Анализ векторного исчисления и его приложений

Геометрическая интерпретация векторного произведения в зеркальном отражении. Главная особенность доказательств коммутативности сложения векторов на плоскости. Основные свойства скалярного отображения. Характеристика аксиомы параллельности Евклида.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 28.04.2016
Размер файла 41,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Введение

1. Сущность вектора

2. Линейные пространства

3. Евклидовы пространства

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение - тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

XX век ознаменовался широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Итак, векторомназывается семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков. Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске - латинские буквы с черточкой сверху,

Если сами числа начинают характеризоваться отношениями прерывности и непрерывности, то таким же отношениями будет характеризоваться и пространство-время.

Взаимосвязь законов сохранения можно более глубоко осознать во вращающемся кресте. Эти законы являются всеобщими и потому проявляются на всех уровнях мироздания (и не только в физике и др. естественных науках).

Правило перемножения векторов гласит, что умножение двух векторов, лежащих в одной плоскости, порождает третий вектор, ортогональный данной плоскости, а его направление определяется правилом буравчика. Если мы будем перемножать векторы в порядке следования против часовой стрелки (правый винт), то результирующий вектор будет направлен вверх. В противном случае результирующий вектор будет направлен вниз (левый винт).

Геометрическая интерпретация векторного произведения в зеркальном отражении выявляет отличие в направлениях "базисных орт" электромагнитного поля. Вектор Е в данном зеркале отражается в противофазе, вектор H характеризуется параллельным переносом, а вектор X переносится в противофазе.

Цель работы - исследование вектора и векторных пространств.

Задачи:

1) изучить сущность вектора;

2) рассмотреть линейные пространства;

3) раскрыть сущность Евклидовых пространств.

1. Сущность вектора

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» - арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов а и в с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е.

а (а1; а2) + в (в1;в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).

Следствие:

а + в = в + а , (коммутативность)

а + ( в + с ) = (а + в) + с. (ассоциативность)

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

а и в - векторы (рис.1).

Пусть ОА =а, ОВ = в.

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА. Рис.1.

2. а = ОА = ВС,

в = ОВ = АС, т.к. параллелограмм.

3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС, значит а + в = в + а. ч.т.д.

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в - вектор ВС = с. Тогда мы имеем:

АВ + ВС =АС.

(а + в ) + с = (ОА + АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС,

а + (в + с ) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,

откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов [3, C.124].

Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Действительно, пусть векторы АВ и СD - одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами.

Обозначение:

а х в = IaI * IbI * cos ( а, в).

Свойства скалярного произведения:

2. Для того, чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0. 3. Выражение а х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а [3, C.127].

Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме.

1. Пусть даны а = (ах, аy, аz) и в = ( вx, ву, вz), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. с = а + в = (ах + вx; аy + ву; аz + вz) [10, C.145].

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.

2. Линейные пространства

К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э.

Среди аксиом Евклида был пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.

Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К.Гаусса в Германии, у Я.Больяи в Венгрии и у Н.Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную [5, C.113].

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание - аксиому параллельности Лобачевского [5, C.151].

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Напомним, что аксиома параллельности Евклида гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

В своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 году, немецкий математик Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые - суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение [1, C.83].

Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой, a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a.

Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского [1, C.86].

Таким образом, все вышеприведенные геометрии отличаются друг от друга только выбором исходного постулата. Но все эти геометрии содержат общие «геометрические» свойства. В них существуют собственные линейные и нелинейные пространства (прямые и кривые на плоскости, прямые и кривые на сфере и т.п.). И естественно собственные геометрические точки.

При этом любая геометрическая точка есть вектор. Фигура также есть вектор, полученный путем последовательного обхода ее вершин, а это значит, что любой отрезок, отражающий путь от начала координат до конечной вершины фигуры есть многомерный вектор. Так одномерная точка становится многомерной.

Если свойства такого m-мерного вектора связать с текущим вектором n-го пространства (m>n), то из вершины этого вектора мы «увидим» все n-мерное пространство. Это «видение» определяется тем, что именно самый последний вектор характеризует «ось вращения» всего многомерного пространства вектора.

Все многомерные вектора имеют прерывный характер, т.е. их проекция на выбранную плоскость отражается как ломаная кривая и потому они отражают структурный аспект пространства, как такового.

Между единицей структурной (прерывной) и единицей мнимой (функциональной, непрерывной) существует тесная взаимосвязь между функциональным (непрерывным) и структурным (прерывным) пространствами.

Таким образом, всякий раз, когда мы делим Единицу на многомерный, но конечный вектор, мы получаем вектор бесконечномерный.

В функциональном пространстве, также как в линейном и нелинейном пространствах существуют вектор-нуль и вектор-бесконечность.

Смысл этих векторов предельно прозрачен. Вектор-нуль характеризует сходящуюся последовательность (нисходящая спираль) векторов бесконечномерного вектора к нулю (функционального пространства). Вектор-бесконечности характеризует расходящуюся последовательность (восходящая спираль) векторов бесконечномерного вектора [6, C.75].

Векторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

5) 1 · х = х,

6) a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения);

7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя) [11, C.212].

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1--3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение a1e1 + a2e2 + … + anen называется линейной комбинацией векторов e1, e2,..., en с коэффициентами a1, a2,..., an. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1, a2,..., an отличен от нуля. Векторы e1, e2,..., en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация, представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,..., en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,..., en называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,..., en, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e1, e2,..., en -- базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = a1e1 + a2e2 +... + anen (1).

При этом числа a1, a2,..., an называются координатами вектора х в данном базисе.

Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, векторное пространство. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1, l 2,..., l n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

(l1, l2, …, ln) + (m1, m2, …, mn) = (l1 + m1, l2 + m2, …, ln + mn);

a(l1, l2, …, ln) = (al1, al2, …, aln).

Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., en = (0, 0,..., 1) [7, C.65].

Множество R всех многочленов a0 + a1u + … + anun (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a0, a1,..., an с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u2,..., un (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R -- бесконечномерное В. п.

Многочлены степени не выше n образуют векторное пространство размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2,..., un.

Подпространства векторного пространства R' называется подпространством R, если R' I R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v I r' и для каждых двух векторов v1 и v2 (v1, v2 I R') вектор lv (при любом l) и вектор v1 + v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1, v2 как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x1, x2,... xp называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a1x1 + a2x2 + … + apxp. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1 [7, C.71].

Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x1, x2,..., xp этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени ? n (линейная оболочка многочленов 1, u, u2,..., un), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.

Понятие векторное пространство (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R -- множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yn + a1(x) y (n + 1) + … + an (x) y = 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является векторным пространством. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения.

В каждом векторном пространстве, помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (например, определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов векторного пространства и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то векторное пространство называют абстрактным. Абстрактное векторное пространство L задают с помощью следующих аксиом:

любой паре элементов х и у из L сопоставлен единственный элемент z, называемый их суммой z=x+y и принадлежащий L;

для любого числа и любого элемента x из L определен элемент z, который называется их произведением и принадлежащий L;

операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными [7, C.74].

Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых х и у из L существует единственный элемент w из L такой, что x+w=y. Если все числа вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) векторном пространстве; множество чисел называют полем скаляров L. Понятие векторного пространства можно ввести и для произвольного поля, например, поля кватернионов.

Если - элементы векторного пространства L, то выражение вида называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L называют линейной оболочкой S. Векторы из L называют линейно независимыми, если условие ( - любые элементы поля скаляров) может выполняться только при . Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов подмножества S из L называется системой образующих S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S называется базисом S, если разложение любого элемента S по этой системе единственно. Базис, элементы которого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в S. Базис векторного пространства всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа n элементов, то векторное пространство называется n-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то векторное пространство называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные векторные пространства, у которых имеется счетный базис.

Конкретные примеры векторного пространства можно найти в математическом аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными векторными пространствами являются, например, трехмерное физическое пространство (без учета кривизны), конфигурационное пространство и фазовое пространство системы n классических точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных векторных пространств принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу математического аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространств уже упоминавшееся пространство. Основные физические примеры - пространства векторов состояний различных систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистической физике и квантовой теории поля. Находят применение и такие векторные поля, у которых поле скаляров не совпадает со множеством вещественных или комплексных чисел: так, гильбертово пространство над полем кватернионов используется и одной из формулировок квантовой механики, а гильбертово пространство над полем октонионов - в одной из формулировок квантовой хромодинамики. В современных теориях суперсимметрии интенсивно применяются так называемые градуированные векторные поля, то есть линейные пространства вместе с их фиксированным разложением в прямую бесконечную сумму подпространств [4, C.90].

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. векторный плоскость скалярный аксиома

Справедливо следующее утверждение. Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов.

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из этого вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается. В этом случае пространство называют - мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса.

Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают . При этом для любых двух произвольных векторов - мерного линейного пространства, и произвольного числа справедливо.

Это означает, что все линейные пространства “устроены” одинаково - как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству.

Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам и из соответствуют векторы и из, то вектору соответствует вектор и при любом вектору соответствует вектор.

Изоморфизм означает, что соотношения между элементами линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства [4, C.94].

Множество векторов с действительными компонентами является частным случаем более общего понятия, называемого линейным векторным пространством V, если для его элементов определены операции векторного сложения "+" и умножения на скаляр ".", удовлетворяющие перечисленным ниже соотношениям (здесь x,y,z - вектора из V, а a, b - скаляры из R):

x + y = y + x, результат принадлежит V

a . ( x + y ) = a . x + a . y, результат принадлежит V

( a + b ) . x = a . x + b . x, результат принадлежит V

( x + y ) + z = x + ( y + z ), результат принадлежит V

( a . b ) . x = a . ( b . x ), результат принадлежит V

$ o из V: " x из V => o + x = x (существует нулевой элемент)

для скаляров 0 и 1, " x из V имеем 0 . x = o, 1 . x = x

Свойство 1) называют свойством коомутативности, соотношения 2) и 3) - свойством дистрибутивности, а 4) - свойством ассоциативности введенных операций. Примером линейного векторного пространства является пространство Rn с покомпонентными операциями сложения и умножения.

Для двух элементов векторного пространства может быть определено их скалярное (внутреннее) произведение : (x,y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn. Скалярное произведение обладает свойствами симметричности, аддитивности и линейности по каждому сомножителю:

( x, y ) = ( y, x )

( a.x, y ) = a.( x, y )

( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z )

( x, x ) >= 0, причем ( x, x ) = 0 <=> x = o

Равенство нулю скалярного произведения двух векторов означает их взаимную ортогональность, сообразно обычным геометрическим представлениям.

Два различных образа (или вектора) могут быть в той или иной мере похожи друг на друга. Для математического описания степени сходства векторное пространство может быть снабжено скалярной метрикой - расстоянием d(x,y) между всякими двумя векторами x и y. Пространства, с заданной метрикой называют метрическими.

3. Евклидовы пространства

Для развития геометрических методов в теории векторного пространства нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

1) (х, у) = (у, х) (перестановочность);

2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (распределительное свойство);

3) (ax, у) = a(х, у),

4) (х, х) ? 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0. (1)

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение [2, C.141].

Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство En получим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn) соотношением

(x, y) = l1m1 + l2m2 +… + lnmn.

При этом требования 1)--4), очевидно, выполняются.

В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве En условие ортогональности векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

l1m1 + l2m2 +… + lnmn = 0.

Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

Рассмотрим в евклидовом пространстве En векторы ai = (ai1, ai2, …, ain), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u1, u2,..., un). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов En, придадим системе (4) следующий вид:

(ai, u) = 0, i = 1, 2, …, m.

Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам ai. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов ai, то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов ai. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства. Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С [9, C.54].

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство - пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой.

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство.

Величины, и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.

В случае булевых векторов размерности n рассматриваемое пространство представляет собой множество вершин n-мерного гиперкуба с Хемминговой метрикой. Расстояние между двумя вершинами определяется длиной кратчайшего соединяющего их пути, измеренной вдоль ребер.

Важным для нейросетевых приложений случаем является множество векторов, компоненты которых являются действительными числами, принадлежащими отрезку [0,1]. Множество таких векторов не является линейным векторным пространством, так как их сумма может иметь компоненты вне рассматриваемого отрезка. Однако для пары таких векторов сохраняются понятия скалярного произведения и Евклидового расстояния [9, C.57].

Вторым интересным примером, важным с практической точки зрения, является множество векторов одинаковой длины (равной, например, единице). Образно говоря, "кончики" этих векторов принадлежат гиперсфере единичного радиуса в n-мерном пространстве. Гиперсфера также не является линейным пространством (в частности, отсутствует нулевой элемент).

Для заданной совокупности признаков, определяющих пространство векторов, может быть сформирован такой минимальный набор векторов, в разной степени обладающих этими признаками, что на его основе, линейно комбинируя вектора из набора, можно сформировать все возможные иные вектора. Такой набор называется базисом пространства. Рассмотрим это важное понятие подробнее.

Вектора x1, x2, ..., xm считаются линейно независимыми, если их произвольная линейная комбинация a1x1 + a2x2 + ... + amxm не обращается в ноль, если только все константы a1 ... am не равны одновременно нулю. Базис может состоять из любой комбинации из n линейно независимых векторов, где n - размерность пространства.

Выберем некоторую систему линейно независимых векторов x1, x2, ..., xm, где m < n. Все возможные линейные комбинации этих векторов сформируют линейное пространство размерности m, которое будет являться подпространством или линейной оболочкой L исходного n-мерного пространства. Выбранная базовая система из m векторов является, очевидно, базисом в подпространстве L. Важным частным случаем линейной оболочки является подпространство размерности на единицу меньшей, чем размерность исходного пространства (m=n-1), называемое гиперплоскостью. В случае трехмерного пространства это обычная плоскость. Гиперплоскость делит пространство на две части. Совокупность гиперплоскостей разбивает пространство на несколько множеств, каждое из которых содержит вектора с близким набором признаков, тем самым осуществляется классификация векторов [9, C.61].

Для двух подпространств может быть введено понятие их взаимной ортогональности. Два подпространства L1 и L2 называются взаимно ортогональными, если всякий элемент одного подпространства ортогонален каждому элементу второго подпространства.

Произвольно выбранные линейно независимые вектора необязательно являются взаимно ортогональными. Однако в ряде приложений удобно работать с ортогональными системами. Для этого исходные вектора требуется ортогонализовать. Классический процесс ортогонализации Грама-Шмидта состоит в следующем: по системе линейно независимых ненулевых векторов x1, x2, ..., xm рекуррентно строится система ортогональных векторов h1, h2, ..., hm. В качестве первого вектора h1 выбирается исходный вектор x1. Каждый следующий (i-ый) вектор делается ортогональным всем предыдущим, для чего из него вычитются его проекции на все предыдущие вектора:

При этом, если какой-либо из получившихся векторов hi оказывается равным нулю, он отбрасывается. Можно показать, что, по построению, полученная система векторов оказывается ортогональной, т.е. каждый вектор содержит только уникальные для него признаки.

Далее будут представлены теоретические аспекты линейных преобразований на векторами.

Равно тому, как был рассмотрен вектор - объект, определяемый одним индексом (номером компоненты или признака), может быть введен и объект с двумя индексами, матрица. Эти два индекса определяют компоненты матрицы Aij, располагаемые по строкам и столбцам, причем первый индекс i определяет номер строки, а второй j - номер столбца.

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности (n x m) является матрица С той же размерности с компонентами, равными сумме соответствующих компонент исходных матриц: Cij = Aij + Bij. Матрицу можно умножить на скаляр, при этом в результате получается матрица той же размерности, каждая компонента которой умножена на этот скаляр. Произведением двух матриц A (n x l) и B (l x m) также является матрица C (n x m), компоненты которой даются соотношением.

Заметим, что размерности перемножаемых матриц должны быть согласованными - число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй.

В важном частном случае, когда вторая матрица является вектором (т.е. матрицей с одной из размерностей, равной единице (m=1)), представленное правило определяет способ умножения матрицы на вектор:

В результате умножения получается также вектор с, причем для квадратной матрицы A (l x l) его размерность равна размерности вектора-сомножителя b. При произвольном выборе квадратной матрицы A можно построить произвольное линейное преобразование y=T(x) одного вектора (x) в другой (y) той же размерности: y=Ax. Более точно, для того, чтобы преобразование T одного вектора в другой являлось линейным, необходимо и достаточно, чтобы для двух векторов x1 и x2 и чисел a и b выполнялось равенство: T(ax1 + bx2) = aT(x1) + bT(x2). Можно показать, что всякому линейному преобразованию векторов соотвествует умножение исходного вектора на некоторую матрицу [8, C.172].

Если в приведенной выше формуле для умножения матрицы A на вектор x компоненты этого вектора неизвестны, в то время, как A и результирующий вектор b известны, то о выражении A x = b говорят, как о системе линейных алгебраических уравнений относительно компонент вектора x. Система имеет единственное решение, если вектора, определяемые строками квадратной матрицы A, являются линейно независимыми.

Часто используемыми частными случаями матриц являются диагональные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю. Диагональную матрицу, все элементы главной диагонали которой равны единице, называют единичной матрицей I. Линейное преобразование, определяемое единичной матрицей, является тождественным: Ix=x для всякого вектора x.

Для матриц определена, кроме операций умножения и сложения, также операция транспонирования. Транспонированная матрица AT получается из исходной матрицы A заменой строк на столбцы: (Aij)T = Aji. Матрицы, которые не изменяются при транспонировании, называют симметричными матрицами. Для компонент симметричной матрицы S имеет место соотношение Sij = Sji. Всякая диагональная матрица, очевидно, является симметричной.

Пространство квадратных матриц одинаковой размерности с введенными операциями сложения и поэлементного умножения на скаляр, является линейным пространством. Для него также можно ввести метрику и норму. Нулевым элементом служит матрица, все элементы которой равны нулю.В заключении приведем некоторые тождества для операций над матрицами. Для всяких A,B и C и единичной матрицы I имеет место:

IA = AI = A

(AB)C = A(BC)

A(B+C) = AB + AC

(AT)T = A

(A+B)T = AT + BT

(AB)T = BTAT

Доказательство этих соотношений может служить полезным упражнением.

Также термин евклидово пространство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство mathbb R^n с введённой на нём нормой:|x|=sqrt{x_1^2+x_2^2+dots +x_n^2} = sqrt{sum_{k=1}^n x_k^2}где x=(x_1,x_2,dots, x_n).

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством mathbb R^n над полем вещественных чисел с "евклидовой метрикой ", введённой по формуле::d(x,y)=sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+dots (x_n-y_n)^2} = sqrt{sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2},где x=(x_1,x_2,dots, x_n) и y=(y_1,y_2,dots, y_n)in mathbb R^n.

3. Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением (положительно определенным), иначе говоря - конечномерное гильбертово пространство. В таком пространстве всегда можно ввести базис, в котором будет верно (1) и (2) (Конечномерное пространство с невырожденным скалярным произведением, не являющимся положительно определенным, называется псевдоевклидовым) [8, C.176].

Заключение

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.

Таким образом, векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А. Выражение a1e1 + a2e2 + … + anen называется линейной комбинацией векторов e1, e2,..., en с коэффициентами a1, a2,..., an. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1, a2,..., an отличен от нуля. Векторы e1, e2,..., en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация, представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,..., en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,..., en называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,..., en, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов.

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из этого вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается. В этом случае пространство называют - мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством. Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса.

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение.

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы. Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство - пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой. Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство.

Список использованной литературы

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 2015. - 174с.

2. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 2014. - 324с.

3. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Академия, 2013. - 286с.

4. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. М.: Высшая математика, 2012. - 162с.

5. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 2014. - 245с.

6. Иванов-Мусатов О.С. Начала математического анализа. М.: Наука, 2013. - 192с.

7. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. СПб.: Питер, 2013. - 208с.

8. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. М.: Наука, 2015. - 356с.

9. Солодовников А.С., Торопов Г.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. М.: Высшая школа, 2014. - 310с.

10. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 2013. - 270с.

11. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2014. - 320c.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

    реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014

  • Дослідження особливостей скалярного та векторного полів. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля, потенціальне поле. Сутність дивергенції, яка характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці. Ротор або вихор векторного поля.

    реферат [244,3 K], добавлен 06.03.2011

  • Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.

    контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013

  • Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.

    контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012

  • Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.

    курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014

  • Сущность понятия "скалярное произведение векторов". Законы векторного произведения. Практический пример нахождения площади треугольника. Общее понятие о правой и левой тройке. Содержание закона круговой переместительности. Объём треугольной пирамиды.

    презентация [373,9 K], добавлен 16.11.2014

  • Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.

    презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014

  • Сущность планиметрии как науки о свойствах точек и прямых на плоскости. Понятие точки, прямой и плоскости, принятие утверждений без доказательств. Особенности построения и содержание аксиом принадлежности, измерения, параллельности, откладывания.

    презентация [77,7 K], добавлен 12.04.2012

  • Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.

    учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011

  • Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.

    реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011

  • Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде. Свойства векторного произведения и их доказательства. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

    контрольная работа [297,9 K], добавлен 14.03.2009

  • Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.

    контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016

  • Предмет и задачи планиметрии, как раздела геометрии, в котором изучаются такие фигуры на плоскости, как точка, прямая, параллелограмм, трапеция, окружность и треугольник. Аксиомы принадлежности, расположения, измерения, откладывания, параллельности.

    презентация [1,8 M], добавлен 22.10.2013

  • Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.

    презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013

  • История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.

    курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013

  • Понятие и назначение определителей, их общая характеристика, методика вычисления и свойства. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений и их решение. Векторная алгебра, ее закономерности и принципы. Свойства и приложения векторного произведения.

    контрольная работа [996,2 K], добавлен 04.01.2012

  • Изучение теории поля с помощью векторного анализа. Векторные поля на плоскости и векторные линии. Вращение, вычисление и свойства дивергенции. Свойство аддитивности циркуляции полей. Ротор и его основные свойства. Рассмотрение формул Грина и Стокса.

    курсовая работа [649,8 K], добавлен 18.12.2011

  • Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.

    презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013

  • Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец, его свойства. Виды определения векторов, действия над ними. Правила сложения векторов, их сумма. Скалярное произведение векторов. Особенности использования векторов. Решение геометрических задач.

    контрольная работа [640,1 K], добавлен 18.01.2013

  • Векторы и основные линейные операции над ними. Понятие о скалярной величине, сложение и вычитание. Векторное произведение: понятие, свойства, особенности определения. Пример вычисления двойного векторного произведения. Доказательство тождества Лагранжа.

    контрольная работа [261,9 K], добавлен 26.11.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.