Законы логики и правила алгебры: сходства и различия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Законы логики и правила алгебры: сходства и различия

Введение

логика алгебра морган

В данном реферате я хотела бы рассмотреть такие науки как логику и алгебру, их законы и правила, сходства и различия.

Логика - одна из древнейших наук. Еще древнегреческий философ Аристотель систематизировал формы и правила мышления, разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы формальной логики.

Алгебра -- раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

1. Логика

Логика - наука о законах и формах мышления

Высказывание (суждение) - некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно

Утверждение - суждение, которое требуется доказать или опровергнуть

Рассуждение - цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

Умозаключение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение

Логическое выражение - это запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0). Сложное логическое выражение - логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

1.1 Законы логики

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.

1.2 Логические выражения

Логические выражения могут быть простыми и сложными. Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата -- либо «истина», либо «ложь».

Если логическое выражение содержит большое количество операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести в нормальную форму.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при логических переменных.Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований.

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

* НЕ (логическое отрицание, инверсия);

* ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);

* И (логическое умножение, конъюнкция).

Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение -- двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.

2. Алгебра

Данный раздел математики традиционно включает следующие категории:

Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра.

Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.

Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры). Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств.

Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

В алгебре принято записывать математические выражения (формулы) в самом общем виде, заменяя конкретные числа на буквенные символы, благодаря чему при решении однотипных задач достигается максимальная общность результата. Основным содержанием алгебры являются правила тождественных преобразований формул, необходимые для решения уравнений, анализа зависимостей, оптимизации изучаемой системы и других практических задач. Кроме букв и чисел, в формулах элементарной алгебры используются арифметические операции: (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и элементарные функции (логарифм, тригонометрические функции). Две формулы, соединённые знаком равенства, называются уравнением.

2.1 Законы элементарной алгебры

Порядок выполнения операций указывается скобками. Если скобок нет, то приоритетность, в порядке убывания, следующая:

- Возведение в степень.

- Вычисление функции.

- Умножение и деление.

- Сложение и вычитание.

Независимо от природы рассматриваемых чисел и от определения суммы и произведения чисел общие законы действия над числами остаются одни и те же.

2.2 Свойства операций

Коммутативность (перестановочное свойство) сложения:

a+b=b+a

Ассоциативное (сочетательное) свойство сложения:

{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}(Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ab)c =а(bс)

Ассоциативное (сочетательное) свойство умножения:

{\displaystyle (ab)c=a(bc).} (а+b)с=ас+bc

Коммутативное (переместительное) свойство сложения:

ab=ba

Коммутативное (переместительное) свойство умножения:

(а+b)+с=а+(b+с)

Дистрибутивное (распределительное) свойство для умножения:

(а + b + c) · d = аd + bd + cd

3. Сходства и различия между законами логики и правилами алгебры

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Логика как наука позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения. В то время как предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями. При этом если между такими множествами можно установить изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее операции), то множества считаются одинаковыми, и поэтому природа множеств безразлична.

4. Огастес де Морган

Морган Огастес (Августус) де (27.6.1806-18.3. 1871) - шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.), член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847 гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана.

Заключение

Таким образом, в данном реферате я рассмотрела основные понятия логики и алгебры, их законы и взаимодействие.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Наряду с этим объектом изучения алгебры являются сами алгебраические операции, а законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.

Приложение

Правила алгебры

Размещено на Allbest.ru