Загальні відомості про функцію

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний педагогічний університет

імені Михайла Коцюбинського

Інститут математики, фізики і технологічної освіти

Творче завдання

на тему: «Функція»

Виконала

Ігнатко В.В.

Вінниця 2015



Зміст

1. Загальні відомості про функцію

2. Парні і непарні функції

3. Обмежені функції

4. Періодичні функції

5. Дослідження функцій та побудова графіків з використанням програми Advanced Grapher



1. Загальні відомості про функцію

Одним з основних понять математичного аналізу є поняття функціональної залежності. В багатьох явищах природи, техніки, економіки тощо можна вказати величини, які зв'язані між собою таким чином, що при зміні однієї величини змінюється і інша величина.

Уперше термін «функція» зустрічається в рукописі великого німецького математика і філософа Г. Лейбніца -- спочатку в рукописі (1673 р.), а потім і в друкованому вигляді (1692 р.). Латинське слово function переводиться як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor переводиться також словом «виражати»). Лейбніц увів це поняття для назви різних параметрів, зв'язаних з положенням точки на площині. У ході переписування Лейбніц і його учень -- швейцарський математик И. Бернуллі (1667--1748) поступово приходять до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена яким завгодно способом з цієї перемінної і постійних».

Функцією називають відповідність між елементами двох множин х та у, при якій кожному елементові першої множини х відповідає не більше одного елемента у другої множини.

Змінна х називається незалежною змінною, або аргументом, а змінна у -залежною змінною, або функцією; під символом у = f(х) розуміють те правило, за яким кожному х відповідає у, або ті операції, які треба виконати над аргументом, щоб дістати відповідне значення функції.

Нехай маємо дві непорожні множини Х і Y. Якщо кожному елементу х є Х за певним законом поставлено у відповідність рівно один елемент у з множини Y , то кажуть, що на множині Х визначено функцію y= f(x) (f: X Y) із значеннями в множині Y.



При цьому множина Х називається областю визначення або областю існування функції і позначається D(f), а множина Y- множиною значень функції або областю зміни функції f(x) і позначається E(f).

Змінну х називають незалежною змінною або аргументом, у- залежною змінною або функцією, а f(x) називають значенням функції в точці х.

Монотонні функції.

· Загальні відомості про монотонні функції.

Монотонна функція -- це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід'ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонною.

Означення 2.1. Функція у =d визначена на множині Х, і називається зростаючою на даній множині, якщо для будь-яких 1 і 2 , що належать множині Х, де 1<2 , виконується наступна нерівність

1) <d (2).

Означення 2.2. Функція у=d, визначена на множині Х називається спадною на даній множині, коли для будь-яких 1 і 2 , що належать множині Х, де 1<2 , виконується наступна нерівність



1) >d (2).

Означення 2.3. Функція у=d, визначена на множині Х називається незростаючою на даній множині, якщо для будь-яких 1 і 2 , що належать множині Х, де 1<2 , виконується наступна нерівність

d(1)?d (2).

Означення 2.4. Функція у=d, визначена на множині Х називається неспадною на даній множині, коли для будь-яких 1 і 2 , що належать множині Х, де 1<2 , виконується наступна нерівність

d(1)?d (2).

· Властивості монотонних функцій та арифметичні операції над монотонними функціями.

1) Сума декількох зростаючих функцій, являється зростаючою функцією.

2) Добуток невід'ємних зростаючих функцій є зростаюча функція.

3) Якщо функція зростає, то функції і також зростають, а функція спадає, де - деяка константа.

4) Якщо функція зростає і зберігає знак, то функція спадає.

5) Якщо функція зростає і невід'ємна, то , де , також зростає.

6) Якщо функція зростає і - непарне число, то також зростає.

7) Композиція зростаючих функцій і також зростає.

· Арифметичні операції над монотонними функціями.

Над монотонними функціями можна виконувати 4 арифметичних та 9 теоретико-множинних операцій.

Теорема 1. (Сума зростаючих функцій)

Якщо функції f1() і f2() зростають на множині X, то функція F(х)=f1(x)+f2(x) теж зростає на множині X.

Доведення.За означенням 2.1 маємо, що 1<2 х1 , х2 є X виконуються нерівності:

f11) <f1 (2).

f21) <f2 (2).

Додавши, ці нерівності почленно отримуємо:

f1(x1)+ f2(x1) < f1(x2)+f2(x2)

Отже, (f1+ f2) х1< (f1+f2)x2, тому для будь-яких х1 , х2 Є X(f1+ f2), яке задовольняють нерівність x1 <x2 виконується нерівність:

(f1+ f2) х1< (f1+f2( x2) тобто функція F(x) зростає на X(d1 +d2), що й треба було довести.

Теорема 2.

Якщо функції f1() і f2() спадають на всій області визначення, то функція F(х)=f1(x)+f2(x) теж спадає на X(d1+d2).

Доведення. За означенням 2.2. маємо, що для x1>x2 х1 , х2 Є X виконуються дві нерівності:

f11) >f1 (2).

f21) >f2 (2).

Додавши, ці нерівності почленно отримаємо:

f1(x1)+ f2(x1) > f1(x2)+f2(x2),

тобто , (f1+ f2) х1> (f1+f2)x2,

А одже, для будь-яких х1 і х2 Є X(f1+ f2), які задовольняють нерівність x1 <x2 виконується нерівність:

(f1+f2) х1> (f1+f2) x2

Тобто функція f(x) спадає на X(f1 +f2).

Теорема 3.

Якщо функції f1() і f2() неспадні на множині X , то функція F(х)=f1(x)+f2(x) є неспадною.

Доведення.За означенням маємо, що для x1<x2

f11) ? f1 (2).

f21) ? f2 (2).

Додавши, ці нерівності почленно отримаємо:

f1(x1)+ f2(x1) ? f1(x2)+f2(x2)

отже, (f1+ f2) х1? (f1+f2)x2,

отже, для будь-яких х1 і х2 функція f(x) неспадна на X(f1+ f2).

Що й треба було довести.

Теорема 4. Якщо функція у=f(x) зростаюча, а y=g(x) спадна на множині Х, то функція у=f(x) + g(x) спадає на множині Х.

Доведення. Нехай , функція у=f(x) зростаюча, а y=g(x) спадна на множині Х, то для будь-яких х1, х2 є Х таких що х1<х2, х1>х2 виконуються нерівності f(x1)<f(x2) і g(x1)>g(x2) .

Помноживши другу нерівність на (-1) і додавши маємо:

f(x1)+(-g(x1))< f(x2) + (-g(x2)).

Отже, за означенням у= f(x) + g(x) зростаюча функція.

Теорема 5.

Якщо функція у=f(x) зростає на множині Х, то функція у= -f(x) спадає на множині Х.

Доведення.Нехай , функція у=f(x) зростає на множині Х, то для будь-яких х1,х2 є Х таких що х1<х2 виконуються нерівність f(x1)<f(x2) . домноживши цю нерівність на (-1)

f(x1)<f(x2) |* (-1)



маємо

- f(x1)>-f(x2).

Отже, за означенням у= -f(x) спадна.

Теорема 6.

Якщо функції у=f(x) і y=g(x) зростають на множині Х, то функція у=f(x)*g(x) також зростає на множині Х.

Доведення. Нехай у=f(x) і y=g(x) зростають на множині Х, то для будь-яких х1,х2 є Х таких що х1<х2 виконуються нерівності f(x1)<f(x2) і g(x1)<g(x2) .

Знайдемо добуток цих нерівностей

f(x1)<f(x2) * g(x1)<g(x2)



матимемо:

f(x1)g(x1)< f(x2)g(x2),

отже, за означенням у= f(x)g(x) зростаюча.

Теорема 7.

Якщо функція у=f(x) спадає на множині Х, то функція у= -f(x) зростає на множині Х.

Доведення.Нехай , функція у=f(x) спадає на множині Х, то для будь-яких х1,х2 є Х таких що х1>х2 виконуються нерівність f(x1)>f(x2) . домноживши цю нерівність на (-1) маємо:

f(x1)>f(x2) |(-1)

-f(x1)<-f(x2).

Отже, за означенням у= -f(x) зростаюча.



Теорема 8.

Якщо функції у=f(x) і y=g(x) спадають на множині Х, то функція у=f(x)*g(x) також спадає на множині Х.

Доведення.

Нехай у=f(x) і y=g(x) спадають на множині Х, то для будь-яких х1, х2 є Х таких що х1>х2 ,виконуються нерівності f(x1)>f(x2) і g(x1)>g(x2) . Знайдемо добуток цих нерівностей

f(x1)>f(x2) *g(x1)>g(x2)

маємо:

f(x1)g(x1)>f(x2)g(x2).



Отже, за означенням у= f(x)g(x) спадна.

Теорема 9.

Якщо функція у=f(x) зростає на множині Х, то функція спадає на множині Х.

Доведення. Нехай , функція у=f(x) зростає на множині Х, то для будь-яких х1,х2 є Х таких що х1<х2 виконуються нерівність f(x1)<f(x2) . за властивістю обертання маємо

,

отже, за означенням функція у= спадна.

Що треба було довести.



Теорема 10.

Якщо функція у=f(x) зростаюча, а y=g(x) спадна на множині Х, то функція у=f(x)*g(x) зростає на множині Х.

Доведення.Нехай , функція у=f(x) зростаюча, а y=g(x) спадна на множині Х ,то для будь-яких х1, х2 є Х таких що х1>х2, х1<х2,виконуються нерівності f(x1)<f(x2) і g(x1)>g(x2) . Домножимо другу нерівність на (-1)

(f(x1)<f(x2))*( -g(x1)<-g(x2 )),

знайдемо добуток цих нерівностей

f(x1)(-g(x1))<f(x2)(-g(x2)).

Отже, за означенням у= f(x)g(x) зростаюча.



Теорема 11

Якщо функції у=f(x) і y=g(x) спадають на множині Х, то функція у=f(x)?g(x) також спадає на множині Х.

Доведення. Нехай у=f(x) і y=g(x) спадають на множині Х, то для будь-яких х1, х2 є Х таких що х1>х2 виконуються нерівності f(x1)>f(x2) і g(x1)>g(x2) . За властивістю маємо:

f(g(x1))>f(g(x2)).

Отже, за означенням функція у= f(x)?g(x) спадна.

Теорема 12

Якщо функція у=f(x) спадає на множині Х, то функція зростає на множині Х.

Доведення. Нехай , функція у=f(x) спадає множині Х, то для будь-яких х1, х2 є Х таких що х1>х2 виконуються нерівність f(x1)>f(x2) . за властивістю обертання маємо:

,

Отже, за означенням функція у= зростаюча .

Теорема 13

Якщо функції у=f(x) і y=g(x) зростають на множині Х, то функція у=f(x)?g(x) також зростає на множині Х.

Доведення. Нехай у=f(x) і y=g(x) зростають на множині Х, то для будь-яких х1,х2 є Х таких що х1<х2 виконуються нерівності f(x1)<f(x2) і g(x1)<g(x2) . За властивістю маємо:



f(g(x1))<f(g(x2)).

Отже, за означенням у= f(x)?g(x) зростаюча.

Теорема 14

Якщо функція у=f(x) зростаюча, а y=g(x) спадна на множині Х, то функція у=f(x)?g(x) спадає на множині Х.

Доведення. Нехай функція у=f(x) зростаюча, а y=g(x) спадна на множині Х, то для будь-яких х1, х2 є Х таких що х1>х2, х1<х2 виконуються нерівності f(x1)<f(x2) і g(x1)>g(x2) . Домножимо другу нерівність на (-1), тоді за властивістю маємо:

f(-g(x1))>f(-g(x2)).

Отже, за означенням у= f(x)?g(x) спадна .



2. Парні і непарні функції

· Загальні відомості про парні і непарні функції

Множина R симетрична відносно початку координат. Якщо область визначення функції y = f(x) - симетрична відносно 0, то цікаво виділити функції, графіки яких теж мають певну симетрію. З геометричної точки зору симетрія може бути осьовою (відносно прямої) і центральною (відносно точки). монотонний функція арифметичний множина

Означення 3.1. Функція називається парною, якщо:

1) область її визначення симетрична відносно 0, тобто

x є D(y)-x є D(y);

2) f(-х)= f(х).

Протилежним значенням аргументу відповідає одне й те саме значення функції.

Графік парної функції є симетричним відносно осі y.

Означення 3.2. Функція називається непарною, якщо:

1) область її визначення симетрична відносно 0;

2) f(-х)= -f(х).

Протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції.

Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Означення 3.3. Якщо то функція є ні парною, ні непарною, або кажуть, що це функція загального виду.

· Властивості парних і непарних функцій

Теорема 1.

Сумою двох непарних функцій f(x) і g(x) буде непарна функція.

Доведення

Нехай f(x) і g(x) - непарні функції. За означенням непарної функції:

Тоді сума цих функцій:

.

Отже,сумою двох непарних функцій буде непарна функція, що й потрібно було довести. Приклад:

d= sin2x +tgx



Теорема 2.

Різницею двох непарних функцій f(x) і g(x) буде непарна функція.

Доведення

Нехай f(x) і g(x)- непарні функції. За означенням непарної функції:

Тоді різниця цих функцій:

.

Отже,різниця двох непарних функцій буде непарна функція, що й треба було довести.

Приклад:

d= tg2x - sinx



Теорема 3.

Добутком двох непарних функцій f(x) і g(x) буде парна функція.

Доведення

Нехай f(x) і g(x)- непарні функції. За означенням непарної функції:

Тоді добуток цих функцій:

.

Отже,сумою двох непарних функцій буде парна функція, що й потрібно було довести.

Приклад:

d= x3 *tgx



Теорема 4.

Часткою двох непарних функцій f(x) і g(x) буде парна функція.

Доведення

Нехай f(x) і g(x)- непарні функції. За означенням непарної функції:

Тоді частка цих функцій:

.

Отже,часткою двох непарних функцій буде парна функція, що й потрібно було довести.

Приклад:

sinx/tgx



3. Обмежені функції

· Загальні відомості про обмежені функції.

Нехай маємо функцiю , визначену на множинi X. Множина її можливих значень є числова множина, яка може бути обмеженою зверху (знизу), обмеженою, необмеженою.

Означення 4.1. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою зверху на цій множині, якщо існує таке число М, що для будь-якого виконується нерівність:. Тобто:

(- обмежена зверху на Х).

Графік обмеженої зверху функції

Означення 4.2. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою знизу на цій множині, якщо існує таке число K, що для будь-якого виконується нерівність:. Тобто:

(- обмежена знизу на Х).

Графік обмеженої знизу функції

Означення 4.3. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою на цій множині, якщо існує таке число H, що для будь-якого виконується нерівність:. Тобто:

(- обмежена на Х)).

Графік обмеженої функції

Означення 4.4. Функція , визначена на множині Х, називається необмеженою зверху на цій множині, якщо існує таке число M, що для будь-якого виконується нерівність:. Тобто:

(- необмежена зверху на Х)).

Означення 4.5. Функція , визначена на множині Х, називається необмеженою знизу на цій множині, якщо існує таке число N, що для будь-якого виконується нерівність:. Тобто:

(- необмежена знизу на Х)).

Означення 4.6. Функція , визначена на множині Х, називається необмеженою на цій множині, якщо існує таке число H, що для будь-якого виконується нерівність:. Тобто:

(- необмежена знизу на Х)).

· Властивості обмежених функцій та арифметичні операції над ними.

1. Якщо функція - обмежена, і функція - обмежена, то:

a) функція - обмежена.

Доведення. За означенням маємо:

,

,

Почленно додамо праву та ліву частини нерівностей:

- деяке число C. За властивістю модуля отримаємо, або , що означає, що функція ц(х) - обмежена.

b) функція - обмежена.

Доведення. За означенням маємо:

,

,

Оцінимо різницю модулів :



,

де (Н+М) - деяке число C. Маємо: , що означає, що функція ц(х) - обмежена.

c) функція - може бути як обмеженою так і необмеженою функцією.

d) функція - обмежена.

Доведення. За означенням маємо:

,

,

Оцінимо добуток модулів :

,

де (Н*М) - деяке число C. Маємо: , що означає, що функція ц(х) - обмежена.

2. Якщо функція - обмежена, і функція - необмежена, то:

a) - необмежена.

Доведення. За означенням маємо:

,

,

Оцінимо суму модулів :



,

де (Н+М) - деяке число C. Маємо: , що означає, що функція ц(х) - необмежена.

b) функція - обмежена.

Доведення. За означенням маємо:

,

,

Оцінимо добуток модулів :

,

де (Н*М) - деяке число C. Маємо: , що означає, що функція ц(х) - обмежена.

c) функція - необмежена.

d) функція - обмежена.

e) функція - обмежена.

f) функція - не завжди обмежена.

4. Періодичні функції

· Загальні відомості про періодичні функції

Означення 5.1. Функція у=f(x), називається періодичною на множині Х, якщо існує таке число Т?0, що для всіх х є Х:



1) х +Т, х -Т є Х,

2) f(х +Т)=f(х -Т)=f(х).

Число Т при цьому називається періодом функції f(х). Саму функцію ще називають Т-періодичною.

Можна було б довести й більш загальне твердження, а саме: якщо Т є період Т- періодичної функції f(х), то число ±nT, де n- будь-яке натуральне число, також є періодом функції. Тому часто періодом періодичної функції називають найменше число з усіх додатніх періодів. Якщо користуватися цим означенням періоду. То не всяка періодична функція може мати період. Так, наприклад, нехай f(х) є сталою функцією,заданою на всій числовій осі. Тоді така функція є періодичною і її періодом є будь-яке дійсне число.

Щоб побудувати графік Т- періодичної функції, очевидно, досить його побудувати на відрізку, який дорівнює довжині періоду, тобто на відрізку [x; x+T] (х - довільна точка числової осі), а потім зсуваючи побудовану частину графіка вздовж осі абсцис вправо і вліво на відстань Т, 2Т, 3Т і т.д., дістанемо графік функції на всій множині, задана функція.

Періодичні функції відіграють важливу роль для математичного опису періодичних явищ, що спостерігаються в природі. Характерною особливістю цих явищ є періодичне повторення їх через певні проміжки часу. Прикладами можуть бути рух маятника навколо осі, рух небесних тіл (планети рухаються по еліптичних орбітах), робота майже всіх машин і механізмів пов'язана з періодичним рухом (рух поршнів, шатунів тощо).

· Властивості періодичних функцій та арифметичні операції над ними.

Теорема 1

Якщо функції f(х) і g(х) - періодичні, то функція d(х)=f(х)+g(х) - також періодична функція.

Доведення. Нехай дано дві функції f(х) і g(х).

За означенням маємо:

f(х+ Т)= f(х- Т)= f(х)

g(х +Т) = g(х- Т)= g(х), де Т-період функції.

Звідси випливає, що

f(х+ Т) +g(х +Т)=f(х -Т) +g(х -Т)=(f +g)х =d(х),

що й потрібно було довести.

Приклад: d= sinx + tgx

Теорема 2.

Якщо функції f(х) і g(х) - періодичні, то функція d(х) =f(х)-g(х) - також періодична функція.

Доведення.Нехай дано дві функції f(х) і g(х).

За означенням маємо:

f(х + Т)=f(х - Т)= f(х),

g(х +Т)=g(х -Т)=g(х),

де Т- період функції.

Звідси випливає,що

f(х +Т)- g(х +Т)=f(х -Т)- g(х -Т)= (f -g)х= d(х),

що й потрібно було довести.

Приклад: d= cos2x - 2tgx

Теорема 3.

Якщо функції f(х) і g(х) - періодичні, то функція d(х) =f(х) Ч g(х)- також періодична функція.

Доведення. Нехай дано дві функції f(х) і g(х).

За означенням маємо:

f(х +Т)=f(х -Т)=f(х),

g(х +Т)=g(х -Т)=g(х),

де Т- період функції.

Звідси випливає, що

f(х +Т)Чg(х +Т)=f(х -Т)Чg(х -Т)=(f Чg)х =d(х),

що й потрібно було довести.

Приклад: d= cos3x*sinx

Теорема 4.

Якщо функції f(х) і g(х) - періодичні, то функція d(х) =f(х) / g(х)- також періодична функція.

Доведення. Нехай дано дві функції f(х) і g(х).

За означенням маємо:

f(х +Т)=f(х -Т)=f(х),

g(х +Т)=g(х -Т)=g(х),

де Т - період функції .

Звідси випливає, що

f(х +Т)чg(х +Т)=f(х - Т)чg(х -Т)=(f чg)х =d(х),



що й потрібно було довести.

Приклад: d= sin2x/tgx

Теорема 5.

Якщо функції f(х) і g(х) - періодичні, то d(х) =f(х) ° g(х)- також періодична функція.

Доведення. Нехай дано дві функції f(х) і g(х).

За означенням маємо:

f(х +Т)=f(х -Т)=f(х),

g(х +Т)=g(х -Т)=g(х),

де Т- період функції.

Звідси випливає, що

f(х +Т)°g(х +Т)= f(х -Т)°g(х -Т)=(f °g)х =d(х),

що й потрібно було довести.

Приклад: d= cosx2sinx.



5. Дослідження функцій та побудова графіків з використанням програми Advanced Grapher

1.

a - місяць народження, b - день народження, де а =10, b=6.

Отже,

2. , де a - місяць народження, b - день народження,

c - число букв прізвища, d - число букв імені.

a=10, b=6, c=7, d=4.Так як с - непарне, то будуємо графік функції

Отже,

3. , де a - місяць народження, b - день народження, d - число букв імені.

a=10, b=6, d=4. Так як d - парне, то будуємо графік функції



4. , де a - місяць народження, b - день народження, c - число букв прізвища, a=10, b=6, c=7.

Отже, будуємо графік функції

Побудувати графіки функцій.

Варіант 10

1.



3. 2.

,

)



.



.

.

Размещено на Allbest.ru

...