P()P()P()=0,40,70,8+0,60,30,8+0,60,70,2=0,224+0,144+0,084= 0,452.

События В, В, В- несовместимы, к ним применили теорему сложения вероятности, а т.к. события , , - независимые, применили теорему вероятностей для независимых событий.

2. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Пример 3. В ящике находится 8 стальных, 7 латунных и 6 медных заклепок. Определить вероятность того, что две последовательно взятые заклепки будут сделаны из одного металла.

Решение. Обозначим событие - появление двух стальных заклепок -А, появление двух латунных - В, появление двух медных - С. Требуется определить Р (или А. или В, или C).

Событие А состоит в последовательном появлении двух латунных заклепок

Вероятность того, что первая заклепка стальная (событие A) P (А) = 8/20. Вероятность того, что вторая заклепка также стальная ( событие ) P (/) = 7/19. Аналогично рассуждаем для латунных (событие В) и медных заклепок (событие С).

P (В) = 7/20; P (В/ В) = 6/19;

P (С ) = 5/20; P (С / С ) =4/19.

Тогда искомая вероятность р (или А или В или С) = P(А А или В В или С С), т.к. события А,В и С несовместные, к ним применима теорема сложения вероятностей: P (или А или В или С) = P (А) P (/А) + P (В) P ( В/ В) + P (С) P (С/ С) = + + = = 0,31.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема 4 Формула Байеса, вероятность появления хотя бы одного события

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Вероятность появления хотя бы одного события из независимых событий.

Пример 1. Для данного станка вероятность выйти из строя в определенный отрезок времени, равна 0,1, для другого - 0,2. Определить вероятность того, что в этот отрезок времени хотя бы один станок выйдет из строя (событие А).

Решение. Обозначим событие - выход из строя первого станка, тогда Р () = 0,1,

Р () = 0,9. Событие = выход из строя второго станка, тогда Р () = 0,2, Р () = 0,8.

Искомая вероятность

Р (A) = 1- P(, ) = 1-P() P() = 1-= 1-0,90,8=1-0,72=0,28

Пример 2. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в цепи превысит номинальное, равна 0,6. Определить вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Решение. Тока в цепи не будет, если перегорит хотя бы одна лампочка - событие А.

Р(А) = 1 -

Р(А) = 1-= 1-0,064-0,936

2.Формула полной вероятности.

Пример 3. Изготовленные цехом детали попадают не проверку к одному из двух контролеров. Вероятность того, сто деталь попадет к первому контролеру, рана 0,3, а ко второму - 0,7. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, рана 0,95, а вторым - 0,98. Определить вероятность того, что извлеченная годная деталь будет признана стандартной.

Решение. Событие - деталь признана стандартной обозначим А. Можно сделать два предположения: 1. деталь проверил первый контролер - событие ; деталь проверил второй контролер - событие .

Тогда Р() = 0,3; Р() = 0,7.

Условные вероятности события А будут Р() = 0,95, Р () = 0,98.

Искомая вероятность того, что извлеченная годная деталь признана стандартной, равна

р(А) = P()P() + P()P() = 0,30,95+0,70,98 = 0,971

3. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пример 4. Рассмотрим данные предыдущей задачи. Пусть событие А наступило, т.е. деталь признана стандартной. Определить вероятность того, что эту деталь проверил: а) первый контролер; б) второй контролер.

Решение. Подставим данные задачи в формулу Байеса.

а) P() = = 0,29;

б) P() = = 0,71.

Как видим, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,3, а - 0,7. После того, как стал известен результат испытаний, вероятности гипотез стали 0,29 и 0,71. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятности рассматриваемых гипотез.

Практическое задание для самостоятельной работы

1) В некоторый период времени относительная частота солнечных дней составила 0,6. Сколько дней было пасмурных, если солнечных дней было 42?

2) Относительная частота попадания у данного стрелка оказалась равной 0,9. Сколько он произвел выстрелов, если промахнулся 9 раз?

3) Через остановку проходят автобусы маршрутов №2,5,6,8,20. Пассажира устраивают маршруты №5 и №8. Определить вероятность того, что первый подошедший к остановке автобус будет нужного маршрута, если известно, что второго маршрута 8 машин, пятого - 15, шестого - 12, восьмого - 10, двадцатого - 5.

4) В ящике 50 одинаковых жетонов, помещенных номерами от 1 до 50. определить вероятность того, что наудачу вынутый жетон окажется с номером, сумма цифр которого окажется 7, либо 9, либо 11.

5) Вероятности пятилетней службы каждой из трех деталей механизма равны 0,5; 0,6; 0,7. Определить вероятность того, что механизм в целом прослужит пять лет.

6) Для одного рабочего вероятность выполнить норму выработки равна 0,9, для другого - 0,85. Определить вероятность того, что оба рабочих не выполнят норму выработки.

7) Рабочий за смену изготовил 15 деталей высшего и 6 деталей высшего сорта. Случайным образом последовательно извлекаются две детали. Найти вероятность:

- что обе детали окажутся первого сорта;

- одна деталь высшего сорта, другая первого сорта.

8) Из трамвайного парка в случайном порядке последовательно выходят 3 трамвая маршрута №1 и 4 трамвая маршрута №2. Определить вероятность того, что вторым по порядку выйдет трамвай маршрута №2.

9) Два игрока бросают по одному игральному кубику. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из кубиков выпадет число очков, кратное трем.

10) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить три бомбы, вероятности попаданий которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6.

11) Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью 0,9375 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадет герб?

12) В начале учебного года в группе по списку было 30 студентов. Из них 20 получили стипендию. В середине семестра один студент взял академический отпуск. Определить вероятность того, что случайно отобранный после этого студент окажется стипендиатом.

13) В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2 и 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества равна 0,9; для деталей завода №2 и №3 эти вероятности, соответственно, равны 0,6 и 0,9. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества.

14) На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов: 30% - из первого, 45% - из второго и 25% - из третьего. Среди изделий первого цеха брак составляет в среднем 0,6%, второго - 0,4% и третьего - 0,16%. Определить вероятность того, что взятое наудачу на складе изделие окажется годным.

15) В группе 25 студентов, из них десять - выпускники вечерней школы, а остальные окончили среднюю школу. Вероятность успешной сдачи экзамена по статистики выпускником вечерней школы равна 0,8, а выпускником средней школы - 0,9. Наудачу вызванный студент сдал экзамен успешно. Определить вероятность того, что это выпускник вечерней школы.

16) В железнодорожном составе 50 вагонов, груженных углём двух сортов, в том числе 25 вагонов содержат 70% угля первого сорта; 15 вагонов содержат 60% и 10 вагонов - 85% угля второго сорта. Случайно взятый для анализа кусок оказался второго сорта. Определить вероятность того, что он взят из вагона первой группы.

17) На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь первого станка стандартна, равна 0,9, второго 0,8. Производительность первого станка вдвое больше производительность второго. Деталь взятая наудачу с транспортера, на который сбрасываются детали с обоих станков, оказалась стандартной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема 5 Основные законы распределения дискретных случайных величин. Формула Бернулли

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Формула Бернулли.

Пример 1. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т одинаковы и равны 0,2. Найти вероятность того, что из 8 откажут 2 элемента.

Решение. В данном случае событие А - отказ прибора, n = 8, m=2, р = р(А) = 0,2, следовательно q=1-р=0,8.По формуле Бернулли находим вероятность

Пример 2. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а их имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Решение. Событие А - выход автомашины на линию. В нашем случае n = 10, m = 8,9,10; q q = р(А) = 0,1; р = р(А) = 1-q = 0,9.

Автобаза будет работать нормально, если на линию выйдут или восемь (событие В), или девять (событие С), или десять автомашин (событие Д). По теореме сложения для несовместных событий имеет

р(F) = р(В+С+D) =

Каждое слагаемое находим по формуле Бернулли. В результате получим:

Р(F) =

Пример 3. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,936. Найти вероятность того, что из шести выстрелов стрелок попадет в мишень пять раз. (Предполагается, что вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же)

Решение. Событие А - попадание в мишень при одном выстреле, В - хотя бы одно попадание при трех выстрелах. По условию задачи =3, n=6, n=5, р(В)=0,936. Требуется найти . Для определения вероятности попадания при одном выстреле р(А)=1-q используем теорему о «вероятности появления хотя бы одного события n независимых событий», которая в нашем случае запишется:

Р(В)=1-=1-=0.936

Отсюда = 1-0,936=0,064; q = =0,4

Следовательно, р = 1-0,4=0,6. Для нахождения искомой вероятности применим формулу Бернулли:

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 6 Основные законы распределения дискретных случайных величин. Локальная теорема Муавра-Лапласа, формула Пуассона

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Локальная теорема Лапласа.

Пример 1. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке рана 0,4. найти вероятность того, что среди наудачу взятых 25 деталей половина окажется высшего сорта.

Решение. Событие А - деталь высшего сорта. По условию задачи n =25,m=13? р=р(А)=0,4, q-0,6. Требуется найти . Воспользуемся локальной формулой Лапласа:

=.

X = .

По таблице (приложение 1) находим (1,04)=0,2323

Искомая вероятность: =

2. Наивероятнейшее число наступлений события (наивероятнейшая частота)

Пример 2. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно обобранной партии из 75 изделий ?

Решение. Событие А - изделие высшего сорта. Известие, что р=0,31, п= 75, q=1-p-0.69. Составляем двойное неравенство:

.

Отсюда следует, что .

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 7 Основные законы распределения дискретных случайных величин. Интегральная теорема Лапласа

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Интегральная теорема Лапласа.

Пример 1. Вероятность выигрыша на один билет равна 0,1. Какова вероятность того, что из 60 билетов выигрышных окажется то 5 до 10 билетов.

Решение. Событие А - выигрышный билет. По условию задачи n=60, а=5, в=10, р=0,2, q=0,8. Требуется найти . Применяем интегральную теорему Лапласа. Находим

; .

Искомая вероятность равна:

Пример 2. Вероятность попадания в мишень равна 0,8. Стрелок делает 100 выстрелов. Найти а) наивероятнейшее число попадания и вероятность этого числа; б) вероятность того, что число попаданий будет не менее (по крайней мере, хотя бы) 75.

Решение. Событие А - попадание в мишень. По условию задачи n-100, а=75, в=100. Надо найти .

А) Наивероятнейшее число находим из неравенства:

Для вычисления вероятности воспользуемся локальной формулой Лапласа:

где

Находим =0,3989.

Искомая вероятность:

.

Б) Вероятность определяем по интегральной формуле Лапласа:

; .

.

Пример 3. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления стандартных изделий отклонится от вероятности р=0,9 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.

Решение. Событие А - стандартное изделие. По условию задачи р=0,9; q=0,1; n=400; . Требуется найти вероятность

Воспользуемся следствием интегральной теоремы Лапласа:

.

Имеем:

Задания для самостоятельной работы

1) Вероятность того, что из двух приобретенных билетов оба окажутся выигрышными рана 0,49. Определить вероятность того, что из шести билетов выиграют три.

2) Вероятность прокола колеса автомобиля при поездке равна 0,1. На сколько вероятнее доехать до конечного пункта следования с запасным колесом, чем без запасного колеса?

3) Игральная кость бросается 120 раз. Определить наивероятнейшее число выпадений шести очков на верхней грани кости.

4) На складе находится продукция двух цехов, причем в продукции плюс первого цеха содержится 60 % изделий высшего сорта, в продукции второго цеха - 70%. Для контроля качества продукции берутся 50 продукций первого цеха и 40 изделий второго цеха. Определить, в продукции какого цеха наивероятнейшее число изделий высшего сорта окажется наибольшим.

5) В зимнее время вероятность своевременного прибытия поезда на станцию принимается равным 0,8. Определить вероятность того, что из 30 ожидаемых поездов 25 прибудут своевременно.

6) На факультете института 40% всех студентов занимаются в спортивных секциях. Найти наивероятнейшее число студентов, занимающихся в спортивных секциях, их 250 студентов и вероятность того, что именно это число студентов занимается в спортивных секциях.

7) Школьники посадили на своем участке 500 деревьев. Вероятность того, что дерево приживется равна 0,6. Определить вероятность того, что число прижившихся деревьев окажется в пределах от 278 до333.

8) Известно, что для присуждения спортивных разрядов по стрельбе необходимо набрать хотя бы 90 очков из 100 возможных. Определить вероятность того, что стрелок станет разрядником, если для него вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8.

9) При массовом выпуске некоторой продукции бывает в среднем 4 % брака. Определить вероятность того, что в партии 625 единиц этой продукции отклонение от установленного процента брака по абсолютной величине будет не более чем 0,02.

10) Вероятность безбилетного проезда на транспорте равна 0,05. Обследовано 400 человек. С вероятностью 0,9545 определить:

а)границы изменения относительной частоты безбилетных пассажиров;

б)границы, в которых заключено число безбилетных пассажиров среди обследованных.

11) Всхожесть семян характеризуется вероятностью 0,7. Определить, сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что частность проросших семян будет отличатся от 0,7 по абсолютной величине не более, чем на 0,02.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 8 Определение дискретной случайной величины и её законы распределения

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Дискретная (прерывная) случайная величина.

Пример 1. В некотором цехе изделия второго сорта составляют 10% всех изделий. Составить закон распределения числа изделий второго сорта из взятых неудачу трех изделий. Вычислить числовые характеристики случайной величины Х - числа изделий второго сорта.

Решение. Пусть Х - число изделий второго сорта (т.е. число наступления события). Тогда вероятность появления изделия второго сорта в одном отдельно взятом испытании р=0,1, q=1-р=0,9. Наименьшее значение, которое может принимать случайная величина Х равно нулю, т.е. среди трех наудачу взятых изделий нет изделия второго сорта. Далее будут значения х=1, х=2, х=3. А вероятности при составлении закона распределения вычисляются с использованием формулы Бернулли.

;

Закон распределения случайной величины Х будет иметь вид

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

Вычислим числовые характеристики случайной величины Х.

Математическое ожидание:

или, используя упрощенную формулу дисперсии, вычислим:

Пример 2. Стрелок стреляет в тире на приз за попадание. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Разрешается сделать не более четырех выстрелов. Стрелок получает приз после первого же попадания. Составить закон распределения числа выстрелов, в результате которых стрелок может получить приз.

Решение. Пусть Х - число выстрелов (т.е. число испытаний), в результате которых стрелок может получить приз. Случайная величина Х принимает значение 1, 2, 3, 4. Вероятности при составлении закона распределения будем вычислять с применением теорем сложения и умножения вероятностей. Сделав один выстрел, стрелок сразу же получает приз, если он попал, следовательно, . Если сделал два выстрела, стрелок получает приз, то это означает, что после первого выстрела стрелок промахнулся, а вторым выстрелом он поразил мишень, следовательно, и т.д. При четырех выстрелах возможны две комбинации: стрелок три раза промахнулся и последний четвертый раз попал или четыре раза промахнулся: .

X	P
1
2
3
4

Вычислим числовые характеристики случайной величины:



.

Рекомендуемая литература

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник для студентов высших учебных заведений. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003 г. - 400 с.

Тема № 9 Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение

вероятность дискретный дисперсия

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии числа появлений события в n независимых испытаниях.

Пример 1. Вероятность изготовления стандартной лампочки 0,85. Определить математическое ожидание и дисперсию числа стандартных лампочек, если партия ламп состоит из 500 штук.

Решение. Обозначим вероятность появления стандартной электрической лампочки р=0,85, тогда q=1-р=0,15. Исследовано n = 500 шт.

Найдём М (Х) = np = 5000,85 = 425;

D (Х) = npq =5000,850,15=63,75

Ответ М (Х) = 425; D (x) = 63.75

Примечание: Если при составлении закона распределения Х - число наступлений события (вероятности рассчитывает по формуле Бернулли), то числовые характеристики можно вычислить по формулам:

 М(Х)=np, D(Х) = npq

Тогда по данным задачи №1: М(Х) = 30,1=0,3;

D(Х) = 30,10,9=0,27

Задания для самостоятельной работы

1) Вероятность возникновения погрешности при изменении равна 0,2. Проведено три измерения. Составить закон распределения случайной величины - числа измерений произведенных без погрешности. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х).

2) Прибор укомплектовывается тремя однотипными блоками. Контролер проверяет последовательно каждый блок на работоспособность. Как только выявляется неработающий блок, прибор бракуется. Составить закон распределения случайной величины - числа проверяемых блоков приборов, если вероятность появления неисправного блока равна 0,1. Найти числовые характеристики: М(Х), D(X).

3) Четыре покупателя входят в магазин. Для каждого покупателя вероятность сделать покупку равна 0,6. составить закон распределения случайной величины - числа покупателей, сделавших покупку. Найти числовые характеристики случайной величины: М(Х), D(X).

4) На экзамене студенту задаются дополнительные вопросы, но не более трех. Как только студент правильно отвечает на заданный вопрос, экзаменатор прекращает задавать дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент правильно ответит на любой заданный вопрос, равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины - числа дополнительных вопросов, заданных студенту. Вычислить: М(Х), D(X).

5) Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течении гарантированного срока равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины - числа телевизоров, которые не потребуют гарантированного ремонта, из пяти проданных телевизоров. Найти числовые характеристики М(Х), D(X).

6) Даётся пять попыток включить двигатель до первой успешной попытки. Вероятность того, что двигатель включится равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины - числа попыток, в результате которых можно запустить двигатель. Найти числовые характеристики: М(Х), D(X).

7) Вероятность того, что из двух, телевизионных камер в данный момент включена одна, равна 0,42. В студии имеются 20 телевизионных камер. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

- 18 камер;

- хотя бы 15 камер. (вероятность включения каждой из камер больше 0,5) .

8) Один из видов продукции производится на трёх фабриках, входящих в состав производственного объединения. Первая фабрика производит 40% всего выпуска продукции, вторая - 35%, третья - 25%. В продукции первой фабрики обнаружено 30% изделий низкого качества, в продукции второй фабрики - 20%, в продукции третьей фабрики 12%. Какова вероятность того, что среди 500 изделий производственного объединения число изделий высшего качества будет 400 до 410.

9) По данным длительной проверки качества запчастей определенного вида брак составляет 5 %. Изготовлено 500 запчастей. Определить математическое ожидание и дисперсию числа годных запчастей.

10) Всхожесть семян некоторого сорта пшеницы составляет 93%. Определить математическое ожидание и дисперсию числа всходов, если высажено 70 семян.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 10 Непрерывные случайные величины: функция распределения случайной величины

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Функция распределения непрерывной случайной величины

Пример 1. Случайная величина Х задана интегральной функцией

0, при

F(x) =

1, при х>1

Определить:

а) дифференциальную функцию f(х),

б) вероятность

в) числовые характеристики: М(Х), D(Х),.

Решение.

а) Найдём f(x).

0, при

f(x) = =

0, при х>1

б) Вычислим

или

в) Определим

Пример 2. Случайная величина Х задана интегральной функцией:

0, при

F(x)=

1, при х>e

Определить:

а) дифференциальную функцию f(х)

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

а) 0, при

F(x)=

1, при х>e

б)

Задания для самостоятельной работы

1) Случайная величина Х задана интегральной функцией:

0 при

F(x)=

1 при х >3

определить:

а)дифференциальную функцию f(х);

б) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (2,5;3,5)

2) Случайная величина Х задана интегральной функцией:

0 при

F(x)=

1 при х>3

определить:

а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/2;1);

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

1) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

0 при

f(x)= .

0 при х>/3

Определить вероятность того, Х примет значение, принадлежащее интервалу .

4) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

 0 при

f(x)=

0 при х>2

Определить:

а) коэффициент а;

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

5) Случайная величина задана дифференциальной функцией:

0 при

f(x)=

0 при

Определить:

а) коэффициент а;

б) интегральную функцию;

в) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

0 при

f(x)=

0 при

Определить:

а) интегральную функцию;

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

 0 при

f(x)=

0 при

Определить:

а) коэффициент а;

б) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;);

в) математическое ожидание и дисперсию этой величины.

8) Случайная величина Х задана интегральной функцией:

0 при

F(x)=

1 при х>3

Определить:

а) Вероятность того, Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/2;1);

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

9) Случайная величина Х задана интегральной функцией:

0 при

F(x) =

1 при х>1

Определить:

а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/2;3/2);

б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 11 Плотность вероятности. Числовые характеристики. Моменты случайных величин

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Плотность распределения непрерывной случайной величины для определения вероятности попадания случайной величины на интервал.

2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Контрольные вопросы

1. Дать определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х.

2. Дать определение непрерывной случайная величина.

3. Дать определение математическому ожиданию непрерывной случайной величины Х.

4. Дать определение дисперсии непрерывной случайной величины.

5. Дать определение среднеквадратичного отклонения.

6. Дать определение моды М₀ дискретной случайной величины.

7. Дать определение медианы M_D случайной величины Х.

8. Дать определение начального момента порядка k случайной величины Х.

9. Дать определение центрального момента порядка k случайной величины Х.

10. Дать определение коэффициента асимметрии.

11. Для чего используется величина, называемая эксцессом?

12. Дать определение среднего арифметического отклонения.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 12 Законы распределения непрерывных величин: нормальное, равномерное, показательное

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Нормальное распределение.

Пример 1. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным 375 г, и среднеквадратическим отклонением 25 г. Определить вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет заключен в пределах от 300 до 400г.

Решение.

Дано: М(Х)=а=375 г., г., с=300г., d=400г.

Найдем искомую вероятность.

где функции Лапласа Ф(1) = 0,6827, Ф(3) = 0,9973.

Пример 2. Ошибка измерения прибора подчиняется нормальному распределению. С вероятностью 0,92 ошибка измерения не превосходит 4. Найти среднеквадратическое отклонение ошибки прибора. Систематическая ошибка отсутствует.

Решение.

Дано: ,

Воспользовавшись второй теоремой о нормальной случайной величине, найдем величину .

Из таблицы Лапласа, зная , найдем t=1,75.

Тогда или

Ответ: .

2. Равномерное распределение

Пример 3. Цена деления шкалы прибора 0,5 вольт. При измерениях показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при считывании показаний будет сделана ошибка, не превышающая 0,01 вольт.

Решение.

Дано: Случайная величина Х -- истинное показание прибора имен равномерное распределение с параметрами а=0 , в=0,5. Тогда . Искомая вероятность - это вероятность показания х либо на , либо на .

Задания для самостоятельной работы

1) Размер детали подчиняется нормальному закону распределения со средней арифметической 15 мм и дисперсией 0,25. Определить ожидаемый процент брака, если допустимые размеры находятся в пределах от 14 мм до 17 мм. Найти выражение интегральной и дифференциальной функции.

2) Изготовленные цехом детали по размерам диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 4,5 см, и среднеквадратическим отклонением 0,5 см. Определить вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отклонится от математического ожидания не более, чем на 1 см.

3) Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 15, среднеквадратическое отклонение равно 5. Определить вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х-М(Х) будет меньше 10.

4) Ошибка измерения - нормально распределенная случайная величина с дисперсией, равной 100. Систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что ошибка измерения окажется в интервале (3;6).

5) Ошибка взвешивания - случайная нормально распределенная величина с дисперсией 400. Весы заранее настроены на обвес 50 г. Найти вероятность того, что ошибка взвешивания находится в пределах от 30 до 70 г.

6) Автобус некоторого маршрута идет с интервалом в десять минут. Пассажир в какой-то момент подходит к остановке. Время, в течении которого пассажир ожидает автобус, представляет случайную величину, имеющую равномерное распределение. Определить дифференциальную функцию распределения этой случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.

7) По данным задачи 6 определить вероятность того, что пассажир подошедший к остановке, будет ждать автобус менее 4 минут.

8) Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка:

а) меньшая 0,04;

б) большая 0,05.

9) Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 сек.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. - М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. - М.: «Академия», 2003 г. - 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 13 Понятие закона больших чисел

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Закон больших чисел.

Контрольные вопросы

1. Дать определение характеристической функции случайной величины Х.

2. Дать определение теоремы неравенства Чебышева.

3. Дать определение теоремы Чебышева.

4. Дать определение теоремы Бернулли.

5. Дать определение теоремы Пуассона.

6. Дать определение теоремы Муавра - Лапласа.

Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Математическая статистика

Тема № 14 Генеральная и выборочная совокупности

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Выборочный метод.

Пример 1. Для выявления доли (удельного веса) простаивающих станков было взято на выборку 100 станков. Простаивающих станков оказалось 20. с надежностью 0,99 оценить доверительный интервал, в котором окажется доля простаивающих станков во всей совокупности станков.

Найдём долю простаивающих станков в выборочной совокупности

Определим предельную ошибку выборки

Доверительные интервалы доли простаивающих станков во всей совокупности станков будут , подставляем

Чаще интервалы для доли вычисляются в процентах, тогда

Т.е. с надёжностью 0,99 доля простаивающих станков во всей совокупности будет заключена в пределах доверительного интервала от 0,97% до 30,3% всех станков.

Пример 2. Имеются данные о производительности труда 100 ткачих фабрики, на которой работают 1000 ткачих.

Выработано ткани, м	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44
Число ткачих	9	12	36	27	10	6

Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключена средняя выработка одной ткачихи фабрики;

2) доверительный интервал, в котором с надежность 0,9545 заключена доля ткачих, имеющих выработку 36 метров и более;

3) вероятность того, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0,8 м по абсолютной величине.

Решение: Вычислим характеристики выборочной совокупности:

выборочную среднюю -

выборочную дисперсию -

Все необходимые расчеты приведены в таблице:

Выработка ткани, м
20-24	22	9	198	-9,4	88,36	795,24
24-28	26	12	312	-5,4	29,16	349,92
28-32	30	36	1080	-1,4	1,96	70,56
32-34	34	27	918	2,6	6,76	182,52
36-40	38	10	380	6,6	43,56	435,60
40-44	42	6	252	10,6	112,36	674,16
	-	100	3140	-	-	2508

Из таблицы имеем: м; м²

=5,008м,

1) При надёжности , коэффициент надежности (таблица 2).

Для повторного отбора

=

Доверительный интервал для генеральной средней

При повторном отборе

м

Для бесповторного отбора

м

С надёжностью 0,9973 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики (генеральная средняя) будет изменяться при повторном отборе от 29,898 м и до 32,902 м, а при бесповторном отборе от 29,975 м до 32,825 м.

2) Выборочная дисперсия по доле

При , коэффициент надежности (таблица 2).

Предельные ошибки:

для повторного отбора = =

для бесповторного отбора

Доверительный интервал для доли:

для повторного отбора

или

для бесповторного отбора

или

С надежностью 0,9545 можно утверждать, что доля ткачих фабрики (генеральная доля), имеющих выработку 36 метров и более будет изменяться от 8,7% до 23,3% при повторном отборе и от 9,04% до 22,96% для бесповторного отбора.

3) Для определения вероятности (надежности), что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0,8 м по абсолютной величине, используем формулу теоремы Чебышева-Ляпунова .

Значение найдем по формуле предельной ошибки выборки для

бесповторного отбора .

Тогда имеем

По таблице №2 значение функции находим

Окончательно запишем

С вероятностью 0,9070 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средних обследованных ткачих не более чем на 0,08 м.

Задания для самостоятельной работы

1. В магазинах торга выборочным методом был подсчитан средний стаж работы 100 сотрудников. Оказалось, что он равен в среднем 10 годам при среднем квадратичном отклонении 3 года. Определить надежность, с которой можно утверждать, что отклонение полученной выборочной средней от генеральной средней не превысит 1 года

2. Обследуется содержание белка в привезенной на элеватор пшенице. В лабораторию взят для исследования 1 кг (1000 гр) зерен. Доля белка в этих зернах 0,17. С надежностью 0,9545 найти доверительный интервал, в котором заключена доля белка во всей пшенице.

3. Сколько рабочих - сдельщиков можно включить в выборку для определения средней выработки одного рабочего, чтобы предельная ошибка не превышала 2,5 ден. ед. с вероятностью 0,9973 при среднем квадратичном отклонении 15 д.е.

4. Был проведен выборочный опрос 25 студентов о распределении бюджета времени. Обследование показало, что в среднем ежедневные затраты времени на самостоятельную работу составляют 4 часа при среднем квадратичном отклонении 0,5 часа. Определить с вероятностью 0,9973 среднюю и предельную ошибки, а также доверительный интервал, в котором заключена генеральная средняя.

5. Для выявления удельного веса неработающих станков отобрано 100 станков. Неработающих оказалось 20. С надежностью 0,95 оценить доверительный интервал, в котором окажется доля неработающих станков во всей совокупности.

6. Сколько рабочих - сдельщиков можно включить в выборку для определения средней выборки одного рабочего - сдельщика, чтобы предельная ошибка не превышала 2,5 ден. ед., при среднем квадратическом отклонении 15 ден. ед.,..а надежность 0,9973

7. В магазинах коопторга выборочным методом был подсчитан средний стаж работы 100 продавцов. Оказалось, что он равен в среднем 10 годам при среднем квадратическом отклонении 3 года. С какой надежностью можно утверждать, что отклонение полученной выборочной средней от генеральной средней не превысит одного года.

8. Даны результаты обследования 100 взрослых мужчин по росту:

Рост, см	164 - 166	166 - 168	168 - 170	170 - 172	172 - 174	174 - 176
Число мужчин	2	8	14	45	26	5

Определить:

1)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключен средний рост всех мужчин;

2)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена доля мужчин, имеющих рост 170см и более

9. Результаты выборочного наблюдения за обработкой рабочими одной детали даны в таблице:

Время обработки, мин.	4.0 - 4.4	4.5 - 4.9	5.0 - 5.4	5.5 - 5.9	6.0 - 6.4	6.5- 6.9
Число работающих	9	16	38	21	10	6

С вероятностью 0,9545 оценить:

1)среднее время обработки одной детали рабочими всего цеха, в котором работают 2000 рабочих;

2)долю рабочих всего цеха, обрабатывающих детали менее чем за 6 минут.

10. Даны результаты выборочного (бесповторного) обследования заработной платы 100 рабочих предприятия, на котором занято 1000 рабочих:

Зарплата, тыс.руб.	2,1 - 2,3	2,3 - 2,5	2,5 - 2,7	2,7 - 2,9	2,9 - 3,1	3,1 - 3,3	3,3 - 3,5
Число рабочих	4	9	20	35	19	8	5

Определить: 1)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена средняя заработная плата всех рабочих предприятия;

2)с вероятностью 0,9973 предельной доли рабочих, имеющих заработную плату менее 2,9 тыс. руб.

11. В результате обследования стажа работы сотрудников предприятия получены следующие данные:

Стаж работы, год	2-6	6-10	10-14	14-18	18-22	22-26	26-30
Число работников	I	2	6	18	II	9	3

Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключен средний стаж работы сотрудников всего предприятия, на котором занято 1000 человек;

2)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена доля сотрудников предприятия, имеющих стаж работы 10 лет и более.

Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 15 Интервальные оценки параметров распределения. Непрерывное и дискретное распределения признаков

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Точечные оценки параметров распределения.

Контрольные вопросы

1. Дать определение точечной оценки неизвестного параметра и.

2. Каким свойствам должна удовлетворять точечная оценка?

Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 16 Характеристики вариационного ряда

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Вариационные ряды.

2. Построение интервального вариационного ряда.

3. Графическое изображение вариационных рядов.

4. Средние величины.

5. Медиана и мода.

6. Показатели вариации.

7. Свойства эмпирической дисперсии.

8. Эмпирические центральные и начальные моменты.

9. Эмпирические асимметрия и эксцесс.

Контрольные вопросы

1. Дать определение накопленной частости.

2. Дать определение интервального вариационного ряда.

3. Какие виды графического изображения вариационных рядов используются?

4. Для чего служит гистограмма?

5. Дать определение статистическим характеристикам вариационного ряда.

Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 17 Доверительные вероятности, доверительные интервалы

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Доверительные вероятности, доверительные интервалы.

Контрольные вопросы

1. Дать определение доверительного интервала для параметра и.

2. Дать определение доверительной вероятности.

Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. - 480 с.

Тема № 18 Регрессионный анализ, корреляционный анализ

Вопросы для самостоятельного изучения

1. О связях функциональных и статистических.

2. Определение формы связи. Понятие регрессии.

3. Основные положения корреляционного анализа.

4. Свойства коэффициента корреляции.

5. Поле корреляции. Вычисление оценок параметров двумерной модели.

6. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.

7. Корреляционное отношение.

8. Понятие о многомерном корреляционном анализе.

9. Частный коэффициент корреляции.

Множественный коэффициент корреляции.

10. Ранговая корреляция.

11. Основные положения регрессионного анализа.

12. Линейная регрессия.

13. Нелинейная регрессия.

14. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии.

15. Интервальная оценка для условного математического ожидания.

16. Проверка значимости уравнения регрессии.

17. Многомерный регрессионный анализ.

18. Факторный анализ.

19. Факторное отображение.

20. Определение факторных нагрузок.

21. Метод главных компонент.

Контрольные вопросы

...