Решение антагонистической игры методом обратной матрицы
Некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны. Реализация решения антагонистической игры методом обратной матрицы в программной среде MATLAB. Оптимальная стратегия A и B и значение цены игры в решении программы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2017 |
| Размер файла | 669,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники и электроники»
Курсовая работа по теме:
«Решение антагонистической игры методом обратной матрицы»
Выполнил: студент Мальков Н.А.
Группа: КСТ-2-12
Руководитель: Пулькин И.С.
Москва 2015
Теория
Антагонистическая игра -- термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.
Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y -- множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F -- функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.
Введем понятия , которые нам будут необходимы в дальнейшем.
· Активными стратегиями игрока называются те стратегии, которые входят в его оптимальную с отличными от нуля вероятностями.
· Теорема об активных стратегиях : Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры , независимо от того , что делает другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий.
Из этой теоремы вытекает большое практическое значение: она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.
· Если в игре нижняя и верхняя цены совпадают, т.е. a=b, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и a и b называют просто ценой игры:
v=a=b,
Где
1. Нижней чистой ценой игры называется минимальный выигрыш, который может гарантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии, при всевозможных действиях второго игрока и обозначается через a и выражается формулой:
2. Верхней чистой ценой игры называется минимальный проигрыш, который может гарантировать себе второй игрок, за счет применения своих чистых стратегий, при всевозможных действиях первого, обозначается через и определяется формулой:
Соответствующие седловой точке стратегии образуют решение игры, то есть, если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Рассмотрим детально решение Антагонистической игры методом обратной матрицы
Данный метод позволяет находить решение игровых задач размерности nЧn, содержащих только активные стратегии. Поэтому перед началом решения необходимо убедиться в отсутствии седловой точки и исключить заведомо невыгодные стратегии.
Для определения оптимальной стратегии x* игрока А состав им систему уравнений в предположении, что А применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а В - свои чистые стратегии.
Код программы
function OBRMAT
%вычисляем решение игры с помощью обратной матрицы
d=zeros(3,3);
s=1;
for j=1:1:3
for l=1:1:3
d(j,l)=input([sprintf('Введите значение матрицы ') sprintf('%i',j) sprintf(',') sprintf('%i',l) sprintf(': ')]);
s=s+1;
end
end
%далее проверяем матрицу на седловость
disp(d);
e=[1,1,1];
c = max(d,[ ],1);
t=min(c);
c = min(d,[ ],2);
k = max(c);
if k == t
X2=k;
disp('Седловая точка');
disp(X2);
return;%если матрица седловая, то выводим седловю точку и завершаем программу
end игра обратный матрица антагонистический
%находим матрицу алгебраических дополнений
f=zeros(3,3);
for p=1:1:3
for i=1:1:3
dop = (-1)^(i+p) * det( d([1:p-1, p+1:j], [1:i-1, i+1:l]) );
f(p,i)=dop;
end
end
%находим вектор матрицы х1
z=f/det(d);
x1=e*z;
%рассчитываем значение цены игры
v=1/(x1(1)+x1(2)+x1(3));
%определяем оптимальную стратегию стороны А
x=(x1/(1/v));
%находим вектор матрицы y1
g=[1;1;1];
y1=z*g;
y1=y1.';
%определяем Оптимальную стратегию стороны В
y=(y1/(1/v));
disp('Оптимальная стратегия А);
disp(rats(x));
disp('Оптимальная стратегия В');
disp(rats(y));
disp('Значение цены игры');
disp(rats(v));
end
Решение программы
Если матрица седловая, то:
Вывод
В результате проделанной работы было изучено решение антагонистической игры методом обратной матрицы. Этот метод был реализован в программной среде MATLAB и в решении программы были записаны оптимальная стратегия A и B и значение цены игры.
Литература
1. Колобашкина Л. В., Алюшин М. В. Информационные технологии принятия решений в условиях конфликта. Часть 1. Основы теории игр. М.: МИФИ, 2010 -- 164 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Составление платежной матрицы, поиск нижней и верхней чисты цены игры, максиминной и минимаксной стратегии игроков. Упрощение платежной матрицы. Решение матричной игры с помощью сведения к задаче линейного программирования и надстройки "Поиск решения".
контрольная работа [1010,3 K], добавлен 10.11.2014Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Определение матричных игр в чистых стратегиях. Смешанные стратегии и их свойства. Решения игр матричным методом. Метод последовательного приближения цены игры. Отыскание седлового элемента. Антагонистические игры как первый класс математических моделей.
контрольная работа [855,7 K], добавлен 01.06.2014Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.02.2013Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.
курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010Основные определения теории биматричных игр. Пример биматричной игры "Студент-Преподаватель". Смешанные стратегии в биматричных играх. Поиск "равновесной ситуации". 2x2 биматричные игры и формулы для случая, когда у каждого игрока имеется две стратегии.
реферат [84,2 K], добавлен 13.02.2011Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Принцип минимакса как основа целесообразного поведения игроков в антагонистической игре. Порядок разыгрывания в некооперативной игре в нормальной форме. Принцип оптимальности стратегий для нее. Представление игры в развернутой и в нормальной форме.
реферат [241,5 K], добавлен 20.10.2012Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.
лабораторная работа [4,9 M], добавлен 06.12.2011Принятие решений как особый вид человеческой деятельности. Рациональное представление матрицы игры. Примеры матричных игр в чистой и смешанной стратегиях. Исследование операций: взаимосвязь задач линейного программирования с теоретико-игровой моделью.
курсовая работа [326,4 K], добавлен 05.05.2010Игры, повторяемые многократно, их отличительные свойства и этапы. Смешанные стратегии, условия и возможности их использования на практике. Аналитический метод решения игры типа 2 x 2. Основные теоремы для прямоугольных игр. Алгебраические решения.
презентация [893,5 K], добавлен 23.10.2013Классификация способов нахождения обратной матрицы, полученной в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений: разбиения ее на клетки и на произведение 2-х треугольных матриц; с помощью модели Гаусса. Вычисление погрешности методов.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 31.10.2012
