Еліптичні інтеграли

Размещено на http://www.allbest.ru//

ВСТУП

Еліптичні інтеграли з'явилися у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса чи деякої її частини.Вперше еліптичний інтеграл був досліджений ДжуліоФаніано іЛеонардом Ейлером.

Еліптичні інтеграли -- це інтеграли виду

Та

де -- деяка раціональна функція, у випадку, коли ці інтеграли не виражаються через елементарні функції, а -- деяка стала. У результаті ряду перетворень можна кожен з таких інтегралів звести до елементарних функцій і до еліптичних інтегралів першого, другого та третього роду, відповідно.

Дана курсова робота присвячена розгляданню елептичних інтегралів 1-го, 2-го і 3-го роду.



1.ЗАГАЛЬНІ ЗАУВАЖЕННЯ ТА ОЗНАЧЕННЯ

1.1 Інтеграл у випадку унікурсальної кривої

1.1.1 Абелеві інтеграли

Розглянемо інтеграл виду

(1.1)

де yце алгебраїчна функція від х, тобто задовольняє алгебраїчному рівнянню

(1.2)

(тутP- цілий відносноxта y многочлен).

Інтеграли подібного роду отримали назву абелевих інтегралів. До їх числа відносяться інтеграли

Дійсно, функції

задовольняють, відповідно, алгебраїчним рівнянням

) = 0,

Виходячи на геометричну точку зору, абелев інтеграл (1.1) вважають зв'язаним з тою алгебраїчною кривою, яка визначається рівнянням (1.2). Наприклад, інтеграл

(1.3)

зв'язаний з кривою другого порядку

1.1.2 Параметрично задана крива

Якщо крива (2) може бути представлена параметрично

так, що функції є раціональними, то в інтегралі (1.1) стає можливою раціоналізація підінтегрального виразу: підстановкою

вона зводиться до виду

До цього класу відносяться обидва вище згадані випадки. В окремому випадку,можливість раціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу (1.3) зв'язана безпосередньо з тим фактом, що крива другого порядку унікурсальна.

Очевидно, що змінні x і t зв'язані алгебраїчним рівнянням, так що t являється алгебраїчною функцією від х. Якщо розширити клас елементарних функцій, включаючи в нього і всі алгебраїчні функції, то можна сказати, що в випадку унікурсальності кривої (1.2), інтеграл (1.1) завжди виражається через елементарні функції в кінцевому виді.

1.2 Важливий клас інтегралів

1.2.1 Многочлени під коренем

Але подібні обставини являються в деякому розумінні винятком. В загальному випадку крива (1.2) не унікурсальна, тоді ж, як можна довести, інтеграл (1.1) заздалегідь не завжди, тобто не при всякій функції R, може бути вираженим в кінцевому виді (проте не виключена можливість цього при окремих конкретних R).

З цим ми зустрічаємося уже при розгляді важливого класу інтегралів

(1.4)

які містять квадратний корінь з многочленів 3-ої або 4-ої степені і звичайно прилягаючих до інтегралів (1.3). Інтеграли виду (1.4) , як правило , уже не виражаються в кінцевому вигляді через елементарні функції навіть при розширеному розумінні цього терміну. Тому, знайомство з ними ми віднесли до заключного параграфу, щоб не переривати головної лінії викладення даної глави, присвяченої, головним чином вивченню класів інтегралів, що беруться в кінцевому вигляді.

Многочлени під коренем в (1.4) передбачаються такими, що мають дійсні коефіцієнти. Крім того, ми завжди будемо вважати, що у них не має кратних коренів, бо інакше, можна було б винести лінійний множник з під знаку кореня; питання звелося б до інтегрування виразу раніше вивчених типів, і інтеграл виразився б у кінцевому вигляді. Кінцева обставина може мати місце інколи і при відсутності кратних коренів; наприклад, легко перевірити, що

1.2.2 Еліптичні інтеграли

Інтеграли від виразів типу (1.4) взагалі називають еліптичними в зв'язку з тією обставиною, що вперше з ними зіткнулися при розв'язанні задачі про спрямування еліпсу:

Еліпс:

Зручніше буде взяти рівняння еліпса в параметричній формі

Очевидно,

де? - числовий ексцентриситет еліпса.

Обчислюючи довжину дуги еліпса від верхнього кінця малої осі до будь-якої його точки в першому квадранті, отримаємо

Таким чином, довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом 2-го роду; як вказувалося, цей факт послужив поводом для самої назви «еліптичний».

В частковому випадку, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичний інтеграл

Між іншим, цю назву, в прямому розумінні, відносять зазвичай лише до таких із них, що не беруться в кінцевому вигляді; інші ж, подібні тільки що приведеним, називають псевдоеліптичними.

Вивчення і табулювання ( тобто складання таблиць значень) інтегралів від виразів (1.4) при довільних коефіцієнтах a, b, c,…, розуміється складно. Тому звичайно бажання звести всі ці інтеграли, до небагатьох таких, до складу яких входило б по можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів).

Це досягається за допомогою елементарних перетворень, які ми розглянемо в наступних пунктах.



2 .ДОПОМІЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

2.1 Алгебраїчне рівняння непарної степені

Зазначимо перш за все, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4-ї степені під коренем, так як до нього легко приводиться випадок, коли під коренем многочлен 3-ї степені.

Розглянемо, взагалі, алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами)

.

При достатньо великих по абсолютній величині значеннях хмногочлен має знак старшого члена, тобто при додатньомух - знак a?, а при від'ємному х - обернений знак. Так, як многочлен це неперервна функція, то, міняючи знак, він в проміжній точці необхідно перетворюється в 0. Звідси: всяке алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами) має принаймні один дійсний корінь.

Дійсно, многочлен 3-ї степені з дійсними коефіцієнтами необхідно має дійсний корінь, скажемо л, і, відповідно, допускає дійсне розкладання

2.2 Підстановка

Підстановка ( або) і здійснює потрібне приведення

В першу чергу ми будемо розглядати лише диференціали, що мають корінь із многочленів 4-ї степені. По відомій теоремі алгебри, многочлен четвертої степені з дійсними коефіцієнтами може бути представленим у виді добутку двох квадратних трьохчленів з дійсними коефіцієнтами:

(2.1)

Постараємось тепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першої степені. Якщо , то наша ціль досягається простою підстановкою

2.3 Дрібно-лінійна підстановка

Нехай тепер ; в цьому випадку ми скористаємось дробно-лінійною підстановкою

Можливість встановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів м і н зумовлена нерівністю

(2.2)

Нехай же тепер трьохчлени (1.5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший - корені б і в, а другий корені г і д.

Підставляючи

можна переписати (1.6) у вигляді

а для здійснення цієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів не перемежались (наприклад, щоб було б > в > г > д ), що в наших можливостях.

Таким чином, належно вибравши м і н, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо

що можна також (якщо виключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтівM, N, M', N'виявляються нулем) переписати у виді

при A, mim'відмінних від нуля.

2.4 Зведення до інтеграла від раціональної функції

Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого



Розкладемо тепер раціональну функцію R*(t)на два доданки

Перший доданок не міняє свого значення при заміні tна -t, значить, зводиться до раціональної функції від tІ: R?(tІ); другий же при вказаній заміні міняє знак, і тому має вид R?(tІ)t?. Розглянутий інтеграл представиться в формі суми інтегралів

Але другий із них підстановкою u=tІвідразу зводиться до елементарного інтегралу

і береться в кінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл (2.3)



3. ПРИВЕДЕННЯ ДО КАНОНІЧНОЇ ФОРМИ

Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (2.3) може бути представленим у формі

(3.1)

де k - деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною.

Введемо скорочено

Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннямиt. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m' і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (2.3) в канонічну форму.

1) A=+1, m= --hІ, m'= --h'І Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб булоабо . Припускаємо, що

Тоді



так, що за kтут треба прийняти

2) )

Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями.

Припускаємо, що

де 0<z ? 1.

Тоді

і можна взяти

3) . Зміна tнічим не обмежена. Припустимо

В цьому випадку

4) Зміна tобмежена нерівністю

Беремо

так, що

.

5) Змінна t може змінюватися лише між i

Припустимо

Маємо

Цим вичерпуються всі можливі випадки, тому що у випадку, колиі обидва числа , радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник ми не говорили нічого, тому що у всіх випадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від zІ.

Відмітимо ще, що розглядаючи інтеграл (3.1), ми можемо обмежуватися значеннями z<1; випадокприводиться до цього підстановкою, де ?<1.



4. ЕЛІПТИЧНІ ІНТЕГРАЛИ 1-ГО, 2-ГО І 3-ГО РОДУ

Тепер залишається вивчити найпростіші з інтегралів виду (3.1), до яких можна було б звести всі інтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всі еліптичні інтеграли.

Виділимо з раціональної функції R(x), що зустрічається в підінтегральному виразі (3.1) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить до його складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об'єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді суми степенівx?(n = 0, 1, 2,…) і дробів виду(m =1, 2, 3,…), де а може бути і уявним числом, помножених на числові коефіцієнти. Звідси ясно, що інтеграл (3.1), в загальному випадку, являється лінійним агрегатом наступних інтегралів:

Зупинимося на інтегралахI?. Якщо проінтегрувати тотожність

то отримаємо рекурентне співвідношення

(4.1)

що зв'язують три послідовні інтеграли I. Припускаючи що тут r=2, виразимоI через I? таI?; якщо взяти r=3 і замістьI підставити його вираз черезI? таI?, то навітьIвиразиться через ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожен з інтегралівI? виражається через I? таI? і далі враховуючи (4.1), можна встановити і вигляд з'єднуючої їх формули

де a?Ib? -- постійні, а q (z)є непарний многочлен степені (2r-3). Звідси стає зрозумілим, що якщо P?(x) є многочлен r- ї степені відх, то

деa і b - постійні, а Q?(х) є деякий многочлен (r-2) - ї степені від х. Визначення цих постійних і коефіцієнтів многочлена Q може бути виконано (якщо многочлен Ркоректно заданий за методом невизначених коефіцієнтів.)

Зауважимо, що з (4.1) можна було б виразити черезI? таI?інтеграли I? і при від'ємних значеннях (r = -1, -2, …), так що в інтегралахH?досить обмежитись випадком

Переходячи до інтегралівH? (скажімо, при дійсних a), подібним чином встановимо для них рекурентне співвідношення

справедливе і при від'ємних і нульовому значеннях u.

Звідси всіH? виражаються через три з них:

тобто, кінцево черезI?, I? та H?.

Підкреслимо,що усе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а.

Так в результаті усіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок - з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:

( останній інтеграл виходить із H? введенням, замість нового параметра . Ці інтеграли, як показав Ліувіль , в кінцевому виді вже не беруться. Лежандр їх назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметрk, а останній, крім нього, ще (комплексний) параметр h.

Лежандр вніс у ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку( змінюється від 0 до ). При цьому перший із них безпосередньо переходить в інтеграл

еліптичний інтеграл многочлен

(4.3)

Другий перетворюється так:

тобто приводиться до попереднього інтеграла і до нового інтеграла

Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в

. (4.5)



Інтеграли (4.3), (4.4) і (4.5) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду - в формі Лежандра.

Із них особливо важливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ці інтеграли при перетворюються в нуль, і тим зафіксувати вільні сталі, що містяться в них, то отримаємо дві доволі визначені функції від, які Лежандр позначив відповідно через F(k, ц) і E(k, ц). Тут, крім незалежної змінної, вказаний також параметр k, що називається модулем, який входить у вирази цих функцій.

Лежандром були складені обширні таблиці значень цих функцій при різних і різних k. В них не тільки аргумент ,який трактуються як кут, що виражається в градусах, але і модуль kрозглядається як синус деякого кутаиякий і вказується в таблиці замість модуля, причому також в градусах.

Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.п.

Дякуючи цьому функції F і EЛежандра ввійшли в сім'ю функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями.



ВИСНОВКИ

В результаті усіх наших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок - з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів Лежандра:

А за допомогою підстановки ( змінюється від 0 до) ці інтеграли перетворюються в такі:

які також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду в формі Лежандра, значення яких можна знайти в таблицях.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Григорий Михайлович Фихтенгольц. Том I.- М.: Наука, 1966. - 800 с.

2.ФихтенгольцГ.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Григорий Михайлович Фихтенгольц. Том II.- М.: Наука, 1966. - 800 с.

3. Корн Г.Справочник по математике для научныхработников иинженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1973. - 832 с.

4. Бронштейн И.Н.Справочник по математике для инженеров иучащихся вузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1980. -976 с.



ДОДАТОК А

Еліптичні інтеграли першого роду

Еліптичні інтеграли першого роду
	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1746	0.1746	0.1748	0.1749	0.1751	0.1752	0.1753	0.1754	0.1754
20	0.3491	0.3493	0.3499	0.3508	0.3520	0.3533	0.3545	0.3555	0.3561	0.3564
30	0.5236	0.5243	0.5263	0.5294	0.5334	0.5379	0.5422	0.5459	0.5484	0.5493
40	0.6981	0.6997	0.7043	0.7116	0.7213	0.7323	0.7436	0.7535	0.7604	0.7629
50	0.8727	0.8756	0.8842	0.8982	0.9173	0.9401	0.9647	0.9876	1.0044	1.0107
60	1.0472	1.0519	1.0660	1.0896	1.1226	1.1643	1.2126	1.2619	1.3014	1.3170
70	1.2217	1.2286	1.2495	1.2853	1.3372	1.4068	1.4944	1.5959	1.6918	1.7354
80	1.3963	1.4056	1.4344	1.4846	1.5597	1.6660	1.8125	2.0119	2.2653	2.4362
90	1.5708	1.5828	1.6200	1.6858	1.7868	1.9356	2.1565	2.5046	3.1534



ДОДАТОК Б

Еліптичні інтеграли другого роду

Еліптичні інтеграли другого роду
	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1745	0.1744	0.1743	0.1742	0.1740	0.1739	0.1738	0.1737	0.1736
20	0.3491	0.3489	0.3483	0.3473	0.3462	0.3450	0.3438	0.3429	0.3422	0.3420
30	0.5236	0.5229	0.5209	0.5179	0.5141	0.5100	0.5061	0.5029	0.5007	0.5000
40	0.6981	0.6966	0.6921	0.6851	0.6763	0.6667	0.6575	0.6497	0.6446	0.6428
50	0.8727	0.8698	0.8614	0.8483	0.8317	0.8134	0.7954	0.7801	0.7697	0.7660
60	1.0472	1.0426	1.0290	1.0076	0.9801	0.9493	0.9184	0.8914	0.8728	0.8660
70	1.2217	1.2149	1.1949	1.1632	1.1221	1.0750	1.0266	0.9830	0.9514	0.9397
80	1.3963	1.3870	1.3597	1.3161	1.2590	1.1926	1.1225	1.0565	1.0054	0.9848
90	1.5708	1.5589	1.5238	1.4675	1.3931	1.3055	1.2111	1.1184	1.0401	1.0000



ДОДАТОК В

Повні еліптичні інтеграли

Повні еліптичн іінтеграли
°			°			°
0	1.5708	1.5708	30	1.6858	1.4675	60	2.1565	1.2111
1	1.5709	1.5707	31	1.6941	1.4608	61	2.1842	1.2015
2	1.5713	1.5703	32	1.7028	1.4539	62	2.2132	1.1920
3	1.5719	1.5697	33	1.7119	1.4469	63	2.2435	1.1826
4	1.5727	1.5689	34	1.7214	1.4397	64	2.2754	1.1732
5	1.5738	1.5678	35	1.7312	1.4323	65	2.3088	1.1638
6	1.5751	1.5665	36	1.7415	1.4248	66	2.3439	1.1545
7	1.5767	1.5649	37	1.7522	1.4171	67	2.3809	1.1453
8	1.5785	1.5632	38	1.7633	1.4092	68	2.4198	1.1362
9	1.5805	1.5611	39	1.7748	1.4013	69	2.4610	1.1272
10	1.5828	1.5589	40	1.7868	1.3931	70	2.5046	1.1184
11	1.5854	1.5564	41	1.7992	1.3849	71	2.5507	1.1096
12	1.5882	1.5537	42	1.8122	1.3765	72	2.5998	1.1011
13	1.5913	1.5507	43	1.8256	1.3680	73	2.6521	1.0927
14	1.5946	1.5476	44	1.8396	1.3594	74	2.7081	1.0844
15	1.5981	1.5442	45	1.8541	1.3506	75	2.7681	1.0764
16	1.6020	1.5405	46	1.8691	1.3418	76	2.8327	1.0686
17	1.6061	1.5367	47	1.8848	1.3329	77	2.9026	1.0611
18	1.6105	1.5326	48	1.9011	1.3238	78	2.9786	1.0538
19	1.6151	1.5283	49	1.9180	1.3147	79	3.0617	1.0468
20	1.6200	1.5238	50	1.9356	1.3055	80	3.1534	1.0401
21	1.6252	1.5191	51	1.9539	1.2963	81	3.2553	1.0338
22	1.6307	1.5141	52	1.9729	1.2870	82	3.3699	1.0278
23	1.6365	1.5090	53	1.9927	1.2776	83	3.5004	1.0223
24	1.6426	1.5037	54	2.0133	1.2681	84	3.6519	1.0172
25	1.6490	1.4981	55	2.0347	1.2587	85	3.8317	1.0127
26	1.6557	1.4924	56	2.0571	1.2492	86	4.0528	1.0086
27	1.6627	1.4864	57	2.0804	1.2397	87	4.3387	1.0053
28	1.6701	1.4803	58	2.1047	1.2301	88	4.7427	1.0026
29	1.6777	1.4740	59	2.1300	1.2206	89	5.4349	1.0008
30	1.6858	1.4675	60	2.1565	1.2111	90		1.0000

Размещено на Allbest.ru

...