Методика вивчення показової і логарифмічної функції в курсі середньої школи. Найпростіші показові та логарифмічні рівняння і нерівності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Установа освіти "Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"

Математичний факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Методика вивчення показовою і логарифмічної функції в курсі середньої школи. Найпростіші показові та логарифмічні рівняння і нерівності

Виконавець:

Студентка групи М-32

Малайчук А.Ю.

Науковий керівник:

доцент Лебедєва М.Т.

Гомель 2007

Введення

Ознайомлення учнів з показовою і логарифмічною функціями починаючи з вивчення властивостей ступенів і логарифмів.

Курс алгебри знайомить учнів з поняттям ступеня з раціональним показником. Таким чином для будь-якого підстави ступеня (Де , ). Можна побудувати функцію: , , Область визначення якої - безліч дійсних чисел, необхідно ввести визначення, ступеня з ірраціональним показником.

Використовуване властивість ступеня з основним, наприклад, великим одиниці (зростанні), раціональне наближення ірраціонального числа б: r 1 <б <r 2. Виходячи з графічного зображення залежності показника ступеня і значення ступеня, показується, що знайдеться таке значення y, яке буде найбільшим серед всіх a r 1 і найменшим серед всіх a r 2, яке можна вважати значенням a б.

1. Освітні цілі вивчення теми "Показникова і логарифмічна функції" у середній школі

Вивчення теми "Показникова, логарифмічна та степенева функції" в курсі алгебри і початки аналізу передбачає знайомство учнів з питаннями: Узагальнення поняття про ступінь; поняття про ступінь з ірраціональним показником; рішення ірраціональних рівнянь і їх систем; показова функція, її властивості і графік; основні показові тотожності:

; ;

тотожні перетворення показникових виразів; рішення показникових рівнянь, нерівностей і систем; поняття про зворотний функції; логарифмічна функція, її властивості і графік; основні логарифмічні тотожності:

; ;

тотожні перетворення логарифмічних виразів; рішення логарифмічних рівнянь, нерівностей і систем; похідна показовою функції; число е і натуральний логарифм; похідна статечної функції; диференціальне рівняння радіоактивного розпаду.

Основна мета - привести в систему і узагальнити наявні в учнів відомості про ступінь, ознайомити їх з показовою, логарифмічної та степеневої функціями та їх властивостями (включаючи відомості про кількість і і натуральних логарифмах); навчити вирішувати нескладні показові та логарифмічні рівняння, їх системи (що містять також і ірраціональні рівняння).

Розглядаються властивості і графіки трьох елементарних функцій: показовою, логарифмічної та степеневої. Систематизація властивостей зазначених функцій здійснюється відповідно до прийнятої схеми дослідження функцій. Достатня увага повинна бути приділена роботі з логарифмічними тотожністю: тотожні перетворення логарифмічних виразів застосовуються як при викладі теоретичних питань курсу (наприклад, при виведенні формули похідної показовою функції), так і при виконанні різного роду вправ, наприклад, рішення логарифмічних рівнянь і нерівностей. Наведено короткий огляд властивостей степеневої функції в залежності від різних значень показника р.

Особливу увагу приділяється показовою функції як тій математичної моделі, яка знаходить найбільш широке застосування при вивченні процесів і явищ навколишньої дійсності. Розглядаються приклади різних процесів (наприклад, радіоактивний розпад, зміна температури тіла); показується, що рішення диференціальних рівнянь, що описують ці процеси, є показова функція. У зв'язку з цим для показової функції дається формула похідної, висновок якої проводиться із залученням інтуїтивних уявлень учнів.

У ході вивчення властивостей показовою, логарифмічної та степеневої функцій учні систематично вирішують найпростіші показові та логарифмічні рівняння і нерівності, а також ірраціональні рівняння. У міру закріплення відповідних умінь доцільно також пропонувати їм рівняння і нерівності, що зводяться до найпростіших в результаті нескладних тотожних перетворень.

2. Методика вивчення властивостей ступенів і логарифмів. Введення визначення показовою школі показовою функцій, її властивості та їх застосування

Ознайомлення учнів з показовою і логарифмічною функціями починаючи з вивчення властивостей ступенів і логарифмів. Курс алгебри знайомить учнів з поняттям ступеня з раціональним показником. Таким чином для будь-якого підстави ступеня (Де , ). Можна побудувати функцію: , , Область визначення якої - безліч дійсних чисел, необхідно ввести визначення, ступеня з ірраціональним показником. Використовуване властивість ступеня з основним, наприклад, великим одиниці (зростанні), раціональне наближення ірраціонального числа б: r 1 <б <r 2. Виходячи з графічного зображення залежності показника ступеня і значення ступеня, показується, що знайдеться таке значення y, яке буде найбільшим серед всіх a r 1 і найменшим серед всіх a r 2, яке можна вважати значенням a б.

Потім формується визначення показовою функції: функція, задана формулою y = a x ( , ), Називається показовою функцією з підставою a, і формулюються основні властивості:

D (a x) = R; E (a x) = R Т;

a x зростає при a> 1 і a x убуває при 0 <a <1; нагадуються основні властивості ступенів. Т.ч. показова функція є систематизація, узагальнення і розширення знань учнів про властивості ступеня. В якості додатку властивостей показовою функції розглядаються рішення найпростіших показникових рівнянь і нерівностей.

Логарифмічна функція - новий математичний об'єкт для учнів. До поняття логарифма учнів підводять у процесі вирішення показового рівняння a x = b в тому випадку, якщо b не можна представити у вигляді ступеня з основою a.

Наше рівняння у випадку b> 0 має єдиний корінь, який називають логарифмом b за основою a і позначають log a b, тобто a logab = b. Одночасно з введенням нового поняття учні знайомляться з основним логарифмічна тотожність. При роботі з логарифмами застосовуються такі їх властивості, які з властивостей показовою функції:

При будь-якому ( ) І будь-яких позитивних x і y, виконані рівності: 1.

log a 1 = 0 2. log a a = 1

log a xy = log a x + log a y

log a x / y = log a x-log a y

log a x p = plog a x

При доведенні використовується основне логарифмічне тотожність: x = a logax; y = a logay Розглянемо доказ 3:

xy = a logax a logay = a logax + logay тобто xy = a logax + logay = a logaxy,

Основні властивості логарифма широко застосовуються під час перетворення виразів, що містять логарифми. № 497 (Алгебра і початки аналізу, 10-11) Знайти , Якщо:

тобто рівні підстави логарифмів, рівні значення логарифмів рівні логаріфміруемие вираження. Цей прийом міркування надалі буде застосовний при вирішенні найпростіших логарифмічних рівнянь.

3. Поняття оберненої функції і методика її введення

Найбільш доступним введення логарифмічної функції можна було б провести після введення поняття зворотної функції. Проте методика викладу теми про зворотну функції складна через складні самого матеріалу. Тема "Поняття про зворотній функції" наведена в підручнику "Алгебри і початки аналізу. 10-11" і розрахована на необов'язкове вивчення. У цю тему входять:

1) оборотність функцій, пов'язане з вирішенням наступних завдань: обчислити значення функції по даному значенню аргументу і знайти значення аргументів, при яких функція ухвалює дане значення . Друге завдання не завжди має єдине рішення (наприклад, для , ).

Функція приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, називається оборотною, тобто якщо оборотна, а число належить , То рівняння має рішення і до того ж тільки одне.

2) Зворотній функція - як нове поняття - пояснюється на конкретних прикладах. Визначення. Нехай - Довільна оборотна функція. Для будь-якого числа з її області значень є в точності одне значення , Що належить області визначення , Таке, що: . Поставивши у відповідність кожному це значення , Отримаємо нову функцію з областю визначення і областю значень . Завдання. Знайти функцію, зворотну функції

Покажемо, що рівняння при будь-якому значенні має єдине рішення .

,

Де . Якщо згадати область значення даної функції , То отримуємо позитивну відповідь. Таким чином, наша функція оборотна і зворотна їй функція

Алгоритм вирішення таких завдань: знайти і даної функції ; Поміняти місцями у формулі змінні , Тобто отримати формулу і з отриманої рівності висловити через . У більш складних випадках (коли функція не є оборотною на всій області визначення) слід користуватися теоремою: про зворотну функції: Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона оборотна. Зворотній до f функція g, визначена в області значень f, також є зростаючою (або зменшенням). Завдання. Знайти функції, зворотні функції

y = x 2-3x +2. x = y 2-3y +2 = y 2-2y * 3 / 2 +9/4-9 / 4 +2 = (y-3 / 2) 2-ј => (y-3 / 2) 2 = x +1 / 4, де x ? -1 / 4 => y 1 = 3 / 2 + (x +1 / 4) 1 / 2 і y 2 = 3/2- (x +1 / 4) 1 / 2. D (y 1) = D (y 2) = E (x 2-3x +2) = [-1 / 4; + ?)

Для знаходження областей значень зворотних функцій звернемося до графіку, використовуючи наступне властивість: Графіки функції f і зворотної до неї функції g симетричні відносно прямої

З графіка видно, що E (y 1) = [3 / 2; + ?), E (y 2) = (- ?; 3 / 2].

4. Методика вивчення логарифмічної функції, її властивостей та їх застосування. Похідна показовою і логарифмічної функції

Методика вивчення логарифмічної функції Вивчення логарифмічної функції починається з виділення визначення: функцію, задану формулою називають логарифмічною функцією з підставою . Основні властивості виводиться із властивостей показовою функції:

1. ,

тому що при вирішенні рівняння , тобто будь-яке позитивне число має логарифм за основою .

2. ,

тому що за визначенням логарифма будь-якого дійсного числа справедливо рівність:

,

тобто функції виду приймає значення в точці . 3. Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (за a> 1) або зменшується (при 0 <a <1). Покажемо, що при a> 1 зростає. Нехай і , Треба довести, що: . Припустимо протилежне, тобто що . Оскільки показова функція при a> 1 зростає, то з нерівності слід: , Що суперечить вибору .

Отже: і функція при a> 1 - зростає. Оскільки при a> 1 функція зростає, то логарифмічна функція позитивна при x> 1 і негативна для 0 <x <1 (для заснування 0 <a <1 - навпаки).

На підставі розглянутих властивостей будується графік цієї функції. Похідна показовою і логарифмічної функції

Приступаючи до вивчення похідної показовою і логарифмічною функцій, учні знайомляться з новим для них числом e. Необхідність появи цього числа пов'язується з вирішенням задачі про дотичній до графіка показовою функції, з кутовим коефіцієнтом, рівним 1, тобто без доведення приймається наступне твердження: існує таке число, більше 2 і менше 3 (це число позначають буквою е), що показова функція y = e x в точці 0 має похідну, яка дорівнює 1, тобто (E Дx -1) / Дx а при Дxа0.

Теорема: функція e ж диференційовна в кожній точці області визначення і (e x) '= e x. Опр.: Натуральним логарифмом називається логарифмом по підставі е: ln x = log e x Вірно співвідношення: e ln a = a => a

x = (e ln a) x = e x ln a.

Теорема: показова функція а x диференційовна в кожній точці області визначення, і:

(A x) '= a x ln a

Диференційовність логарифмічної функції випливає з того, що: графіки у = а х і в = log a x симетричні щодо у = х. Показова функція диференційовна в будь-якій точці, а її похідна не перетворюється на нуль, графік показовою функції має негоризонтальним дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальною дотичну в будь-якій точці, а це рівнозначно диференційовності логарифмічної функції на її області визначення. Похідна логарифмічної функції для будь-якого х з області визначення знаходиться за формулою:

математичний логарифм тотожність рівняння

ln'x = 1 / x. x = e ln x => x '= (e ln x) ', n / r / x' = 1 => (e ln x) '= 1 => e ln x (ln x) '= 1 => ln'x = 1 / e ln x = 1 / x.

Висновок

Вивчення теми "Показникова, логарифмічна та степенева функції" в курсі алгебри і початки аналізу передбачає знайомство учнів з питаннями: Узагальнення поняття про ступінь; поняття про ступінь з ірраціональним показником; рішення ірраціональних рівнянь і їх систем; показова функція, її властивості і графік; основні показові тотожності:

; ;

тотожні перетворення показникових виразів; рішення показникових рівнянь, нерівностей і систем; поняття про зворотний функції; логарифмічна функція, її властивості і графік; основні логарифмічні тотожності:

; ;

тотожні перетворення логарифмічних виразів; рішення логарифмічних рівнянь, нерівностей і систем; похідна показовою функції; число е і натуральний логарифм; похідна статечної функції; диференціальне рівняння радіоактивного розпаду.

Література

1. К.О. Ананченко "Загальна методика викладання математики в школі", Мн., "Унiверсiтецкае", 1997р.

2. Н.М.Рогановскій "Методика викладання в середній школі", Мн., "Вища школа", 1990р.

3. Г.Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Просвіта", 1998р.

4. Н.Н. "Математична лабораторія", М., "Просвіта", 1997р.

5. Ю.М.Колягін "Методика викладання математики в середній школі", М., "Просвіта", 1999р.

6. А.А.Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000р.

Размещено на Allbest.ru