Свойства треугольника
Нахождение внутреннего угла треугольника с точностью до градуса, длины высоты, опущенной из вершины, точки пересечения высот и координат векторов. Уравнение медианы, проведенной через вершину. Система линейных неравенств, определяющих треугольник.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.06.2016 |
| Размер файла | 200,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Дан треугольник ABC, где
Найти:
длину стороны AB;
внутренний угол A с точностью до градуса;
уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;
точку пересечения высот;
уравнение медианы, проведенной через вершину C;
систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;
сделать чертеж.
треугольник угол высота медиана
Решение.
1) Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
.
2) Внутренний угол A с точностью до градуса.
Найдем координаты векторов .
AB= ( x b - x a, y b - y a) = ( 2 - 5, 0 - (-4) ) = ( -3, 4).
AC= ( x c - x a, y c - y a) = ( 8 - 5, -3 - (-4) ) = ( 3, 1).
Находим длину AC
.
Тогда искомый угол находим по его косинусу:
cos A =-5 = -0.3165
A = arccos (-0,3165) = 108,4 o
3) Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C.
Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:
Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде:
x - x a = y - y a
x b - x a y b - y a
Подставим координаты точек A (5, -4) и B (2, 0) в уравнение прямой (1).
x - 5 = y - (-4)
2 - 5 0 - (-4)
4 ( x - 5 ) = -3 ( y + 4 )
4 x - 20 = - 3 y - 12
4 x + 3 y - 8 = 0 - уравнение прямой AB.
Отсюда следует, что уравнение АВ можно записать в виде: Её угловой коэффициент Тогда угловой коэффициент высоты, опущенной из вершины C а уравнение высоты то есть, 3 x - 4 y - 36 = 0 - уравнение высоты CH.
Длина высоты есть расстояние от точки С до прямой АВ: 4 x + 3 y - 8 = 0; A=4; B=3:
4. Точка пересечения высот.
Аналогично найдем уравнение высоты АМ.
Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:
Уравнение прямой проходящей через точки C (x c, y c) и B (x b, y b) в общем виде:
x - x c = y - y c
Подставим координаты точек C (8, -3) и B (2, 0) в уравнение прямой (1)
x - 8 = y - (-3)
x - 8 = y + 3
Отсюда 2 x - y - 14 = 0 - уравнение высоты AM
Точку пересечения высот К находим, решая систему уравнений:
Решая системы методом исключения, получаем K(4;-6).
5. Уравнение медианы, проведенной через вершину C.
Находим середину стороны АВ,
применяя формулы деления отрезка на две равные части:
;
Следовательно,
; ; Е(18;5).
Подставив в (1) координаты точек С и Е, находим уравнение медианы:
x - 8 = y - (-3)
x - 8 = y + 3
2 ( x - 8 ) = -9 ( y + 3 )
2 x - 16 = - 9 y - 27
2 x + 9 y + 11 = 0 - уравнение медианы CN.
6. Cистема линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
Выпишем уравнения сторон треугольника:
4 x + 3 y - 8 = 0 - уравнение прямой AB.
x - 3 y - 17 = 0 - уравнение прямой AC.
x + 2 y - 2 = 0 - уравнение прямой BС.
Тогда система линейных неравенств, определяющих треугольник ABC, имеет вид:
Задание 2
Даны векторы Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.
1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).
Решение. Покажем, что векторы 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) образуют базис. Найдём определитель, составленный из координат этих векторов.
Выполняем элементарные преобразования:
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на(-1)
Вычтем из строки 3 строку 2, Вычтем из строки 4 строку 2
Поменяем местами строки 3 и 4.
При этом определитель изменит знак на противоположный:
Т.к. определитель не равен нулю, следовательно, векторы линейно независимы и образуют базис.
Разложим вектор по векторам данного базиса: , здесь , , ? искомые координаты вектора в базисе , , . В координатной форме это уравнение (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) принимает вид:
Решаем систему методом Гаусса:
Запишем систему в виде расширенной матрицы
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
.
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой. Умножим 3-ую строку на 2. Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Умножим 1-ую строку на 3. Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на 5. Умножим 3-ую строку на 3. Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Из 1-ой строки выражаем ?4
? 4 = 15/15 = 1
Из 2-ой строки выражаем ? 3
? 3 = 2/-2 = -1
Из 3-ой строки выражаем ? 2
? 2 = 10/5 = 2
Из 4-ой строки выражаем ? 1
? 1 = 0/2 = 0.
Таким образом, .
Задание 3
Найти производные функций:
Задание 4
Исследовать функцию и построить её график.
y =
Решение.
1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, кроме точки х=1, то есть, D(y):
2. Функция имеет разрыв при х=1, следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.
3. При исследовании на четность, нечетность найдем y(-x).
Следовательно, функция не является нечетной либо четной. Функция также не периодическая.
4. Находим интервалы возрастания, убывания и экстремум функции, для этого:
а) найдем производную функции
б) Приравняем производную к нулю, решим уравнение и найдем критические точки I рода
-- критические точки.
в) Критическими точками и точкой разрыва, x=1, разобьем область определения на интервалы и определим знак производной в каждом из интервалов
Рассматривая знаки производной по интервалам, получаем, что при первая производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.
При первая производная отрицательна, значит, функция убывает.
г) Вычисляем значение функции в точках экстремума:
5. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
а) найдем производную второго порядка.
б) вторая производная имеет разрыв в точке х=1.
в) определим знак второй производной в каждом интервале
Расставляя знаки второй производной по интервалам, получаем, что в интервале , график функции выпуклый, в интервале график функции вогнутый.
6. Выясним наличие наклонных асимптот у графика данной функции.
Уравнение асимптоты ищем в виде
y=k x+b, где ; .
Следовательно, - наклонная асимптота.
Строим график функции
Задание 5
Найти неопределённые интегралы. Результаты проверить дифференцированием:
проверка:
проверка:
Интегрируем по частям по формуле
Проверка:
Преобразуем подынтегральную функцию:
Проверка:
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
и .
Решение.
Построим график и, решая уравнение графически, имеем точки пересечения функций:
Ответ: 2 ? кв.ед.
Размещено на Allbest.ur
...Подобные документы
Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Особенности изложения школьного курса по математике по теме "Многоуголная система координат". Способы нахождения точки, которые лежат на оси абсцисс. Построение треугольника по трем точкам. Как найти координаты точек пересечения сторон треугольника.
презентация [442,0 K], добавлен 21.04.2011Определение уравнения линии, уравнения и длины высоты, площади треугольника. Расчёт длины ребра, уравнения плоскости и объема пирамиды. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
контрольная работа [489,4 K], добавлен 25.03.2014Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.
контрольная работа [168,7 K], добавлен 26.01.2010Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.
контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011Расчет площади равнобедренного и равностороннего треугольника. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Расчет размеров медианы, биссектрисы.
презентация [68,7 K], добавлен 16.04.2011Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.
задача [21,9 K], добавлен 08.11.2010Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.
курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015Геометрическая фигура, образованная тремя фигурами, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Основные формулы площади треугольника. Решение задач на нахождение площади треугольника через две его стороны и высоту, проведенную к основанию.
презентация [240,0 K], добавлен 21.04.2015Медианы треугольника и их свойства. Открытие немецкого математика Г. Лейбница. Применение медиан в математической статистике. Основная сущность понятия "медиана тетраедра". Шесть доказательств теоремы о медианах. Теорема о медианах треугольника.
реферат [44,3 K], добавлен 05.01.2010Свойства изящной математической системы - треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Расстановка шаров в бильярде как классический пример треугольника Паскаля. Изображение треугольника Паскаля в виде точек.
презентация [382,4 K], добавлен 16.12.2010Ознакомление с понятиями синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника и основным тригонометрическим тождеством. Нахождение площади равнобедренного прямоугольного треугольная по заданному основанию и прилегающему к нему углу.
конспект урока [67,9 K], добавлен 17.05.2010Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
контрольная работа [94,9 K], добавлен 12.05.2012Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.
контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013Система линейных неравенств, определяющих треугольник. Доказательство базиса четырехмерного пространства и определение координат вектора. Исследование функций на периодичность, монотонность и экстремум. Площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [174,5 K], добавлен 26.01.2010Использование градуированной веревки при построении перпендикуляра к прямой. Нахождение середины отрезка. Построение треугольника по двум сторонам и высоте к третьей стороне. Нахождение точки пересечения двух прямых. Построение биссектрисы угла.
научная работа [320,4 K], добавлен 07.02.2010Методика и основные этапы построения треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них. Математическое и графическое изображение решения данного задания. Исследование условий для решения задачи и определение условия ее нерешаемости.
презентация [90,8 K], добавлен 11.01.2011
