Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для квазилинейных функционально - дифференциальных уравнений (ФДУ). Такие задачи возникают в математических моделях механики, химии, физики, биологии, экономики и в других науках. Вопросам разрешимости краевых задач посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей, в том числе Н.В. Азбелева, И.Т. Кигурадзе, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной и др. Систематическое применение методов функционального анализа при исследовании ФДУ началось с основополагающих работ Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной.

В большинстве работ, посвященных условиям разрешимости квазилинейных краевых задач, предполагается, что соответствующая линейная краевая задача однозначно разрешима для всех пар правых частей. И в относительно небольшом количестве работ рассматриваются квазилинейные краевые задачи с необратимой линейной частью, это так называемые "резонансные" краевые задачи. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах С.А. Вавилова, И.Г. Малкина, А.Р. Абдуллаева, А.А. Бойчука, А.Б. Бурмистровой, A. Cabada, S. Fucik, M. Furi, J. Mawhin, M. Martelli, L. Nirenberg, B. Przeradzki и др. авторов. В работах, посвященных условиям разрешимости резонансных краевых задач, наиболее распространены методы, основанные на преобразовании Ляпунова-Шмидта. Однако применение данных методов имеет ряд трудностей, в том числе само фактическое построение уравнения разветвления довольно сложно и громоздко. В связи с этим возникла проблема создания новых простых в применении универсальных методов для исследования на разрешимость резонансных краевых задач. К данным методам относится и метод, предложенный в диссертационной работе.

Цель работы. Получение новых достаточных условий разрешимости краевых задач для различных классов квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью.

Методы исследования. Проблема существования решения краевой задачи сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. Используются методы теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений, теории линейных операторов и нелинейного функционального анализа. Также используется теорема о существовании неявного оператора и теоремы существования с условиями на границе. Кроме того, применяется аппарат, связанный с коэффициентом сюръективности.

Научная новизна. В работе предложен новый подход к исследованию на разрешимость квазилинейных краевых задач с необратимой линейной частью. Получены новые признаки разрешимости квазилинейных краевых задач для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью и систем квазилинейных операторных уравнений. Найдены условия разрешимости некоторых классов квазилинейных краевых задач, в том числе:

краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом;

краевой задачи для уравнения Льенара;

краевой задачи для уравнения с малым параметром;

краевой задачи для уравнения нейтрального типа;

краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения первого порядка.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанная методика может быть использована для изучения новых классов краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Результаты работы могут применяться при исследовании конкретных краевых задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

дифференциальное уравнение краевая задача

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" в Казани (2003), на Международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки" в Самаре (2003), на Всероссийской научно-технической конференции "Современные проблемы математики и естествознания" в Нижнем Новгороде (2003), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2003, 2004, 2006), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов "Молодежная наука Прикамья" в Перми (2002), на научно-практической конференции "Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование" в Перми (2004), на научно-исследовательском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководства профессора Абдуллаева А.Р., на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 155 страницах. Библиографический список содержит 160 наименований.

Краткое содержание работы

Введем обозначения: , - ядро и образ линейного оператора , , - граница и замыкание множества , - открытый шар с центром в нуле и радиуса , - мерное евклидово пространство, - частная производная по второму аргументу оператора в точке .

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по тематике, приводится описание методики исследования и краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и утверждения, используемые в основном тексте.

В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения из функционального анализа, в том числе, определение частной производной оператора.

В параграфе 1.2 абстрактная линейная краевая задача рассматривается как одно линейное операторное уравнение

,

где , и . Для оператора приводится условие нетеровости, дается описание ядра , обобщенно обратного оператора , проектора на образ оператора и оценка его нормы.

В параграфе 1.3 рассматривается операторное уравнение второго рода вида:

,

где дополнительный проектор на образ оператора , , (). Такое уравнение возникает при исследовании на разрешимость квазилинейного операторного уравнения

. (1)

Поскольку, в общем случае, образ оператора не совпадает со всем пространством, то с помощью теоремы о существовании неявного оператора, являющегося решением данного операторного уравнения, можно определить множество пар , которое оператор переводит в образ оператора . Приведем здесь эту теорему:

Теорема 1.3.3 Пусть оператор непрерывен на множестве и имеет на частную производную , непрерывную в точке . Пусть далее , оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , для любых ;

3) , для любых , где , и -некоторые постоянные, зависящие только от множества и оператора .

Положим

,

.

В этих условиях существует единственный оператор такой, что элемент при каждом является решением уравнения . При этом оператор непрерывен на шаре , и .

В диссертационной работе пространство отождествляется с пространством , имеющие согласованные нормы: . Поэтому, при необходимости прямая топологическая сумма рассматривается как прямое произведение с изометричной нормой, а оператор записывается в виде .

Вторая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В начале главы рассмотрен новый подход для получения условий разрешимости квазилинейного операторного уравнения (1). Во второй части главы предложенный подход применяется к решению вопроса о разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи и системы квазилинейных операторных уравнений, путем сведения их к квазилинейному операторному уравнению (1).

В параграфе 2.1 приведены теоремы о неподвижных точках и теорема существования решения квазилинейного операторного уравнения (1), необходимые в дальнейшем.

В параграфе 2.2 доказываются теоремы существования решения уравнения (1) с условиями на границе области, в которой ищется решение. Приведем здесь одну из этих теорем:

Теорема 2.2.1 Пусть оператор - нетеров, - обобщенно обратный к оператор и пусть существуют открытая ограниченная окрестность нуля и непрерывный оператор такие, что выполнены условия:

1) ,

2) из , .

Тогда существует ненулевое решение уравнения (1) в .

На практике, в случае, если трудно вычислить точно условие 2) теоремы 2.2.1 удобно заменить следующим, более легко проверяемым условием:

2) из , .

В параграфе 2.3 описывается предлагаемый подход к решению вопроса о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (1). Идея подхода состоит в следующем: сначала с использованием теоремы 1.3.3 о существовании неявного оператора доказывается существование множества и непрерывного оператора, с помощью которых нелинейный оператор переводит данное множество в образ линейного оператора. Затем с помощью теоремы 2.2.1 существования с условиями на границе доказывается существование решения в полученном множестве.

Параграф 2.4 посвящен разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи:

(2)

где - линейный и непрерывный операторы, - линейный и непрерывный вектор-функционалы, - банаховы пространства, причем .

Задача (2) исследуется на разрешимость как одно операторное уравнение:

,

где операторы определены равенствами:

, .

Затем к полученному квазилинейному операторному уравнению применяется предлагаемый в работе подход.

В предлагаемом подходе требуется дифференцируемость оператора , поэтому приведем здесь условия дифференцируемости и вид производной оператора :

Если оператор и вектор-функционал дифференцируемы по Фреше, то оператор дифференцируем по Фреше и его производная в точке равна .

Далее сформулируем теорему о разрешимости квазилинейной краевой задачи (2):

Теорема 2.4.1 Пусть оператор - нетеров, и - обобщенно обратные к и операторы. Оператор вполне непрерывен и вместе с функционалом дифференцируемы, причем их частные производные непрерывны в точке . Пусть далее , оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , , ;

3) , ,

;

4) , , , ;

5) ;

6) , где , и .

Тогда существует ненулевое решение квазилинейной краевой задачи (2).

В параграфе 2.5 рассмотрен вопрос разрешимости системы квазилинейных операторных уравнений:

(3)

где - линейные ограниченные операторы, - непрерывные операторы , и , , - банаховы пространства. Система (3), как и в случае краевой задачи, записывается в виде одного операторного уравнения:

,

где операторы определены равенствами:

, .

Затем приводится условие нетеровости оператора , дается описание ядра , вида проектора на образ оператора , проектора на и ассоциированного с ним обобщенно обратного оператора .

Введем понятие производной оператора в точке:

Если операторы и дифференцируемы по Фреше, то оператор дифференцируем по Фреше и его производная в точке равна

,

где - частная производная - ой функции по - ому аргументу, то есть и .

Оператора в случае системы (3) имеет вид:

.

Условия разрешимости системы (3) примут вид:

Теорема 2.5.1 Пусть операторы и - нетеровы, - обобщенно обратный к оператор. Операторы и вполне непрерывны, дифференцируемы и их производные непрерывны в точке . Пусть далее ( - нуль в ), оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , где ;

6) , где , , , и .

Тогда существует ненулевое решение системы квазилинейных операторных уравнений (3).

С применением теоремы 2.5.1 получены условия существования периодического решения системы дифференциальных уравнений:

где и - некоторые константы. В качестве приложения рассмотрена двухвидовая конкурирующая модель Лотки - Вольтерра.

Третья глава содержит приложение полученных в работе утверждений о разрешимости квазилинейных краевых задач к исследованию на разрешимость некоторых классов краевых задач.

В параграфе 3.1 рассматривается вопрос о разрешимости периодической краевой задачи для уравнения Льенара

 (4)

Условия разрешимости задачи (4) сформулированы в теореме:

Теорема 3.1.1 Пусть функции и вместе со своими производными и непрерывны. Пусть далее выполнены следующие условия:

1) ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) ;

6) , где , , , и ().

Тогда существует ненулевое решение задачи (4).

Отдельно рассмотрены частные случаи задачи (4) - случай, когда и периодическая краевая задача для уравнения Ван-дер-Поля.

В параграфе 3.2 рассматривается периодическая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом:

(5)

Если уравнение в задаче (5) является линейным, то оператор можно найти в явном виде. В этом случае условия разрешимости краевой задачи (5) примут вид:

Теорема 3.2.2 Пусть выполнены условия:

и ,

тогда существует ненулевое решение задачи (5) в шаре с радиусом

.

Параграф 3.3 посвящен исследованию вопроса существования решения уравнения, содержащего малый параметр :

, . (6)

с линейным ограниченным оператором .

В качестве приложения рассмотрен частный случай, когда правая часть представляет собой ряд по степеням малого параметра :

,

где операторы и .

Отдельно рассматривается случай существования периодического решения уравнения (6). В качестве примера рассмотрена краевая задача:

Помимо этого, с применением коэффициента сюръективности линейного оператора, получены условия разрешимости краевых задач для сингулярного дифференциального уравнения первого порядка и уравнения нейтрального типа.

Параграф 3.4 посвящен разрешимости сингулярной краевой задачи:

(7)

у которой соответствующая линейная краевая задача разрешима неоднозначно.

В случае, когда и - положительная неубывающая на отрезке функция, условия существования решения краевой задачи (7) можно уточнить. Так, в частности, когда , получим следующие условия разрешимости:

Теорема 3.4.5 Если , , , и , то существует ненулевое решение краевой задачи (7).

В параграфе 3.5 рассматривается разрешимость задачи Коши для уравнения нейтрального типа:

(8)

с линейным оператором .

Сформулируем теорему о разрешимости краевой задачи (8):

Теорема 3.5.1 Пусть и выполнены следующие условия:

1) ();

2) или ;

3) , где ,

.

Тогда существует хотя бы одно ненулевое решение задачи (8).

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору А.Р. Абдуллаеву за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Результаты диссертационной работы в следующих публикациях

1. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь, 2002. с.21-27.

2. Колпаков И.Ю. О существовании периодического решения для уравнения Льенара // Известия научно-образовательного центра "Математика" Выпуск 1. Пермь, 2003. с.26-35.

3. Колпаков И.Ю. О разрешимости одной краевой задачи с необратимой линейной частью // Вестник ПГУ. Математика. Информатика. Механика. 2003, вып.5. Пермь, 2003. с.31-34.

4. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений с необратимой линейной частью // Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2003.9 с. Деп. в ВИНИТИ 29.05.03, № 1049-В2003.

5. Колпаков И.Ю. О разрешимости задачи Коши для одного уравнения нейтрального типа // Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2003.6 с. Деп. в ВИНИТИ 11.06.03, № 1143-В2003.

6. Колпаков И.Ю. О разрешимости одной краевой задачи // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII Межвузовской конференции. Самара, 2003. с.90-91.

7. Колпаков И.Ю. К вопросу разрешимости одной краевой задачи для уравнения нейтрального типа // Современные проблемы математики и естествознания. Материалы VI Всероссийской научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2003. с.31.

8. Колпаков И.Ю., Абдуллаев А.Р. О разрешимости одной краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения первого порядка // Актуальные проблемы современной науки. Труды IV Международной конференции молодых ученых и студентов. Самара, 2003. с.40-41.

9. Колпаков И.Ю. К вопросу о разрешимости квазилинейных операторных уравнений // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы VI Международной летней школы-конференции. Казань, 2003. с 29.

10. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений с необратимым линейным оператором // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. Самара, 2004. с.126-129.

11. Колпаков И.Ю. О разрешимости систем квазилинейных операторных уравнений // Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование. Материалы научно-практической конференции преподавателей вузов и сузов. Пермь, 2004. с.75-78.

12. Колпаков И.Ю. О разрешимости периодической краевой задачи с отклоняющимся аргументом // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды III Всероссийской научной конференции. Самара, 2006. с.131-134.

Размещено на Allbest.ru