Дослідження залежності графіка функції розподілу ймовірностей від структури подій

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Національний педагогічний університет імені М.П.Драгоманова

Дослідження залежності графіка функції розподілу ймовірностей від структури подій

Біляй І.М.



Інформаційно-комунікаційні технології стають одним з найважливіших чинників реалізації принципів дидактики в навчанні математики - науковості, наочності, доступності, системності та фундаментальності. Під час вивчення складних понять математики з використанням ІКТ важливу роль можуть відіграти графічні побудови за допомогою засобів інформаційно-комунікаційних технологій, зокрема пакетів математичних програм.

Нині розроблено значну кількість програмних засобів, за допомогою яких можна розв'язувати досить багато математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як GRAN1, GRAN2D, GRAN3D, Advanced Grapher, DG (динамічна геометрія), Wolfram|Alpha, Maxima, MathCad, Maple і ін. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів чи студентів вузів, які лише почали вивчати шкільний курс математики чи основи вищої математики. Для користування програмами GRAN1, GRAN2D, GRAN3D, Advanced Grapher, DG (динамічна геометрія) не обов'язкова наявність надто потужних комп'ютерів з великою швидкодією, значними обсягами оперативної пам'яті чи високими можливостями графічних побудов.

Названі програми прості у користуванні, оснащені досить зручним інтерфейсом, який максимально наближений до інтерфейсу найбільш поширених програм загального призначення. Від користувача не вимагається значного обсягу спеціальних знань з інформатики, основ обчислювальної техніки, програмування за винятком найпростіших понять, які цілком доступні для учнів загальноосвітніх шкіл.

Однією з найскладніших для сприйняття учнями тем з математики є «Елементи теорії ймовірностей та статистики», під час вивчення якої учні знайомляться з такими основними поняттями, як випадкова подія, частота відбування випадкової події, статистична ймовірність, випадкова величина, щільність та функція розподілу статистичних ймовірностей тощо.

При вивченні функції розподілу статистичних ймовірностей важливу роль відіграють задачі на дослідження та побудову графіків функцій розподілу статистичних ймовірностей. Зазвичай говорять, що за функцією розподілу можна визначити тип розподілу.

Якщо функція розподілу кусково-стала, то маємо дискретний розподіл.

Якщо функція розподілу неперервна, то неперервний розподіл.

Але виявляється таким чином тип розподілу можна визначати лише тоді, коли простір елементарних подій Q = R1, простір подій S - борелівська о-алгебра B (R1) підмножин множини R1.

На практиці часто Q - скінченна множина виду Q = ,х2хк} або нескінченна обмежена виду Q = [a, b) , -- да < a < b < +да, як простір подій S розглядають сукупність підмножин множини Q

виду S = {A | A = UH , І с {1,2,...,к}, Hflj = 0, коли і Ф j, U H = Q} . Такий простір подій

ієІ i=1

називають породженим поділом множини Q на підмножини Нг, І є {1,2,...,к}, такі, що H-Hy = 0,

коли і Ф j, U H = Q . При цьому розподіл ймовірностей задають, вказавши ймовірнісну міру P(Hi)

і=1

для кожного H є S, і є 1,к . Тоді для довільного A = UH, є S, І с {1,2,...,к} буде

ієІ

P(A) = P(UH) = XP(H,) , І с {1,2,...,к} .

ієї ієї

Отже, таким чином задано ймовірнісний простір (Q, S,P) .

Зауважимо, що оскільки порожня множина 0 є підмножиною будь якої непорожньої множини (див. [2], [3]), то не виключено, що може бути І = 0 .

Оскільки функція F(x) розподілу ймовірностей на R1 = (--да, да) визначається як ймовірнісна міра множини (--да, х), а в розглянутому способі побудови ймовірнісного простору (Q, S, P) множина (--да, х) не належить до сукупності S підмножин множини Q, на якій задано ймовірнісну міру P(A), A є S, то при так заданому ймовірнісному просторі неможливо визначити ймовірнісну міру множини (--да, х).

Тому розглянемо інший ймовірнісний простір (Q, S, P), де Q = R1 = (--да, да), S = B(R1) - о-алгебра борелівських підмножин множини R1, зокрема (--да, х) є S для довільного х є (--да, да) . Як ймовірнісну міру множини A є S покладемо P (A) = max P(U A), продовжуючи в такий спосіб

U Ac A, AgS

міру P(A), A є S, із простору подій S на простір подій S . В такому разі говорять, що міра P(A), A є S , є продовженням міри P(A), A є S, із S на S . Зауважимо, що S с S і P(A) = P(A), коли A є S. Тоді можна визначити функцію F(x) розподілу ймовірностей на множині Q = (--да, да), поклавши (див. [2], [3])

F(х) = P((--да, х)) = max P(U A), (--да, х) є S , A є S, U A є S .

U Ac(--o>, х), AєS

Розглянемо приклади [2, 3].

Приклад 1. Нехай на множині Q = {1,2,3,4,5} задано розподіл статистичних ймовірностей (див. [2], [3]) через ряд розподілу

хі	і	2	3	4	5
p; ({х,})	0.05	0.20	0.50	0.20	0.05

Як події разом з порожньою множиною 0 розглядатимемо всеможливі об'єднання A = U [Xj} є S, I с {1,2,3,4,5}, x ¦ = i, i є 1,5, тобто всеможливі підмножини множини

ІЄІ

Q = [1,2,3,4,5} .

Тоді для даного розподілу статистичних ймовірностей буде:

F* (х) = 0, коли x < 1, оскільки жодна із непорожніх підмножин U{x }, I с [1,2,3,4,5},

I ^ 0, множини Q не є підмножиною множини (-да ,1);

коли буде 1 < X < 2, тоді до множини (-да, х) буде входити підмножина {1} множини Q, і тому F'* (х) = P* ({1}) = 0.05, коли 1 < X < 2 ;

коли х буде змінюватись в межах від 2 до 3 включно, тобто буде 2 < х < 3, тоді до множини (-да, х) будуть входити підмножини {1}, {2}, {1,2}, які є

елементами сукупності S, тобто подіями, і об'єднання яких {1} U {2} U{1,2} буде множиною, що входить до сукупності S, тобто подією, і крім того буде підмножиною множини (-да, х), коли х є (2,3]. Тому коли 2 <х<3, тобто F*(х) = 0.25, коли 2 <х<3 . Міркуючи аналогічно, знайдемо

F*(х) = 0.75, коли 3 <х<4;

F*(х) = 0.95, коли 4 <х< 5;

F* (х) = 1.00, коли 5 < х. Остаточно одержуємо

0, коли х < 1,

0.05, коли 1 < х < 2,

0.25, коли 2 < х < 3,

0.75, коли 3 < х < 4,

0.95, коли 4 < х < 5,

коли 5 < х.

Графік такої функції F* (х) для заданого дискретного (поточкового) розподілу статистичних ймовірностей на скінченній множині точок Q = {1,2,3,4,5} подано на Рис. 1.

В даному прикладі множини вигляду (-да, х) не є подіями відносно ймовірнісного простору (Q, S,P*) , бо таких множин немає в сукупності S підмножин розглядуваної множини Q, тобто в просторі подій, до якого разом з порожньою множиною 0 віднесено підмножини и{хі},

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

I с {1,2,3,4,5}, множини Q, а тому записи вигляду F* (x) = Р* ((-да, x)) в розглядуваному випадку некоректні.

Приклад 2. Нехай на множині Q = [0,5) задано поінтервальний розподіл статистичних ймовірностей

К--^ ai)	[0,1)	[1,2)	[2,3)	[3,4)	[4,5)
Pn ([ai-^ ai ))	0.05	0.20	0.50	0.20	0.05

Як події разом з порожньою множиною 0 розглядатимемо всеможливі об'єднання інтервалів К-,at), тобто А = U[ai-bai) є S, I с {1,2,3,4,5} .

Тоді для даного поінтервального розподілу статистичних ймовірностей будемо мати: F* (х) = 0 , коли x < 1, оскільки жодна з підмножин А = U[ai-1,ai) є S, I с {1,2,3,4,5}, I ^0, не є

підмножиною множини (-да, x) при x < 1. Коли ж х буде в межах від 1 до 2 включно, тобто x є (1,2], тоді інтервал [0,1) буде підмножиною множини (-да, x), і тому для x є (1,2] буде 1

F*„ (x) = РП ([0,1)) = J/П (x)dx = 0.05, коли x є (1,2].

0

Коли х буде в межах від 2 до 3 включно, тобто x є (2,3], тоді сума подій [0,1) є S, [1,2) є S, [0,1) U [1,2) є S , тобто [0,1) U [1,2) U ([0,1) U [1,2)) є S буде підмножиною множини (-да, x), x є (2,3], тому

f; (x)=p; ([0,1) u [1,2) u ([0,1) u [1,2)))=p; ([0,1) u [1,2))=p; ([0,1))+p; ([1,2))=

1 2

= { fn (x)dx+J f* (x)dx = 0.05 + 0.20 = 0.25, коли x є (2,3].

0 1

Міркуючи аналогічно, знайдемо F* (x) = 0.75, коли x є (3;4]; F* (x) = 0.95, коли x є (4;5]; F„* (x) = 1.00, коли x є (5; + да).

Таким чином

0, коли x < 1, 0.05, коли 1 < x < 2, 0.25, коли 2 < x < 3, 0.75, коли 3 < x < 4, 0.95, коли 4 < x < 5,

коли 5 < x.

Вигляд графіка так визначеної функції F* (х) поінтервального розподілу статистичних ймовірностей на множині Q = [0,5), розглядуваного в прикладі 2, буде такий самий, як і вигляд графіка функції F* (х) дискретного (поточкового) розподілу статистичних ймовірностей на множині Q = {1,2,3,4,5}, розглянутого в прикладі 1 (Рис. 1). Однаковий вигляд мають і подання самих функцій F* (х) розподілу статистичних ймовірностей в обох розглядуваних в прикладах 1 і 2 випадках.

Тому у випадках розглянутого способу побудови простору подій S, коли як події разом з порожньою множиною 0 розглядаються всеможливі об'єднання A = UH, є S, I с {1,2,...,k},

підмножин Иі, і є1,k, скінченної множини Q= {Xj,х2,...,хт}, (k < m), чи підмножин H. = [а._г,аі), k

і є 1, k, нескінченної множини Q = [а, b), таких, що Иг-И - =0, коли і ф j, U И, =п, за виглядом =1

опису функції F* (х) розподілу статистичних ймовірностей неможливо визначити, розглядається дискретний розподіл статистичних ймовірностей на скінченній множині Q = {х,X,...,хи}, чи інтервальний розподіл статистичних ймовірностей на нескінченній множині Q = [а, b) = U[ai-1^а,),

І=1

[аІ_1, а,) П [aj_1, aj ) = 0, коли і ф j .



Приклад 3. Нехай на множині Q = [0,5) задано поінтервальний розподіл статистичних ймовірностей такий самий, як і в прикладі 2, а простір подій S породжений поділом множини Q на 25 інтервалів довжиною 0.2, тобто як події разом з порожньою множиною 0 розглядаються всеможливі об'єднання U[а,_і,а,), І с {1,2,...,25}, інтервалів [а.^,а.), і є 1,25, а = 0, а _а_і = 0.2.

Це означає, що розглядається новий простір S , породжений сукупністю проміжків [аг_ъ аі), і є1,25, елементами якого є множини виду A = и[аІ_1,а,), І с {1,2,...,25}. Очевидно, всі події із простору S, розглядуваного в прикладі 2, є також і елементами простору S, тобто S с S . Нову ймовірнісну міру P* на просторі подій S визначимо за формулою

P (A) = J /І (x)dx = Ј f! (x) * (а, _ а,_1), A є S , де f П (х) - щільність розподілу статистичних

A хє[а,_1, а, )с A

ймовірностей така сама, як і в прикладі 2 (див. Рис. 2, Рис. 3).

Очевидно, при тій самій усередненій щільності /* (х) розподілу статистичних ймовірностей, що і в прикладі 2, статистичні ймовірності попадання в проміжки, отримані подрібненням проміжків із прикладу 2 на 5 проміжків однакової довжини, в 5 разів меншої, ніж довжина вихідних проміжків, будуть в 5 разів менші, ніж статистичні ймовірності попадання у вихідні проміжки, і будуть, як і раніше, обчислюватися за формулою P* ([а,_1, а,)) = /* (х)(а, _ а,_1), і є 1,25 .

При цьому говорять, що міра РЩ(A), A є S , є продовженням міри Р* (A), A є S, із простору S на простір S .

Очевидно, Ри*(A) = Р*(A), коли A є S . Якщо проміжки [а._І5а.), з яких складаються події A = U К-1, а j) є S , I с {1,2,...,25}, поділити кожен на якесь число ще дрібніших проміжків однакової довжини, отримаємо новий простір подій S і нову ймовірнісну міру Р* цілком аналогічно до попереднього. Таке подрібнення проміжків [аг_ І5 аг) можна продовжувати як завгодно довго до тих пір, поки різниця h = а -- a_j стане меншою, ніж будь яке як завгодно мале наперед задане число є> 0 . При цьому в результаті кожного зменшення довжини h = at -- а-- проміжків [аг-1, аг), однакової для всіх і, будемо отримувати все нові і нові ймовірнісні простори (Q, S(j), Р*()), j є {0,1,2,3,...}, (з одним і тим самим Q).

Очевидно, функція F*(х) набуватиме сталих значень на проміжках (а._j,а.], і є 1,25, і при переході через точку аі отримуватиме приріст /Щ (х) * (аі -- аі--1), х є [аг, а.) .

Міркуючи аналогічно до того, як це було зроблено в прикладі 2 при побудові функції F* (х) поінтервального розподілу статистичних ймовірностей на множині Q = [0,5) за інтервалами [0,1),

[1,2), [2,3), [3,4), [4,5), в розглядуваному прикладі, коли аі -- аі--1 = 0.2, і є 1,25, одержимо:

F* (х) = 0, коли х < 0.2, F* (х) = 0.01, коли 0.2 < х < 0.4,

F* (х) = 0.02, коли 0.4 < х < 0.6, F'*(х) = 0.03, коли 0.6 < х < 0.8,

F* (х) = 0.04, коли 0.8 < х < 1.0, F* (х) = 0.05, коли 1.0 < х < 1.2,

F* (х) = 0.09, коли 1.2 < х < 1.4, F* (х) = 0.13, коли 1.4 < х < 1.6,

F* (х) = 0.17, коли 1.6 < х < 1.8, F* (х) = 0.21, коли 1.8 < х < 2.0,

F* (х) = 0.25, коли 2.0 < х < 2.2, F* (х) = 0.35, коли 2.2 < х < 2.4,

F*(х) = 0.45, коли 2.4 < х < 2.6, F*(х) = 0.55, коли 2.6 <х< 2.8

F*(х) = 0.65, коли 2.8 < х < 3.0, F*(х) = 0.75, коли 3.0 <х< 3.2,

F* (х) = 0.79, коли 3.2 < х < 3.4, F*(х) = 0.83, коли 3.4 < х < 3.6,

F* (х) = 0.87, коли 3.6 < х < 3.8, F* (х) = 0.91, коли 3.8 < х < 4.0,

F* (х) = 0.95, коли 4.0 < х < 4.2, F* (х) = 0.96, коли 4.2 < х < 4.4,

F* (х) = 0.97, коли 4.4 < х < 4.6, F* (х) = 0.98, коли 4.6 < х < 4.8,

F*(х) = 0.99, коли 4.8 < х < 5.0, F*(х) = 1.00, коли 5.0 < х,

Графік так визначеної функції F* (х) поінтервального розподілу статистичних ймовірностей на множині Q = U[аі--і, аі) , а = 0, а. -- а._: = 0.2, і є 1,25, за інтервалами [а._г,аі), і є 1,25, із щільністю

і=1

(див. Рис. 3)

0, коли х є [а0, а25), 0.05, коли х є [0,1) U [4,5), 0.20, коли х є [1,2) U [3,4), 0.50, коли х є [2,3),

подано на Рис. 4.

Нехай max/* (х) = c < го .

хєО

Позначимо

max ри* (и[аг---1, аі)) через т„ ((--», х)),

и[аі--1; аі )cQ П (--<», х)

min Р* (U[аі--1, аі)) через т* ((--го, х)), а -- агл через h, і є {1,2,...,к}

Q П (--го, х) cU [а,---1, аі)

Очевидно,

m* ((-Ж, x)) = max P* (U Щ_ь Щ)) < F* (x) <

U [a,-_i, Щ )cQ П (_ж, x)

< min P*(U [ai_1, ai)) = Ш*((_»,x)) (1)

q П (_ж , x) cU K_i, a)

для довільного x Є (_Ж, ж) ,

m * ((-ж, x)) -- m„ ((-ж, x)) < c ¦ h ,

m* ((--ж, x)) -- m* ((--ж, x)) ^ 0 , коли h ^ 0 . (2)

Звідси випливає, що коли h ^ 0, тоді всі значення функції F'* (x) на будь якому із проміжків [ai--1, ai), і єі, k (коли h ^ 0, тоді k ^ж ), будуть різнитися між собою не більше, ніж на c ¦ h, тому F* a) _ F* (a,_i) ^ 0 , коли ai _ ai_i ^ 0

.

Зауважимо, що коли при довільних x є (--ж, ж) множини (--ж, x) є подіями, тобто елементами простору подій S, (--ж, x) є S, що означає, що як простір елементарних подій розглядається множина Q = (--ж, ж) , а як простір подій розглядається с-алгебра B(R1) борелівських підмножин множини Q = (--ж, ж) , тоді формула F(x) = P((--ж, x)) набуває вигляду F* (x) = р* ((-ж, x)), x є (--ж, ж) . В такому разі за виглядом функції F'* (x) можна з'ясувати, така функція побудована за дискретним (поточковим) розподілом статистичних ймовірностей на скінченній множині точок {x]_, x2,...,xk } сО = (-да, да), чи за інтервальним (неперервним) розподілом статистичних ймовірностей на неперервній множині [a,b) cQ = (-да, да). Крім того в такому випадку P* ([u, v)) = F* (v) - F* (и) для довільних u і v таких, що [u, v) с (-да, + да), и є (-да, + да), v є (-да, + да), u < v.

Приклад 4. Надалі вважатимемо, що Q = Rl = (-да, да), S = B(R1). Тоді для дискретного (поточкового) розподілу статистичних ймовірностей на скінченній множині {1,2,3,4,5} с Q = (-да, да), розглянутого в прикладі 1, функція розподілу статистичних ймовірностей

F„* (x) = P* ((-да, x)), (-да, x) є S, x є (-да, да), буде кусково сталою і матиме той самий вигляд, що і раніше, тобто

0, коли x < 1,

0.05, коли 1 < x < 2,

0.25, коли 2 < x < 3,

0.75, коли 3 < x < 4,

0.95, коли 4 < x < 5,

коли 5 < x.

Графік цієї функції має той самий вигляд, що і на Рис. 1.

Разом з тим, для поінтервального розподілу статистичних ймовірностей на множині [0,5) с Q = (-да, да), розглянутого в прикладі 2, функція розподілу статистичних ймовірностей

F„ (x) = P„* ((-да, x)) = { fn (t)dt, (-да, x) є S , x є (-да, да)



-да

буде неперервною і матиме вигляд

коли x є [a j-1 , a j ), 2 < j < k, коли a^ < x,

Графік останньої функції F* (x) подано на Рис. 5.

Зауважимо, що коли усереднена щільність f* (х) інтервального розподілу статистичних ймовірностей задана на інтервалах [а^, аг), і є 1, к, фіксованої довжини h, таких, що [at_ j, а ) П [а _ j, а,) = 0, коли і Ф j , \^[аі-1, аі) = Q, а - а^ = А (наприклад, на інтервалах довжини

і=і

h = 1, як в прикладі 2, див. Рис. 2), і f * (х) < c < да, х є (-да, да), а простір подій S породжується поділом множини Q на все дрібніші і дрібніші інтервали такі, що довжина найдовшого з таких інтервалів стає все меншою і меншою (див. приклад 3), тоді функція F* (х) такого поінтервального розподілу статистичних ймовірностей, заданого вказаною щільністю f* (х), при все більшому і більшому подрібненні інтервалів, з яких складаються події A є S, все менше і менше відрізнятиметься від неперервної функції F* (х) поінтервального розподілу узагальнених статистичних ймовірностей, побудованої за умови, що як події розглядаються всеможливі множини (-да, х), х є (-да, да), тобто множини (-да, х) є елементами простору подій S (див. приклади 3, 4).

Розподіл узагальнених статистичних ймовірностей такий, що функція F* (х) неперервна (це означає, що (-да, х) є S для довільного х є (-да, + да)), називається неперервним.

Розглянемо програму Function, яка була створена спеціально для демонстрації змін графіка функції розподілу статистичних ймовірностей.

У головному вікні програми вказуємо множину Q = [а, b) елементарних подій (параметри а, b) та кількість проміжків (n). В таблиці в правому нижньому кутку програми вказуємо значення статистичних ймовірностей попадання в інтервали з прикладу 2. Натискаємо кнопку «Побудувати». В результаті отримаємо графік функції даного розподілу статистичних ймовірностей (Рис. 6). функція графік програмний

Для того, щоб поділити множину Q = [0,5) на 25 інтервалів довжиною 0.2, як це показано в

прикладі 3, змінюємо значення кількості інтервалів на 25 (параметр п) і натискаємо кнопку Результат показано на Рис. 7.

Легко бачити, що при зменшенні довжини інтервалів графік функції інтервального розподілу наближатиметься до графіка функції неперервного розподілу ймовірностей, зокрема статистичних (Рис. 8).

Отже, не завжди за функцією розподілу статистичних ймовірностей можна визначити тип розподілу. Це залежить від структури подій A є S і простору подій S, на якому задана ймовірнісна міра Р.

Рис. 8

Використання відповідного програмного забезпечення дозволяє полегшити сприйняття теоретичних положень шкільного курсу стохастики. До того ж, діяльність вчителя та учня, опосередкована комп'ютером, сприяє розв'язуванню проблеми формування у здібних учнів продуктивних та творчих математичних умінь, поглибленню професійної спрямованості навчання математичних дисциплін.

Практика свідчить, що пакети програм, подібні до GRAN, є досить зручним засобом унаочнення навчального матеріалу та виконання конкретних завдань під час вивчення курсу стохастики в школі.

Використання засобів сучасних ІКТ в процесі навчання стохастики дає змогу вчителеві приділити більше уваги постановці задач, дослідженню розв'язків, виявленню закономірностей та причинно-наслідкових зв'язків перебігу різноманітних процесів і проявів явищ, переклавши на комп'ютер технічні та нецікаві рутинні операції.



Література

Математика з комп'ютером: Посібник для вчителів / М.І. Жалдак, Ю.В. Горошко, Є.Ф. Вінниченко. - Київ: Видавництво НПУ імені М.П. Драгоманова, 2008. - 280 с.

Початки стохастики. Факультативний курс для учнів старшої школи / М.І. Жалдак, Г.О. Михалін, І.М. Біляй. - Київ: Видавництво НПУ імені М.П. Драгоманова, 2014. - 162 с.

Стохастика: Посібник для вчителів / М.І. Жалдак, І.М. Біляй. - Київ: Видавництво НПУ імені М.П. Драгоманова, 2013. - 302 с.

Размещено на Allbest.ru

...