Случайные события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 1

Комплекс условий (КУ) - совокупность всех условий, при которых проходит эксперимент. Вероятностный эксперимент - эксперимент, дающий различные результат при повторении его при одном комплексе условий.

Эксперимент, результат которого повторяется при одном комплексе условий, называется детерминированным.

1) Принципиальная непредсказуемость результата отдельного вероятностного эксперимента (ВЭ).

2) Статистическая устойчивость - проявление некоторых закономерность в большем числе отдельных вероятностных экспериментах (ВЭ).

Математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления, называется - теория вероятности.

Случайным событием (СС) - теория вероятности называется всякий факт, который может иметь место в результате (исходе) некоторого вероятностного эксперимента. Обозначаются: (A, B, C, …).

Описание задач с вероятностью должны быть описаны полностью.

Достоверным событием (?) - называется событие, которое при данном комплексе условий обязательно происходит.

Невозможным событием - называется событие, которое при данном комплексе условий произойти не может.

Случайное событие A и B - называются несовместными (взаимными совместными), если они не могут произойти одновременно в одном вероятностном эксперименте. Пример: выпадение решки и орла одновременно.

Пусть A - некоторое случайное событие. !A - событие состоящее в том, что A не наступает. A и !A несовместное.

Все элементы вероятностного исхода - совместно несовместны.

Совокупность всех элементарных исходов, называется пространством элементарных событий (ПЭС). ПЭС - ?.

Если ? конечно или счетное множество, то пространство элементарных событий называется дискретной.

? =

Если ? бесконечно, то:

? =

Операции над событиями и их свойство

Любое событие - подмножество ?.

Суммой событий A и B - называется событие, состоящее в наступлении, хотя бы одного из событий A или B или A и B вместе.

Опр. A+B = {w | w e A или w e B}.

A v B - дизъюнкция, A или B.

Опр. A*B - называется событие, состоящее в наступлении события A и B одновременно.

A*B = {w | w e A и w e B}.

A ^ B - коньюкция, A и B.

Если A и B несовместны, то A*B - невозможное событие.

Опр. A-B - называются событие, состоящее в наступление события A и не наступлении B.

A-B = {w | w e A, no w e B}.

A-B = A \ B.

1) A+A=A; A*A=A

2) A+B=B+A; A*B=B*A

3) (A+B)+C=A+(B+C); (A*B)*C = A*(B*C)

4) A*(B+C)=A*B+A*C

5) !!A=A

6) !? = невозможное событие

7) !невозможное событие=?

8) A*? = A

9) A*невозможное событие=невозможное событие

10) A+?=?

11) A+невозможное=A

12) !(!A+!B) = A*B

13) !(!A*!B) = A + B

Относительная частота событий и ее свойства

Опыт проведен n раз и n(A) раз наблюдалось событие,

W(A) = n(A)/n - относительная частота событий.

1) Относительная частота любого события 0 <= W(A) <= 1

2) Относительная частота достоверного события W(?) = 1

3) A1,A2,…,An,… - любая счетная последовательность несовместных событий, тогда относительная частота

W(?(Ai)) = ?W(Ai)

W(A+B) = n(A+B)/n = (n(a) + n(b))/n = W(A) + W(B)

Вероятностное пространство

Опр. F - класс подмножеств ?, назовем алгеброй.

Если:

1) Невозможное e F, ? e F

2) A e F => !A e F

3) { A e F; B e F } => { A+B e F; A*B e F }

Опр. Множество алгебры F - у алгеброй.

An e F, n=1,2,.. = > ?Ai e F, ПAi e F

Опр. (?, F, P) - ? пространство элементарных событий, F - у алгебры подмножеств ?, P - числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью. Эта тройка называем вероятностным пространством, если выполнены след. Аксиомы:

1) P(A) >= 0 для любых A e F

2) P(?) = 1

3) A*B = несовместные события

P(A+B) = P(A) + P(B) - свойство аддитивности

4) An -> невозможному событию, A1 включает A2 включает A3 включает …

ПAi = невозможному событию. => lim(n->inf):P(An)=0.

3 и 4 => 5

5) An - последовательность событий, попарно несовместное, то P(?Ai) = ?P(Ai)

Лекция 2

Свойства событий (аксиомы)

1) A c B -> P(B-A)=P(B)-P(A)

B = A + (B - A)

P(B) = P(A) + P(B-A)

2) A c B -> P(A) <= P(B)

Следует из 1.

3) Для любого А e F -> 0 <= P(A) <= 1

Невозможное событие c A c ?

0 <= P(A) <= 1

4) P(!A) = 1 - P(A)

A*!A = невозможное

A+!A = ?

Следовательно, P(A) + P(!A) = 1

5) P(невозможного) = 1 - P(?) = 1 - 1 = 0

6) Конечная адитивиность: P(?An) = ?P(Aj)

Ai*Aj=невозможно, любые i!=j

7) P(?Ai) <= ?P(Ai)

8) P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A*B)

A+B = A + (B - A*B), A и B - несовместные

P(A+B) = P(A) + P(B-AB)

Из 1-го, P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Методы или способы вероятностей событий

1) Статистический метод - суть метода состоит в том, что в качестве вероятности берется относительная частота события, полученная в N опытах, проведенных в стабильных условий.

P(A) ~ W(A),

Lim -> inf (W(A)) = P(A);

|P(A) - W(A)| < эпсилон, n = f(эпсилон)

Достоинство: Вероятность можно задавать с любой малой погрешностью (эпсилон);

Метод применим к пространству элементарных событий как дискретному, так и к непрерывному;

Недостатки: Необходима организация эксперимента и связанная с этим затрата времени и материальных средств;

Трудность создания стабильных условий испытаний;

Описание: Статистический метод определений вероятностей, связан с исследованием надежности работы аппаратуры, измерение физических величин, а также исследованиями в социальной сфере является практически единственно возможной.

Классический метод определения вероятностного события

Равно возможными, называются события, о которых нельзя утверждать, что одно имеет больше возможностей появится, чем второе. Пусть вероятностный эксперимент, имеет конечное число N элементарных событий и все они равно возможны, тогда

P(A) = M(A)/N,

M(A) - благоприятствующие наступлению событию А.

Достоинства: Вероятность можно определять до опыта;

Недостатки: Метод применим только с конечным числом элементарных исходов;

Гипотеза о равных возможностей элементарных исходов, доказать практически невозможно;

Геометрическое определение вероятностного события

Метод применяется для изучения вероятностных экспериментов с бесконечным числом равно возможным элементарных исходов, которые можно трактовать как случайные точки в области ?.

P(A) = мера(A)/мера(?)

Ограничение:

1) Области ? и А - должны иметь конечную геометрическую меру.

2) Элементарные исходы должны отвечать равно возможности.

случайный вероятностный дискретный непрерывный

Лекция 3

Условная частота и условия вероятность событий. Умножение вероятностей

Проведено n экспериментов, наблюдалось событие n(B),

Тогда,

W(A/B) = n(A*B)/n(B) = (n(A*B)/n)/(n(B)/n) = W(A*B)/W(B)

относительная частота.

При n -> inf W(A*B) ~ P(A*B), W(B) ~ P(B).

P(B) > 0, P(A/B) = Pb(A) = P(A*B)/P(B)

P(B/A) = Pa(B) = P(A*B)/P(A)

P(A*B) = P(A)*P(B) = P(B)*Pb(A)

P(A1*A2*…*An) = P(A1) * Pa1(A2) *Pa*a2(a3) * … * Pai*...*an-1(An)

Независимость событий

Событие А и Б называются независимыми, если вероятность наступления одного из них, не зависит от того, наступило второе событие или нет.

Если условие выполняется Pb(A) = P!b(A) = P(A).

P(A*B) = P(A) * P(B).

Если вероятность событий равна произведению вероятностей событий, то события независимые.

События A1 и т.д. An, называются независимыми в совокупности, если они попарно независимы, а так же любое из событий не зависит от всевозможных произведений других событий.

P(A1*…*An) = P(A1) * P(A2) * … * P(An)

Попарно независимые события, могут быть зависимые в совокупности.

Пример: Бернштейна

В коробке лежат билеты с номерами: 112, 121, 211, 222

Случайным образом достаем 1 билет.

Событие A1 - на первом месте 1, A2 - на втором месте 1, A3 - на третьем месте 1.

P(A1) = P(A2) = P(A3) = Ѕ

P(A1*A2) = ј = P(A1) * P(A2)

P(A1*A3) = ј = P(A1) * P(A3)

P(A2*A3) = P(A2) * P(A3)

P(A1*A2*A3) = 0 != P(A1) * P(A2) * P(A3)

Пусть 2 стрелка независимо производят 2 выстрела по мишени,

А1 - попадание по мишени первым стрелком P(A1) = 0.9

A2 - попадание по мишени вторым стрелком P(A) = 0.8

P(A1*A2) = P(A1) * P(A2) = 0.9 * 0.8 = 0.72

Если одно из событий является достоверным или невозможным, то события независимые. (Доказать самостоятельно)

Если события А и Б независимые, то независимыми будут все комбинации. A и Б, !А и Б, А и !Б, !А и !Б - доказать самостоятельно.

Не попадут

P(!A1 * !A2) = P(!A1) * P(!A2) = 0.1 * 0.2 = 0.02

Только один:

P(!A1 * A2 + A1 * !A2)

P(A1*!A2) + P(!A1*A2) = 0.9*0.2 + 0.1*0.8 = 0.26

Попадет хотя бы один:

P(A1+A2) = 1 - P(!A1*!A2) = 1 - 0.02 = 0.98

Формула полной вероятности

Множество событий {H1, H2, …, Hn} - образуют полную группу событий, если:

1) ?Hi = ?

2) HiHj = невозможное любое I != j

P(Hi) > 0 любая i

P(A) = ? P(Hi) * Phi(A)

P(A) = ? P(A*Hi) => P(A)=? P(Hi) * Phi(A)

Формулы Бэлиса и Баерса.

Pa(Hi) = P(A*Hi)/P(A) = P(Hi) * Phi(A)/P(A), i = 1,..,n

Последовательности независимых испытаний.

Схема испытаний Бернули, в постоянных условиях.

Пусть имеется последовательность из N испытаний, которые удовлетворяют следующему условию:

1) Испытания независимые

2) Wy - успех, Wh - Неуспех

3) P(Wy) = p = const

P(Wh) = q = const

Q = 1 - p

~Pn(k;n-k) = n!/(k!(n-k)!) = Ckn

Pn(K) = Ckn * p^k q^n-k

Np-q <= K0 < np+p

Производящая функция, обладает тем свойством, что коэф. X при k степени, равен вероятности k успехов в n испытаниях.

Лекция 4

Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайно величиной (СВ) - называется, числовая функция, заданная на пространстве элементарных событий (ПЭС - Омега), данного вероятностного эксперимента (ВЭ).

X, Y, Z, T - случайные величины.

Если множество возможных значений случайной величины конечное или бесконечное счетное, то случайная величины - называется дискретной случайной величиной (ДСВ).

Если возможное значение случайной величины, непрерывным образом заполняет некий конечный или бесконечный промежуток, то случайная величина называется непрерывной (НСВ).

Ряд распределения вероятности дискретной случайной величины

Законом распределения вероятности дискретной случайной величины - называется соответствие, между возможными значениями случайной величины и вероятностями получения этих значений.

Этот закон может быть задан таблицей, аналитически и графически.

Ak =(X=xk) - Случайное событие.

P(Ak) = Pk;

Ak - полная группа событий.

Sum[n,k=1](Pk) = 1

Пример:

В урне находится 8 шаров, из которых 5 белых и 3 черных.

Извлекаются 3 шара.

X - число белых шаров среди извлеченных.

X = {0, 1, 2, 3}; - возможные варианты.

P(X=0) = C[0, 5] * C[3, 3] / C[3, 8] = 1/56;

P(X=1) = C[1, 5] * C[2, 3] / C[3, 8] = 15/56

P(X=2) = C[2, 5] * C[1, 3] / C[3, 8] = 30/56

P(X=3) = C[3, 5] * C[0, 3] / C[3, 8] = 10/56

SUM(P=k) = 1; - Ряд распределения вероятности ДСВ.

Функция распределения и ее свойства.

Функция распределения СВ X, определяется F(x) = P(X < x);

x - Действительное число.

0 при x <= 0;

1/56 при 0 < x <= 1;

16/56 при 1 < x <= 2

46/56 при 2 < x <= 3;

1 при x > 3;

Это F(x).

Пусть F(x) = { 0 при x <= 0; x при 0 < x < 1; 1 при x >= 1 }.

Равномерный закон распределения.

1. 0 <= F(x) <=.

Функция распределения, это вероятность чего-то

2. A (X < x1), B = (x1 <= X <= x2), P(A+B) = P(A) + P(B)

(A+B) = (X < x2).

P(x1 = X <= x2) = F(x2) - F(x1)

3. x1 < x2 => F(x1) <= F(x2)

f(x) = F'(x) - Диф. Функция распределения вероятности.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция непрерывна и Ing[x, -inf](F'(x)dx) - интегральная функция распределения.

4. F(-oo) = lim[x->-00](F(x)) = 0

F(+00) = lim[x->00](F(x)) = 1

P(X=x) = lim[x->0](P(x<=X<x+delta(x)) =

= lim[x->0](F(x+delta(x))-F(x)) =

= lim[delta(x)->0](delta(F(x))) = 0

1. P(x1 <= X < x2) = P(x1 < X < x2) = P(x1 <= X <= x2) = F(x2) - F(x1) =

= F(x)|[x2, x1] = Int[x2, x1](F'(x) )dx

2. f(x) >= 0

3. Int[oo,-oo](f(x))dx = F(+oo)-F(-oo)= 1

Если каждому значению, случайно величины Х, соответствует одно возможное значение случайное величины У, то говорят, что заданная функция случайного аргумента Х.

Y = fi(X)

1) X - ДСВ

X - 2, 3, Y=X^2

P - 0.6, 0.4, X=2->fi=4

Y - 4, 9

P - 0.6, 0.4

X - -2, 2, 3

P - 0.4, 0.3, 0.3

Y - 4, 9

P - 0.7, 0.3

2) X - НСВ f(x)

Y= fi(X)

Если функци fi является дифференцируемой и монотомной, то у нее есть обратная функция.

X = fi^-1(y) = psi(y)

g(y) =f(psi(y))|psi'(y)|

Размещено на Allbest.ru

...