Асимптотический ряд
Основные понятия, определения и теоремы асимптотической последовательности и асимптотического ряда. Примеры гамма-функций, интегральных дзета-функций Римана и функций ошибок. Общие свойства обобщённого разложения с обычным асимптотическим разложением.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.09.2016 |
| Размер файла | 1,5 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД
Содержание
Введение
1. Теоритическая часть
1.1 Основные понятия
1.1.1 Понятие асимптотической последовательности
1.1.2 Понятие асимптотического ряда. Теоремы
1.2 Свойства асимптотических рядов
2. Практическая часть
2.1 Примеры
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В данной курсовой работе рассмотрены асимптотические разложения, основные понятия и определения, основные теоремы. Чтобы более подробно изучить тему, были рассмотрены асимптотические последовательности. Приведены примеры различных асимптотических рядов и доказательства некоторых теорем.
1. Теоритическая часть
1.1 Основные понятия
1.1.1 Понятие асимптотической последовательности
Асимптотические последовательности. Пусть функции , определены на множестве М, имеющем предельную точку , и пусть в некоторой окрестности в точке .
Определение 1. Последовательность называется асимптотической при , если при любом целом
(1.1)
Примеры асимптотических последовательностей:
Асимптотические последовательности такого вида называются степенными.
Свойства асимптотических последовательностей:
Любая подпоследовательность асимптотической последовательности является асимптотической последовательностью.
Пусть функция отлична от нуля в некоторой окрестности точки при , а - асимптотическая последовательность при . Тогда последовательность является асимптотической при .
Пусть последовательности , - асимптотические (при ). Тогда последовательность является асимптотической при .
1.1.2 Понятие асимптотического ряда. Теоремы
Асимптотические разложения
Пусть - функция действительной переменной -- формальный степенной ряд по степеням x (сходящийся или расходящийся), -- разность между и -й частичной суммой этого ряда . Таким образом,
(2.1)
Определение. Будем говорить, что ряд является асимптотическим разложение функции и записывать в виде
(2.2)
Если
(2.3)
Замечание 2.1. Если соотношение (2.3) выполняется только при
n N , то говорят, что (2.2) является асимптотическим разложением до N -го члена.
Замечание 2.2. В (2.2) знак употребляется в новом смысле.
Чтобы избежать возможных недоразумений, в (2.2) используют символ , оставляя знак для асимптотических приближений. Из теоремы об оценке остатка сходящегося степенного ряда ( с заменой на ) видно, что если ряд сходится при всех достаточно больших x, то он является асимптотическим разложением его суммы.
(2.4)
Теорема 2.1. Для того, чтобы функция обладала асимптотическим разложением вида (2.2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Доказательство. Достаточность. Если выполняются условия (2.4), то
Необходимость. Пусть имеется асимптотическое разложение вида
(2.2). Тогда в силу имеем :
Это соотношение эквивалентно (2.4). ч.т.д
Следствие 2.2. (свойство единственности). Для заданной функции и области существует не более одного разложения вида (2.2).
В самом деле, из формул (2.4) коэффициент асимптотического разложения (если оно существует) определяется однозначно.
Замечание 2.3. Утверждение, обратное следствию, неверно: каждому асимптотическому разложению отвечает не одна функция, а целый класс функций.
1.2 Свойства асимптотических рядов
Пусть функции и имеют при асимптотич. разложения:
Тогда
вычисляются по тем же правилам, что и для сходящихся степенных рядов.
4) если функция непрерывна при , то
5) А. с. р. не всегда можно дифференцировать, однако, если имеет непрерывную производную, которая разлагается в А. с. р., то
Примеры А. с. р.:
где - Ганкеля функция нулевого порядка (приведенные А. с. р. расходятся при всех х).
Аналогичные утверждения имеют место и для функций комплексного переменного при вокрестности бесконечно удаленной точки или внутри угла. В случае комплексного переменного утверждение5) имеет следующий вид: если функция регулярна в области и если равномерно по при в любом замкнутом угле, содержащемся в D, то равномерно по при в любом замкнутом угле, содержащемся в D.
2. Практическая часть
2.1 Примеры
Гамма-функция
Интегральная показательная функция
Дзета-функция Римана
где -- числа Бернулли
Это разложение справедливо для всех комплексных s.
Функция ошибок
Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность , что
Этот факт отражается:
Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением
Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:
Асимптотические разложения в окрестностях бесконечности. асимптотический последовательность ряд
Функция при больших значениях аргумента x>0. Найдем асимптотическое разложение функции в окрестности бесконечности. Интегрируем по частям, находим
С интегралом производим те же действия, и т.д., после (n+1)-кратного применения этого приема получим следующее разложение для
Для остаточного члена справедлива следующая оценка:
Обозначим через величину, для которой выполняется "соотношение порядка":
=> (в силу приведенной оценки) разложение принимает вид
Так как то, отбрасывая член можно написать, что
Последние 2 соотношения называются асимптотическими разложениями или, иначе, "в окрестности бесконечности"
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены основные понятия об асимптотических разложениях, свойства и основные теоремы. Приведены доказательства некоторых теорем. Так же рассмотрено асимптотическое разложение Эрдейи и асимптотическое разложение в окрестности бесконечности.
Список использованной литературы
1. Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. -- М.: Изд-во МГУ, 1987.-- 358 с.
2. Интернет ресурс: http://www.pskgu.ru/ebooks/budakfom/budakfom_12_01.pdf https://ru.wikipedia.org/wiki/Асимптотическое_разложение
3. Электронные учебники по математическому анализу
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Свойства дзета-функции Римана для действительного аргумента. Дзета-функцию как функция мнимого аргумента. Дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе, в теории чисел, в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду.
курсовая работа [263,2 K], добавлен 29.05.2006Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.
курсовая работа [86,9 K], добавлен 28.05.2007Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
курсовая работа [65,6 K], добавлен 15.06.2011Дзета-функція Римана та її застосування в математичному аналізі. Оцінка поводження дзета-функції в околиці одиниці. Теорія рядів Фур'є. Абсолютна збіжність інтеграла. Функціональне рівняння дзета-функції. Властивості функції в речовинній області.
курсовая работа [329,1 K], добавлен 28.12.2010Понятие числовых функций с областью определения, аргумент и области их значений, свойства и графическое выражение. Определение четных и нечетных функций, периодичность тригонометрических функций. Свойства, используемые при построении их графиков.
презентация [22,9 K], добавлен 13.12.2011Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 26.04.2011Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011Общие свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Параллелограммы периодов, основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка. Вычисление длины дуги эллипса, эллиптические координаты, сумма вычетов эллиптической функции.
курсовая работа [289,0 K], добавлен 26.04.2011Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Определение функций "бета", "гамма". Эйлеров интеграл первого и второго рода. Связь между функциями "бета" и "гамма". Формула Эйлера, интеграл Раабе. Основные свойства гамма-функции при ее определении. Отличие дифференцирования от интегрирования.
дипломная работа [167,9 K], добавлен 08.10.2011Ознакомление с теоремами теории аналитических функций. Определение и основные свойства индекса функции. Постановка и методы решения однородной и неоднородной задач Римана для односвязной и многосвязной областей. Принципы нахождения функции сдвига.
курсовая работа [485,6 K], добавлен 20.12.2011Общая характеристика математической модели радиотехнического сигнала. Значение спектрального разложения функций в радиотехнике. Работа вещественных одномерных детерминированных сигналов и система синусоидальных и косинусоидальных гармонических функций.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.08.2011Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015Полнота и замкнутость системы булевых функций. Алгоритм построения таблицы истинности двойственной функции. Класс L линейных функций, сущность полинома Жегалкина. Распознавание монотонной функции по вектору ее значений. Доказательство теоремы Поста.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 20.08.2014Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.
презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013
