Узагальнення знань про криві другого порядку. Цікаві криві

Размещено на http://allbest.ru

Узагальненя знань про криві другого порядку. Цікаві криві

ВСТУП

перетин крива цікавий

Тема конічних перетинів сьогодні, як ніколи, актуальна в області науки та техніки. Причиною такої надмірної уваги стали властивості кривих, утворених від конічніх перетинів. У наш час особливо важливою кривою другого порядку вважається парабола, що утворена від перетину конуса площиною, паралельною твірній конуса. Її властивість - відбивання променів та радіохвиль, потрапивших до умовного фокусу еліптичного параболоїда, від усієї його поверхні та навпаки. Гроші в цю технологію вкладаються за одної простої причини - розвиток супутикових станцій, що працюють за цією технологією. Подальший розвиток цієї технології може вплинути на сферу мобільного, теле та інтернет зв'язку, покращивши їх роботу. Це фізичне явище, як інші явища, що демонструють нам криві другого порядку, може дати розвиток оптиці (еліптоїди), архітектурі (гіперболоїди й параболоїди), фізиці, космічним технологіям та навіть комп'ютерній графіці.

У давні часи математики активно використовували метод розсікання певної об'ємної геометричної фігури площиною під певним кутом, сучасні ж методи дослідження кривих передбачають собою формули канонічних видів кривих на графіках площин. Формули - мова атематики.

Ціль даної роботи - вдосконалити знання про криві другого порядку та дізнатися більше про не менш цікаві криві інших систем.

Розділ 1. ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ

Як відомо, Найвизначнішим знавцем конічних перетинів був Апполоній Пергський. Тож, розглянемо суть його робіт.

1.1 Роботи Апполонія Пергського

У математиці Аполлоній найбільше відомий своїми «Конічними перетинами», в яких він дав повний виклад теорії, причому розвинув аналітичні та проектні методи. Аполлоній написав трактат «Про вставки», присвячений класифікації завдань які вирішуються за допомогою вставок. Такі завдання можуть виявитися розв'язними циркулем і лінійкою (плоскі задачі), за допомогою конічних перерізів (тілесні завдання) і за допомогою інших кривих (лінійні). Виявлення того, до якого класу належить та чи інша задача, могло означати початок їх алгебраїчної класифікації. Інтерес Аполлонія до алгебраїчних проблем проявився і в іншій його роботі - «Про невпорядковані ірраціональності», в якій він продовжував класифікацію Евкліда.

Чисто геометричними роботами Аполлонія є: робота «Про спіральні лінії», в якій він розглядає спіралі на поверхні циліндра, «Про торканні», де розбирається знаменита завдання Аполлонія: «Дано три речі, кожна з яких може бути точкою, прямою або колом; потрібно намалювати коло, яке проходило б через кожну з даних точок і стосувалося б кожного з даних прямих або кіл». З творів «Про плоскі геометричні місця» можна зробити висновок, що Аполлоній розглянув перетворення площини на себе, які переводять прямі та кола в прямі та кола. Окремим випадком цих перетворень є перетворення подібності та інверсії деякої точки. Деякі праці Аполлонія були втрачені і не дійшли до наших днів.

1.2 «Конічні перетини» Аполлонія

«Конічні перетини» складаються з восьми книг. Перші чотири, в яких, за словами автора, викладаються елементи теорії, дійшли до нас по-грецьки, наступні три - в арабському перекладі Сабіта ібн Коррі, остання - восьма книга - загублена. Є реконструкція її тексту, що належить англійському астроному Е. Галлею (XVIII ст.).

Криві другого порядку були вперше розглянуті у зв'язку із завданням подвоєння куба, Менехм представив їх як плоскі перерізу прямокутного, тупокутного і гострокутного конусів обертання. Таке стереометричне подання гарантувало існування і безперервність розглянутих кривих. Потім Менехм переходив до висновку основних планіметричних властивостей перетину, який древні називали симптомом (рівнянням кривої).

1.3 Висновок рівняння кривої для перетину прямокутного конуса обертання

Нехай OAВ- перетин цього конуса (додаток 1) площиною, що проходить через вісь OL, і нехай PLK - слід площині, перпендикулярної до твірної цього конуса (рис. 1). Тоді KM ² = AK * KB, так як AMВ - півколо. Але AK = PP' = v2LP^2, а KB = v2KP^2, тому KM ² = 2LP * KP.

Позначимо KM через y, KР - через p, тоді отримаємо y ² = 2px.

Це рівняння, або симптом, кривої, яке записується за допомогою буквеної символіки, а стародавні записували в словесно-геометричній формі: квадрат на напівхорді KM в кожній точці дорівнює прямокутнику PKSR, побудованому на відрізку PK осі до вершини (x) і на постійному відрізку PR (додаток 2).

Аналогічно виводилося рівняння для перерізів гострокутного і тупокутного конусів, тобто еліпса та гіперболи:

 = і =

де 2а -велика вісь еліпса або дійсна вісь гіперболи, а р - постійна.

У випадку, коли р = а, рівняння приймають вигляд: y² = x (2a - x) і y² = x (2a + x) перше з яких є рівнянням кола радіуса а, а друге - рівнянням рівносторонньої гіперболи. Еліпс та гіпербола можуть бути отримані з кола та гіперболи стисненням до осі абсцис у відношенні vp: a.

Аполлоній перш за все дає більш загальне визначення. По-перше, він бере довільний круговий конус; по-друге, розглядає обидві його порожнини (що дає йому можливість вивчати обидві гілки гіперболи); нарешті, він проводить переріз площиною розташованої під будь-яким кутом до твірної.

На звичній мові аналітичної геометрії, можна сказати, що до Аполлонія конічні перетини розглядалися по відношенню до прямокутній системи координат, причому одна з осей збігалася з головним діаметром, а друга проходила перпендикулярно до неї через вершину кривої; Аполлоній же відносив криві до будь-якого діаметру дотичній проведеній в одному з його кінців, тобто до деякої косокутної системи координат.

Після стереометричного визначення Аполлоній також дає висновок симптомів - рівнянь кривих. При цьому він класифікує отримані криві з вигляду визначеного їх рівняння, тобто в основу ставиться точка зору, властива аналітичній геометрії.

1.4 Висновок рівняння для параболи

Нехай BAС - перетин кругового конуса площиною, що проходить через вісь, і нехай площина GHD проведена так, що DE перпендикулярна BC, а GH паралельна AB (GH можна було вибрати паралельній AC). Знайдемо рівняння кривої DGE, отриманої в перетині (додаток 3).

Нехай К - довільна точка цієї кривої. Проведемо KL паралельно DE, та MN паралельно BC. Площина проходить через KL і MN, буде паралельна площині основи і, як це раніше довів Аполлоній, буде перетинати конус по колу. Тому KL² = ML * LN. Але,

, , , .

А значить:

Відрізок GL - це змінна відстань проекції точки Д від вершини, члени

- постійні.

Аполлоній вибирає такий відрізок GF, що . Тоді KL ² = GF * LG. Це і є симптом - рівнянням перетину.

Якщо позначити KL = y, LG = x, GF = 2p, то ми отримаємо рівняння у звичній формі: y² = 2px.

У Аполлонія рівняння записується також словесно (грецьки): якщо GН - один з діаметрів параболи, а KL - напівхорда, пов'язана з цим діаметром, то Аполлоній відкладає GR = 2р перпендикулярно до GH. Тоді стверджується, що в кожній точці квадрат, побудований на LK (додаток 4), повинен дорівнювати прямокутнику GRSL, тобто GL * GR.

Назва «парабола» походить від назви Аполлонія рбсбвплЮ , так як задача про побудову точки цієї кривої зводиться до задачі про додаток (до Аполлонія параболу називали перетином прямокутного конуса обертання).

1.5 Висновок рівняння для еліпса та гіперболи

Аналогічно Аполлоній одержує рівняння еліпса та гіперболи.

Так, для еліпса доводиться, що LK² = пл. GLL'G' (додаток 5), де GH = 2а - деякий діаметр еліпса, LK - напівхорда, сполучена з ним, GR = 2p - постійна, причому GR перпендикулярна GH. Щоб перейти до більш звичної форми запису, зауважимо, що

, , .

Таким чином, задача про побудову точок еліпса зводиться до задачі про програму з нестачею («еліптичні завдання»), чим і пояснюється назва «еліпс» (Эллейшйт - недолік). Цю назву було введено Аполлонієм, до нього еліпс називали перетином гострокутного конуса обертання.

Аналогічно для гіперболи (додаток 6) виходить рівняння LK² = пл. GLL'G',

, .

Отже, задача про побудову точок гіперболи зводиться до задачі про програму з надлишком («гіперболічні завдання»), чим і пояснюється назва «гіпербола» (эресвплЮ - надлишок). Цю назву також було введено Аполлонієм, до нього гіперболу називали перетином тупокутного конуса обертання.

Побудований відрізок GR = 2p, що відкладається перпендикулярно діаметру GH, Аполлоній назвав «прямою стороною».

В даний час величину p іменують параметром канонічного перерізу (у випадку еліпса та гіперболи з півосями a і bp = b² : a, і коефіцієнта стиснення vp: a, перетворюючого окружність або рівносторонню гіперболу в даний еліпс або гіперболу, дорівнює b : a).

Класифікація конічних перетинів у Аполлонія була по суті, алгебраїчною.

1.6 Інваріантність конічних перерізів

Аполлоній чудово розумів (і це зближувало його з геометрами Нового часу), що така класифікація законна лише в тому випадку, якщо вид рівняння не змінюється при віднесенні кривої до іншого її діаметру і зв'язаними з нею хордами.

У першій книзі він досліджує це питання. Для цього необхідно було визначити напрямок хорд, пов'язаних з будь-яким діаметром. При стереометричному визначенні пов'язані напряму виходять автоматично. Однак для вирішення задачі, поставленої Аполлонієм, потрібно визначення, незалежне від стереометрії.

Аполлоній і робить так: він доводить, що пряма проведена через точку A канонічного перетину паралельно напрямку хорд, пов'язаних з діаметром, що проходить через A, є дотичною. Після цього він будує дотичну до параболи, еліпса, кола та гіперболи.

Нехай P - деяка точка на параболі і АА' - один з діаметрів (додаток 7). Аполлоній доводить, що дотична PR відсіче від продовження діаметра відрізок AR = AQ, якщо PL - хорда, сполучена з параболою AA'. Для гіперболи, еліпса і кола він отримує співвідношення (додаток 8), для еліпса:

RA: RA'= QA: QA'.

Потім Аполлоній перетворює рівняння еліпса та гіперболи так, що початок координат виявляється в центрі кривої, а рівняння параболи так, що початок координат поєднується з вершиною цієї кривої. Таким чином, тут осями координат служать два сполучених діаметри. Після цього він показує, що вид рівняння не змінюється, якщо в якості нових осей взяти будь-який з діаметрів кривої і дотичну, проведену в одному з його кінців.

У першій книзі Аполлоній розглядає безліч систем координат, залежне від одного параметра, так як ці системи координат визначаються однією точкою кривої - кінцем діаметру, і доводить інваріантність рівнянь еліпса, гіперболи і параболи відносно перетворень відповідних систем координат. В кінці першої книги Аполлоній показує, що можна вибрати діаметр, який буде перпендикулярний до зв'язаних з ним хорд. Тоді розглянуту криву можна уявити як перетин будь-якого тупокутного, або гострокутного, або прямокутного конусів обертання площиною, перпендикулярною до твірної. Цим встановлюється тотожність кривих, введених Аполлонієм, з канонічними перерізами, які розглядалися до нього.

Основна ідея першої книги полягає в тому, щоб за основу класифікації кривих прийняти властивості їх алгебраїчних рівнянь, і саме ті які залишаються інваріантними при допустимих перетвореннях координат. Тільки в XIX ст. Ця думка зрозуміла до кінця, коли Клейн в своїй «Ерлангенській програмі» встановив новий погляд на геометрію, як науку про інваріанти певних груп перетворень площини або простору.

1.7 Подальше дослідження конічних перетинів у працях Аполлонія

У наступних трьох книгах Аполлоній розвиває теорію конічних перетинів: з'ясовує основні властивості спряжених діаметрів асимптот, отримує рівняння гіперболи щодо асимптот (xy = const) і встановлює основні властивості фокусів еліпса та гіперболи. Тут же вперше з'являються полюси і поляри щодо конічних перетинів: якщо з точки можна провести дві дотичні до конічного перетину, то пряма з'єднує точки дотику, називається поляром даної точки, а точка полюсом цієї прямої. Якщо пересувати полюс по прямій, яка перетинає розтин, то поляр буде обертатися навколо полюса цієї прямої, якщо ж пересувати полюс по прямій, не перетинаючи розтин, то поляр теж буде обертатися навколо певної точки, причому в цьому випадку точку навколо якої обертається поляр, і пряму , по якій рухається полюс, також називають полюсом і поляром.

У четвертій книзі Аполлоній розглядає питання про кількість точок у перетині двох конічних перетинів.

У п'ятій книзі Аполлоній визначає всі нормалі до конічного перетину (перпендикуляри до дотичної, відновлені в точці дотику).

У шостій книзі вивчаються подібні конічному перетину.

У сьомій книзі містяться знамениті теореми Аполлонія: a) сума квадратів на сполучених діаметрах еліпса дорівнює сумі квадратів на головних осях; b) різницю квадратів на двох сполучених діаметрах гіперболи дорівнює різниці квадратів на головних осях; c) паралелограм, побудований на двох сполучених діаметрах еліпса або гіперболи, має постійну площу.

1.8 Подальший розвиток теорії конічних перерізів

В давнину методи дослідження кривих (такі як експеримент, дослідження документів, опитування, спостереження, деякі узагальнення) створені Аполлоном, не отримали розвитку, хоча до початку V ст. н.е. його праці вивчалися і коментувалися. Що стосується самих конічних перерізів, то вони були застосовані ще Архімедом для вирішення і дослідження кубічного рівняння. Для тихсамих цілей застосовували конічні перетини пізніші античні геометри і вчені країн світу (більшість - ісламські країни).

У математичному природознавстві довгий час не отримували ні якого застосування, якщо не вважати вивчення відображення світла від параболічних дзеркал (додаток 9). Тільки в XVII ст. настало відродження ідей Аполлонія: Ферма і Декарт перевели його метод на мову новою алгебри, заснувавши аналітичну геометрію, а Ньютон, застосував ці методи для опису і дослідження кривих третього порядку (додаток 10).

Ще раніше теорія конічних перерізів отримала саме широке застосування в механіці земних і небесних тіл: Кеплер встановив, що планети нашої сонячної системи рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце; Галілей показав, що все кинуте в порожнечі летить по параболі (додаток 11). Нарешті, у 80-х роках XVII ст. Ньютон створив свої «Математичні начала натуральної філософії», безпосередньо спираючись на праці Аполлонія.

Конічні перетини Аполлонія є прикладом математичної теорії, створеної задовго до того як вона виявилася необхідною. З цього приводу А. Ейнштейн писав: «До захоплення перед цією чудовою людиною (мов йде про Кеплера) ще одне почуття захоплення і благоговіння, але відноситься не до людини, а до загадкової гармонії природи, які відповідають простим законам. Поряд з прямою і колом серед них були еліпс та гіпербола. Останні ми бачимо реалізованими в орбітах небесних тіл, в усякому разі, з гарним наближенням».

Розділ 2. РІВНЯННЯ КРИВИХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

2.1 Коло

Аналітично коло (додаток) є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки є постійною і дорівнює . Канонічне рівняння кола з центром в точці і радіусом має вигляд:

.

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто , то рівняння кола приймає найпростіший вигляд:

.

2.2 Еліпс

Еліпс має форму опуклої замкненої майже симетричної кривої (додаток 12). Аналітично він є геометричним місцем точок площини, сума віддалей яких до двох заданих точок і (фокусів) тієї ж площини є величина стала. Цю сталу позначають , відстань між фокусами , причому . Якщо вибрати систему координат так, що вісь проходить через фокуси, а початок координат розташований посередині між ними, то рівняння еліпса набуває так званий канонічний (найпростіший) вигляд:

, .

В цьому випадку фокуси еліпса мають координати , (додаток 13). Еліпс має дві осі симетрії (осі координат), чотири вершини ( і - ліва і права відповідно, і - верхня і нижня відповідно). називаються великими півосями еліпса, - малими півосями еліпса. У випадку, коли , , , рівняння еліпса набуває вигляду:

.

Розглянемо величину

(ексцентриситет), що характеризує форму еліпса. Оскільки

,

то можна визначити, що при , еліпс більш звужується, еліпса прямує до одиниці, залишаючись меншим від неї. У випадку форма еліпса наближається до форми кола, ексцентриситет .

2.3 Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки.

Аналітично вона є геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і від даної прямої (директриси), розташованих в одній площині.

У випадку рівняння парабола симетрична осі , її вершина співпадає з точкою , значення параметра чисельно співпадає з віддаллю від фокуса до директриси, рівняння директриси , координата фокуса (додаток 14).

У випадку рівняння гілки параболи будуть спрямовані у протилежний бік по осі (додаток 15).

Існує ще дві параболи, симетричні відносно осі . Вони мають рівняння - роги параболи спрямовані вгору (додаток 16), та - роги параболи спрямовані донизу (додаток 17).

2.4 Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок ( і - фокуси) є величина стала, яка позначається , , причому .

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

При цьому вісь проходить через фокуси гіперболи, а початок координат знаходиться на середині відрізка , тобто дорівнює віддалі від фокуса до початку координат . Тому фокуси мають координати , . Осями симетрії гіперболи є осі координат, а точка - центр симетрії. Гіпербола перетинає вісь в точках та , які називаються її дійсними вершинами, а величина - дійсною великою піввіссю гіперболи. Точки та

називаються уявними вершинами гіперболи, а величина - уявною малою піввіссю (додаток 18).

Розділ 3. ДОСЛІДЖЕННЯ КРИВОЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

3.1 Теоретична частина

Нехай крива Г задана в декартовій прямокутній системі координат xOy рівнянням:

(1.1)

Якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, то криву Г називають кривою другого порядку.

Теорема 1. Для довільної кривої другого порядку Г існує така декартова прямокутна система координат XO ў Y, що в цій системі крива Г має рівняння одного з таких канонічних видів:

1) , А і b > 0 - еліпс,

2) - уявний еліпс,

3) - дві уявні пересічні прямі (крапка),

4) - гіпербола,

5) - дві пересічні прямі,

6) - парабола,

7) - дві паралельні прямі,

8) - дві уявні паралельні прямі,

9) - дві збіжні прямі.

У цих рівняннях a, b, p - позитивні параметри. Систему координат XO ў Y назвемо канонічною системою координат, а систему координат xOy - загальною системою координат.

3.2 Класифікація кривих другого порядку

У залежності від значення інваріанту прийнята наступна класифікація кривих другого порядку:

1) Якщо , то крива другого порядку Г називається кривою еліптичного типу. 2) Якщо , то крива другого порядку Г називається кривою параболічного типу. 3) Якщо , то крива другого порядку Г називається кривою гіперболічного типу.

Крива другого порядку Г називається центральною, якщо . Криві еліптичного і гіперболічного типу є центральними кривими. Центром кривої другого порядку Г називається така точка площини, по відношенню до якої точки цієї кривої розташовані симетрично парами. Точка є центром кривої другого порядку, що визначається рівнянням (1.1), в тому і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням:

(2.1)

Визначник цієї системи дорівнює . Якщо , То система має єдиний розв'язок. У цьому випадку координати центру можуть бути визначені за формулами:

; . (2.2)

З теорем 1 і 2 утворюється наступна класифікація кривих другого порядку за допомогою інваріантів:

1) еліпс ,

2) уявний еліпс .

3) дві уявні пересічні прямі (точка) ,

4) гіпербола ,

5) дві пересічні прямі (2.3),

6) парабола ,

7) дві паралельні прямі ,

8) дві уявні паралельні прямі ,

9) дві збіжні прямі .

3.3 Практична частина

Задача 1.

Найпростіший вигляд кривої другого порядку

Дано:

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку . Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.

Розв'язання:

Виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної тому, що член з відсутній:

.

Виносимо також за дужку коефіцієнт при :

.

Позначаємо:

або

Таким чином здійснюється паралельний перенос системи координат в точку . В наслідок переносу рівняння набуває вигляду:

, або .

Звідси витікає, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка . Вона направлена у від'ємному напрямі осі і симетрична відносно цієї осі.

Величина , тому фокус має нові координати:

, тобто .

Його старі координати:

, .

Якщо в даному рівнянні поставити або , то виявиться, що парабола перетинає вісь в точці , а вісь вона не перетинає.

Задача 2.

Коло. Канонічний вид. Привести до канонічного виду рівняння кола

Розв'язання:

Те, що це коло, видно із рівності коефіцієнтів при квадратах невідомих.

Поділимо всі члени рівняння на 2:

Згрупуємо члени, що містять лише і лише , та доповнимо їх до повних квадратів:

Отже, маємо канонічне рівняння кола. Центром буде точка , а радіус .

Задача 3

Крива другого порядку. Канонічний вид. Привести до канонічного виду рівняння лінії другого порядку . Визначити тип і розташування лінії. Знайти координати фокусів й інші параметри.

Розв'язання:

Після групування членів, які містять лише і , винесення за дужки коефіцієнтів при і , доповнення до повних квадратів знайдемо

Позначаємо:

або

є рівняння еліпса в новій системі координат, після почленного ділення на 144 отримаємо:

.

Напівосі дорівнюють , . Координати центра в старій системі . Віддаль фокусів від центра . Нові координати правого фокуса , а його старі координати . Нові координати лівого фокуса , а його старі координати . Координати вершин: , , , в старій системі; , , , -- в новій системі. Зробимо відповідний рисунок (додаток 20).

Задача 4.

Канонічний вид кривої другого порядку. Рівняння лінії другого порядку привести до найпростішого виду.

Розв'язання:

Після згрупування членів, які містять лише і , доповнення до повних квадратів знайдемо .

Потім позначаємо

, або

Геометрично це означає, що ми повинні зробити паралельний переніс початку координат в точку . Після операції переносу отримаємо

, або .

Це рівняння гіперболи, центр якої розташований в точці . Оскільки напівосі дорівнюють , то це рівностороння гіпербола, дійсна (фокальна) вісь якої направлена по . На ній розташовані фокуси і на віддалі від центра . Значить, нові координати фокусів , . На основі формул паралельного переносу запишемо старі координати фокусів: , . Виконаємо рисунок цієї гіперболи (додаток 21).

Задача 5

Найпростіший вид лінії другого порядку. Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку . Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.

Розв'язання:

Тому що член з відсутній, виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної :

.

Виносимо також за дужку коефіцієнт при :

.

Позначаємо:

або

Таким чином, здійснюється паралельний перенос системи координат в точку . В наслідок переносу рівняння набуває вигляду:

, або .

Звідси слідує, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка . Вона направлена у від'ємному напрямі осі і симетрична відносно цієї осі. Величина . Тому фокус має нові координати:

, тобто .

Його старі координати:

, , тобто .

Якщо в даному рівнянні поставити або , то виявиться, що парабола перетинає вісь в точці , а вісь вона не перетинає.

Зробимо відповідний рисунок (додаток 20).

Задача 6

Визначити тип кривої за допомогою інваріантів в залежності від в

Дано: Визначити тип кривої за допомогою інваріантів в залежності від в:

Обчислимо інваріанти:

Якщо , То маємо лінії еліптичного типу цих в буде еліпс:

При

При

2. Якщо то записуємо лінії параболічного типу, при цьому, щоб була парабола

:

Якщо , То отримуємо лінії гіперболічного типу: При такому рівнянні - гіпербола:

При такому рівнянні - коренів немає, тобто таких двох пересічних прямих, не існує:

Значення
Тип кривої	Уявна точка	Точка	Еліпс	Парабола	Гіпербола

Досліджуємо криву при в = 0, тоді отримаємо: Спершу повернемо на кут ц:

Знайдемо кут ц, такий щоб коефіцієнт при дорівнював 0:

Нехай

Згрупуємо члени рівняння і доповнимо до квадрата:

Зробимо перенесення системи координат:

Координати нового центру O системи координат . Тобто ми правильно визначили канонічне рівняння .

Визначимо фокус еліпса (додаток 19). Відстань між знайдемо за: У системі координат :

Ексцентричний еліпс%

Директриси:

Дослідивши загальне рівняння кривої другого порядку і привівши його до канонічного вигляду, ми встановили, що дана крива - еліпс. Ми отримали канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного перенесення і повороту координатних осей.

Розділ 4. ДОСЛІДЖЕННЯ ФОРМИ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

4.1 Теоретична частина

Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду: , де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Рівняння ах² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0 де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний від нуля. називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат.

Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат що в цій системі поверхню S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів(додаток 23):

1) - еліпсоїд,

2) - уявний еліпсоїд,

3) - уявний конус (точка),

4) - однопорожнтнний гіперболоїд,

5) - двопорожнинний гіперболоїд,

6) - конус,

7) - еліптичний параболоїд,

8) - гіперболічний параболоїд,

9) - еліптичний циліндр,

10) - уявний еліптичний циліндр,

11) - дві уявні площини, що перетинаються (вісь O'Z),

12) - гіперболічний циліндр,

13) - дві площини, що перетинаються,

14) - параболічний циліндр,

15) - дві паралельні площини,

16) - дві уявні паралельні площини,

17) - дві збіжні площині (площина XOZ).

У вище перерахованих рівняннях a, b, c, p - позитивні параметри. Систему координат називають канонічною.

Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами: Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то уявлення про поверхню можна отримати за формою ліній перетину її площинами: Z = h - паралельними координатної площини XO 'Y, X = h - паралельними координатної площини YO 'Z, Y = h - паралельними координатної площини XO 'Z.

4.2 Практична частина

Дано: ; Це еліпсоїд в прямокутній декартовій системі координат Oxyz, де осі OX, OY, OZ - осі симетрії. 1. Розглянемо лінії площинами Z = h (h = const):

(1)

Площина Z = h паралельна площині Oxy.

Рівняння проекцій на Oxy мають вигляд:

Якщо , то .

І тоді поділимо обидві частини рівняння на ,

Отримаємо: Це рівняння еліпсів з півосями

, ;

Збільшуються зі зменшенням , Центр еліпса (0; 0; h) При різних h маємо:

,

.

Якщо , Тоді і значить ліній , що задовольняють рівнянню (1) немає.

2. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами X = h:

(2)

Рівняння проекцій на YOZ. Це рівняння еліпсів з півосями:

, ;

Якщо , То a = 3, b = 2, і .

Якщо , Тоді ми отримуємо сімейство еліпсів: , ; .

, ; .

Якщо , Тоді - Це рівняння точки з координатами (h; 0; 0). Якщо , Тоді і значить ліній , що задовольняють рівнянню (2) немає. 3. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами Y = h:

(3)

Рівняння еліпсів, проекцій на YOZ і мають центри (0; h; 0). Півосі:

, Якщо , Тоді , Рівняння точок з координатами (0; h; 0). Якщо , Тоді ми отримуємо сімейство еліпсів:

, ; .

, ; .

Якщо , Тоді і значить лінії задовольняють рівнянню (3) немає. Побудуємо однополостной гіперболоїд (додаток 24)

в канонічній системі координат проаналізувавши рівняння поверхні і результати дослідження методом перетину її площинами.

Проаналізувавши рівняння еліпсоїда

, Отримали певні уявлення про форму еліпсоїда.

З рівняння випливає, що осі OX, OY, OZ - осі симетрії, площини XOY, YOZ, XOZ - площини симетрії.

Розсікаючи поверхню площинами y = h, z = h, x = h, в перетинах маємо еліпси, найбільші з яких виходять у площинах x = 0, y = 0, z = 0, півосі їх зменшуються зі збільшенням , Вершини еліпсів мають координати по осі X; по осі Y; по осі Z.

Розділ 5. ЦІКАВІ КРИВІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

5.1 Побудова цікавих кривих

1. Побудова логарифмічної спіралі (додаток 25)

Використовуючи золотий перетин, можна побудувати Спіраль Бернуллі досить простим способом. Прямокутники, чиї боку перебувають у відношенні 0,6: 1, як вважають, мають форму найбільш приємну оку; вони називаються "золотими прямокутниками". Золотий прямокутник може бути розсічений на дві частини: квадрат і менший золотий прямокутник. Від меншого прямокутника ми можемо відрізати інший квадрат, залишаючи ще менший золотий прямокутник і продовжувати процес нескінченно. Четвертинки кіл, вписаних в послідовно одержувані квадрати, формують спіраль, яка не є в точності спіраллю Бернуллі, але наше око навряд чи може відрізнити її від справжньої.

2. Побудова конхоїди Нікомеда (додаток 10.2)

Побудувати криву лінію, звану конхоїда Нікомеда, можна так: на аркуші паперу проведемо пряму AB і поза нею візьмемо точку О (полюс). Потім виберемо відрізок а, довжина якого нехай буде менше відстані від полюса до прямої. Далі, через точку О проведемо прямі і від точки перетину кожної з цих прямих з AB відкладемо на ній в обидва боки від AB відрізок а. Кожен раз отримуємо дві точки шуканої кривої. Конхоїда Нікомеда складається з двох гілок, що лежать по різні боки від АВ.3.

3. Побудова циклоїди (додаток 26)

Щоб побудувати на папері наближено одну арку циклоїди, описану при коченні обруча діаметром рівним, наприклад, трьом сантиметрам, відкладемо на прямій відрізок, рівний 3 * 3,14 = 9,42 см. Отримаємо відрізок, довжина якого дорівнює довжині обода обруча, т. е. довжині кола діаметром в три сантиметри. Розділимо далі цей відрізок на деяке число рівних частин, наприклад на 6, і для кожної точки поділу зобразимо наш обруч в тому його положенні, коли він спирається саме на цю точку. Щоб перейти з одного стану в сусіднє, обруч повинен повернутися на одну шосту повного обороту. Тому якщо в положенні 0 крейда буде знаходитися в точці М0 то в положенні 1 він буде лежати в точці М1 на одній шостій окружності від точки дотику, в положенні 2-в точці М2 на дві шостих від точки дотику і т. Д. Для креслення циклоїди залишається з'єднати точки М0, М1, М2, М3, М4, М5, М6.

3. Побудова еліпса за допомогою круга (додаток 27)

На великий осі еліпса як на діаметрі побудуємо окружність. З будь-якої точки N окружності опустимо на велику вісь перпендикуляр NP, який перетне еліпс в точці М. Очевидно, що NP більше MP деяке число разів. Виявляється, якщо взяти будь-яку іншу точку N1 окружності і виконати таку ж побудову, то N1P1, буде більше відповідного відрізка M1P1 у те ж саме число разів: NP / MP = N1P1 / M1P1.

Іншими словами, еліпс можна отримати з описаного навколо нього кола, якщо всі точки кола наблизити до великої осі еліпса, скоротивши відстані точок до великої осі в один і той же число раз. На цій властивості заснований простий спосіб побудови еліпса по точкам. Будуємо окружність, проводимо будь-якої її діаметр, а потім замінюємо точки окружності іншими, що лежать на перпендикулярах до діаметру, на відстанях, в кілька разів більше близьких до нього. Отримаємо точки еліпса, велика вісь якого збігається з діаметром кола, а мала вісь у відповідне число разів менше діаметра.

4. Побудова синусоїди (додаток 28)

Для побудови графіка синусоїди у декартовій системі координат:

1. накреслимо Декартову систему координат, де по осі абсцис будемо відкладати кут, а по осі ординат - значення функції;

2. підставляючи у формулу синусоїди y = sin*fi значення аргументу у інтервалі від -360 градусів до +360 градусів, з шагом 20 градусів, обчислимо відповідні їм значення функції;

3. за обчисленими значеннями побудуємо графік функції.

5. Побудова Рози Гранді (додаток 29)

1. накреслив полярну систему координат, позначивши полюс і полярну вісь;

2. у формулі r = a * sin (m * j) задамо значення: а = 2; m = 2 /;

3. задамо значення кута j в радіанах в інтервалі від 0 радіан до 6,28 радіан з кроком 0,34 радіана;

4. обчислимо значення функції r = 2 * sin (2 * j) відповідають значенням кута, в заданому інтервалі;

5. відкладемо з полюса промінь під кутом 34 радіана (20 градусів), прийнявши напрямок руху променя за годинниковою стрілкою;

6. відкладемо на промені значення функції, відповідні кутку 34 радіана, позначивши його точкою;

7. повторимо дії пунктів (5і 6) для всіх значень кута в заданому інтервалі;

8. за отриманими точкам побудуємо графік функції;

9. у формулі r = 2sin (2j) змінимо коефіцієнт аргументу функції, 2на 3;

10. повторимо дії 3; 4; 5; 6; 7; 8 для отриманої формули r = 2sin (3J).

6. Побудова спіралі Архімеда (додаток 30)

1. побудуємо полярну систему координат, позначивши полюс і полярну вісь;

2. у формулі графіка r = a * fi, задамо значення а = 1;

3. для формули r = fi задамо значення кута 4. В радіанах в інтервалі від 0 радіан до 8,37 радіан з кроком 0,34 радіана;

4. обчислимо значення функції r = fi для всіх заданих значень кута;

5. відкладемо промінь під кутом 0,34радіана від полярної осі, прийнявши напрямок руху променя за годинниковою стрілкою;

6. відкладемо значення функції, відповідні кутку 0,34 радіана, позначивши її точкою;

7. повторимо дії пунктів 5 і 6 для всіх заданих значень кута;

8. за отриманими точкам побудуємо графік функції.

7. Побудова незамкненого декартового листа (додаток 31)

1. побудуємо полярну систему координат, позначивши полюс і полярну вісь;

2. використавши рівняння x³ + y³ = 3xy, вирахуємо якнайбільшу кількість точок для плавності графіку;

3. за отриманими точкам побудуємо графік функції.

8. Побудова замкненого декартового листа (додаток 32)

1. побудуємо полярну систему координат, позначивши полюс і полярну вісь;

2. використавши рівняння r = (cos 2j)*0.5, вирахуємо якнайбільшу кількість точок для плавності графіку;

3. за отриманими точкам побудуємо графік функції.

9. Побудова кардіоїди або равлика Паскаля (додаток 33)

1. побудуємо полярну систему координат, позначивши полюс і полярну вісь;

2. використавши рівняння r = (1 + cos j), вирахуємо якнайбільшу кількість точок для плавності графіку;

3. за отриманими точкам побудуємо графік функції.

10. Побудова астроїди (додаток 34)

1. побудуємо полярну систему координат, позначивши полюс і полярну вісь;

2. використавши значення x = cos³t та y = sin³t, вирахуємо якнайбільшу кількість точок для плавності графіку;

3. за отриманими точкам побудуємо графік функції.

5.2 Властивоті цікавих кривих

Чудові криві часто зустрічаються в житті. Наприклад, коли ми ріжемо навскоси ковбасу, то що виходить перетин має еліптичну форму. Якщо розрізати прямий циліндр або конус навскіс так, щоб не зачепити підстави, то в розрізі вийде еліпс. Властивість еліпса використовують садівники при розмітці овальних клумб. Ще Кеплер виявив, що планети рухаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, причому Сонце знаходиться в одному з фокусів. (Див. Рис 6)

У циклоїди маса цікавих властивостей. Виявляється, наприклад, що циклоїда є кривою наібистрейшего спуску. Скочуючись по сніговій гірці, профіль якої виконаний у вигляді циклоїди, ми опинимося біля основи швидше, ніж в разі іншої форми гірки.

Циклоїда є такий кривий, по якій повинна рухатися матеріальна точка, щоб період її коливань не залежав від амплітуди. Використовуючи цю властивість, Х.Гюгенс сконструював годинник. Траєкторія кінця маятника вдає із себе циклоиду. (Див. Ріс7)

Кардіоїда використовується як в техніці для пристрою кулачкових механізмів, так і в архітектурі. Ви тільки погляньте на храм Василя Блаженного (див. Рис 8) - адже це приголомшливий синтез прямокутного і округлого! Саме синтез, де поверхню куполів то завихряется обертовим рухом, то дробиться на кванти багатогранників. Тут трикутники поєднуються з дугами, а в дивних загострених дугах вгадується особлива крива - кардіоїда.

З синусоїдою часто зустрічаємося при вивченні електромеханіки і радіотехніки. Цікаво, що проекція на площину гвинтовий лінії також буде синусоїдою. Також, нещодавно було втілено проект будинку-синусоїди (додаток 35). Альтернативний простір будинку запропонований архітектором має на увазі незвичайні візуальні експерименти сприйняття людиною просторів, що перетікають один в одного по кривим поверхонь 3D cінусоіди. Будинок передбачається 2-х поверховий. Кожен сектор синусоїди, верхній або нижній, відповідає тій чи іншій функціональній зоні (кухня-їдальня, спальня, вітальня тощо) .

Цікаво, що лемніската Бернуллі використовується при побудові трамвайних колій в тих місцях, де поїзд робить поворот малого радіусу.

Логарифмічна спіраль зустрічається в пpиpоде вже мільйони років, адже це єдина математична крива, наступна формі зростання, вираженої в "чудовій спіралі" (Spira Mirabilis), яку зазвичай називають раковиною наутилуса

Конхоїда Нікомеда застосовується для вирішення завдань про подвоєнні куба і трисекции кута (знаменита завдання про розподіл довільного кута на 3 рівні частини).

ВИСНОВКИ

Світ наш сповнений симетрії. З найдавніших часів з нею пов'язані наші уявлення про красу. Напевно, цим пояснюється інтерес людини до чудових кривим, що вабили увагу безлічі видатних мислителів.

Втім, криві - аж ніяк не тільки об'єкт наукових досліджень. Інтерес до них обумовлений не тільки їх красою і оригінальністю, але і великою практичною цінністю. Криві мають безпосереднє відношення до оточуючого нас світу. Вони проявляються зокрема в природі, науці, архітектурі.

Так що ж таке крива лінія? За допомогою проведених дослідів я зробила висновок: Крива є відбиток точки, що рухається, на площині.Такою точкою в наведених прикладах є вістрі олівця, гострий край шматка крейди і та інші.

У своїй роботі я показала різні способи отримання кривих:

побудова графіків рівнянь в полярних і декартових координатах;

креслення траєкторії точки, використовуючи різні властивості;

проведення розтину геометричних тіл площиною.

В ході даної науково-дослідної роботи я навчилася розв'язувати різні типи задач: визначення виду кривої, приведення до канонічного виду рівняння кривої другого порядку.

Дослідила загальне рівняння кривої другого порядку і приводила його до канонічного вигляду, встановлювала, що представляє з себе дана крива. Я отримала канонічне рівняння за допомогою перетворень паралельного перенесення і повороту координатних осей.

Зробивши безліч дослідів, я на практиці з'ясувала, що найбільш точну побудову кривих можна виконати за допомогою графіка, а найпростішу - перетином різних геометричних тіл площиною.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ

1. Аналітична геометрія - Бондаренко С. В.;

2. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Пер. з франц. - М.: Світ, 1986;

3. Історія математики з давніх часів до початку XIX століття. Юшкевич А.П. - М.: Наука, 1970;

4. Копилова Т. В. Конспект лекцій з лінійної алгебри;

5. Копилова Т. В. Лінійна алгебра. - Дубна: Міжнародний університет природи, суспільства і людини. «Дубна», 1996;

6. Єфімова Л. В., Демидович Б. П. Лінійна алгебра та основи математичного аналізу. - М: Наука, 1993;

7. Накладна геометря. Н.Ф. Шаригін, Л.Н. Єрганжиєва. 1995;

8. Цікаві зідачі й досліди. Я.И. Перельман. 1994;

9. Енциклопедичний словник юного математика. А.П.Савин. М.:Педагогика, 1985;

10. Математична шкатулка. Ф.Ф. Нагібін, Е.С. Канін. М., Просвещение, 1988;

11. Замечательные кривые. А.И. Маркушевич.. 1952;

12. Велика енциклопедія. Прохоров;

13. Інформатика та інформаційні технології. Угринович Н.Д. Уч.пос. для 10-11 класів - М.: БІНОМ, 2005.

ДОДАТОК





Размещено на Allbest.ru

...