Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры
Нахождение косинуса угла между векторами при заданных условиях. Схематический чертеж перпендикулярных плоскостей. Приведение к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Решение системы линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.06.2016 |
| Размер файла | 72,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры
1. Найти косинус угла между векторами и , если А(3;-2;3); В(2;0;1), С(-2;3;1). Сделать чертеж
Решение.
Найдем векторы и
и
и
Размещено на http://www.allbest.ru/
Ответ: -
косинус вектор перпендикулярный плоскость
2. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(-1;0) точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж
Решение
Пусть сторона AB квадрата ABCD лежит на прямой x+3у ?5=0 . Тогда сторона CD лежит на прямой x+3y-m=0 (m - некоторое число), так как стороны параллельны. Две другие стороны AD и BC будут лежать на прямых вида 3х-у+n1=0 и 3х-у+n2=0, которые перпендикулярны прямым x+3у ?5=0 и x+3y-m=0. Так как ABCD - квадрат, расстояние от точки пересечения диагоналей (1,0) A ? до всех его сторон, одинаково. Найдем его:
Теперь найдем неизвестные m, n1, n2, учитывая равенство расстояний от A до прямых:
,
откуда , значит m=5 (прямая АВ), или m=-7, то есть уравнение прямой CD имеет вид x+3у +7=0.
,
откуда , значит, n1=9 и n2=-3, стороны АD и BC будут лежать на прямых 3х-у+9=0 и 3х-у-3=0
Ответ: CD: x+3у +7=0; АD: 3х-у+9=0, BC : 3х-у-3=0
3. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая. Сделать схематический чертеж
a) 5x+3y-z+2=0;
б) 5x-3y-z+1=0;
в) 5x+3y+2z-3=0;
г) -x+5y+3z=0;
д) 3х+5у-z-4=0.
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой
Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны.
а)Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5x+3y-z+2=0;
прямая и плоскость перпендикулярны.
б) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5x-3y-z+1=0;
прямая и плоскость не являются перпендикулярными.
в) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5x+3y+2z-3=0; прямая и плоскость не являются перпендикулярными.
г) Проверим условие перпендикулярности для плоскости -x+5y+3z=0;
прямая и плоскость не являются перпендикулярными
д) Проверим условие перпендикулярности для плоскости
3х+5у-z-4=0 прямая и плоскость не являются перпендикулярными.
Схематический чертеж - перпендикулярность плоскости и прямой.
4. Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение. Сделайте схематический чертеж
Решение.
А=3, В=1, С=3, D=2, Е=2, F=-4
>0 эллиптический тип
Сделаем замену
А=3, В=1, С=3
или
Будем рассматривать, тогда
Получили уравнение эллипса цетнр которого смещен в т.(-0,5;-0,5) и повернутого на угол 45о
5. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса. Сделать проверку
Решение.
1)Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение:
AX = B,
где A = , X = , B = . Тогда X = A-1B. Найдем матрицу A-1.
Вычислим обратную матрицу
.
Тогда A-1 =
Получим
X = A-1B = = =.
2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= поменяем местами первую и третью строчки =
= [умножаем первую строчку на -1 и складываем со второй, умножаем первую на -3 и складываем с третьей] = = складываем вторую строку с третьей] =
Получаем систему:
Получаем х=0, у=1, z=1.
Проверка: Подставим полученные значения переменных в исходную систему уравнений:
Получаем верные равенства
Ответ: х=0, у=1, z=1
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.02.2013Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012Теоретические основы аналитической геометрии, линейной алгебры и задач оптимизации. Общая характеристика плоскости и основных поверхностей второго порядка. Особенности решения систем линейных уравнений с использованием меню "Мастер функций" MS Excel.
методичка [1,3 M], добавлен 05.07.2010Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду.
контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Решение системы уравнений методом Гаусса и с помощью встроенной функции; матричным методом и с помощью вычислительного блока Given/Find. Нахождение производных. Исследование функции и построение её графика. Критические точки и интервалы монотонности.
контрольная работа [325,8 K], добавлен 16.12.2013
