Пусть а -- произвольная прямая, а А--точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а, эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида.

На основе всех аксиом групп I--V можно построить теорию параллельных прямых по Евклиду, доказать теоремы о сумме углов треугольника и выпуклого многоугольника, изучить свойства параллелограммов и трапеций, построить теорию подобия и т. д. Заметим еще, что аксиомы групп I--V позволяют обосновать обычную тригонометрию, изучаемую в средней школе, а также декартову аналитическую геометрию. В частности, пользуясь теоремой Пифагора, для доказательства которой необходимо использовать аксиому V, выводится известная формула для вычисления расстояния между двумя точками по координатам этих точек. Кроме того, доказывается, что плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени, а прямая -- системой двух уравнений с тремя переменными. Таким образом, предоставляется возможность приложить алгебру к доказательству теорем геометрии.

Отмечу, пользуясь аксиомами групп I--V, можно ввести понятия площади многоугольника и объема многогранника.

Геометрию, построенную на аксиомах групп I--IV, называют абсолютной геометрией. Вышеуказанные теоремы и определения являются теоремами абсолютной геометрии.

3. Аксиома Лобачевского

Параллельные прямые по Лобачевскому

1. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I--IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а -- произвольная прямая, а A -- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

рис 1 рис 2

Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые L и d на рис. 1).

Условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

2. Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч1 угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р АВ и Q CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что, каковы бы ни были точки Р' и Q', лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q'P'B пересекает луч Q'D. Возможны три случая: точка Р' совпадает с точкой Р; б) точка Р' принадлежит лучу РА; в) точка Р' принадлежит лучу РВ.

Рассмотрим первые два случая,

а) Точка Р' совпадает с точкой Р. Если Q' -- точка
луча QC, то Q'P'B является объединением углов Q'PQ и QPB, по
этому луч h либо лежит внутри угла Q'P'Q, либо совпадает с лучом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и во
втором случаях луч h пересекает отрезок Q'Q, поэтому пересекает
и луч Q'Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает
луч QD и, следовательно, луч Q'D.

Если Q' -- точка луча QD, то угол Q'P'B является частью угла QPB (рис. 3, б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересечения является точкой луча Q'D, так как h не проходит внутри угла QPQ' и поэтому не пересекает отрезок QQ'.

б) Точка Р' принадлежит лучу РА. Луч h лежит
внутри угла Q'P'P, поэтому h пересекает отрезок PQ' в некоторой
точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержащую прямую CD, угол ВРМ', равный углу РР'М. Так как BPQ' --
внешний угол треугольника PP'Q', то PP'Q' < LBPQ', поэтому
РР'М < BPQ'. Отсюда следует, что РМ' -- внутренний луч
угла BPQ'. Следовательно, по доказанному (см. случай а) ) этот
луч пересекает луч Q'D в некоторой точке Mi (рис. 4). Прямая Р'М
пересекает сторону PQ' треугольника PQ'M\ и не пересекает сторо
ну РМ\ (так как ВРМ1 = BP'M), поэтому по аксиоме Паша
прямая Р'М пересекает отрезок Q'М1. Таким образом, луч h пересекает луч Q'D. Чтд.

Рис 3 а Рис.3 б

Рис. 4

4. Теорема о существовании параллельных прямых

Теорема 2. Пусть АВ -- произвольная направленная прямая, а М -- точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD||AB.

рис 5 . рис 6.

2. Рассмотрим перпендикуляр MN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую MP, перпендикулярную к прямой MN (рис. 5). Мы предполагаем, что точки Р и В лежат по одну сторону от прямой MN. По лемме 1 прямые MP и NB не пересекаются.

Точки отрезка NP разобьем на два класса К1 и К2 по следующему закону. К первому классу отнесем те точки X этого отрезка, которые удовлетворяют условию: луч MX пересекает луч NB, а ко второму классу -- все остальные точки отрезка NP. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) предложения Дедекинда.

а) Очевидно, N К1 и Р К2. Класс К1 содержит точки, отличные от N, например, точки X пересечения луча МХ1 с отрезком NP, где
Х1 -- произвольная точка луча NB (рис. 5). Класс K2 содержит
точки, отличные от Р. В самом деле, по аксиоме V* существует пря
мая MS1, отличная от прямой MP и не пересекающая прямую АВ.
Прямая MS2, симметричная прямой MS1 относительно прямой MN,
также не пересекает прямую АВ (рис. 5). Одна из прямых MS1 или
MS2 проходит внутри угла NMP, поэтому пересекает отрезок NP в некоторой точке Y, принадлежащей классу К2

б) Пусть X -- произвольная точка класса К1, отличная от N, а
Y -- точка второго класса. Тогда N -- X -- У, так как в противном
случае имеем N -- Y -- X, что означает, что луч MY -- внутренний
луч угла NMX. Отсюда следует, что луч MY пересекает отрезок
NХ1 т. е. У К1.

Итак, на множестве точек отрезка NP имеем дедекиндово сечение. Пусть точка D производит это сечение. Докажем, что D К2. Предположим противное: D К1 . Тогда луч MD пересекает луч NB в некоторой точке D1 (рис. 6). Возьмем на луче NB точку D'1 так, чтобы N -- D1-- D'1. Луч MD'1 пересекает отрезок DP в некоторой точке D' (рис. 6), которая принадлежит классу K1. Полученный вывод противоречит предложению Дедекинда. Таким образом, D К2. На прямой MD возьмем точку С так, чтобы С -- М -- D. По теореме 1 CD||AB.

Остается доказать, что CD -- единственная прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. Пусть, напротив, C'D' -- другая прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. По определению параллельных прямых внутренние лучи углов NMD и NMD' пересекают луч NB, поэтому лучи MD, MD' лежат в той же полуплоскости с границей MN, что и луч NB. Отсюда мы приходим к выводу, что либо MD -- внутренний луч угла NMD', либо MD' -- внутренний луч угла NMD.

Но тогда одна из прямых CD или C'Dr пересекает прямую АВ, что противоречит определению параллельности прямых.

рис. 7 А N B

3. Пусть М -- точка, не лежащая на прямой a, a MN -- перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой а две точки А и В так, чтобы А--N -- В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 7).

В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF -- различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF' не изображен на рис. 7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые утлы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.

Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. Для этого обратимся к рисунку 219. На этом рисунке NMD -- угол параллельности в точке М относительно прямой a, a N'M'D' -- угол параллельности' в точке М'

относительно прямой а' , = NMD, x = MN, a/ = N'M'D', x' =M/N/.
Докажем, что если х = х', то = '. Пусть, напротив, / ,
например а' > . Тогда существует внутренний луч h' угла N'M'D',
такой, что угол между лучами M'N' и h равен . Луч h' пересекает
прямую а' в некоторой точке F'. На прямой а от точки N отложим
отрезок NF = N'F' так, чтобы точки F и D лежали в одной полуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику M'N'F' (треугольник MNF на рис. 8 не изображен). Так

М м

рис.8

как NMF = , то лучи MD и MF совпадают. Приходим к выводу, что прямые MD и пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, = '.

Итак, -- функция от х: = П (х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П (х) определена для каждого положительного х и что 0 < II (х) < П/2 .

Н. И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции:

где k -- некоторое положительное число.

Из этой формулы следует, что П(х)-- монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между 0 и П/2 . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.

4. В геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный П/4.

Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении

лобачевский геометрия неэвклидовый

рис 9 рис 10

медиан треугольника в одной точке и др. теоремы которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

? Пусть ABC-- произвольный треугольник. По первой теореме
Саккери -- Лежандра (Сумма углов треугольника не больше 2d) АВС 2d. Если предположить, что АВС = 2d, то окажется справедливым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно,
АВС < 2d. Чтд.

Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4 d..

? Пусть ABCD --данный выпуклый четырехугольник. Проведем
диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника
ABC и ADC. Тогда А+В+С+D= АВС + ADC. Но АВС < 2d и
ADC < 2d, поэтому А + В + С + D <4d. Чтд.

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

? Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' имеем A = A'
B = B', C = С'. Докажем сначала, что АВ = A'В'. Предположим, что АВА'В'; для определенности допустим, что
АВ> А'В'. На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так, чтобы
АВ" = А'В' и АС" = А'С' (рис. 10). По первому признаку равенства треугольников имеем /\АВ"С" = /\А'В'С, поэтому 1 = 2.
По условию 2 = 3, следовательно, 1 = 3. Аналогично устанавливаем, что 4 = 6.

По предположению АВ > А'В' поэтому А -- В" -- В, т. е. прямая В"С" пересекает сторону АВ треугольника ABC. В силу равенства

1 = 3 прямые В" С" и ВС не пересекаются, следовательно, по аксиоме Паша прямая В"С" пересекает сторону АС треугольника ABC, и значит, А -- С" -- С. Отсюда следует, что четырехугольник BB”C”C выпуклый.

Из равенств 1 = 3 и 4 = 6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Таким образом приходим в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = А'B'. По второму признаку равенства треугольников АВС =A'В'С'. ¦

Рис 11,12

2. Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD -- двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС -- боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD -- четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С=D и каждый из углов С и D острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD <BC, то С<D.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ

С < D, то AD <ВС.

5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского

1. Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямых

АВ и CD.

? Пусть Р и Q-- точки, лежащие соответственно на прямых АВ

рис.13 рис.14

и CD, a h и k -- биссектрисы углов QPB и PQD (рис. 13). Так как АВ || CD, то луч h пересекает луч QD в некоторой точке Е. Тогда луч k пересекает отрезок РЕ в некоторой точке S.

Докажем, что точка S равноудалена от прямых АВ и CD. Обозначим через SH1, SH2 и SH3 -- перпендикуляры, проведенные из точки S к прямым АВ, CD и PQ (рис. 13). Так как SH1 = SH3 и SH2 = SH3, то SH1 = SH2. Теперь ясно, что прямая d, содержащая биссектрису угла H1SH2, является осью симметрии прямых АВ и CD. Чтд.

Пользуясь этой леммой, легко доказать, что отношение параллельности направленных прямых удовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.

Теорема 1. Если АВ|| CD, то CD || АВ.

? Пусть Р -- произвольная точка прямой АВ, a d -- ось симметричных прямых АВ и CD (см. лемму 1). Тогда точка Q, симметричная точке Р относительно прямой d, лежит на прямой CD (рис. 14). Для доказательства теоремы воспользуемся признаком параллельности прямых . Прямые АВ и CD не пересекаются, поэтому достаточно доказать, что любой внутренний луч угла PQD пересекает луч РВ.

Пусть h -- произвольный внутренний луч угла PQD, a h' -- луч, симметричный лучу h относительно прямой d. Так как угол PQD симметричен углу QPB и h -- внутренний луч угла PQD, то h' -- внутренний луч угла QPB. Но АВ || CD, поэтому луч h' пересекает луч QD. Отсюда следует, что и луч h пересекает луч РВ. Чтд.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если АВ || EF, EF || CD и прямые АВ и CD не совпадают, то АВ || CD.

2. Условимся называть две (ненаправленные) прямые а и b параллельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.

Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точку М, не лежащую

Рис. 15 рис.16

на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CD и EF параллельны прямой а в разных направлениях (см. рис. 7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутри вертикальных углов CMF и EMD, расходится с прямой а.

Таким образом, на плоскости Лобачевского в отличие от плоскости Евклида имеются три случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.

Теорема 3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

? Пусть АВ и CD -- данные прямые, a PQ -- их общий перпендикуляр (рис. 15). По лемме 1 (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются) прямые АВ и CD не пересекаются. Они не могут быть параллельными, так как если допустить, что они параллельны, то прямые углы APQ и BPQ должны быть углами параллельности в точке Р относительно прямой CD. Но угол параллельности всегда острый, поэтому наше допущение неверно; значит, АВ и CD -- расходящиеся прямые. ¦

Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.

3. В заключение докажем, что на плоскости Лобачевского расстояние от переменной точки одной из двух параллельных или расходящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этого предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 2. Пусть лучи PP' и QQ' лежат в одной полуплоскости с границей PQ, PQQ' прямой, a QPP' прямой или тупой

Q H Q' Q H1 H2 Q' Q H1 H2 H3 Q'

А) Б) В)

Рис. 17 Рис.18

(рис. 17, а). Тогда если М -- переменная точка луча РР', а Н -- проекция этой точки на прямую QQ', то функция МН -- f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.

? Докажем сначала, что f -- монотонно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' две точки М1 и М2 так, чтобы РМ1 < РМ2, и докажем, что М1Н1 < М2H2, где Н1 и Н2-- проекции точек M1 и М2 на прямую QQ'. Рассмотрим три двупрямоугольника с основаниями QH1 QH2, H1H2 изображенные на рисунке 17, б. Так как РМ1 < РМ2, то Р -- М1 -- М2. Применив теорему 2 (сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d) к двупрямоугольникам с основаниями QH1 и QH2 и учитывая, что Р прямой или тупой, приходим к выводу, что углы 1 и 3 острые. Так как 1 и 2 -- смежные углы, то 2 тупой. Тогда по свойству 3° в двупрямоугольнике с основанием Н1Н2 имеем Н1М1 < H2M2. Таким образом, f -- монотонно возрастающая функция.

Докажем теперь, что f -- неограниченно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' точки М1, М2, ..., Мп, следующие друг за другом так, чтобы РМ1 = М1 М2 = ... = Мn-1 Мп, где n > 2, и рассмотрим проекции H1 H2, ..., Нп этих точек на прямую QQ' (рис. 17, в).

По доказанному PQ < М1 H1 < М2Н2. Отложим на луче H1 М1 отрезки Н1М1 и Н1 М'2, равные соответственно отрезкам PQ и М2Н2. Тогда, очевидно, М'1-- М1 -- М'2.

В треугольниках РМ1 М'1 и М2М1 М'2 имеем РМ1 = М2М1 и РМ1 М'1 = M2M1M'2, но PM'1M1 первого треугольника тупой (как угол, смежный с углом М'1 четырехугольника Саккери с основанием QH1), a M2M'2M1 второго треугольника острый (как угол четырехугольника Саккери с основанием Н1Н2). Отсюда следует, что М1 М'1 < М'2М1.

Если обозначить М1М'1 через , то М1 Н1 = PQ + , М2Н2 = М1Н1 +M'2M1 > PQ + 2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что М3Hз > PQ + 3, ..., МпНп> PQ + п. Отсюда следует, что f -- неограниченно возрастающая функция. ¦

Пусть АВ и CD -- расходящиеся прямые, a PQ -- общий перпендикуляр этих прямых (рис. 18). Фигуры BPQD и APQC удовлетворяют условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра.

Пусть теперь АВ || CD, a PQ -- перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 19). Так как QPB острый, то смежный с ним QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяет

Рис.19

условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом.

6. Три модели геометрии Лобачевского

Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:

1) Модель Пуанкаре

2) Модель Клейна

3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)

1) Модель Пуанкаре.

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского - это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского - это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 20). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' - проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

2) Модель Клейна.

За плоскость принимается какой-либо круг (рис. 21.1), за точки - точки принадлежащие этому кругу, за прямые - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

Рисунок 21

Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих прямой АВ (рис.21.2). Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского. Поэтому, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие имеется и в геометрии Евклида.

Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды и интерпритируем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского в модели Клейна имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

Литература

1. Математика XIX века, «Наука», М., 1981

2. “Квант” №11,№12 Академик АН СССР А.Д. Александров, Интернет-издания.

3. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968г.

4. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971г.

5. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993г.

6. Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984г.

7. Г.И. Глейзер. История математики в школе IX - X классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.

8. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.

9. Розенфельд Б.А. Геометрия Лобачевского и теория относительности П Математиков в школе.- М., 1965г.

10. И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963г.

11. Н.Г.Подаева , Д.А. Жук. Лекции по основам геометрии. Елец: 2008г.

12. В.Т.Базылев, К.Л.Дуничев. Геометрия ч. II. М: 1975г.

13. Д.Гильберт. Основания геометрии.- М: ГИТТЛ 1948г.

14. Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. геометрия ч. II . Москва «Просвещение» 1987г.

15. Н.В.Ефимов. Высшая геометрия. М: 1978г.

16. http://www.bankreferatov.ru

17. http://www.refportal.ru

18. http://www.egu.ru

Размещено на Allbest.ru