Применение определенного интеграла к решению геометрических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

• Содержание
• Введение
• Глава 1. Неопределенный интеграл
• 1.1 Понятие первообразной
• 1.2 Таблица первоообразных
• 1.3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства
• 1.4 Метод подстановки в неопределенном интеграле
• 1.5 Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле
• Глава 2. Определенный интеграл
• 2.1 Площадь криволинейной трапеции
• 2.2 Понятие определенного интеграла
• 2.3 Свойства определенного интеграла
• 2.4 Понятие интеграла с переменным верхним пределом
• 2.5 Формула Ньютона-Лейбница
• 2.6 Замена переменной в определенном интеграле
• 2.7 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
• Глава 3. Применение определенного интеграла к решению геометрических задач
• 3.1 Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
• 3.2 Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах
• 3.3 Объем тела по площади заданного сечения
• 3.4 Объем тела вращения
• 3.5 Длина дуги
• 3.6 Площадь поверхности вращения
• Заключение
• Список использованной литературы

• Введение
• Интеграл является одним из важнейших понятий математики. Понятие «интеграл» возникло в связи со следующими потребностями:
• · отыскание функции по ее производной (например, нахождение функции пути по известной функции скорости);
• · измерение различных характеристик объектов (например, площади плоской фигуры и т.д.).
• Различают несколько видов интегралов: неопределенный, определенный и несобственный интегралы.
• Цель работы на применение определенного интеграла в геометрии (вычисления площадей и объемов фигур).
• Но это не единственная сфера применения. Определенный интеграл используют для решения физических, экономических, технических задач (гидротехника). Поэтому является целесообразным и актуальным исследование и изучение этого вопроса в дальнейшем.
• 
• Глава 1. Неопределенный интеграл
• 1.1 Понятие первообразной
• Определение. Функция называется первообразной для функции ) на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
• .
• Пример: Функция
• является первообразной для функции
• ,
• так как
• .

Пример: Пусть

,

Тогда первообразная имеет вид

так как

Так как производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство

Поэтому функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Пример. Найти общий вид первообразных для функции где

Решение: Одной из первообразных будет функция

так как

Значит, общий вид первообразных

Физическим смыслом первообразной является нахождение пути по скорости.

Пример. Скорость равна произведению ускорения на время

Полное решение

Полученная функция и есть первообразная функции

Таким образом, первообразная эта исходная функция для имеющейся производной. Иногда ее называют примитивной или антипроизводной.

1.2 Таблица первообразных

Из сказанного видно, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию.

Имея таблицу производных,

получаем следующую таблицу первообразных :

Таблица первообразных

№	Функция	Первообразная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

1.3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства

Определение: Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается

называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.

Таким образом, окончательно

Свойства неопределенного интеграла.

1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

;

Доказательство: По определению дифференциала :

по определению неопределённого интеграла:

следовательно:

=

что и требовалось доказать

Пример:

;

2) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Доказательство: По определению неопределённого интеграла:

,

следовательно:

=,

что и требовалось доказать

Пример: ;

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Учитывая, что

свойство можно переписать в следующем виде

Пример:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

Доказательство: Найдём производную левой части. Используем свойство 2):

=,

найдём производную правой части. Используем правило дифференцирования

и свойство 2):

=,

Получены одинаковые результаты, из чего и следует справедливость данного свойства.

Пример:

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

Справедливо для любого количества слагаемых.

Пример:

1.4 Метод подстановки в неопределенном интеграле

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле

сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда

и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

На начальном этапе используем следующие рассуждения:

Применяем в случае, если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции и ее производной , то то эту функцию нужно взять в качестве новой переменной , поскольку дифференциал уже есть.

Пример:

Решение: Здесь -- производная от функции . Поэтому в качестве новой переменной возьмем . Далее воспользуемся таблицей интегралов:

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

3)

4)

5)

6) .

7) )

.

1.

=

=4

+

1.5 Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле

Если функции и имеют непрерывные производные, то свойствам дифференциалов, имеем:

Поcле интегрирования левой и правой части этого равенства получим:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

Здесь - многочлен степени - некоторая константа. В данном случае в качестве функции берется многочлен, а в качестве - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется раз.

Примеры:

a).

По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть - через dv

Пример: найти неопределенный интеграл

Решение:

2) Найти неопределенный интеграл.

Решение:



Глава 2. Определенный интеграл

2.1 Площадь криволинейной трапеции

Если при неограниченном возрастании числа частичных сегментов, причем таком, что длина каждого частичного сегмента стремится к нулю, то сумма

стремится к некоторому пределу , не зависящему от вида выбранной системы разбиений и от выбора точек в пределах соответствующих частичных сегментов, то этот предел называется площадью данной криволинейной трапеции (Рис. 1) Теорема:

Если f - непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F - её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e.

Рис.1



Рассмотрим функцию f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если a<x b, то S ( x ) - площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку ( x, 0) Отметим, что если x = a , то S ( a ) = 0, а S ( b ) = S ( S - площадь всей криволинейной трапеции). Доказано, что

или кратко .

т.e. S ( x ) - первообразная для f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех x [ a, b ] имеем:

S ( x ) = F ( x ) + C ,

где C - некоторая постоянная, F - одна из первообразных функции f .

Чтобы найти C , подставим x = a :

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

отсюда, C = -F ( a ) и S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , то подставляя x = b , получим:

S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x² и прямыми

y = 0, x = 1, x = 2 (рис. 2) .



Рис.2

Решение: Одна из первообразных функции y = x² есть

Тогда

2.2 Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Построение понятия определенного интеграла от этой функции по отрезку [a, b] состоит из трех этапов.

1. Разбиение отрезка [a, b] на части.

Разобьем отрезок [a, b] на части точками так что

(Рис. 3) Схема разбиения отрезка [a, b] на части

Обозначим через длину i-го кусочка и через максимальную из этих длин.

2. Построение интегральной суммы.

Выберем на каждом отрезке произвольным образом некоторую точку так что (она называется «средней точкой»), и составим

Рис. 4 Геометрический смысл интегральной суммы

величину, которая называется интегральной суммой

.

Геометрически она представляет собой сумму площадей прямоугольников с основаниями в виде отрезков и высотами (рис.4)

3. Предельный переход.

Найдем теперь предел

.

Определение: Если существует и он не зависит от

способа разбиения отрезка на части,

способа выбора средней точки, то говорят, что есть определенный интеграл от функции f(x) по отрезку [a, b].

Функция f(x) называется в этом случае интегрируемой на отрезке [a, b]. Величины a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Определение: Если существует предел I интегральной суммы при то говорят, что функция интегрируема на сегменте а число I называют определенным интегралом на сегменте и обозначают его с помощью символа :

Пример1: Вычислить определённый интеграл

Решение:

Пример2: Вычислить определённый интеграл

Решение:

2.3 Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:

2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3.Определенный интеграл от суммы( разности) функций равен сумме( разности) интегралов от этих функций

:

4.Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:



5.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:

6.Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на промежутках [a,c] и [c,b]:

7.Определенный интеграл от неотрицательной( неположительной) функции всегда больше ( меньше) или равен нулю:

2.4 Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ), тогда для любого x [ a, b ] существует функция:

называемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

Обращаем свое внимание на то, что

1. это функция от х, а это число.

2. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть

.

Однако если сделать пределы интегрирования переменными, мы получим уже функцию этих пределов.

Рассмотрим свойства функции от х

.

Теорема 1. Пусть f(x) интегрируема на [a, b]. Тогда F(x) есть непрерывная функция на [a, b].

Теорема 2. Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует и .

Таким образом, у каждой непрерывной функции существует первообразная.

Аналогичными свойствами обладает и , только для нее .

П р и м е р . Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону: f ( x ) = 6x² + 5 при x 0. По какому закону изменяется работа этой силы ?

Решение: Работа силы f ( x ) на отрезке [ 0 , x ] прямолинейного пути равна:

Таким образом, работа изменяется по закону: F ( x ) = 2x ³ + 5x .

Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x [ a, b ]

F' ( x ) = f ( x ) .

2.5 Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то

,

где F(x) - первообразная функции f(x):

.

Формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Сначала покажем, что функция

является первообразной функции f(x). Согласно определению производной,

.



С учетом свойства 6,

.

Тогда

Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде

,

где и при .
Следовательно,

Возвратимся к уравнению (3). Полагая x = a, находим значение постоянной C:

поэтому

Полагая в этом же уравнении x = b, получаем:

.

.

Таким образом, для вычисления определенного интеграла от f(x) по промежутку [a,b] достаточно найти первообразную F(x) функции f(x), вычислить ее в точках a и b и вычесть F(a) из F(b).

Формула Ньютона-Лейбница даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) - F(a).

Примеры:

.

2.6 Замена переменной в определенном интеграле

Теорема: Пусть

1. f(x) интегрируема на [a, b];

2. ц(t) монотонно возрастает и ц(б) = a, ц(в) = b;

3. .

Тогда

Формула замены переменной в определенном интеграле.

Пример:

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример:

,

с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

.

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

2.7 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:

.

В самом деле, если

,

то по формуле интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеем:

.

Поэтому

.

.

Значит,



.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле .

Пример:

=

= 1,6



Глава 3. Применение определенного интеграла к решению геометрических задач

3.1 Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Рассмотрим задачу о вычислении площади фигуры, изображенной на (рис. 5).

Рис.5. Криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a, x = b.

Разобьем интервал [a,b] на n элементов и проведем через точки деления вертикальные линии, разделяя область криволинейной трапеции на ряд полос.(рис. 6)

Рис. 6 Разбиение криволинейной трапеции на вертикальные полосы.
Заменим теперь криволинейную фигуру ступенчатой фигурой, образованной прямоугольниками, основание каждого из которых совпадает с основанием соответствующей полосы, а в качестве высоты выступает наименьшая ордината графика функции y = f(x) (рис. 7)

Рис. 7 Аппроксимация криволинейной трапеции ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников, высоты которых равны наименьшим значениям функции f(x) на соответствующих промежутках.

Сумма площадей прямоугольников, изображенных на рис.7 , дает нижнюю границу площади S криволинейной трапеции:

,

где - точка с наименьшим значением функции f(x) на промежутке .

Сумма называется нижней интегральной суммой или нижней суммой Дарбу.

Аналогичным образом можно сформировать ступенчатую фигуру, высоты прямоугольников которой равны наибольшим ординатам графика функции y = f(x) в пределах соответствующих полос.(рис. 8)

Рис. 8 Аппроксимация криволинейной трапеции ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников, высоты которых равны наибольшим значениям функции f(x) на соответствующих промежутках.

Верхняя граница площади криволинейной трапеции описывается формулой

,

где - точка с наибольшим значением функции f(x) на промежутке .

Сумма называется верхней интегральной суммой или верхней суммой Дарбу. При этом

.

С увеличением числа элементов разбиения интервала [a,b] суммы Дарбу и более точно аппроксимирует площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x) , снизу - осью 0x, а с боков - вертикальными отрезками прямых x = a и x = b. При безграничном убывании всех разность между наименьшим и наибольшим значениями функции f(x) на каждом промежутке стремится к нулю и, следовательно,

.

Другими словами, выбор точки на промежутке не оказывает влияния на конечный результат. Таким образом,

интеграл фигура площадь геометрический

,

где - произвольная точка промежутка Предельное значение суммы вида (5) обозначаются символическим выражением

и называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b].

Согласно вышеизложенному, определенный интеграл от положительно определенной функции f(x) по промежутку [a,b] может интерпретироваться как площадь плоской фигуры, образованной графиком функции y = f(x), отрезком [a,b] и вертикальными отрезками прямых x = a и x = b (которые могут вырождаться в точки).

Если на некотором промежутке график функции y = f(x) расположен ниже оси 0x, то интеграл на этом промежутке принимает отрицательное значение.



Рис. 9 Площадь области, ограниченной кривой y = f(x) и осью 0x от x = a до x = b.

Пусть границы области заданы уравнениями линий в декартовой системе координат.(рис. 9) Тогда для нахождения площади этой области нужно:

Если фигура ограниченна прямыми x=a, x=b и линиями y=f(x), y=g(x), где f(a)?g(x)(рис.10)

Рис.10

Площадь области, ограниченной линиями y = f(x) и y = g(x) от x = a до x = b.

.



Пример: Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями:

Решение: На отрезке график функции расположен над осью ox(рис. 11), поэтому:

Рис.11.

Пример: 3 y²=9x, y=3x. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 12)

Рис.12

Решение: Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника OAB и прямоугольного треугольника OAB:

3.2 Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые , ось абсцисс и параметрически заданная кривая

причем функции и непрерывны на интервале монотонно возрастает на этом интервале и .

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле

Если функция является монотонно убывающей на интервале , то формула примет следующий вид:

Если нам дана не криволинейная трапеция, то нужно свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Пример1: Дан эллипс

.

Посчитать его площадь.

Решение: Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.(рис. 13)

Рис. 13

Их площади равны, и площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.

Считаем площадь четвертой части окружности. Она равна

Умножаем площадь одной четверти на 4, и:

Ответ --

Пример 2: Дана линия, заданная функциями и (рис. 14)

Найти площадь ограниченной ею и осью ОХ фигуры.

Рис. 14

Решение: Находим производную , она равна .
Находим , при которых наша линия пересекается с осью . Так как

Составляем формулу площади:

=

Ответ: .

Пусть область ограниченна графиком функции , заданной в полярной системе координат, и лучами и .(рис 15)



Рис. 15 Область, ограниченная кривой и лучами и .

Такую фигуру можно разбить на бесконечное число элементов, представляющих собой круговые секторы (рис. 16).

Рис.16 Элемент разбиения фигуры.

Площадь кругового сектора равна половине произведения сторон на угол (выраженный в радианной мере) между ними. Стороны бесконечно узкого сектора совпадают друг с другом и равны расстоянию r от соответствующей точки кривой до начала координат. Следовательно, и .

Пример 1: Найдём площадь круга. Задан уравнением .(рис. 17)

Решение: Площадь круга в первом квадранте --

Преобразуем этот интеграл:



Рис. 17

Площадь всего круга -- учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.

Пример 2: Найдём площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

(рис. 18)

Рис. 19

Решение: Искомая площадь равна

= .

Ответ.

3.3 Объем тела по площади заданного сечения

Рассмотрим некоторое тело, объем V которого мы хотим определить (рис.19). Предположим, что нам известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Эти сечения будем называть поперечными. Положение поперечного сечения определяется абсциссой x точки его пересечения с осью

С изменением x будет, вообще говоря, изменяться площадь сечения. Следовательно, площадь сечения будет некоторой функцией x которую мы обозначим через s( и будем считать известной. Обозначим далее через а и b абсциссы крайних сечений тела . Для вычисления объема V тела поступим следующим образом: разобьем сегмент на частей точками и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси .

Рис. 19

Эти плоскости рассекут тело на слоев (рис.20). Обозначим объем слоя, заключенного между плоскостями, проведенными через точки и через . Тогда или .

Рассмотрим один из слоев, образованный сечениями с абсциссами и

Рис. 20

Его объем приближенно равен объему прямого цилиндра, высота которого равна длине отрезка т. е. т.е. а основание совпадает с поперечным сечением тела, соответствующим какой-либо абсциссе где ; (рис.20) и, следовательно, имеет площадь

Объем такого цилиндра равен, как и объем кругового цилиндра, произведению площади основания на высоту: Таким образом, Поэтому для объема нашего тела получим следующее приближенное равенство:

.

Точность этого приближенного равенства увеличивается с уменьшением шага разбиения отрезка Поэтому точное значение объема получим, устремляя шаг разбиения к нулю. Итак,

.

Сумма есть интегральная сумма для функции . Поэтому

.

Следовательно,

.

Пример: Найти объем шарового сегмента. (рис. 21)

Рис. 21

3.4 Объем тела вращения

В случае, когда рассматриваемое тело получается от вращения данной кривой вокруг оси x, поперечные его сечения будут круги радиуса x (рис.22), а потому

т. е. объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ОХ части кривой

,

заключенной между абсциссам выражается формулой

Рис. 22

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

.

Пример1: Вычислить длину дуги в декартовых координатах

Рис. 25

Решение:

Пользуясь тем, что кривая задана уравнением, разрешённым относительно переменной можно принять переменную за параметр, что

приведёт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги:

,

и изменению пределов интегрирования:

Пример2: Вычислить длину дуги в полярной системе координат.

Рис. 26

3.6 Площадь поверхности вращения

Рис. 28

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y = f(x):

f(x) > 0, a < x < b.

Множество, получающееся вращением графика функции f(x) вокруг оси Ox, называется поверхностью вращения (этого графика). Определим ее площадь. Пусть - какое-либо разбиение отрезка [a,b]. Впишем в график функции f ломаную , соответствующую разбиению , т. е. ломаную с вершинами в точках (x_k, y_k), где

y_k = f(x_k), k = 1, 2, ...,

(рис.28) Звено этой ломанной с концами в точках и (x_k, y_k) (будем называть его k-м звеном ломаной ) при вращении его вокруг оси x описывает боковую поверхность усеченного конуса ( в частности, при - боковую поверхность цилиндра), площадь которой равна

,

где и - соответственно радиусы оснований усеченного конуса, а - длина его образующей, x_k = x_k - x_k-1 , y_k = y_k - y_k-1, k = 1, 2, ..., . Поэтому площадь поверхности , получающейся от вращения ломаной вокруг оси Ox, выражается формулой

.

Если существует предел , то он называется площадью поверхности вращения, образованной вращением графика функции вокруг оси x. Таким образом, обозначив через L площадь указанной поверхности вращения, будем иметь

.



Пусть теперь функция f непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b]; тогда для площади поверхности можно получить удобную для вычислений формулу в виде некоторого интеграла.

Теорема 2: Если функция f непрерывно дифференцируема и неотрицательна на отрезке [a,b], то для площади поверхности вращения, образованной вращением графика функции f вокруг оси Ox, имеет место формула

.

Функция f непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], т. е. ее производная непрерывна, и, следовательно, ограничена на этом отрезке. Это означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех точек x [a,b] выполняется неравенство

.

По формуле конечных приращений Лагранжа имеем

,

Поэтому x_k, откуда

,

Эта сумма не является интегральной, так как в ней значения , y_k = f(x_k) и f'(_k) берутся в разных точках и _k отрезка разбиения . Сравним ее с интегральной суммой



,

функции

.

Снова применив формулу Лагранжа, получим

Теперь имеем

Поэтому

Отсюда следует, что

,

Но является интегральной суммой функции , :

где y = f(x), поэтому

.

И так как то для площади L поверхности вращения получается формула

.

Вспоминая, что , т. е. является дифференциалом длины дуги, формулу для площади поверхности вращения можно записать в более компактном виде

.

Можно показать, что эта формула остается справедливой для площади поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси x любой непрерывно дифференцируемой кривой, заданной параметрическим представлением x = x(t), y = y(t), a < t < b, и не пересекающей ось x. В этом случае в развернутом виде формула имеет вид

.



Площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох вычисляется по формуле

если кривая АВ является графиком функции у=f(x), где х [а, b], a функция у = f(x) и её производная у' = f'(x)непрерывны на этом отрезке.

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями

,

то формула для площади поверхности вращения принимает вид

Когда кривая задана в полярной системе координат

Пример1: Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение:

Поверхность шара образована вращением полуокружности

, вокруг оси Ох.(рис. 29)



Рис. 29



Заключение

В работе показано применение формул определенного интеграла к решению задач в геометрии для определения длины дуги, площади поверхности и плоских фигур , объемов.

Определенный интеграл применяется и к решению задач в механике: это работа переменной силы; путь, пройденный телом; статистический момент , координаты центра тяжести плоской, кривой, плоской фигуры.

В работе показано, что задачи с интегралами имеют вполне стандартную формулировку, а их решение сводится к выбору формулы, определению пределов интегрирования и вычислению составленного интеграла.



Список использованной литературы

1. Уваренков И. М., Маллер М.З. Курс математического анализа Том I. «Просвещение», М., 1966, 639 с.

2. Демидович Б. П сборник задач по математическому анализу М., «Астрель», 2006г.

3. Шипачев В.С. Математический анализ Теория и практика учебное пособие для студентов вузов 3-е издание 2015г.

4. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. Учебное пособие для студ. Вузов 8-е издание 2014г.

5. Математический анализ Учеб. Пособие ля студ. Вузов под редакцией А.М. Катманова 2014г.

Размещено на Allbest.ru

...