Сущность метода координат в пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого выпускника средней школы так как:

- позволяет многие экзаменационные геометрические задачи решать аналитически, что требует меньшего объема знаний по геометрии и значительно сокращает время выполнения;

- данный метод лежит в основе аналитической геометрии, которая изучается в курсе высшей математики.

Цель работы: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- изучить теоретический материал по теме;

- систематизировать и обобщить изученный материал;

- выявить особенности применения метода;

- рассмотреть применение метода координат к решению стереометрических задач;

- сравнить применение метода координат с другими методами к решению стереометрических задач.

1. Метод координат: история развития.

Метод координат - это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки.

Хорошо известные нам географические координаты определяют положение точки на поверхности Земли - каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится.

С помощью метода координат можно изложить почти весь курс школьной геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Например, окружность можно определить как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению: , а прямую линию как совокупность точек удовлетворяющих уравнению: . Таким образом, с помощью данного метода удалось связать между собой, казалось бы, совершенно разные науки алгебру и геометрию. Данное установление связи было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку.

Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650), который в последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в 1637 году, дал описание метода координат и его применение к решению геометрических задач.

Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.

Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия - это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитически (т.е. алгебраическими) средствами.

Наряду с Декартом основоположником аналитической геометрии является замечательный французский математик П.Ферма. С помощью метода координат Ферма изучил прямые линии и кривые второго порядка. Изучение аналитической геометрии в пространстве трех измерений существенно продвинул в XVIII веке А.Клеро. Явно и последовательно аналитическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве изложил Л.Эйлер в 1748 г. в учебнике «Введение в анализ бесконечных».

В XIX веке был сделан еще один шаг в развитии геометрии - изучены многомерные пространства. Основной идеей для творцов теории была аналогия с «Геометрией» Декарта. У него точка на плоскости - это пара чисел , точка в трехмерном пространстве - тройка чисел ; в новой теории точка четырехмерного пространства - это четверка чисел . У Декарта - уравнение окружности на плоскости, - уравнение поверхности шара в трехмерном пространстве; в новой теории поверхность сферы в четырехмерном пространстве. Аналогичным образом в n-мерной геометрии рассматриваются плоскости, прямые, расстояния между точками, углы между прямыми и т.д.

Идеи многомерной геометрии прочно вошли в математику в конце XIX века, а в самом начале XX века, они нашли применение в специальной теории относительности, где к трем пространственным координатам добавляется четвертая - время. Таким образом, идеи геометрии Декарта, развитые учеными последующих поколений, лежат в основе современной науки.

2. Координаты точки в пространстве

Говорят, что задана прямоугольная (декартовая) система координат, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат и , и , и , называются координатными плоскостями и обозначаются , ,.

координата базис некомпланарный декартовый

Рис. 1

Координатами точки в пространстве называются координаты проекций этой точки на координатные оси.

Координаты точек: , , , , , , .

В пространстве, кроме координатных осей, удобно рассматривать еще координатные плоскости, т.е. плоскости, проходящие через две какие-либо оси. Таких плоскостей три:

Рис. 2

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида, где и - любые числа;

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида , где и - любые числа;

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида , где и - любые числа.

Для любой точки М пространства можно найти три числа , которые будут служить ее координатами.

Рис. 3

Чтобы найти первое число , проведем через точку М плоскость, параллельную координатной плоскость (перпендикулярную к оси x). Точка пересечения этой плоскости с осью (точка М1) имеет на этой оси координату . Это число - координата точки М1 на оси - называется абсциссой точки М.

Рис. 4

Чтобы найти вторую координату, через точку М проводят плоскость параллельную плоскости (перпендикулярную к оси y), находят на оси y точку М2. Число y - координата точки М2 на оси y - называется ординатой точки М.

Третью координату точки М найдем, проведя аналогичные построения, но перпендикулярно оси z. Полученное число z назовем аппликатой точки М.

Рис. 5

3. Задание фигур в пространстве

Также как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек. Посмотрим, например, какое множество точек получится, если задать только две координаты, а третью считать произвольной.

Ш Условие , где и - заданные числа

Рис. 6

(например, ), задают в пространстве прямую, параллельную оси .

Все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу и одну ординату. Координата может принимать любые значения.

Ш Точно также условия , где b и c заданные числа, определяют прямую, параллельную оси .

Рис. 7

Ш Условия, где a и c заданные числа, задают прямую, параллельную оси .

Рис. 8

Ш Если задать только одну координату, например : это плоскость, параллельная координатной плоскости (т.е. плоскости, проходящей через ось и ось ) и отстоящая от нее на расстояние 1 в направлении положительной полуоси .

Рис. 9

Ш Рассмотрим еще несколько примеров, показывающих как можно задать в пространстве различные множества с помощью уравнений и других соотношений между координатами.

1) Рассмотрим уравнение .

Поскольку расстояние точки от начала координат задается выражением , то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение означает, что точка с координатами , находится на расстоянии R от начала координат. Значит, множеством всех точек, для которых выполняется соотношение , является поверхность шара - сфера с центром в начале координат и радиусом R.

2) Рассмотрим, где расположены точки, координаты которых удовлетворяют соотношению .

Так как это соотношение означает, что расстояние точки от начала координат меньше единицы, то искомое множество - это множество точек, лежащих внутри шара с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

4. Разложение вектора по координатным векторам. Координаты вектора

Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , , обозначаемая символом .

Частным случаем является прямоугольный ортонормированный базис , где - единичный вектор оси абсцисс, через - единичный вектор оси ординат и через - единичный вектор оси аппликат, т.е. , , , .

Этот базис и начало отсчета О определяют прямоугольную декартову систему координат в пространстве.

Рис. 10

Любой вектор пространства можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде:

,

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Рис. 11

Числа называются координатами вектора , т.е. . Так как нулевой вектор можно представить в виде , то все координаты нулевого вектора равны нулю, .

Заключение

При выполнении работы была поставлена цель: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.

Считаю, что поставленная цель была достигнута.

Ш Теоретический материал по теме был рассмотрен не только в рамках школьной программы, было введено понятие нормали.

Ш Изученный теоретический материал был систематизирован.

Ш При использовании метода к решению задач были выявлены особенности применения метода:

• умение правильного введения системы координат,

• правильное определения координат точек,

• знание аналитического аппарата метода.

Ш Было рассмотрено применение метода как к решению различных

Список литературы

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк. Геометрия, 10-11. М., Просвещение, 2003.

2. В.Н. Литвиненко. Практикум по элементарной математике. Стереометрия: Учебное пособие. - М.: Вербум - М, 2000.

3. И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, А.А. Кириллов. Метод координат. - М.: Наука, 1968.

4. С.Г. Григорьев. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике. - М.: Информационно-внедренческий центр «Маркетинг», 2000.

5. И. Иванова, З. Ильченкова. Применение координатного вектора к решению стереометрических задач. // Математика, 2007, №2.

Размещено на Allbest.ru