Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей № 6 г. Благовещенск»

Школьная научно-практическая конференция исследовательских работ номинация «Математика»

«Блез Паскаль и его удивительный треугольник»

Выполнил: ученик 7 «Г» класса

Цидерков Константин

Руководитель: учитель математики

Карпова Алеся Владимировна

г. Благовещенск 2017 год

Содержание

Введение

1. Биография Блеза Паскаля

2. Открытия Паскаля

2.1 Арифмометр Паскаля

2.2 Изучение атмосферного давления

2.3 Теория вероятности

3. Треугольник Паскаля

3.1 Определение

3.2 Свойства

3.3.История

3.4 Построение треугольника Паскаля

3.5 Треугольник Паскаля в шахматах

4. Решение задач с применением треугольника Паскаля

Заключение

Библиографический список

Введение

паскаль треугольник задача решение

Цель:

Изучение биографии Блеза Паскаля.

Изучение роли понятия треугольника Паскаля при решении задач, его свойств, истории и построения.

Гипотеза исследования:

Умение применять разнообразные методы, наиболее рациональные способы решения задач с применением треугольника Паскаля.

Методы исследования:

Анализ.

Сбор информации.

Задачи:

Собрать и обобщить теоретические сведения по теме исследования;

Классифицировать приемы, используемые при решении задач с использованием треугольника Паскаля;

Провести исследование по выявлению задач решаемых с помощью треугольника Паскаля.

Сделать заключение.

Актуальность:

Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач, в профессиональной деятельности.

1. Биография Блеза Паскаля

Блез Паскаль (1623 -- 1662) -- французский математик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Блез рос одарённым ребёнком. Отец самостоятельно занимался образованием мальчика, он сам неплохо разбирался в математике -- дружил с Мерсенном и Дезаргом, открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля», входил в комиссию по определению долготы, созданную Ришелье. Паскаль-отец придерживался принципа соответствия сложности предмета умственным способностям ребёнка. По его плану древние языки Блез должен был изучать с 12-ти, а математику с 15-16-летнего возраста. Метод обучения состоял в объяснении общих понятий и правил и последующем переходе к изучению отдельных вопросов. Так, знакомя восьмилетнего мальчика с законами грамматики, общими для всех языков, отец преследовал цель научить его мыслить рационально. В доме постоянно велись беседы по вопросам математики и Блез просил познакомить его с этим предметом. Отец, опасавшийся, что математика помешает сыну изучать латинский и греческий языки, обещал в будущем сделать это. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Однако Блез, оставаясь один, принялся углём чертить на полу различные фигуры и изучать их. Не зная геометрических терминов, он называл линию «палочкой», а окружность «колечком». Когда отец случайно застал Блеза за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника. Тогда Паскаль-отец отказался от своего первоначального плана обучения и разрешил читать сыну математические книги. В часы отдыха Блез изучал Евклидову геометрию, позднее, с помощью отца, перешёл к работам Архимеда, Аполлония и Паппа, потом -- Дезарга. Когда Блезу было 11 лет, кто-то за обеденным столом зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Мальчик обратил внимание, что стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках». С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна, проводимых по четвергам. Здесь он познакомился с Дезаргом. Юный Паскаль был одним из немногих, кто изучал его труды, написанные сложным языком и насыщенные новоизобретёнными терминами. Он совершенствовал идеи, высказанные Дезаргом, обобщая и упрощая обоснования. В 1640 году выходит первое печатное произведение Паскаля -- «Опыт о конических сечениях», результат исследования работ Дезарга. В это сочинение автор включил теоремы (доказательства не приводятся), три определения, три леммы и указал главы планируемого труда, посвящённого коническим сечениям. Третья лемма из «Опыта…» является теоремой Паскаля: если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой. Этот результат и 400 следствий из него Паскаль изложил в «Полном труде о конических сечениях», о завершении которого Паскаль сообщил пятнадцать лет спустя и который сейчас отнесли бы к проективной геометрии. «Полный труд…» так и не был опубликован: в 1675 году его прочёл в рукописи Лейбниц, рекомендовавший племяннику Паскаля Этьену Перье срочно напечатать его. Однако Перье не прислушался к мнению Лейбница и впоследствии рукопись была утеряна.

В январе 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан. В эти годы здоровье Паскаля, и без того неважное, стало ухудшаться. Тем не менее он продолжал работать. Отец Блеза по роду службы в Руане часто занимался утомительными расчётами, сын также помогал ему в распределении податей, пошлин и налогов. Столкнувшись с традиционными способами вычислений и, находя их неудобными, Паскаль задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь упростить расчёты. В 1642 году (в 19 лет) Паскаль начал создание своей суммирующей машины «паскалины», в этом, по его собственному признанию, ему помогли знания, полученные в ранние годы.

Привычная жизнь Паскаля закончилась. Ухудшается и состояние его здоровья: врачи предписывают уменьшить умственную нагрузку. Паскаль бывает в обществе, завязывает светские отношения. Весной 1652 года в Малом Люксембургском дворце он свою арифметическую машину и ставил физические опыты, заслужив всеобщее восхищение. Машина Паскаля вызвала интерес у шведской королевы Кристины -- по просьбе аббата Бурдело учёный преподнёс ей один экземпляр своего изобретения.

Самым близким из друзей-аристократов для учёного стал герцог де Роанне, увлекавшийся математикой. В доме герцога, где Паскаль подолгу жил, ему была отведена особая комната. Через Роанне Паскаль познакомился с богачом и страстным игроком Дамье Миттоном, эрудитом кавалером де Мере. Размышления, основанные на наблюдениях, сделанных Паскалем в светском обществе, позднее вошли в его «Мысли».

У Паскаля множество планов на будущее. В письме Парижской академии (1654) он сообщил, что готовит фундаментальный труд под названием «Математика случая».

Отказавшись от систематических занятий наукой, Паскаль тем не менее изредка обсуждает математические вопросы с друзьями, но не собирается более заниматься научным творчеством. Единственным исключением стало фундаментальное исследование циклоиды (как рассказывали друзья, он занялся этой проблемой, чтобы отвлечься от зубной боли). За одну ночь Паскаль решает задачу Мерсенна о циклоиде и делает ряд открытий в её изучении.

С 1658 года здоровье Паскаля быстро ухудшается. Согласно современным данным, в течение всей жизни Паскаль страдал от комплекса заболеваний: рака мозга, кишечного туберкулёза, ревматизма. Его одолевает физическая слабость, появляются ужасные головные боли. Гюйгенс, посетивший Паскаля в 1660 году, нашёл его глубоким стариком, хотя Паскалю было всего 37 лет.

Осенью 1661 года Паскаль поделился с герцогом де Роанне идеей создания дешёвого и доступного всем способа передвижения в многоместных каретах. Герцог создал акционерное общество для реализации этого проекта и 18 марта 1662 года в Париже открылся первый маршрут общественного транспорта, названного впоследствии омнибусом (повозка на конной тяге, предшественник автобуса).

19 августа 1662 года после мучительной продолжительной болезни Блез Паскаль скончался. Похоронен в приходской церкви Парижа Сен-Этьен-дю-Мон.

2. Открытия Паскаля

Открытия Паскаля до сегодняшнего дня служат в сфере гидравлики и вычислительной техники

2.1 Арифмометр Паскаля

Арифмометр Паскаля был создан по принципу античного таксометра - устройства, которое предназначалось для расчета расстояния, только немного видоизмененного Вместо 2 колес использовалось уже 6, что позволило выполнять расчеты шестизначными числами.

Арифмометр Паскаля.

В данной вычислительной машине колеса могли вращаться только в одном направлении. Производить суммирующие операции на такой машине было легко. Например, нам необходимо высчитать сумму 10+15=? Для этого необходимо вращать колесо пока не выставится значение первого слагаемого 10, потом крутим это же колесо до значения 15. При этом указатель сразу же показывает 25. То есть подсчет происходит в полуавтоматическом режиме. Вычитание на такой машине невозможно произвести, так как колеса не вращаются в обратном направлении. Делить и умножать арифмометр Паскаля не умел. Но даже в таком виде и с такими функциональными возможностями эта машина была полезной и ей с радостью пользовался Паскаль-старший. Машина производила быстрые и безошибочные математические действия по суммированию. Паскаль-старший даже вложил деньги в производство паскалин. Но это принесло только разочарование, так как большинство бухгалтеров и счетоводов не хотели принимать такое полезное изобретение. Они считали, что при введении таких машин в действие им придётся искать другую работу. В 18 столетии арифмометры Паскаля широко использовались моряками, артиллеристами и ученными для арифметических сложений. Это изобретение саботировалось со стороны финансистов более 200 лет.

2.2 Изучение атмосферного давления

В свое время Паскаль видоизменил опыт Эванджелиста Торричелли и сделал вывод, что над жидкостью в трубке должна образоваться пустота. Он купил дорогостоящие стеклянные трубки и проводил опыты без использования ртути. Вместо неё он применил воду и вино. В ходе экспериментов выяснилось, что вино имеет свойство подыматься выше, чем вода. Декорт в свое время доказывал, что над жидкостью должны располагаться ее пары. Если вино испаряется быстрее воды, то накопившиеся пары вина должны препятствовать поднятию жидкости в трубке. Но на практике предположения Декарта были опровергнуты. Паскаль предположил, что атмосферное давление воздействует одинаково на тяжелые и легкие жидкости. Данное давление способно затолкнуть в трубку больше вина, так как оно легче.

Паскаль, который долгое время экспериментировал с водой и вином, установил, что высота подъема жидкостей меняется в зависимости от погодных условий. В 1647 году было сделано открытие, которое свидетельствуют о том, что атмосферное давление и показания барометра зависят от погоды.

Чтобы окончательно доказать то, что высота подъёма столбика жидкости в трубке Торричелли зависит от изменения атмосферного давления, Паскаль просит своего родственника подняться с трубкой на гору Пюи-де-Дом. Высота этой горы составляет 1465 метров над уровнем моря и имеет на вершине меньшее давление, чем у ее подножья.Так Паскаль сформулировал свой закон: на одном расстоянии от центра Земли - на горе, равнине или водоеме атмосферное давление имеет одинаковое значение.

2.3 Теория вероятности

С 1650 года Паскаль с трудом передвигается, так как был поражен частичным параличом. Врачи считали, что его болезнь связана с нервами и ему необходимо встряхнуться. Паскаль стал посещать игорные дома и одно из заведений имело название «Папе-Рояль», которым владел герцог Орлеанский.

В этом казино судьба свела Паскаля с шевалье де Мере, который обладал необычными математическими способностями. Он поведал Паскалю, что при бросании кости в подряд 4 раза, выпадение 6 составляет более 50%. Мере делая небольшие ставки в игре выигрывал, используя свою систему. Такая система работала, только при бросании одной кости. При переходе на другой стол, где производился бросок пары костей, система Мере не приносила прибыль, а наоборот только убытки.

Такой подход натолкнул Паскаля на мысль, в которой он захотел рассчитать вероятность с математической точностью. Это был настоящий вызов судьбе. Паскаль решил решить данную задачу при помощи математического треугольника, который был известен даже в древности (например, Омар Хайям упоминал о нем), который потом получил название - треугольник Паскаля. Эта пирамида, состоящая из чисел, каждое из которых равно суме пары чисел расположенных над ним.

Треугольник Паскаля

Такой треугольник позволяет точно рассчитать вероятность выпадения в игре «орел-решка». Если мы подбрасываем монетку один раз, то результат вероятности мы видим во второй горизонтальной строке - одно выпадение «решка» и одно «Орел» (50/50). Также можно рассматривать варианты 2, 3, 4 бросков и т.д.

Данное изобретение было революционным. Оказывается удачу можно предсказать. По теории Паскаля неудачи можно не опасаться, если теория ее вероятности существенно мала. Такую вероятность можно легко рассчитать по статистическим данным.Открытие Паскаля используют экономисты различных стран мира. Его теорию применяют в страховых компаниях и торговых биржах.А известно ли вам, что Паскаль подал идею создания современной рулетки для казино. Он предложил сначала рассчитывать вероятность выигрыша игры в лото из 36 билетов.

3. Треугольник Паскаля

3.1 Определение

Треугольник Паскаля -- арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами.

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

3.2 Свойства

· Второе число каждой строки соответствует её номеру.

· Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.

· Третье число каждой строки является треугольным.

· Четвертое число каждой строки является тетраэдрическим.

· Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n ? 1, есть n-е число Фибоначчи:

· Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

· Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна ²ⁿ.

· Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.

· Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского.

3.3 История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

3.4 Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника, получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире и нашем измерении это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним.

А вот еще два интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи.

Числа Фибоначчи часто встречаются в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4,... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8,..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)ⁿ по степеням x и y. Например, (x+y)²=x²+2xy+y² и (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y)ⁿ, достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

где n!=1*2*3*4*....*n так называемый факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле

причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.

Технический музей Вены

Треугольник Паскаля двумерный, лежит в плоскости. Непроизвольно появляется мысль - а нельзя ли его закономерности распространить на трехмерный (и четырех -...) аналог? Оказывается можно! Существует трехмерный аналог треугольника - пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными коэффициентами. Пирамиду Паскаля можно строить в форме тетраэдра, а также пирамиды с различными значениями двухгранных углов, один из которых прямой.

По трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. Любой внутренний элемент пирамиды Паскаля, стоящий в n-м сечении, равен сумме трех элементов, расположенных в углах элементарного треугольника (n-1)-го сечения пирамиды. Сечение получается из треугольника Паскаля, основанием которого служит n-я строка Паскаля, умножением элементов его строк почленно на элементы основания, повернутого против часовой стрелки на угол /2.

Если сечение пирамиды Паскаля является правильным треугольником, то при любом n оно имеет три оси симметрии. На рисунке указаны оси симметрии сечения при n = 4.

3.5 Треугольник Паскаля в шахматах

В книге Евгения Гика "Шахматы и математика" в главе, посвященной геометрии шахматной доски, автор приводит удивительные примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски). А связь с этой темой в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля! Смотрите диаграмму, как пишут в шахматных учебниках, и используйте это в ваших эндшпилях.

И самый последний вопрос, связанный одновременно с треугольником Паскаля и с шахматами. Чему равна сумма всех чисел, стоящих выше какого-либо ряда? Эти суммы дают значения 1, 3, 7, 15, 31,... Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть простую закономерность: сумма всех чисел для n рядов равна 2n-1. И как эта закономерность связана с шахматами? По общеизвестной легенде индийский раджа обещал создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное зерно, на второй - два, на третий - четыре, и так продолжая удваивать, до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой награды. Когда же его визири прикинули просимое количество, то оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях человечества. Можно рассчитать высоту слоя зерна, например, приняв объем зернышка в 1 мм³, умножить на 2⁶⁴, непременно отнять 1 и разделить на площадь земной поверхности. Так вот - на каждой клетке доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого волшебного треугольника.

Рассмотренные удивительные свойства треугольника Паскаля подтверждают слова Мартина Гарднера о том, что треугольник Паскаля одна из наиболее изящных схем во всей математике.

4. Решение задач с применением треугольника Паскаля

Олимпиадная задача: Имеется сеть дорог. Из точки А выходят 2¹⁰⁰⁰. Половина идет по направлению 1, половина - по направлению т. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: половина идет по направлению 1, половина по направлению т. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько людей придет в каждый из перекрестков тысячного ряда?

Заметим, прежде всего, что мы пока не знаем, имеет ли задача решение, т.е. может ли движение людей происходить так, как требует условие задачи. Ведь если на какой-то перекресток, на котором предстоит очередное деление людского потока пополам, придет нечетное число людей, то движение застопорится. Следовательно, чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы в каждый перекресток любого из первых тысячи рядов, от нулевого до девятьсот девяносто девятого, пришло четное число людей. Мы убедимся, что это так, решая задачу.

Начнем с того, что введем обозначения для количества людей, прошедших через каждый перекресток нашей сети дорог. Будем нумеровать перекрестки каждого ряда слева направо, начиная с нулевого; перекрестки n-го ряда, следовательно, будут нумероваться от 0-го до n-го. Число людей, прошедших через k-й перекресток n-го ряда, обозначим H^k_n. Поскольку пока еще неизвестно, имеет ли задача решение, мы не можем быть уверены, что все числа Н^k_n существуют, т.е. что существует каждое из чисел H^k_n при любом n от 0 до 1000 и любом k от 0 до n. Некоторые из них, во всяком случае, существуют. Так, в силу введенных обозначений H⁰₀=2¹⁰⁰⁰

Посмотрим теперь, как связаны между собой числа H^k_n(k=0,1,2...,n) и H^k_n(k=0,1,2,....,n+1)

При условии, что все они существуют. Изучая эту связь, мы сможем затем установить, что все числа H^k_n при 1000 >= n действительно существуют. Рассмотрим n-й и (n+1)-й ряды перекрестков и соединяющие их участки дорог; против каждого перекрестка поставим обозначение соответствующего числа людей.

Количество людей, вышедших из 0-го перекрестка n-го ряда (т.е. Н⁰_n), разделится пополам, и одна половина придет в 0-й перекресток (n+1)-го ряда; поэтому

Другая половина от Н°n придет в 1-й перекресток (n+1)-го ряда и там соединится с

половиной людей, вышедших из 1-го перекрестка n-го ряда, т.е. с половиной Н¹_n. Поэтому

И вообще, количество людей, пришедших на k-й перекресток (n+1)-го ряда, слагается из половины количества людей, вышедших из (k-1)-гo перекрестка n-го ряда. Эта половина равна

А половина количества людей, вышедших из k-гo перекрестка n-го ряда, равна таким образом,

Но должно выполняться условие.

Наконец, число людей, пришедших на (n+1)-й перекресток (n+1)-го ряда,



равно половине числа людей, вышедших из n-го перекрестка n-го ряда:

Эти соотношения позволяют установить, что задача действительно имеет решение. В самом деле, из равенств (2)-(4) вытекает, что если при каком-либо фиксированном n все числа n-го ряда: Н⁰_n, Н¹_n,..., Нⁿ_n - существуют и делятся на 2а, то числа (n+1)-го ряда: Н⁰_n+1, Н¹_n+1,..., Нⁿ⁺¹_n+1 - существуют и делятся на а. Поэтому, поскольку все числа 0-го ряда (а их всего одно Н⁰₀) существуют и делятся на 2¹⁰⁰⁰, то все числа 1-го ряда Н⁰₁, Н¹₁, существуют и делятся на 2⁹⁹⁹; все числа 2-го ряда Н⁰₂, Н¹₂ Н²₂ существуют и делятся на 2⁹⁹⁸,...; все числа 999-го ряда Н⁰₉₉₉, Н¹₉₉₉,..., Н⁹⁹⁹₉₉₉ существуют и делятся на 2; все числа 1000-го ряда Н⁰₁₀₀₀, Н¹₁₀₀₀,..., Н¹⁰⁰⁰₁₀₀₀ существуют (и делятся на 1).

Соотношения (2)-(4) не только доказывают существование решения задачи, но и показывают, как из строчки чисел Н⁰_n, Н¹_n,..., Нⁿ_n получается строчка Н⁰_n+1, Н¹_n+1,..., Нⁿ⁺¹_n+1

Применяя последовательно эти соотношения, начиная с нулевой строки, мы в принципе можем вычислить значения H^k_n для всех 501501 перекрестков, содержащихся в рядах до тысячного включительно, в частности, для всех перекрестков тысячного ряда, и тем самым решить задачу. Так, для первых рядов непосредственным вычислением находим:

Аналогично находим числа остальных рядов до 1000-го.

Мы решили задачу без применения свойств треугольника Паскаля. Однако это довольно легко можно сделать. Зная свойства таблицы, при помощи, так называемой операции Паскаля, можно установить, что решениями задачи будут являться все члены 1000-й строки треугольника:

С⁰₁₀₀₀, С¹₁₀₀₀, С²₁₀₀₀,..., С¹⁰⁰⁰₁₀₀₀.

Заключение

Деятельность, связанную с решением задач с использованием треугольника Паскаля можно считать по своему характеру близкой к исследовательской. Решением таких задач способствует совершенствованию математической культуры, навыков дедуктивного мышления и творческих исследовательских способностей.

Мы познакомились с треугольником Паскаля и его вариациями. Эти числовые таблицы были созданы давно и хорошо изучены, нашли свое применение, а последний рассматриваемый треугольник, так называемый, "знаковый треугольник", появился сравнительно недавно, и поэтому его свойства еще не исследованы до конца (например, нерешенным остался вопрос, когда количество минусов и плюсов одинаково). Мы попытались частично решить эту задачу. Определили, при каких n может быть количество минусов и плюсов одинаковым. Нерешенным остался вопрос, при каком расположении минусов и плюсов первой строки это равенство будет выполняться. Эту проблему мы намерены продолжить решать в последующих моих работах.

Библиографический список

1. Бондаренко Б.А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фракталы, графы и приложения. Ташкент, «Фан», 2001. 192 с.

2. Воробьев Н. Н. "Числа Фибоначчи". Москва, 2008. 144 с.

3. Докин В. Н. "Обобщенный треугольник Паскаля, его свойства и приложения". Диссертация. Новосибирск, 2004. 11-34 с.

4. Мартин Гарднер Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля. Математические новеллы. Москва: Мир, 2003. 456 с.

5. О. В. Кузьмин Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения. Соросовский. Образовательный Журнал. Новосибирск 2000. Т. 6. № 5. С. 101-109.

6. Успенский В. А. "Треугольник Паскаля". М., 2006. 20-50 с.

7. http://ru.wikipedia.org/wiki.

8. http://www.arbuz.uz/u_treug.html.

http://ru.vlab.wikia.com/wiki.

Размещено на Allbest.ru

...